NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
55
CAPÍTULO IV
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA
4.1 INTRODUCCIÓN
Los números Complejos constituyen el mínimo conjunto C, en el que se
puede resolver la ecuación ax2 donde Ra . Un número complejo se
escribirá como:
biaba ),(
Donde
1;1 2ii
4.2 ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
idcbadicbia
dbcadcba
)()()()(
),(),(),(
ibdadbdacbdibciadiacdicbia
bcadbdacdcba
)()()())((
),(),)(,(
2
4.3 SUSTRACCIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sean z, w dos números complejos
1
)(
wzw
z
wzwz
Donde
Si yixw entonces iyx
y
yx
xw
2222
1
Denominado simétrico multiplicativo
4.4 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Los números reales son un subconjunto propio de los números
complejos.
ÁLGEBRA I
56
Los complejos de la forma (a,b) en los cuales b ≠ 0 se denominan
números imaginarios y si a = 0 se trata de un número imaginario
puro.
El complejo conjugado de ),(,),( babazesbaz ,
todo número real es su propio conjugado, mientras que el
conjugado de un imaginario puro es su opuesto.
La suma y el producto de dos complejos conjugados es un número
real.
El cuadrado de todo número imaginario puro es un número real
negativo.
Ejemplo 1 . Si iviwiz 241;32 hallar:
a) wz
iiii 3)43(12)41()32(
b) wz
iii
iiii
514)41)(32(
)38()122())1(3)4(2()4(312()41)(32(
c) zz
13)66()94()32)(32( iii
e) ww
2)41()41( ii
d) 2vvv
44)2)(2( 2iii
e) w
z
i
iii
iiwzw
z
17
11
17
10
17
3
17
8
17
12
17
2
17
4
17
1)32(
41
4
41
1)32(
2222
1
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
57
4.5 REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
Si establecemos un sistema de ejes cartesianos en el cual el eje y sirve para
representar la parte imaginaria del número complejo, tenemos:
Conocida como la forma trigonométrica o forma polar de un número
complejo, donde r se conoce como el módulo de z y Ө como el
argumento.
4.6 TEOREMA
El valor absoluto del producto de dos números complejos es el producto
de sus valores absolutos y el ángulo del producto es la suma de sus
ángulos.
Demostración: Sea
1 1 1 1
2 2 2 2
cos sin
cos sin
z r i
z r i
1 2 1 1 1 2 2 2
21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
cos sin cos sin
cos cos sin sin sin cos cos sin
z z r i r i
z z r r i i
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(cos cos sin sin ) (sin cos cos sin )z z r r i
1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sin(z z r r i
4.7 TEOREMA
El valor absoluto del cociente de dos números complejos es el cociente
P(x+yi)
r
y
r
x
θ 2 2
cos
sin
(cos sin )
z x iy
x r
y r
z r i
r x y z
ÁLGEBRA I
58
de sus valores absolutos y el ángulo del cociente es el ángulo del
numerador menos el ángulo del denominador.
Demostración: Sea
1 1 1 1
2 2 2 2
cos sin
cos sin
z r i
z r i
1 1 1 2 21
2 2 2 2 2 2
cos sin cos sin
cos sin cos sin
r i iz
z r i i
1 1 2 1 2 1 2 1 21
2 22 2 2 2
cos cos sin sin ) (sin cos cos sin
cos sin
r iz
z r
1 11 2 1 2
2 2
cos( ) sin( )z r
iz r
Ejemplo 2
Si 4
3sin
4
3cos4;
4sin
4cos2 21 iziz Hallar
a) 21 zz
1 2
3 32 cos sin 4 cos sin
4 4 4 4z z i i
1 2
1 2
3 38 cos sin 8(cos sin )
4 4 4 4
8
z z i i
z z
b) 1
2
z
z
1
2
2 cos sin1 3 34 4
cos sin3 3 2 4 4 4 4
4 cos sin4 4
iz
iz
i
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
59
1
2
1cos sin
2 2 2 2
z ii
z
4.8 FÓRMULA DE EULER
La exponencial compleja
cos sinie i
Con Ө Є R es la fórmula de Euler.
