ANALISIS MATEMATICO
APLICADO
profesores Candelero-Di Baja
Guía de Ejercicios con
Aplicaciones Económicas
2015
2
INDICE
FUNCIONES 3
LIMITES 15
CONTINUIDAD 25
DERIVADAS 28
TEOREMAS DEL VALOR MEDIO 42
FORMULAS DE TAYLOR Y MAC LAURIN 45
CLASIFICACION DE FUNCIONES, EXTREMOS 48
INTEGRALES INDEFINIDAS 57
INTEGRALES DEFINIDAS 64
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 68
DERIVADAS PARCIALES 72
EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 87
3
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Funciones.
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
1) x
1x)x(f
2)
3x
1xln)x(f
3) )xln(2x)x(f
4) 1xln)x(f 2
5) 4x
6x2x)x(f
2
2
6) 5x6
2x)x(f
7) 3 x6
10x)x(f
8) )3x(ln
)xln()x(f
2
9) x2)x6()x(f
10)
x
x
11ln)x(f
11) x2e
1)x(f
4
Respuestas:
1) RDf
2) ),3()1,(Df
3) ,2Df
4) RDf
5) 2,2RDf
6) ,2Df
7) ,10Df
8) ),0(Df
9) 6RDf
10) ,01,Df
11) RDf
Graficar en el plano de coordenadas las siguientes funciones lineales:
1) 2x6)x(f
2) 7x)x(f
3) 43
x)x(f
4) 2x)x(f
5) 14
x3)x(f
5
6) 6x6y6
7) 2x3y2
8) 1x24
y
9) 3x42
y
10) 5
1x
5
7)x(f
11)
0x si 3
0x si 3x)x(f
12)
0x si 1x3
0x si 1x)x(f
13)
2x si 4x
2x2 si x
2x si 3
)x(f
14)
5x si 6x
5x0 si 1
0x si 1x3
)x(f
Graficar en el plano de coordenadas las siguientes funciones módulo:
1) 1x)x(f
2) 5x)x(f
3) 2x)x(f
6
4) 4x)x(f
5) 1x)x(f
6) 5x)x(f
7) 12x)x(f
8) 23x)x(f
9) 2x4)x(f
10) 5x6
11) 3
4x)x(f
12) 2
3x)x(f
Graficar las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas:
1) 2xe)x(f
2) 1xe)x(f
3) 2xe)x(f
4) )1xln()x(f
5) )x(ln)x(f 2
6) 2xln)x(f
7
7) x
)xln()x(f
8) x
e)x(f
x
9) 1)xln()x(f
10) 1)xln()x(f
Graficar las siguientes funciones cuadráticas:
1) 3x)x(f 2
2) 1x2)x(f 2
3) 1x)x(f 2
4) 3x2x)x(f 2
5) 2)2x()x(f
6) 2)3x()x(f
7) 2)1x()x(f 2
8) 2x6)x(f 2
9) 1x3)x(f 2
10) x3x)x(f 2
8
Graficar las siguientes funciones homográficas:
1) 2x
2x)x(f
2) 3x
16)x(f
3) 22 9x
3x)x(f
4) 1x
52)x(f
5) 3x4
8x6)x(f
6) 8x
83)x(f
7) 3x
3x3)x(f
8) x
9)x(f
9) x7
10)x(f
10) x1
5)x(f
11) 2x
8)x(f
12) 2x2
64)x(f
9
Graficar las siguientes funciones trigonométricas:
1) )x3(sen)x(f
2) 2
)x2cos()x(f
3) )x(sen)x(f 2
4) )x2cos()x(f
5) )x4(tg)x(f
6) )x2sec()x(f
7) )x3(eccos)x(f
8) 2
)x2(sen)x(f
9) 2
)x2(tg)x(f
10) )x(cos)x(f 2
Ejercicios de aplicaciones económicas:
1) La función de costos de una empresa se puede obtener sabiendo que sus
costos fijos son de $20 y la producción de un artículo cuesta $7. Además la
función ganancia tiene un comportamiento lineal; sin producir la empresa
pierde $20 y produciendo 10 unidades la empresa gana $10
a) Escriba la función de ingreso.
b) Encuentre el punto de equilibrio.
c) ¿A partir que de qué producción la empresa es rentable?
10
2) La ganancia trimestral, en miles de pesos, de la empresa “Informática y
más” está representada por una función cuadrática, cuyo vértice es el par
4
267,
2
21 y tiene una ganancia de $30 sin producir ninguna unidad.
a) Encontrar una expresión para la función ganancia y graficarla.
b) Realizar el análisis económico correspondiente a la misma.
c) Determinar la cantidad que “Informática y más” debería producir para
obtener una ganancia trimestral máxima.
d) ¿Cuál es la máxima ganancia trimestral que puede lograr la empresa.
3) Dos fábricas tienen funciones de costo )q(Cy)q(C 21 respectivamente (a
continuación se muestran las gráficas de estas funciones).
a) Modelizar las funciones de costo.
b) ¿Cuál de las dos fábricas tiene mayor costo fijo?
c) ¿Cuál de las dos fábricas tiene mayor costo variable?
d) ¿Qué interpretación económica se ve antes y después del punto de
equilibrio entre ambas gráficas?
4) Los ingresos, en miles de pesos, totales de la empresa Apolo por la venta de
agendas están dados por una función cuadrática donde los ingresos son nulos
si no se produce ninguna agenda y toman un valor máximo de $625 000 si se
venden 2500 agendas.
11
El costo de venta está representado por la siguiente función:
( )
a) Determinar la función de Ingreso.
b) Determinar la función de Ganancias totales.
c) ¿Cuál es la ganancia si se producen y venden 1500 unidades cada mes?
d) ¿A partir de qué nivel de ventas la empresa es rentable?
5) A continuación se muestran las gráficas de las funciones de costo y de
ingreso de una fábrica de quesos.
Determinar:
a) Las funciones de costo, ingreso y ganancia.
b) Punto de equilibrio.
c) Interpretación económica de los resultados.
6) Una empresa tiene las siguientes funciones de costo q324)q(C y de
ingreso q5)q(I .
a) Escriba la función de ganancia y encuentre el punto de equilibrio.
b) Grafique las funciones de costo, ingreso y ganancia.
c) Interprete económicamente las tres funciones.
x
y
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0
10
20
30
40
50
60
70
12
7) Una empresa tiene costos fijos de $3500 y la producción de cada artículo
cuesta $50.
a) Escriba la función de costos de esta empresa (supóngala lineal).
b) ¿Qué significa la pendiente de esta función?
c) ¿Qué cantidad cuesta producir 1200 artículos?
8) Un banco paga 8% anual. Si se depositan $2500.
a) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza anualmente?
b) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza semestralmente?
(Utilizar fórmula de interés compuesto capitalizable en un período).
9) El precio de un automóvil se devalúa en 22,5% cada año. Si cuando sale el
automóvil a la venta tiene un precio de $145000,
a) Escriba una función que dé el precio del automóvil como función del
número t de años transcurridos después de haber salido a la venta.
b) ¿Cuánto costará el automóvil después de 3 años?
10) Encontrar gráfica y analíticamente el punto de equilibrio si las ecuaciones
de oferta y demanda de un producto son respectivamente:
1040
qp
q
8000p
11) Sea 1q
100p la función de demanda de cierto fabricante.
a) Graficar la función de demanda.
b) Determinar el dominio y la imagen en términos económicos.
c) ¿Puede ser que la demanda sea cero? ¿Qué pasa con el precio cuando hay
muy poca demanda?
12) La función de demanda de un producto viene dada por 5q
1000p
,
a) Determinar la función de ingreso y graficarla.
b) Determinar dominio e imagen en términos económicos.
c) Determinar cuál será el ingreso si vende 10 unidades.
d) Es posible que halla un ingreso igual o mayor que $1000.
13
13) Las siguientes son las funciones de oferta 1q)q(Op y de demanda
1q
400)q(Dp
de un determinado producto.
Encontrar en forma gráfica y analítica el punto de equilibrio.
