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Barranquilla, 5 de octubre de 2015
UNIVERSIDAD DEL NORTE
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICAS
ECUACIONES DIFERENCIALES - TALLER 10
EJERCICIOS
Ejemplo 1
Resolver utilizando el método de coeficientes indeterminados la EDO
y ′′ − 4y ′ − 5y = 5x3(4− 4x− x2)
Solución
Paso I: Resolver la ecuación homogénea asociada:
La ecuación característica esr2 − 4r − 5 = 0
cuya raices son r = ±4 ı̇ entonces
yc = c1e5x + c2e−x
Paso II: Determinar la función de prueba para yp
Se observa que g(x) = 5x3(4− 4x− x2) /∈ S0, por lo tanto una adecuada forma de yp es
yp = Ax5 + Bx4 + Cx3 +Dx2 + Ex + F
Paso III: Determinar los coeficientes indeterminados
Derivando yp se tiene que
yp = Ax5 + Bx4 + Cx3 +Dx2 + Ex+ F
y ′p = 5Ax4 + 4Bx3 + 3Cx2 + 2Dx+ E
y ′′p = 20Ax3 + 12Bx2 + 6Cx + 2D
reemplazando en la ecuación y simplificando el lado izquierdo se tiene que
y ′′ − 4y ′ − 5y = 5x3(4− 4x − x2)
− 5Ax5 + (−20A − 5B) x4 + (−16B + 20A − 5C) x3
(−12C − 5D + 12B) x2 + (6C − 5E − 8D) x− 4E − 5 F + 2D
= 20x3 − 20x4 − 5x5
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Igualando los coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones
−5A = 5 −20A − 5B = −20
−16B + 20A − 5C = 20 −12C − 5D + 12B = 0
6C − 5E − 8D = 0 −4E− 5 F + 2D = 0
al resolver el sistema se tiene que
A = 1, B = C = D = E = F = 0
Por lo anterior, la solución general toma la forma
y(x) = yc(x)+ yp(x) = c1e5 x + c2e−x + x5
Ejemplo 2
Resolver utilizando el método de coeficientes indeterminados la EDO
y ′′ + 16y = e3x
Solución
Paso I: Resolver la ecuación homogénea asociada:
La ecuación característica esr2 + 16 = 0
cuya raices son r = ±4 ı̇ entonces
yc = c1 cos (4 x) + c2 sin (4 x)
Paso II: Determinar la función de prueba para yp
Se observa que g(x) = e3x /∈ S0, por lo tanto una adecuada forma de yp es
yp = Ae3x
Paso III: Determinar los coeficientes indeterminados
Derivando yp se tiene que yp = Ae3x, y ′p = 3Ae3x, y ′′
p = 9Ae3x. Reemplazando en la ecua-ción y simplificando el lado izquierdo se tiene que
y ′′ + 16y = e3x
9Ae3x + 16Ae3x = e3x
25Ae3x = e3x ⇒ A =1
25
Por lo anterior, la solución general toma la forma
y(x) = yc(x)+ yp(x) = c1 cos (4 x) + c2 sin (4 x)+1
25e3x
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Ejemplo 3
Resolver utilizando el método de coeficientes indeterminados la EDO
y ′′ − 4y ′ + 4y = 6e2x
Solución
Paso I: Resolver la ecuación homogénea asociada:
La ecuación característica esr2 − 4r + 4 = 0
cuya raíz es r = 2 con multiplicidad 2 entonces
yc = c1e2x + c2xe
2x
Paso II: Determinar la función de prueba para yp
Puesto que g(x) = 6e2x ∈ S0, es decir g(x) es solución de la EDO homogénea asociada (to-mando c1 = 6 y c2 = 0, la posible función de prueba yp = Ae2x no resulta ser convenientepara aplicar el método. Se propone como función de prueba la resultante de aumentar ungrado (al factor polinómico) esto es yp = Axe2x, la cual resulta ser también solución de lahomogénea (con c1 = 0 y c2 = A). Se propone entonces aumentar un grado adicional (alfactor polinómico), tomando la forma
yp = Ax2e2x
Paso III: Determinar los coeficientes indeterminados
Derivando yp se tiene que
yp = Ax2e2x
y ′p = 2 x (x+ 1) e2xA
y ′′p = 2
(
2 x2 + 4 x+ 1)
e2xA
reemplazando en la ecuación y simplificando el lado izquierdo se tiene que
2Ae2x = 6e2x ⇒ A = 3
Por lo anterior, la solución general toma la forma
y(x) = yc(x)+ yp(x) = c1e2x + c2xe
2x + 3x2e2x
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Ejemplo 4
Resolver utilizando el método de coeficientes indeterminados la EDO
y ′′ − 4y ′ + 13y = e2x sin2 3
2x
Solución
Paso I: Resolver la ecuación homogénea asociada:
La ecuación característica esr2 − 4r + 13 = 0
cuya raices es r1,2 = 2± 3ı̇ entonces
yc = c1e2x cos 3x + c2e
2x sin 3x
Recordar
sin2 θ =1− cos 2θ
2Paso II: Determinar la función de prueba para yp
Puesto que
g(x) = e2x sin2 3
2x =
e2x
2−
1
2e2x cos 3x.