Si
(cos sin ) iz x iy r i re
La potencia enésima será:
( ) (cos sin )
(cos sin )
n n n n n in
n n n
z x iy r i r e
z r i
Que se conoce como el Teorema De Moivre
Ejemplo 3
Calcular 6
1 3i
Solución
2 31 3 2 ; arctan 60º 300º
1r
Por el teorema De Moivre
6 6 6(cos6 sin6 ) 2 cos1800º sin1800ºz r i i
6 64 cos0º sin0º 64z i
6
1 3 64i
ÁLGEBRA I
60
4.9 RAÍCES1
Para cualquier entero positivo n se tiene:
(cos sin ) (cos sin )n nr i r n i n
La ecuación (cos sin )nz A i
Donde n es un entero positivo y A es cualquier número complejo, tiene
exactamente n raíces, si (cos sin )z r i es una de ellas se tiene
(cos sin ) (cos sin )nr n i n i
Donde 1
22
n nr r
kn k
n n
El número de raíces distintas es el de los ángulos del conjunto
2k
n n
que no terminan en el mismo lado. Para cualquier entero positivo
; 0k nq m m n
Es evidente que
2 2k my
n n n n
Tienen lados terminales coincidentes. Por tanto hay n raíces distintas dadas
por
1 2 2cos sin ; 0,1,2,3,......, 1n
k ki k n
n n n n
Estas n raíces son coordenadas de n puntos equidistantes sobre un círculo
de centro en el origen y radio n A . Si entonces (cos sin )nz A i
es cualquiera de las raíces enésimas de A, las otras raíces se obtendrán
sucesivamente aumentando el ángulo en 2n
y reduciendo módulo 2π
cuando quiera que el ángulo sea mayor a 2π.
1 AYRES FRANK, Álgebra Moderna. Edit McGraw-Hill (Colección Schaum) 1969.Pag. 77
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
61
Las n raíces enésimas de la unidad son
2 3 4 12 2cos sin ; , , , ,......, , 1n ni
n n
Ejemplo 4
Hallar las raíces cuartas de 1 3z i
Observe que el módulo y el argumento de este ejemplo ya fueron hallados
en el ejemplo anterior y son:
2 31 3 2 ; arctan 60º 300º
1r
La expresión que nos permite hallar la raíz enésima es
360º 360ºcos sinn n k k
z r in n
Para el ejercicio planteado tendremos:
4 4 300º 360º 300º 360º2 cos sin
4 4
k kz i
4 4
00 2 cos 75º sin 75º 2(0.259 0.966)k w i i
4 4
11 2 cos 115º sin 115º 2( 0.966 0.259)k w i i
4 4
22 2 cos 255º sin 255º 2( 0.259 0.969)k w i i
4 4
33 2 cos 345º sin 345º 2(0.969 0.259)k w i i
Si los valores de k se tomasen a partir del uno la última raíz coincidiría con
la hallada en primer término para k = 0 , es decir, w0 = w4
4 4
44 2 cos 75º sin 75º 2(0.259 0.969)k w i i
En el plano complejo se puede representar gráficamente:
ÁLGEBRA I
62
Ejemplo 5
Encuentre las raíces cúbicas de la unidad
Sean w1 , w2 , w3 las raíces buscadas, entonces:
1
2 2 1 3cos sin
3 3 2 2w i i
2
2
4 4 1 3cos sin
3 3 2 2w i i
3
3
6 6cos sin cos 2 sin 2 1
3 3w i i
4.10 RAÍCES PRIMITIVAS DE LA UNIDAD
Una raíz enésima z de 1 se dice primitiva si, y sólo si,
1 0nz con m n
Es decir, una raíz se considera primitiva si, multiplicada por si misma un
número menor de veces que el grado de la raíz no reproduce la unidad.