Respuestas
1) a) I(q) = 10q
b) q = 20/3 I = C = $200/3
c) q > 20/3
2) a) 4
267
2
21q
3
1)q(G
2
c) q = 21/2
d) G = 267/4
3) a) C1(q) = 3q + 10 C2(q) = 8q + 5
b) C1(q)
c) C2(q)
4) a) q5000q10
1)q(I 2
b) G(q) = – 0,000003q3 – 0,07q
2 + 300q
c) G(1500) = $282375
d) q > 3699,24
5) a) I(q) = 2q 40q3
2qC 40q
3
4)q(G
b) Peq =(30, 60)
6) a) G(q) = 2q – 24 Peq = (12, 60)
7) a) C(q) = 50q + 3500
b) Costo unitario
c) C(1200) = $63500
8) a) M = $5397,31
b) M = $5477,81
14
9) a) P(t) = 145000(1 – 0,225)t
b) P(3) = $67495,23
10) Peq = (400, 20)
11) b) q > 0 p > 0
12) a) ( )
b) q > 0 I(q) > 0
c) I(10) = $666,67
d) No
13) Peq = (19, 20)
15
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Límites.
Calcular los siguientes límites y graficar:
1) xlim0x
2) )x(flim1x
con
1x si
7x
2
1x si x3
)x(f
2
3a) )x(loglim a0x
3b) )x(loglim ax
4a) x
xalim
si 0 < a < 1 4b)
x
xalim
si a > 1
Respuestas:
1) 0)x(flim0x
0)x(flim0x
2) 3
1)x(flim
1x
2)x(flim1x
3a) 3b)
4a) 0 4b)
Calcular los siguientes límites laterales:
1) x
2lim
0x
2) x
x2lim
3 4
0x
16
3) 2x x
2lim
4) x
x3lim
5) x1
0x e1
1lim
6) x
)x(senlim
0x
7) 32
12lim
x
x
x
8) x1
x1
0x 32
31lim
9) x1
x1
0x 53
25lim
Respuestas:
1) 2) 3) 0 4) 0 5) 1
6) 1 7) 3
1 8)
2
1 9) 1
Verificar los siguientes límites correspondientes a indeterminaciones 0
0:
1) 12x2
1xlim
2
1x
2) 4
5
4x
6xxlim
2
2
2x
17
3) 8
5
16x
4x3xlim
2
2
4x
4) 5
2
5x10
1x4lim
2
21x
5) 3
4
4x4x
4xlim
2
2
2x
6) 2
3
8x6x
2x3x3xlim
2
23
2x
7)
10
2x.x
2x.6xxlim
2
2x
8) 2x
x2x3lim
2
0x
9) 9
2
273x
9xlim
2
3x
10) 6
3
32
1
3x
3xlim
3x
11) 16
2
28
1
4x
x2lim
22x
12) 1x
x1x1lim
0x
13) 2
1
x
1x1lim
0x
14) 01x
1x33xlim
1x
18
15) 4x11x
x2lim
20x
16) 40
1
25x
1x2lim
25x
17) 8
9
31x4
2xxlim
2x
18) 0x
xaalim
22
0x
19) a3ax
aaxxlim
ax
20) 56
1
49x
3x2lim
27x
21) 12x
8)x2(lim
3
0x
22) b2x
b)xb(lim
22
0x
Verificar los siguientes límites correspondientes a indeterminaciones
:
1) 1x
x2lim
2
3
x
2) 01x4x3
2x5lim
2x
3) 3
7
1x3
x2x7lim
5
35
x
19
4) 2x5x
2xx3lim
2
42
x
5)
5
2
1x5
x5x).x23(lim
3
2
x
6) 11xx
xxxxlim
2
22
x
7) 3
x
1
x
1x
3
x
3
lim
2
2
x
8) 3
2
2x).1x3(
1x2).x1(lim
2
2
x
9) 1bax
baxlim
4
4
x
10) 1x2x
2xlimx
11) 122
22lim
xx
xx
x
12) 133
33lim
xx
xx
x
Verificar los siguientes límites de indeterminaciones :
1)
5x51xlimx
20
2) 2
ax)ax.(xlim
x
3) 1xxxxlimx
4) 42x
1x
2x
1xlim
22
x
5)
x2xlim 2
x
6) 01x2xlim 22
x
7) 2
31x3xxlim 2
x
8) 0x5xlimx
9) 1xx2xlimx
10) 2
1
1x
2
1x
1lim
2x
Verificar los siguientes límites correspondientes a indeterminaciones 1 :
1) 23
1x
xe
x2
31lim
2) 4
x4
xe
2x
11lim
21
3) 3
21x3
xe
1x
31lim
4) 6
x3
xe
x
21lim
5) 4xx1
0xex41lim
2
6) 2x1
0xex21lim
7) 21x611
0xex31lim
8)
1x
x
2
3x2
5x2lim
9) 0x2x
3xlim
2x
2
2
x
10) 341x
2x
xe
4x3
x3lim
2
Verificar los siguientes límites trigonométricos:
1) 3
5
)x3(sen
)x5(senlim
0x
2) 0x
)x(senlim
2
0x
3) 3
2
x3
)x2(tglim
0x
22
4) 2
1
x
)xcos(1lim
20x
5) 2)xcos(1
)x(sen.xlim
0x
6) 2)x(sen1
)xcos(lim
2x
7)
1x1sen.x
1limx
8) 9x
3sen.x3lim
x
9) 2
1)x4(eccos).x2(tglim
0x
10) 0x3
)x2(senlim
0x
Calcular dominio y asíntotas de las siguientes funciones:
1) 4x3x
xx)x(f
2
2
2) 9x
3x)x(f
2
2
3) 2x
x2x)x(f
2
4) 1x
x)x(f
2
23
5) 9x9
1x3x3)x(f
2
3
6) 3 2 4x
x2)x(f
7) 4x
1x2)x(f
2
8) 1e)x(f x
Respuestas:
1) Df = – {–1, 4} AH: y = 1 AV: x = 4 x = –1
2) Df = – {–3, 3} AH: y = 1 AV: x = –3 x = 3
3) Df = – {2} AV: x = 2 AO: y = x + 4
4) Df = AH: y = 0 AV: no
5) Df = – { –1, 1} AO: y = x3
1 AV: x = 1 x = –1
6) Df = – {–2, 2} AH: no AV: x = 2 x = – 2
7) Df = ) ,2()2 ,( AH: y = 2 y = –2 AV: x = 2 x = – 2
8) Df = AH: y = – 1 AV: no
Ejercicios de aplicaciones económicas:
1) La empresa Supercable comenzó recientemente su servicio de TV por cable
en la ciudad de Metrópolis. Sobre la base de experiencias pasadas en ciudades
similares, se estimó que el número de suscriptores al cabo de x meses está
24
dado por la función:
6x
x250)x(N
a) Calcular la cantidad de suscriptores al cabo de 24 meses.
b) Estimar el número de suscriptores al cabo de un número muy grande de
meses.
2) La función de costo en pesos para una tienda de yogur congelado está dada
por:
4q
400q400)q(C
Calcular el costo cuando la cantidad de yogur fabricada es muy grande.
3) La función de demanda de un producto está dada por:
5p
1000)p(D
a) ¿Cuál es la demanda cuando el precio tiende a cero?
b) ¿A cuánto tiende la demanda cuando el precio es muy alto?
Respuestas
1) a) N(x=24) = 200
b) N(x) = 250
2) C(q) = 400
3) a) D(p=0) = 200
b) D(p) = 0
25
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Continuidad.
Analizar y clasificar la continuidad de las siguientes funciones:
1) x12x7x
12x9x3)x(f
23
2
2) x121)x(f
3)
6x si 6
1
6x si 33x
6x
)x(fx5
4)
7x si 2
7 xsi 7x
x49
)x(f
2
5) 1x
3x)x(f
2
6) x4
x9)x(f
2
7) x
16)x(f
8) x3e)x(f
9) )xcos(5
x)x(f
2
10) )xsgn()x(f
26
11)
3 xsi 0
3 xsi 9x
27x
)x(f 2
3
12) x1x10)x(f
Respuestas:
1) Discontinua no evitable con salto en x = 0 y x = 3
Discontinua evitable en x = 4
2) Discontinua no evitable con salto en x = 0
3) Continua
4) Discontinua evitable en x = 7
5) Discontinua no evitable con salto en x = 1 y x = –1.
6) Continua x –3, 3 (4, )
7) Continua x 1/6, )
8) Discontinua no evitable con salto en x = 0
9) Continua
10) Discontinua no evitable con salto finito en x = 0
11) Discontinua evitable en x = 3
Discontinua no evitable con salto en x = –3
12) Discontinua no evitable con salto en x = 0
27
Determinar los valores de a y b para que las siguientes funciones resulten
continuas:
1)
3 xsi ax
3 xsi x)x(f
2
2)
2 xsi 1x
2 xsi b
2 xsi 4ax3
)x(f
2
Respuestas:
1) a = 3
2) a = –1/6 b = 3
28
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Derivadas.