Se observa que el primer término no esta en S0, mientras que el segundo término de g(x) essolución de la EDO homogénea asociada (tomando c1 = −1
2 y c2 = 0), en este caso aumenta-remos un grado (al término polinómico) a la expresión asociada al mismo. Por tal razón, unaposible función de prueba es de la forma
yp = Ae2x + Bxe2x · cos 3x+ Cxe2x · sin 3x
Paso III: Determinar los coeficientes indeterminados
Derivando yp se tiene que
yp = Ae2x + Bxe2x · cos 3x +Cxe2x · sin 3x
y ′p = (2Bx+ B+ 3Cx) e2x cos 3 x + (2Cx − 3Bx+ C) e2x sin 3 x + 2Ae2x
y ′′p = (4B+ 6C − 5Bx+ 12Cx) e2x cos 3x + (4C − 6B− 5Cx− 12Bx) e2x sin 3x+ 4Ae2x
reemplazando en la ecuación y simplificando el lado izquierdo obtenemos
y ′′ − 4y ′ + 13y =e2x
2−
1
2e2x cos 3x
9Ae2x − 6Be2x sin (3 x) + 6Ce2x cos (3 x) =e2x
2−
1
2e2x cos 3x
igualando coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones
9A =1
2− 6B = 0 6C = −
1
2
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es decirA =
1
18B = 0 C = −
1
12
Por lo cual, la solución general toma la forma
y(x) = yc(x)+ yp(x) = c1e2x cos 3x + c2e
2x sin 3x +1
18e2x −
1
12xe2x
· sin 3x
Grupo de ejercicios E1
Resolver las EDO lineales no homogéneas utilizando el método de coeficientes indeterminados
1. y ′′ + 16y = e3x
2. 4y ′′ − 12y ′ + 9y = 6e3x/2
3. y ′′ + 8y ′ + 16y = 10e−4x
4. y ′′ + 2y ′ + 2y = 2(x + 1)2
5. y(4) − 2y ′′ + y = x2 − 5
6. y(4) − y(3) + y ′′ = 12x2 − 24x + e−x
7. y ′′ − y ′ − 6y = 2 sin 3x
8. y ′′ + 9y = 2 cos 3x + 3 sin 3x
9. y ′′ + 4y ′ + 5y = e−2x cos 3x
10. 4y ′′ − 5y ′ + y = ex(sin 2x − cos 2x)
11. y ′′′ + 4y ′ = 3x − 1
12. y ′′ + y = sin x+ x cos x
Respuestas seleccionadas E1
1. y = c1 cos (4 x) + c2 sin (4 x) + 125 e3x
2. y = e3/2x (c1 + c2x) + 3 x2e3/2x
3. y = e−4x (c1 + c2x) + 5 x2e−4x
4. y = e−x (c1 cos (x) + c2 sin (x)) + x2
5. y = c1ex + c2e−x + c3xex + c4xe−x − 1+ x2
6. y = c1 + c2x+ c3e1
2x cos
(√32 x
)
+ 13 e−x
+ c4e1
2x sin
(√32x)
− 12 x2 + x4 − 24 x
7. y = c1e3x + c2e−2x + 139 cos (3 x) − 5
39 sin (3 x)
8. y = c1 cos (3 x) + c2 sin (3 x) + 19
cos (3 x)
− 12 x cos (3 x) + 1
3 x sin (3 x)
9. y = e−2x (c1 cos x+ c2 sin x) − 12
e−2x cos3 x
10. y = c1ex + c2e1
4x + 1
146 ex (5 cos (2 x) − 11 sin (2 x))
11. y = c1 + c2 cos (2 x) + c3 sin (2 x) + 38x2 − 1
4x− 3
16
12. y = c1 sin (x) + c2 cos (x) − 14 x (3 cos x+ x sin x)
Grupo de ejercicios E2
Para cada una de las siguientes ecuaciones formule la forma apropiada para una solución particu-lar yp utilizando el método de coeficientes indeterminados, pero no determine los valores de loscoeficientes
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)
1. y ′′ − 2y ′ + 2y = ex sin x
2. y(5) − y(3) = ex + 2x2 − 5
3. y ′′ + 4y = 3x cos 2x
4. y ′′′ − y ′′ − 12y ′ = x − 2xe−3x
5. y ′′ − 6y ′ + 13y = xex sin 2x
6. y(2) + 9y = (x2 + 1) sin 3x
7. y ′′ + 3y ′ + 2y = x(e−x − e−2x)
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