Ejemplo 6
Determine cuáles de las raíces cúbicas de la unidad son primitivas
75º
w0=w4
w1
w2
w3
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
63
1 1
1 3 1 3 1 3 3 3
2 2 2 2 4 4 4 4w w i i i i
1 1
2 2 3 1 31
4 4 2 2w w i i
Podemos observar que la raíz w1 es una raíz primitiva
2 2
1 3 1 3 1 3 3 3
2 2 2 2 4 4 4 4w w i i i i
2 2
2 2 3 1 31
4 4 2 2w w i i
La raíz w2 es también una raíz primitiva de la unidad.
4.11 SUMATORIA
Es el símbolo que se utiliza para abreviar una suma que sigue una ley de
formación, por ejemplo, la suma de los números naturales
1 2 3 4 5 ............... n
Se puede abreviar como
1
n
i
i
Que se lee como, sumatoria de los i que varían desde 1 hasta n
4.11.1 PROPIEDADES
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
a b a b
1 1
n n
i i
i i
aa a a donde .a cte
Ejemplo 7 6
1
2 2 4 6 8 10 12i
i
3 3 3 3 3
1
1 2 3 .........n
i
i n
ÁLGEBRA I
64
Ejemplo 8 1 2 3( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
.....1 2 3
i nn
i i n
Ejemplo 9
Hallar la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales
2 2 2 2 2 2
1
1 2 3 4 .......n
i
i n
El cubo de un binomio viene dado por:
3 3 2
3 3 2
( 1) 3 3 1
( 1) 3 3 1
x x x x
x x x x
Por tanto: 3 3 2( 1) 3 3 1x n n n n n
3 3 21 ( 1) ( 2) 3( 1) 3( 1) 1x n n n n n
3 3 22 ( 2) ( 3) 3( 2) 3( 2) 1x n n n n n
…………………………………………………….. 3 3 22 2 (1) 3(2) 3(2) 1x
3 3 21 1 (0) 3(1) 3(1) 1x
Sumando todas estas ecuaciones vemos que los segundos términos de cada
ecuación del primer miembro se cancelan, mientras que en el segundo
miembro aparecen: las sumatoria de los cuadrados menos la sumatoria de
los naturales mas n veces uno, por tanto:
3 2
1 1 1
3 3 1n n n
i i i
n i i
La sumatoria de los números naturales es la suma de una progresión
aritmética conocida, por tanto:
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
65
3 2
1
( 1)3 3
2
n
i
n nn i n
2 3 2
1
( 1) ( 1)3 3 ( 1) 3
2 2
n
i
n n n ni n n n n
2
1
( 1) 33 ( 1)( 1) 3 ( 1) ( 1)
2 2
n
i
n n ni n n n n n n
4.12 PRODUCTORIO
Denota el producto de n términos de una sucesión
1 2 3 4
1
.......n
i n
i
a a a a a a
Y goza de la siguiente propiedad
1 1
log log 0n n
i i i
i i
a a a
4.13 INDUCCIÓN MATEMÁTICA
El principio reinducción matemática proporciona un método de
demostración por recurrencia de varias aplicaciones en matemática
“Este principio afirma el poder razonar por recurrencia. Compendia casi
todo el pensamiento matemático, todo lo que hacemos cuando construimos
agregados complejos a partir de elementos simples. Es como lo destacó
Poincaré „ a la vez necesario al matemático e irreductible a la lógica‟. El
enunciado del principio es: „Si una propiedad es verdadera para el número
uno y si demostramos que es verdadera para n+1, considerando que lo es
ÁLGEBRA I
66
también para n, entonces será verdadera para todos los números naturales‟.
