El núcleo y sus radiaciones
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Momento cuadrupolar eléctrico
Si el promedio temporal de la distribución de carga dentro del núcleo se
desvía de la simetría esférica, entonces los núcleos poseerán momentos
multipolares eléctricos finitos.
Estos momentos multipolares contribuyen a la energía electrostática del
estado electrónico del átomo.
Efectos medibles en la estructura hiperfina de espectros atómicos y
moleculares pueden ser atribuidos a momentos nucleares cuadrupolares
eléctricos.
Momento multipolares clásicos de cargas puntales
q
q
q q qq
q
a
a
abb
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Desarrollo multipolar de una distribución de carga
0
'r r
''
)'(
4
1)(
0
dVrr
rr
Momento cuadrupolar eléctrico
')'('')'(
1
4
1)(
3
0
dVrxr
xdVr
rr i
i
i
...')'()3(
''
6
1 2
5,
dVrrxxr
xxijji
ji
ji
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''
6
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''
6
1
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,
2
5,
dVrxxxxr
xxdVrrxx
r
xxijkl
lk
klji
ji
ji
ijji
ji
ji
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1
6
1
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,
dVrxxxxxxxxr
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lk
kljiji
ji
')'()''''3(
6
1
,5
,
dVrxxxxr
xxijklkl
lk
ji
ji
ji
')'()'''3(
6
1 2
5,
dVrrxxr
xxijji
ji
ji
Momento cuadrupolar eléctrico
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...
6
1.
4
1)(
,53
0
ij
ji
jiQ
r
xx
r
rp
r
qr
dVrrxxQ ijjiij )'()3( 2
Momento cuadrupolar eléctrico
Una distribución de carga sin simetría esférica posee momentos
multipolares adicionales al momento monopolar.
Una única carga, cuando no está localizada en el origen de coordenadas,
también posee momentos multipolares.
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)1()()( dVrVrW
ji ji
ji
ii
ixx
Vxx
x
VxVrV
,0
2
0
)2(...2
1)0()(
Momento cuadrupolar eléctrico
Energía de interacción entre una distribución de carga y un potencial
externo
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)3(6
1
6
1
0
2
22
0
2
,
2
iiji
ij
ji x
Vr
xx
Vr
)5(
0
2
0
ji
ij
i
i
xx
VV
x
VV
i jiji
ijjiiii
ixx
Vrxx
x
Vr
x
VxVrV )4(...)3(
6
1
6
1)0()(
0
2
,
2
0
2
22
0
Momento cuadrupolar eléctrico
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)7()3)(( 2 dVrxxrQ ijjiij
)6...()3()(6
1
)(6
1)()0()(
2
,
2
dVrxxrV
dVrrVdVrxVdVVrW
ijji
ji
ij
i
iii
i
i
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)8()( k
k
op rrerr
)9()3)(( 2 dVrxxrQ ijji
opop
ij
)10()()()( kk rfrrrf
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)11()3( 2
ij
k
kjkik
op
ij rxxeQ
ji
op
ijijQ V,
(12)6
1QH
teorema de Wigner -Eckart :
)13(,',)(,,,',)((,, mIQmICmIrQmI op
ij
op
ij I
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Para encontrar la constante C utilizamos m=m’=I, i=j=z
Definimos la parte izquierda de la ecuación (14) como eQ, entonces la
constante constante C es
)15()12(
II
eQC
)14(,',)(2
3,,,',,, 2 mImICmIQmI ijijji
op
ij IIIII
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ji
ijijjiijQII
eQV
,
2 )16()(2
3
)12(6
1IIIII
)()z
(zz
Vy
(yy
V)x
(xx
V)II(
eQ
Q17223)223223
126IIIIIIH
Y Utilizando la ecuación de Laplace
0
,
ij
ji
ijV
)18())(()3()12(4
2222
yxyyxxzzzQ VVVII
eQIIIIH
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)20(
zz
xxyy
V
VV
)21()()3()12(4
2222
yxzZZ
QII
eQVIIIIH
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Consideremos la componente Qzz del tensor:
dVrrzQzz )()3( 22
Vemos que si 0 )()( zzQrr
Igual para una distribución de carga positiva ρ(x,y,z) =cte. con simetría
cúbica.