Calcular las siguientes derivadas por definición:
1) 1x3y
2) xy
3) 1xy 2
4) 2x3x2y
5) 3x2y
6) )2xln(y
7) x2ey en x = 1
8) x32y en x = –1
9) x2y en x = 4
Respuestas:
1) 3)x('f
2) x2
1)x('f
3) x2)x('f
4) x62)x('f
5) 2x6)x('f
29
6) 2x
1)x('f
7) 2e2)x('f
8) )2ln(8
3)x('f
9) 2
1)x('f
Hallar la derivada primera de cada una de las siguientes funciones:
1) 2)xln(5x4y
2) 32 x2)x(sen3xy
3) )aln(x6,0x22
xy 42
3
4) 4x3)2ln()xln(3y
5) x3)3ln(x)x(seny
6) )xln(xy 3
7) )xcos(xy 2
8) 3x3)xcos()x(seny
9) 3x
)x(seny
10) 1x
)xln(y
2
30
11) )xln(
xy
12)
1x
23y
x
13) x
)xln(xy
14) )x(sen1
)xln(x5y
15) x1
x1y
16) )x(cos1
x21y
2
17) 9x
x3y
2
18) 3 5 1x2xy
19) x2x2 3
ey
20) 5 2x2 ax ay
21) ax
baxxy
2
22)
3
2x
bx1
bxe1lny
31
23)
x2
1xseny 3
24) 1xln)x2(serny
25) 1xlnay 2x
26) x2seney x2
27) )acos()x2cos()xln()baln(y
28) )xln(2xx 2
33seny
Respuestas:
1) x
5
x
2'y
2) 3 2x3
2)xcos(3x2'y
3) 32 x4,2x4x2
3'y
4) 3x12x
3'y
5) x2
3)3ln()xcos('y
6) 22 x)xln(x3'y
7) )x(senx)xcos(x2'y 2
8) 23232 x9)xcos()x(senx3)x(senx3)x(cos'y
32
9) 6
23
x
x3)x(senx)xcos('y
10)
22
2
1x
x2)xln(1xx
1
'y
11) 2)xln(
x
x
x2
)xln(
'y
12) 1x
1x2
2.31x)2ln(2.3
'y
xx
13)
x
x2
1)xln(xx1)xln(
'y
14)
2)x(sen1
)xcos()xln(x5)x(sen15)xln(5'y
15) 22 )x1(
2
)x1(
)x1()x1('y
16)
22
2
)x(cos1
)x(sen)xcos(2)x21()x(cos12'y
17) 9x
9x
x39x3
'y2
2
22
18) 2x53
11x2x'y 4325
33
19) 2x6e'y 2x2x2 3
20) x2axaax)aln(a2'y542x25 2x2
21)
2
221
2
)ax(
baxx)ax)(ax2(
ax
baxx
2
1'y
22)
2x
2xx
bxe1)bx1(3
bxe1b)bx1(bx2e'y
23) 2
2
x2
1
x2
1xcos
x2
1xsen.3'y
24) 1x2
1
1x
1)x2(sen1xln2)x2cos('y
25) 1x
x)xln(a
1x2
x2
1x
1)xln(a'y
2
x
22
x
26) x22
2x2cosex2sene2'y x2x2
27) )x2(sen2x
)baln('y
28)
x
2x3)3ln(3)3ln(3 3cos'y 2)xln(2xxx 3
Calcular las siguientes derivadas logarítmicas:
1) xxy
2) xxy
34
3) )xln(xy
4) x3)x2(seny
5) 2xaln3xy
6) )x(sen)xln(y
7)
x1
x
1y
8) xx10y
9) 1x2
x2y
Respuestas:
1) 1)xln(x'y x
2) xx x
x)xln(
x2
1'y
3) )xln(
xx2
)xln(
x
xln'y
4) x3)x2(sen
)x2(sen
)x2cos(x6)x2(senln3'y
5) 2xaln3
2
2x
x
xaln3
xa
)xln(x6'y
6) )x(sen)xln(
)xln(x
)x(sen)xln(ln)xcos('y
35
7) x1
22 x
1
x
1
x
x1ln
8) xxxxx 10)10ln(x210)10ln(x10ln'y
9) 1x2
2
)x2(x
1.x)x2ln(x2'y
Calcular las derivadas de segundo orden de las siguientes funciones:
1) 323 x3
1xcos)x(f
2) )x(tglog)x(f
3) 1x2
x)x(f
2
4) 2x2e)x(f
5) )xln(2xa)x(f
6) )x(cos)x(f 2
Respuestas:
1) 323 x3
1xcos)x('f
3533232
3 x9
2xcos
3
x
3
xxsen)x(''f
2) )xcos()x(sen
)elog(
)x(tg
)elog()x(sec)x('f
2
36
222
)xcos()x(sen
)elog()x(cos)x(sen)x(''f
3) 2
2
1x2
x2x2)x('f
3
2
4
22
)1x2(
x2x24)1x2)(2x4(
)1x2(
2)1x2(2x2x2)1x2)(2x4()x(''f
4) x4e)x('f2x2 1x4e44ex4x4e)x(''f 2x2x2x2 222
5) x
2
x2
a)x('f
2
23
x
2x
4
a)x(''f
6) )x(sen )x(cos3)x('f 2 )x(cos3)x(sen)xcos(6)x(''f 32
Calcular las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes
curvas en los puntos indicados:
1) 3x4x)x(f 2 en x = 3
2) 4x2x)x(f 23 en x = 2
3) 16x)x(f 2 en x = 5
4) 3 21x)x(f en x = 2
5) x4)x(f en x = 1
6) )xcos()x(f en x = 0
37
Respuestas:
1) Recta tangente: 6x2y Recta normal: 2
3
2
xy
2) Recta tangente: 4x4y Recta normal: 2
9
4
xy
3) Recta tangente: 3
16
3
x5y Recta normal: 6
5
x3y
4) Recta tangente: 3
16
3
x5y
Recta normal: 6
5
x3y
5) Recta tangente: 8x4y Recta normal: 4
15
4
xy
6) Recta tangente: 1y Recta normal: 0x
Determinar en que puntos es la recta tangente paralela al eje x en los
ejercicios anteriores:
Respuestas:
1) x = 2
2) x = 0 y x = 4/3
3) no
4) no
5) no
6) x = k. / k
38
Ejercicios de aplicaciones económicas
1) El costo total de un producto está dado por la ecuación:
C(x) = 50 + 60x – 12x2 + x
3
siendo x la cantidad producida. Determinar si existe costo fijo, y cuál es el
costo mínimo.
2) El beneficio de cierta industria está dado por:
B(x) = 230 +20x – 0,5x2
donde x es el gasto en publicidad. ¿Qué cantidad de publicidad produce el
máximo beneficio?
3) Dada la siguiente ley de demanda de un producto: x9)x(P
donde x es la cantidad demandada y P(x) es el precio unitario del bien:
a) hallar la función ingreso del producto.
b) hallar el valor de x para el cual el ingreso es máximo.
4) La función demanda de un producto es: 4p
25x
Determinar la elasticidad de la demanda.
5) Sea la función demanda: p2500x . Calcular la elasticidad de la
función demanda indicando si la misma es elástica, inelástica o unitaria.
6) El costo de producir x unidades de un cierto artículo viene dado por:
x80x2 2
e20100)x(C
Indicar los intervalos de decrecimiento y hallar cuántas unidades deben
producirse para que el costo sea mínimo.
7) Un minorista de bicicletas analiza los costos anuales de comprar, poseer y
mantener el número de unidades de cada pedido de bicicletas que coloca. El
39
costo anual viene dado por:
750000q15q
4860)q(C
donde q es el número de bicicletas ordenadas cada vez que el minorista repone
la oferta.
a) Determinar el tamaño del pedido que minimice el costo anual de inventario.
b) ¿Cuál se espera que sea el costo mínimo anual de inventario?
8) Obtener la elasticidad de la función de demanda 100
2I)I(D
con respecto
al ingreso I, y calcular dicha elasticidad par un ingreso I = 18.
9) La función de demanda de un cierto producto es: 100q3
1)q(Dp
Calcular la elasticidad para q = 100.
10) La demanda de x unidades de cierto producto de consumo viene dada por:
x212000)x(p . Hallar las funciones demanda marginal, ingreso total e
ingreso marginal.