La inducción matemática no deriva de la experiencia, sino que mas bien
constituye una propiedad de la mente, intuitiva, inherente y casi
instintiva:‟lo que hemos hecho una vez, lo podremos hacer nuevamente‟.”2
Hipótesis
La proposición se cumple para n=1
Por tanto se cumple para n=h
Tesis
Debe demostrarse que se cumple para n=h+1
La demostración consiste en tomar la fórmula que es válida para n = h,
añadir un termino más a esta fórmula y demostrar que es igual a la fórmula
con n = h + 1
Ejemplo 10 Demostrar por inducción
1
22
2 2
n
i ni
i n
Verificamos la fórmula para n = 1
1 1
1 1 2 32 2
2 2 2
1 1
2 2
Suponemos que la fórmula es verdadera para n = h
1 2
1 2 2...... 2
2 2 2 2h h
h h
Debemos demostrar que se cumple para n = h + 1
1 2 1 1
1 2 1 3...... 2
2 2 2 2h h
h h
Hay que demostrar que:
1 1
2 1 32 2
2 2 2h h h
h h h
2 Kasner Edgard y Newman James, LAS MATEMÁTICAS Y LA IMAGINACIÓN Edit. UNAM
1967, 2008 Pag. 27
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
67
1 1
2( 2) ( 1) 32 2
2 2h h
h h h
1 1
1 1
2 4 1 32 2
2 2
3 32 2
2 2
h h
h h
h h h
h h lqqd.
Ejemplo 11 Demostrar por inducción
2
1
( 1)(2 1)
6
n
i
n n ni
Verificamos para n = 1
1(1 1)(2 1) 61 1
6 6
Suponemos verdadera para n = h
2
1
( 1)(2 1)
6
h
i
h h hi
Demostramos para n = h + 1 1
2
1
( 1)( 2)(2( 1) 1)
6
h
i
h h hi
Hay que demostrar que:
2( 1)(2 1) ( 1)( 2)(2( 1) 1)( 1)
6 6
h h h h h hh
2( 1)(2 1) 6( 1) ( 1)( 2)(2( 1) 1)
6 6
h h h h h h h
( 1) (2 1) 6( 1) ( 1)( 2)(2( 1) 1)
6 6
h h h h h h h
2( 1) 2 7 6 ( 1)( 2)(2( 1) 1)
6 6
h h h h h h
ÁLGEBRA I
68
( 1)( 2)(2 3) ( 1)( 2)(2 3)
6 6
h h h h h h
Ejemplo 12 Demostrar por inducción
1
33 (3 1)
2
ni n
i
Verificamos para n = 1
13 33 (3 1) 2 3
2 2
Suponemos que la fórmula se verifica para n = h
1
33 (3 1)
2
hi h
i
Para n = h + 1 se tiene: 1
1
1
33 (3 1)
2
hi h
i
Debe demostrarse que:
1 13 3(3 1) 3 (3 1)
2 2
h h h
11 13 3 3
3 (3 1)2 2 2
hh h
1 11 3 33 1 (3 1)
2 2 2
h h
1 13 3 33 (3 1)
2 2 2
h h
1 13 3(3 1) (3 1)
2 2
h h
Ejemplo 13
Demostrar que:3
11 3
n
n nn
Verificamos para n=3
3 Rojo Armando, ÁLGEBRA I, Edit. El Ateneo 1975 Pag. 174
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
69
3
3
13 1
3
43
3
3 2,37
Suponemos que la fórmula es correcta para n = h
11
h
hh
Debemos demostrar que se cumple para h+1
1
11 1
1
h
hh
Demostración 1
1 1 11 1 1 ( )
1 1 1
h h
ah h h
Es evidente que:
1 1
1h h
Sumando 1 a ambos miembros se tiene:
1 11 1
1h h
Elevando a la potencia h
1 11 1
1
h h
h h
1 1 1 11 1 1 1 ( )
1 1 1
h h
bh h h h
ÁLGEBRA I
70
Igualando las ecuaciones (a) y (b) se tiene: 1
1 1 11 1 1
1 1
h h
h h h
Y como
11
h
hh
Multiplicando miembro a miembro estas dos últimas desigualdades se tiene: 1
1 1 1 11 1 1 1
1 1
h h h
hh h h h
11 1
1 11 1
h
hh h
11
1 ( )1 1
hh
h ch h
Como
1 1 1 ( )1 1
h hh h h h d
h h
Por transitividad de (c) y (d) se obtiene:
1
11 1
1 1
hh
h hh h
1
11 1
1
h
h lqqdh