z 0zzQz 0Q z
0Q
Distribución prolada Distribución oblada
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Momento cuadrupolar Q
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Momento cuadrupolar nuclear
Q tiene una definición distinta de la definición clásica. No se calcula
respecto del eje de simetría, sino respecto del eje donde es máxima la
proyección de I ( mI =I )
La densidad de carga se reemplaza por la probabilidad de que haya un
protón en el punto de coordenadas zyx ,,2
),,(),,( zyxezyx
La integral sobre la densidad de carga se divide por la carga del protón.
dVrze
Q )3(1 22 (promedio temporal)
Las unidades de Q son las de área. Se utiliza la unidad “barn”:
224101 cmbarn
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dVre
Q )1cos3(1 2
Relaciones entre Q, mI e I
z
IImI
La evaluación del momento cuadrupolar en el estado
cuántico mI = I es coherente con las definiciones
convencionales del momento magnético μ y del
momento mecánico I.
En el caso de Q, las componentes efectivas para otros
valores de m, no siguen una simple “ley de cosenos” como
lo hacen para μ e I.
)1(cos
II
m Q
II
IImQmQ
I
m
)12(
)1(3
1cos3
1cos3)(
2
2
2
0Q
Se puede demostrar que:
1Iobservable si y solo si
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Significado de los datos experimentales
de momentos cuadrupolares
Los vectores medidos de Q caen en el rango de 10-26 a 10-24 cm2, que son del
orden del cuadrado del diámetro nuclear.
Tales momentos son producidos por uno o algunos protones a distancias
del orden del radio nuclear.
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Elipticidad de la distribución de carga
Asumiendo un modelo de “densidad constante” de los núcleos, para la
distribución de carga y masa, el hecho de que los núcleos tengan valores
finitos de Q significa que la distribución de carga es ligeramente elipsodial.
Consideramos un núcleo elipsodial z
a
b
Límite clásico
II baV 2
3
4
ba
Ze24
3
dVrz
eQQ zz )3( 22
)(5
2 22 abZ
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Para núcleos reales a ≈ b, así que definimos
2
baR
ab
ab
R
ab
2
: radio nuclear
: elipticidad
2
5
4ZRQ
Número de protones
requeridos para producir el
valor Q observado
Momento cuadrupolar nuclear
Para I =0, I =1/2, η =0
Para I ≥ 1, η es una fracción muy pequeña. Es una buena aproximación
suponer que los núcleos son esféricos.
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Estructura de capas de los núcleos
La variación sistemática de Q y η con Z muestra que Q tiene mínimos
absolutos cerca de Z =50 y 82.
Veamos como funciona el modelo “carozo + partícula única”
Un carozo con Z par, que tendría I =0 y μ =0, no puede esperarse
que, en general, cancele su momento cuadrupolar. Solo especiales
valores pares de Z, contendrían protones en todos los posibles
estados mj y tendrían simetría esférica y Q =0. Este es el caso de las
“capas cerradas” correspondientes a los números mágicos 2, 8, 20,
28, 40, 50, 82.
Para Z impar, N par, tal que Z corresponde a una capa cerrada más
un protón, debemos esperar una distribución de carga oblada, tipo
lenteja y Q <0.
Si el Z impar corresponde a un protón menos que las de la capa
cerrada, este hueco en la capa se comporta como una carga negativa
y Q >0.
Ver por ejemplo: In115
49 Sb121
51y
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Para núcleos con Z par, N impar, se observa una variación
sistemática similar al caso Z impar, N par. Esto sugiere que las
fuertes fuerzas atractivas entre protones y neutrones son tales que la
distorsión en la distribución de los neutrones produce una distorsión
similar en la distribución de protones.
En conclusión:
• Z impar, N par Q depende primariamente del número
de protones.
Q >0 antes del llenado de una capa de
protones.
Q <0 inmediatamente después.
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• Z par, N impar La magnitud de Q depende del número
de protones, pero el signo depende del
número N, como si los neutrones
tuvieran carga positiva.
• Z impar, N impar Depende de cómo se acoplan los espines
del protón y neutrón impares. Si son
paralelos, Q tiene magnitud y signo
comparable a un similar nucleído Z
impar, N par.
(10B, 14N, 176Lu).
De otra manera Q es considerablemente
reducido.
(6Li, 36Cl)
• Para Z par, N par, I =0 y Q =0
Estructura de capas de los núcleos