11) Determinar las funciones de costo marginal y costo total para la siguiente
función de costo medio: 2Me x2x35
x
160)x(C
12) El costo total de una empresa esta dado por:
12000x10x001,0)x(C 2T
Se desea conocer el costo total, el costo medio y el costo marginal para una
producción de 1000 unidades del producto.
Respuestas:
1) El costo fijo es de $50; no existe costo mínimo.
2) El máximo beneficio se produce cuando x = 20.
40
3a) La función ingreso es x9x)x(I
3b) El ingreso es máximo para x = 6.
4) La elasticidad es: 4 x
y'x
5) )p2500(2
p
con p 2500
Si 3
5000p entonces la elasticidad es unitaria ( = 1) .
Si 3
5000p la elasticidad es inelástica ( < 1)
Si 3
5000p la elasticidad es elástica ( > 1)
6) C(x) decrece en el intervalo (0, 20) y crece para x > 20. En x = 20 C(x) es
mínima.
7a) El costo se minimiza cuando se piden 18 bicicletas
7b) El costo mínimo de inventario es C(18) = $750.540
8) 2I
I
para I = 18 = 0,9
9) 18
3
8
3 la demanda es inelástica
10) La demanda marginal es: x21200
1'p
El ingreso total es: x21200x)x(IT
41
El ingreso marginal es: x21200
xx21200)x('I)x(IMar
11) 2Mar x6x65)x('C)x(C CT(x) = 160 + 5x – 3x
2 + 2x
3
12) 3000)1000(CT 3)1000(CMe 8)1000('C)x(CMar
42
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Teoremas del Valor Medio.
Resolver los siguientes ejercicios:
1) Hallar x0 tal que cumpla las condiciones del teorema de Rolle
a) 2xx23)x(f en el intervalo –2, 4
b) 10x4x)x(f 34 en el intervalo –2, 4
c) 1x3x)x(f 23 en el intervalo –1, 2
2) Hallar x0 tal que cumpla las condiciones del teorema de Lagrange
a) 1x
x2)x(f
2 en el intervalo –1, 3
b) 1x)x(f en el intervalo 1, 3
c) x9x6x8)x(f 23 en el intervalo 1, 4
d) xe)x(f en el intervalo 0, 1
3) Hallar x0 tal que cumpla las condiciones del teorema de Cauchy
a) 4x2x)x(f 3 x2)x(g en el intervalo 0, 2
b) 2x1)x(f
3x)x(g en el intervalo 2, 4
c) xx)x(f 2 3x)x(g en el intervalo 0, 3
Respuestas:
1a) x0 = 1
43
1b) x0 = 3
1c) x0 = 0
2a) 2
657x0
2b) 2
3x0
2c) 4
931x0
2d) x0 = ln(e – 1)
3a) 3
4x0
3b) 9
28x0
3c) 2
3x0
Verificar los siguientes límites aplicando la regla de L’Hospital:
1) 2)x(senx
x)x(tglim
0x
2) 1ee
eelim
xx
xx
x
3) 2
1
1x
1
1x
2lim
21x
4) 0)xln(.xlim0x
44
5)
2
2
xtg).x1(lim
1x
6) 1x1
1
1xexlim
7) 61
0xe
)x(senx
x)x(tglim
8) 1xlimx12
x
9)
81xln
1xlnlim
22
x
10) 0)xln(.x
)xln(xlimx
45
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Formulas de Taylor y Mac Laurin.
Desarrollar según Taylor los siguientes polinomios en las potencias
indicadas:
1) P(x) = x2 + 2x + 3 en potencias de (x + 1)
2) P(x) = x3 + 2x
2 – 3x + 1 en potencias de (x – 2)
Respuestas:
1) P(x) = (x + 1)2 + 2
2) P(x) = (x – 2)3 + 4(x – 2)
2 + (x – 2) – 5
Desarrollar según Taylor las siguientes funciones en los puntos indicados
y hasta el orden de derivación señalado:
1) x
1)x(f
c = 1
n = 4
2) x)x(f c = 1 n = 3
3) 2)1x(
1)x(f
c = 2 n = 3
4) )xln()x(f c = e n = 4
Respuestas:
1) c432 T)1x()1x()1x()1x(1
x
1
2) c32 T)1x(
16
1)1x(
8
1)1x(
2
11x
46
3) c32
2T)2x(4)2x(3)2x(21
)1x(
1
4) c4
4
3
3
2
2T)ex(
e4
1)ex(
e3
1)ex(
e2
1)ex(
e
11)xln(
Desarrollar según Mac Laurin (c = 0) las siguientes funciones hasta el
orden de derivación señalado:
1) 2)1x(
1)x(f
n = 3
2) )x(sen)x(f n = 4
Respuestas:
1) c32
2Tx4x3x21
)1x(
1
2) c
3
T!3
xx)x(sen
Desarrollar según Taylor las siguientes funciones en los puntos indicados
y hasta el orden de derivación señalado:
1) 3x)x(f c = 1 n = 3
2) x3e)x(f
c = 2 n = 3
Respuestas:
1) c32 T)1x(
512
1)1x(
64
1)1x(
4
123x
47
2) c362666x3 T)2x(e
2
9)2x(e
2
9)2x(e3ee
Desarrollar según Mac Laurin la siguiente función hasta el término que
contenga x3:
1) )x2ln()x(f
Respuesta:
1) c
32
T24
x
8
x
2
x)2ln()x2ln(
48
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Clasificación de Funciones.
Determinar la paridad de las siguientes funciones:
1) 3 2 5x)x(f
2) 12x6
10x5x)x(f
2
3) x5x)x(f 3
4) x6x
1)x(f
5) xx18)x(f 2
6) xx6
9x6)x(f
3
7) x5x)x(f 2
8) 2)2x()x(f
9) 3x
1)x(f
10) 6x5
3x2)x(f
11) xe)x(f
12) x2e
1)x(f
49
Respuestas:
1) Par
2) No par, no impar
3) Impar
4) Impar
5) No par, no impar
6) No par, no impar
7) No par, no impar
8) No par, no impar
9) No par, no impar
10) No par, no impar
11) No par, no impar
12) No par, no impar
Hallar las intersecciones con los ejes de las siguientes curvas:
1) 2x5x3)x(f 2
2) 2xx6)x(f
3) )3x8ln()x(f
4) x2xx)x(f 23
5) 1xxx)x(f 23
6) 6x5
4)x(f
7) 1xe)x(f
8) 3x)x(f 3
9) )1xln()x(f
10) 4x)x(f
50
Respuestas:
1) P1 = (1/3, 0) P2 = (–2, 0) P3 = (0, –2)
2) P1 = (0, 0) 0 ,6P 32
3) P1 = (–1/4, 0) P2 = (0, ln(3))
4) P1 = (0, 0) P2 = (1, 0) P3 = (–2, 0)
5) P1 = (1, 0) P2 = (0, –1)
6) P1 = (0, 6) P2 = (15/2, 0)
7) P = (0, 1/e)
8) P1 = (0, 3) P2 = (–31/3
, 0)
9) P = (0, 0)
10) P = (4, 0)
Hallar las intersecciones entre las siguientes curvas:
1) 2x3)x(f 6x)x(g 2
2) x2x)x(f 3 x2x)x(g 2
3) 3x6)x(f 2x8)x(g
4) 2x)x(f 4x)x(g
5) 1x)x(f 2 2)x(g
6) xe)x(f 1x)x(g
7) )xln()x(f 1x)x(g
8) 1x)x(f 3 1x)xa(g 2
9) x)x(f 2x)x(g
10) 6)x(f )xln()x(g
51
Respuestas:
1) P1 = (1, 5) P2 = (–4, –10)
2) P1 = (0, 0) P2 = (1, 3) P3 = (–2, 0)
3) P1 = (–5/2, –18)
4) No existe intersección
5) 2 ,3P1 2 ,3P2
6) P1 = (0, 1)
7) P1 = (1, 0)
8) P1 = (0, 1) P2 = (1, 2)
9) P1 = (0, 0)
10) P1 = (36, 6)
Determinar el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en
los puntos que se indican:
1) xe)x(f en x = –1
2) x3x)x(f 3 en x = 2
3) 3x2)x(f en x = –1
4) 1)xln()x(f en x = e
5) 3 2x)x(f en x = 3
6) )x3(sen)x(f en x =
7) )x(cos)x(f 2 en x = /2
8) 2x3x2x)x(f 34 en x = –4
9) 5x7
2x6)x(f
2
en x = 2
52
10) 2x
3x9)x(f
en x = 4
Respuestas:
1) Creciente
2) Creciente
3) Creciente
4) Creciente
5) Creciente
6) Decreciente
7) f (x) = 0 (punto cuspidal)
8) Decreciente
9) Decreciente
10) Decreciente
Determinar, si existen, los extremos relativos de las siguientes funciones:
1) 23 xx)x(f
2) 2)x3()x(f
3) 24 xx)x(f
4) 2)x6()x(f 2
5) x
)xln()x(f
6) x9x6x3
4)x(f 23
7) 4x
x5)x(f
8) 2x7)x(f
53
9) 2e)x(f 4x
10) 1xe)x(f
Respuestas:
1) Max en (0, 0); Min en
27
4 ,
3
2
2) Min en (3, 0)
3) Max en (0, 0); Min en
4
1 ,
2
1; Min en
4
1 ,
2
1
4) Min en (6, 2)
5) Max en
e
1 ,e
6) No existen extremos
7) No existen extremos
8) Max en (0, 7)
9) No existen extremos
10) No existen extremos
Determinar, si existen, puntos de inflexión en las siguientes funciones:
1) 2x)x(f 3
2) 3x
1)x(f
3) 24 xx)x(f
4) 2)x6()x(f 2
54
5) 2xln
x)x(f
6) x3x4x)x(f 23
Respuestas:
1) PI1 = (0, –2)
2) No existen PI
3)
36
5 ,
6
1PI1
36
5 ,
6
1PI2
4) No existen PI
5)
2
e ,ePI
22
1
2
e ,ePI
22
2
6)
27
236 ,
3
4PI1
Determinar los intervalos de concavidad de las siguientes funciones:
1) 1x)x(f 2
2) 1x)x(f 3
3) x4x)x(f 3
4) 2x
7)x(f
5) 1x)x(f
55
6) )x(sen)x(f
7) )xln()x(f
8) x
e)x(f
x
9) 2x
4x)x(f
2
10) 34 xx)x(f
Respuestas:
1) Cóncava hacia abajo en todo
2) Cóncava hacia abajo en todo
3) Cóncava hacia abajo x < 0; cóncava hacia arriba x > 0
4) Cóncava hacia arriba en (–, –2); cóncava hacia abajo en (–2, +)
5) Cóncava hacia abajo x –1
6) Cóncava hacia abajo en (0, ); cóncava hacia arriba en (, 2)
7) Cóncava hacia arriba x > 0
8) Cóncava hacia abajo en (–, 0); cóncava hacia arriba en (0, +)
9) No tiene concavidad (es una línea recta con una discontinuidad)
10) Cóncava hacia arriba en (–, 0); cóncava hacia abajo en (0, 1/2); cóncava
hacia arriba en (1/2, +)
Ejercicios de aplicaciones económicas:
1) Dada la función de demanda de una empresa 0p290q y la función
56
costo 125q120q5,39q)q(C 23 . Se pide determinar el nivel de
producción que:
a) maximiza el ingreso total.
b) minimiza el costo marginal.
c) maximiza el beneficio.
2) Una empresa tiene una función de demanda 22 – 0,5q – p = 0 y la función
de costo 90q50q85q3
1)q(C 23 . Determinar el nivel de producción
que maximice:
a) el ingreso total.
b) el beneficio total.
3) Sabiendo que la ecuación de demanda de cierto artículo es q + 80p = 800 a) Hallar la función de ingreso.
b) Determinar el ingreso adicional por producir en lugar de 80 unidades, 81
unidades.
c) Determinar la función de ingreso marginal y evaluarla en q = 80.
d) ¿Qué conclusión puedes sacar?
Respuestas:
1) a) q = 45
b) q = 13,17
c) q = 26,93
2) a) q = 22
b) q = 168,83
3) a) 2q80
1q10)q(I
b) 880
639
c) I(80) = 8
57
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Integrales Indefinidas.
Resolver las siguientes integrales por descomposición:
1) Cx4)xln(x3
1dx
x3
x43x 331
2)
C)xln(
5
3edx
x5
3e xx
3) Cx7
3x
9
2adx xax
3 793 47
4) Cxa24e3)aln(
a2dx xa6e3a2 412x
x452xx
5) Cx5
2x
3
4
7
xdx xxx4x 2523
76
6) C)xcos(5)x(sen23
axdx )x(sen5)xcos(2ax
34
7) Cx5
4x
3
4xdxx21 5322
8) C)2ln(x)x(sen3dx )2ln()xcos(3
9) C6
x
x
8x
7
2dx x
x
8x2
675
2
6
10) Cx12
9x
2
3)xln(
2
1dx
x2
x9x31 66
58
11) Cxa8xa6ax24
xdxa2x 3223
43
12) Cx43
xdx )2x)(2x(
3
13) Ca1
)ax(dx)ax(
a11a1
14) Cx)xln(14x5
2dx 1x7xx2 2523
15) C)x(tg)xsec(ln)xcos(lndx)xcos(
1)x(sen
16) C2
x
3
xdx
2x3x
x2xx2x 23
2
234
17)
Cx18x2
7x
3
10
4
xdx
2x
)1x)(9x(4x 2342
Resolver las siguientes integrales por sustitución:
1) C
7
x5x3dx)5x6(x5x3
7262
2)
C)xln(sendxx
)xln(cos
3) Cxxlndx xx
1x2 2
2
4) C2
)x2cos(dx)x2(sen
59
5) C5
edxe
1x51x5
6)
C3
2xdx 2xx
2322
7) C22x7x 3dx 2x7x
14x4 3 2
3 2
8) C)x(sen2
1dx
)x(sen
)xcos(23
9) C)xln(ln)xln(x
dx
10) Cx13
4dx
x
x1 23
11) C2
)x(lndx
x
)xln( 2
12) Cx253
1dx
x25
x 232
4 2
13)
Ce12dxe1
e x
x
x
14) Ce
3
1dx xcosex
33 xsen3xsen2
15)
Cx6x3
12
5dx
x6x3
2x3 543
5 3
2
60
Resolver las siguientes integrales por partes:
1)
C
3
1)xln(
3
xdx)xln(x
32
2) C)1x(edxxe xx
3) C)a(ln
a2
)aln(
a)1x2(dxa)1x2(
2
xxx
4) C)xln(sen)xln(cos2
xdx )xln(cos
5) C4
)x2cos()x2(sene
17
8dx)x2cos(e 2x2x
6) C)x(arctg2x21xlnxdx 1xln 22
7) C1x1xxlnxdx 1xxln 222
8) C)xcos()2x2()x(sen1x2xdx 3x2x 22
9) C)x(tg)xsec(ln)xcos(
xdx
)x(cos
)x(xsen2
10) C110x5e 5
2dxe 10x510x5
11) C)xcos()x(sen2
edx)x(sene
xx
12) C)aln()2ln(7
2adx2a
x7xx7x
61
13) C9x6x3xedx 3xe 23x3x
14) Cx89
x)xln(x8
3
xdx)xln(8x
332
15) C1)xln(xdx)xln(
Resolver las siguientes integrales por fracciones simples:
1) C5xln5
47xln
5
3x2dx
x5x
3x22
2
2) C2xln2
13xln
2
1x4x
3
xdx
)2x(x
1x2x 234
3) C2xln451xln9x16x33
xdx
2x3x
5x3x 23
2
34
4) C1xln7xln2dx 7x6x
5x32
5) C3xln93xln9xdx 9x
x2 2
2
3
6) C1xln2
11xln
2
1dx
1x
dx2
7) C4xln18
175xln
45
2xln
10
1dx
x20xx
2x5x23
2
8)
dx x54x15x
dx234
C18xln6804
13xln
189
1xln
972
5
x54
1
62
9)
dx)8x()1x(
x622
C8xln243
14
)8x(27
161xln
243
14
)1x(27
2
10) C5xln125
19xln
125
19
x25
19
x10
9dx
)5x(x
x2923
11)
dx
x5x
5x2x3x6x72
245
C5xln5137xlnx1028x2
205x
3
41x
4
7 234
12) C2xln4
1
)2x(2
1xln
4
1dx
x4x4x
123
13) Cbxlnba
baxln
ba
adx
)bx)(ax(
x
14)
Cbxlnba
b2axln
ba
1axln
ab
1dx
bxax
x22222
15) C2xln6)2x(
21
)2x(
10dx
)2x(
2x3x623
2
16) C4
3xln
13
1
3
1xln
13
1
)3x4)(1x3(
dx
Ejercicios de aplicaciones económicas:
1) El costo marginal a un nivel de producción de q artículos es:
5q6q2)q('C 3 y los costos fijos son $800. Encontrar la función de
costo.
63
2) La función de costo marginal de una empresa es q05,040)q('C
a) Determinar la función costo C(q), si los costos fijos de la empresa son de
$3000 por mes.
b) ¿Cuánto costará producir 150 unidades en un mes?
3) Supongamos que el ingreso marginal de un producto está dado por 2qq350)q('I . Encontrar la función de demanda (precio) para el
producto (recordar que I = p.q).
4) La función de ingreso marginal de cierta empresa es q01,04)q('I
a) Determinar la función de ingreso.
b) ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?
5) El departamento de investigación de una cadena de ferreterías ha
determinado que en una tienda el precio marginal de la venta de q cajas por
semana de un tipo particular de clavos es:
315q2
4000)q(p
Encontrar la función de demanda, sabiendo que la demanda semanal de este
tipo de clavos es de 10 cajas cuando el precio de una caja de clavos es de $4.
Respuestas:
1) 800q5q3q2
1)q(C 24
2) a) 3000q025,0q40)q(C 2
b) C(150) = 9562,5
3) 2q3
1q
2
350)q(p
4) a) I(q) = 4q – 0,005q2
b) p(q) = 4 – 0,005q
5) 49
156
)15q2(
1000)q(p
2
64
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Integrales Definidas.
Calcular el área entre las siguientes curvas y dibujar el recinto:
1) )xln(y x = e y = 0
2) y = x2 + 1 x = 1 x = –1 y = 0
3) y = e–x
x = 2 x = 0 y = 0
4) y = x2 + 2 y = e
–x x = 2 x = 0
5) y = ex y = x + 1 x = 1
6) 4xy y = –x – 4 4x5
7y
7) y = –x2 – 2 x = 1 x = –1
2
5x
2
5y
8) y = 4 x = 4 y = x2 y = 0
9) xy 2xy
10) y = –x2 + 1 y = –x
2 + 8x – 12 1x
4
3y
11) xy y = –x2 + 2
12) y = x y = x2
Respuestas:
1) 1 u2
65
2) 2u3
8
3) 1 – e–2
u2
4) 2e3
17 u2
5) 2
3e u
2
6) 2
57 u
2
7) 3
29 u
2
8) 3
32 u
2
9) 3
1 u
2
10) 4,841 u2
11) 3
7 u
2
12) 2
1 u
2
Ejercicios de aplicaciones económicas:
1) La función de costo marginal de un fabricante es C(q) = 0,6q + 2 si la
producción es de q = 80 unidades por semana. ¿Cuánto más costará
incrementar la producción a 100 unidades por semana?
66
2) La función de costo marginal de un fabricante es
40q6,0q003,0)q('C 2 si la producción es de q = 100 unidades por
semana. ¿Cuánto más costará incrementar la producción a 200 unidades por
semana?
3) La función de ingreso marginal de un fabricante es q100
1000)q(I ,
encuentre el cambio del ingreso total del fabricante si la producción aumenta
de 400 a 900 unidades.
4) La función de demanda para un producto es q5,0100p , donde p es el
precio por unidad y q la cantidad demandada. La función de oferta es
q1,010p .
a) Hacer el gráfico de ambas funciones.
b) Determinar el punto de equilibrio.
c) Determinar los excedentes de consumidores y productores.
5) Supongamos que la función de oferta de un cierto artículo está dada por
q5
7p y la función de demanda por 10q
5
3p .
a) Hacer el gráfico de ambas funciones.
b) Determinar el punto de equilibrio.
c) Determinar los excedentes de consumidores y productores.
6) Supongamos que el precio en dólares por tonelada de avena es 2qq20900p cuando la demanda es de q unidades. Además supongamos
la función q10qp 2 es el precio en dólares por tonelada cuando la oferta
es de q unidades.
a) Determinar el punto de equilibrio.
b) Determinar los excedentes de consumidores y productores.
Respuestas:
1) $1120
2) $2000
3) $2000
67
4) b) Peq = (150, 25)
c) EC= $5625 EP = $1125
5) b) Peq = (5, 7)
c) EC = $7,5 EP = $17,5
6) b) Peq = (15, 375)
c) EC = $4500 EP = $3375
68
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Funciones de Varias Variables.
Determinar y graficar el dominio de las siguientes funciones:
1) yx)y,x(fz
2) 1yx
1)y,x(fz
22
3) 2222 yx41yx)y,x(fz
4) 22
22
yx9
4yx)y,x(fz
5) 22 yx1)y,x(fz
6) yx
1)y,x(fz
2
7) 22 yx
1)y,x(fz
8) 22 yx
1)y,x(fz
9) 3xysen)y,x(fz
10) xyyx)y,x(fz
11)
x
xyln9xy)y,x(fz
22
69
12) 3xyln)y,x(fz
13)
xy
x1ln9x)y,x(fz
22
Respuestas:
1) 0y/Ry,xD 2f
2) 1yx/Ry,xD 222f
3) 4yx1/Ry,xD 222f
4) 9yx4/Ry,xD 222f
5) 1yx0/Ry,xD 222f
6) 22f xy/Ry,xD
7) 0,0y,x/Ry,xD 2f
8) yx/Ry,xD 2f
9) fD
10) 2
f RD
11) 0yx9yx/Ry,xD 222f
12) 4yx/Ry,xD 2f
13) fD =
70
Determinar y graficar las curvas de nivel de las siguientes funciones.
1) 22 yx)y,x(fz
2) 2yx)y,x(fz
3) x
y)y,x(fz
4) 22 y2x
1)y,x(fz
5) xy)y,x(fz
6) yx)y,x(fz
Respuestas:
1) Hipérbolas equiláteras con asíntotas xy
2) Rectas paralelas
3) Haz de rectas con vértice en (0,0) excepto el vértice
4) Elipses
5) Hipérbolas equiláteras asintóticas a los ejes en el 1er y 3
er cuadrante
6) Líneas poligonales de 2 lados con vértice en el eje y
Hallar las trazas de las siguientes superficies:
1) 6y3x2z
2) 20z10x5
3) 6x
4) xzy 22
71
5) 16zyx 222
6) 1xyz 22
7) xy
1z
Respuestas:
1) Traza sobre plano xy: x3
22y
Traza sobre plano yz: 6y3z
Traza sobre plano xz: 6x2z
2) Traza sobre plano xy: 4x
Traza sobre plano yz: 2z
Traza sobre plano xz: x2
12z
3) Traza sobre plano xy: 6x
Traza sobre plano yz: no tiene
Traza sobre plano xz: 6x
4) Traza sobre plano xy: y2 = x
Traza sobre plano yz: z2 = –y
2 y = z = 0
Traza sobre plano xz: z2 = x
5) Traza sobre plano xy: x2 + y
2 = 16
Traza sobre plano yz: y2 + z
2 = 16
Traza sobre plano xz: x2 + z
2 = 16
6) Traza sobre plano xy: x2 –
y
2 = 1
Traza sobre plano yz: z = y2 +1
Traza sobre plano xz: z = –x2 +1
7) Traza sobre plano xy: no tiene
Traza sobre plano yz: no tiene
Traza sobre plano xz: no tiene
72
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Derivadas de Funciones de Varias Variables.
Calcular las derivadas parciales aplicando su definición:
1) 7y3x6)y,x(fz
2) xy3x4)y,x(fz 2
3) 6y5xy)y,x(fz 22
4) 2yx6xy3)y,x(fz
5) 22 yx)y,x(fz
6) yx
y2x)y,x(fz
2
7) x
y
y
x)y,x(fz
Respuestas:
1) 6zx 3zy
2) y3x8zx x3zy
3) 2x yz y10xy2zy
4) 6y3zx y2x3zy
5) 22
x
yx
xz
22y
yx
yz
73
6) 22
2
x
yx
xy4yxz
22
2
y
yx
xx2z
7) 2x
x
y
y
1z
x
1
y
xz
2y
Aplicando la definición, hallar las derivadas parciales de las siguientes
funciones en los puntos indicados
1) 23 xyyx2)y,x(fz 2 ,1M
2) yx)y,x(fz 2 1 ,2M
3) xy)y,x(fz 1,1M
4) y
x)y,x(fz 1 ,1M
5) 3yx8)y,x(fz 2 3 ,1M
Respuestas:
1) 8zx 2zy
2) 4zx 1zy
3) 2
1zx
2
1z y
4) 1zx 1zy
5) 8zx 6zy
74
Aplicando las reglas de derivación hallar x
f
y
y
f
1) )y(senx)y,x(fz 22
2) 2yx)y,x(fz
3) 22 yxe)y,x(fz
4)
xyx
xyxln)y,x(fz
22
22
5) axy3yx)y,x(fz 33
6) yx
yx)y,x(fz
7) x
y)y,x(fz
8) 22 yx)y,x(fz
9) 22 yx
x)y,x(fz
10) 22 yxxln)y,x(fz
11)
y
axsenln)y,x(fz
12) 22 yx1yx)y,x(fz
13) 5 22 yxyx)y,x(fz
14)
yxcos
yxlnyx)y,x(fz
75
15) xytg)y,x(fz 1
Respuestas:
1) )y(xsen2z 2x )ycos()y(sen2x)y2(senxz 22
y
2) 1y2x
2
xyz )xln(y2xz2y
y
3) 22 yx
x xe2z 22 yx
y ye2z
4) 22
x
yx
2z
22y
yxy
x2z
5) ayx3z 2x axy3z 2
y
6) 2
xyx
y2z
2y
yx
x2z
7) 2x
x
yz
x
1z y
8) 22
x
yx
xz
22y
yx
yz
9)
23
22
2
x
yx
yz
23
22
y
yx
xyz
10) 22
x
yx
1z
2222y
yxxyx
yz
11)
y
axctg
y
1zx
y
axctg
yy2
axzy
12) 22x yxy2x31z
22y xxy2y31z
76
13)
5 422x
yxyx5
yx2z
5 422y
yxyx5
y2xz
14)
yxcos
yxsenyxlnyxyxcosyxln1zz
2yx
15) xysen
yz
2x
xysen
xz
2y
Determinar las derivadas parciales de primer y segundo orden de las
siguientes funciones
1) 2244 yx4yx)y,x(fz
2) y
xxy)y,x(fz
3) 2y
x)y,x(fz
4) 22 yx
x)y,x(fz
5) yxsenx)y,x(fz
6) y
xcos)y,x(fz
2
7)
y
xtg)y,x(fz
2
8) 2yxln)y,x(fz
9) 33 yxcos)y,x(fz
10) 1y1x xeye)y,x(fz
77
Respuestas:
1) 22xx
23y
23x y8x12zyx8y4zxy8x4z
22yyxy x8y12zxy16z
2) 0zy
xxz
y
1yz xx2yx
3yy2xy
y
x2z
y
11z
3) 0zy
x2z
y
1z xx3y2x
4yy3xy
y
x6z
y
2z
4) 2522
2
xx2322y2322
2
x
yx
xy3z
yx
xyz
yx
yz
2522
222
yy2522
322
xy
yx
xy3yxxz
yx
y3yxy2z
5) yxxsenyxcos2zyxcosxzyxcosxyxsenz xxyx
yxxsenzyxxsenyxcosz yyxy
6)
y
xcosx4xsen2z
y
xcosz
y
xxsen2z
222
xx2
2
y
2
x
3
2
yy2
2
xyy
xcos2z
y
xxsen2z
78
7)
y
xtg
y
xsec
y
x8
y
xsec
y
2z
y
xsec
y
xz
y
xsec
y
x2z
222
2
222
xx
22
2
2
y
22
x
y
xsec
y
x2
y
xtg
y
xsec
y
xz
y
xsec
y
x2
y
xtg
y
xsec
y
x2z
23
3
2222
2
2
yy
22
2
3222
xy
8) 22
xx2y2x
yx
1z
yx
y2z
yx
1z
22
2
yy22xy
yx
yx2z
yx
y2z
9)
33334xx
233y
233x yxxsen6yxcosx9zy3yxsenzx3yxsenz
33334yy
3322xy yxysen6yxcosy9zyxcosyx9z
10) 1xxx
1y1xy
1y1xx yezxeezeyez
1yyy
1y1xxy xezeez
Hallar z y dz para las siguientes funciones en los puntos y con los
incrementos indicados
1) 1y5x2)y,x(fz 2 ,4 2,0x 1,0y
2) 1yx)y,x(fz 22 0 ,3 2,0x 2,0y
79
3) x
y)y,x(fz 2 ,2 03,0x 02,0y
4) yxe)y,x(fz 0 ,0 02,0x 03,0y
5) xyxye)y,x(fz 4 ,2 1,0x 2,0y
6) y4x2yx)y,x(fz 22 1 ,3 1,0x 1,0y
7) 32yx)y,x(fz 1 ,1 1,0x 1,0y
8) yx
yx)y,x(fz
22
0 ,1 2,0x 1,0y
9)
y
xlny)y,x(fz 2
2 ,2 4,0x 2,0y
10) 23yx)y,x(fz 1 ,1 01,0x 01,0y
11) 22 yxyx)y,x(fz 2 ,3 02,0x 03,0y
12) )xln(y)yln(x)y,x(fz 1 ,1 01,0x 02,0y
Respuestas:
1) 9,0dz9,0z
2) 0dz3136,0z
3) 40
1dz
197
5z
4) 02,0dz0206,0e02,0z 03.0
5) 0019,0dz0026,0z
6) 1dz98,0z
80
7) 5,0dz40951,0z
8) 3,0dz3,0z
9) 2,1dz657,1z
10) 01,0dz009798,0z
11) 37,0dz3719,0z
12) 03,0dz03015,0z
Calcular la diferencial total de las siguientes funciones:
1) 7y3xyx4)y,x(fz 23
2) )x(ysen)ycos(x)y,x(fz
3) )y(senxyx)y,x(fz 22
4) xyln)y,x(fz
5) 22 yxe)y,x(fz
6) 423 yxy)y,x(fz
7) yx
)x(sen)y,x(fz
8) 1x)y,x(fz y
Respuestas:
1) dyxy23dxyx12dz 22
81
2) dy)x(sen)y(xsendx)xcos(y)ycos(dz
3) dy)ycos(xy2dxyx2dz 2
4) dyy
1dx
x
1dz
5) ydyxdxe2dz22 yx
6) dyy3xyxy4xydxyxy8dz 22323323
7)
dy
yx
)x(sendx
yx
)x(sen)xcos(yxdz
22
8) dy)xln(xdxyxdz y1y
Hallar las diferenciales de segundo orden:
1) 1xyz 34
2) xylnz
3) xyez
4) nm yxz
5) 22 yxlnz
Respuestas:
1) ydyx12dxdyyx24xdxy6zd 22332242
2) ydy
1xd
x
1zd 2
2
2
2
2
82
3) ydxdxdyxy12xdyezd 2222xy2
4) yydx1nnmnxydxdy2xdy1mmyxzd 22222n2m2
5)
222
22222
yx
xydxdy4ydxdxyzd
Derivar las siguientes funciones compuestas de una sola variable
independiente
1) )t(seny)tcos(xxeyeu yx
2) )xcos(v)xcos(uv1
u1z
3) 1tyt3xy
xsenlnu 22
4) )t(tgz)tln(y1txxyzu 2
5) )xcos(v)x(senuuz v
Respuestas:
1) )t(sen)t(cose)t(sen)tcos(eu 2)t(sen2)tcos(
2) )xcos(1
1z
3)
452
3
4 24 2
2
1t2
t3
1t
t6
1t
t3gcotu
4)
tcos
tln 1t
t
ttg 1t)t(tg)tln(t2u
2
22
83
5) )x(senln)x(sen)x(sen)x(cosz1)xcos(1)xcos(2
Derivar las siguientes funciones compuestas de varias variables
independientes
1) s2rysr3xyxu 22
2) srys3r2xyx3y2xyx3u 22
3) )t(rsen4y)tcos(r2xeu xy
4) s2r3ysrxxyxu 222
5) )cos(rz)(sen)(rseny)cos()(rsenxzyxu 222
6) 23v2u yxv)x(senuez
7) 222 yxuxy2tutz
8) y
xvxyueveuz uv
9) 2233 yxvyxuuv3vuz
10) y2xvy2xuvevuz 22u
Respuestas:
1) s6r10s
us10r16
r
u
2) 10s44r41s
u5s41r24
r
u
84
3) )t(sece2t
u0
r
u 2)t(tg2
4) 22322223 rs3rs3s2sr22s
us3rs4r9rs4r4
r
u
5) )(cos)(sen)(sen)(cos)(senr2r
u 22222
0
u
0
u
6) 2323 yx2)x(sen2yx2)x(sen ye4y
zx6)xcos(e
x
z
7) 222222y
222222x yxxy8yxx2zyxyx8yxy2z
8) xy
2
yx2
xy2
yxy
xyyxxyyx
x ey
xe
y
xe
y
xxez
y
exexeyez
9) yx3yx3yxx6yxx6z 222222x
yxy6yxy6yx3yx3z 222222y
10) y2x2y
y2x23x e2y16x2x6zexy12y2x3x4z
Derivar las siguientes funciones implícitas de x
1) 01b
y
a
x2
2
2
2
2) 1b
y
a
x2
2
2
2
3) xy yx
4) 4yxy2x 22
85
5) x)y(sen2
1y
Respuestas:
1) y
x
a
by
2
2
2) y
x
a
by
2
2
3) 1xy
1yx
xy)xln(x
yx)yln(yy
4) yx
yxy
5)
)ycos(2
11
1y
Analizar si las siguientes funciones son homogéneas y aplicar el teorema
de Euler cuando sea posible
1) zxey
x)z,y,x(f
2) 3231 yxz
3) 2yxy3z
4)
2
2
xz
yln)z,y,x(f
5) 22 xy3yx2z
86
Respuestas:
1) Homogénea de grado 0
2) No homogénea
3) Homogénea de grado 2
4) No homogénea
5) Homogénea de grado 3
Ejercicios de aplicaciones económicas:
1) Una empresa fabrica dos tipos de esquíes A y B. Suponga que la función de
costo conjunta de producir x pares de esquíes del tipo A e y pares de esquíes
del tipo B por semana es:
1000y75x65x06,0)y,x(C 2
Determinar los costos marginales cuando x = 50 e y =100. Interpretar el
resultado.
2) Determinar los costos marginales para la función 1000yxx)y,x(C
para x = 40 e y = 60
Respuestas:
1) CMargx = 71 CMargy = 75
2) CMargx = 12 CMargy = 2
87
Análisis Matemático Aplicado.
Guía de Ejercicios de Extremos de Funciones de Varias Variables.
Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones:
1) 1y2x2y5xy2x2)y,x(fz 22
2) 44 )1y()yx(25)y,x(fz
3) y12x15xy3x)y,x(fz 23
4) 5x12x16y4xy16x)y,x(fz 223
5) xyx2)y,x(fz 24
6) x3yx)y,x(fz 23
7) y
48
x
48yx)y,x(fz 33
8) 22yx yxe)y,x(fz
9) y
2
x
4xy)y,x(fz
10) x2y3y4)y,x(fz 24
11) 110y128x36y32x18)y,x(fz 22
Respuestas:
1) Min en P =
0 ,
3
1 ,
3
2
88
2) Min en P = (1, 1, 25)
3) Min en P1 = (2, 1, –28); Max en P2 = (–2, –1, 28)
PS en P3 = (1, 2, –26); PS en P4 = (–1, –2, 26)
4) Min en P1 = (2, 4, –11); PS en P2 = (–2, –4, 21)
5) Min en P =
8
3 ,0 ,
2
1
6) Min en P1 = (1, 0, –2); PS en P2 = (–1, 0, 2)
7) Min en P1 = (2, 2, 64); PS en P2 = (2, –2, 0)
PS en P3 = (–2, 2, 0); Max en P4 = (–2, –2, –64)
8) Min en P1 = (0, 0, 0); PS en P2 = 2e2 ,1 ,1
9) Min en P =(2, 1, 6)
10) No puntos críticos
11) Min en P= (1, 2, –256)
Hallar los extremos condicionados de las siguientes funciones:
1) 3y4x3)y,x(fz sujeto a: 026y)1x()y,x(g 22
2) 22 yx25)y,x(fz sujeto a: 0y4yx)y,x(g 22
3) 5y2x4)y,x(fz 22 sujeto a: 0y2yx)y,x(g 22
4) yx)y,x(fz 2 sujeto a: 09yx)y,x(g 22
5) yx)y,x(fz 2 sujeto a: 024y8x)y,x(g 22
6) yx)y,x(fz sujeto a: 01yx)y,x(g 22
89
7) 22 yx)y,x(fz sujeto a: 01yx)y,x(g 22
8) 2y1
x)y,x(fz
sujeto a: 01yx)y,x(g 22
9) xyy3x)y,x(fz sujeto a: 06yx)y,x(g
Respuestas:
1) MinCond en P1 = (–2, –4, –25); MaxCond en P2 = (4, 4, 25)
2) MaxCond en P1 = (0, 0, 25); MinxCond en P2 = (0, 4, 9)
3) MaxCond en P = 0, 2, 13)
4) MaxCond en P1 =
4
37 ,
2
1 ,
2
35; MaxCond en P2 =
4
37 ,
2
1 ,
2
35
MinCond en P3 = (0, 0, 3); MinCond en P4 = (0, –3, –3)
5) MaxCond en P1 = (4, 1, 18); MinCond en P2 = (4, –1, –16)
MaxCond en P3 = (–4, 1, 16); MinCond en P4 = (–4, –1, –16)
MaxCond en P5 = 0 ,3 ,0 ; MinCond en P6 = 0 ,3 ,0
6) MaxCond en P1 =
2,
2
2,
2
2; MinCond en P2 =
2,
2
2,
2
2
7) MaxCond en P1 = (1, 0, 1); MinCond en P2 = (–1, 0, 1)
MinCond en P3 = (0, 1, –1); MinCond en P4 = (0, –1, –1)
8) MaxCond en P1 = (1, 0, 1); MinCond en P2 = (–1, 0, –1)
9) MaxCond en P = (5, 1, 7)
90
Ejercicios de aplicaciones económicas (extremos libres):
1) Supongamos que la ganancia de cierta compañía esta aproximada por 22 yy80xx241000)y,x(G , donde x es el costo de una unidad de
trabajo e y es el costo de una unidad de bienes. Encontrar los valores de x e y
que maximicen la ganancia. Calcular la ganancia máxima.
2) Una empresa está desarrollando un nuevo refresco. El costo en U$S de
producir un lote de refresco está dado por 23 y8xy72x272200)y,x(C
donde x es el número de kg de azúcar e y es el número de gramos de
saborizante por lote.
Encontrar las cantidades de saborizante y azúcar que conducen a un costo
mínimo por lote. ¿Cuál es ese costo mínimo?
3) El ingreso mensual en cientos de dólares por la producción de x miles de
toneladas de minerales de hierro grado A e y miles de toneladas de minerales
de hierro grado B está dado por 12y2xy2)y,x(P .
El correspondiente costo en dólares está dado por 22 yx2)y,x(C .
Encontrar la cantidad de cada grado de mineral que producirá la ganancia
máxima. Calcular la ganancia máxima.
4) Un monopolista vende 2 productos A y B los cuales tienen precios unitarios
BA pyp respectivamente y cuyas demandas están dadas por las leyes
PA = 12 – qA y PB = 20 – 3qB. La función costo es C = 3 + 2qA + 2qB .
Obtener las cantidades y precios que maximicen la ganancia, y calcular esa
ganancia máxima.
Respuestas:
1) (x, y, G) = (12, 40, 2744)
2) (x, y, C) = (4, 18, 1336)
3) (x, y, G) = (1, 2, 14)
4) (qA, qB) = (5, 3) (pA, pB) = (7, 11) G = 49
91
Ejercicios de aplicaciones económicas (extremos condicionados):
1) La función de producción de una empresa es 22 y2xy20x12)y,x(f
El costo para la compañía es de $4 y $8 cada unidad de x e y respectivamente.
Si la empresa desea que el costo total de insumos sea $88, calcular la máxima
producción posible sujeta a esta restricción presupuestaria.
2) La función de costo total de una empresa es 22 y12xyx8)y,x(C ,
donde x e y son las cantidades producidas de dos artículos. Determinar los
valores críticos para minimizar los costos si la empresa está obligada por
contrato a producir un total de 42 artículos.
3) Supongamos que las leyes de demanda de dos bienes A y B cumplen las
condiciones BABBAA pp3100Dp2p300D
Si además, la demanda total tiene la restricción 5000D2D4 BA , obtener
las cantidades y los precios que corresponden al ingreso total máximo.
Respuestas:
1) (x, y, f) = (8, 7, 74)
2) (x, y, C) = (25, 17, 8043)
3) (qA, qB) = (400, 1700) (pA, pB, I) = (660, 380, 550000)