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PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I

ALGUNAS FÓRMULAS ESTÁNDAR DE CÁLCULO

DIFERENCIAL E INTEGRAL

SÍMBOLOS. En las tablas siguientes a, b, c, m y n denotan

constantes, mientras que u, v, w y x son variables, u, v, y w son

todas funciones de x. La base del sistema Neperiano o también

llamado natural de logaritmos se denota usualmente por la letra e que

es aproximadamente igual a 2.718281. A menos que se indique

alguna otra cosa, la base de los logaritmos es e. Se supone también

que todos los ángulos son medidos en radianes. En la tabla de

integrales comúnmente aparece como sumando una constante

arbitraria al lado derecho de cada fórmula.

DERIVACIÓN. A continuación se dan las fórmulas elementales

para derivar. El diferencial se obtiene "multiplicando" toda la

expresión por dx.

1. 0dx

dc 2. 1

dx

dx

3. dx

dw

dx

dv

dx

duwvu

dx

d

4. dx

dvccv

dx

d

5. dx

duv

dx

dvuuv

dx

d

6. dx

dvnvv

dx

d nn 1 en particular:

1 nn nxxdx

d

7. 2v

dx

dvu

dx

duv

v

u

dx

d

en particular:

dx

du

cc

u

dx

d

1

8. dx

dv

v

ev

dx

d aa

loglog en particular:

dx

dv

vv

dx

de

1log

9. dx

dvaaa

dx

de

vv log en particular: dx

dvee

dx

d vv

10. dx

dvuu

dx

duvuu

dx

d v

e

vv log1

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

11. dx

dvCosvSenv

dx

d

12. dx

dvSenvCosv

dx

d

13. dx

dvvSecTanv

dx

d 2

14. dx

dvvCscCotv

dx

d 2

15. dx

dvTanvSecvSecv

dx

d

16. dx

dvCotvCscvCscv

dx

d

FORMULARIO DE MATEMÁTICA I


DERIVADAS DE LAS FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

17. dx

dv

varcSenv

dx

d

21

1

18. dx

dv

varcCosv

dx

d

21

1

19. dx

dv

varcTanv

dx

d

21

1

20. dx

dv

varcCotv

dx

d

21

1

21. dx

dv

vvarcSecv

dx

d

1

12

22. dx

dv

vvarcCscv

dx

d

1

12

REGLA DE LA CADENA

23. dx

dv

dv

dy

dx

dy donde y es una función de v y v a su vez es una

función de x.

DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

24. dx

dvCoshvSenhv

dx

d

25. dx

dvSenhvCoshv

dx

d

26. dx

dvvSechTanhv

dx

d 2

27. dx

dvvCschCothv

dx

d 2

28. dx

dvTanhvSechvSechv

dx

d

29. dx

dvCothvCschvCschv

dx

d

DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

30. dx

dv

varcSenhv

dx

d

1

12

31. dx

dv

varcCoshv

dx

d

1

12

32. dx

dv

varcTanhv

dx

d

21

1

33. dx

dv

varcCothv

dx

d

21

1

34. dx

dv

vvarcSechv

dx

d

21

1

35. dx

dv

vvarcCschv

dx

d

21

1

DERIVADAS SUCESIVAS

36. dx

dv

dx

udnv

dx

uduv

dx

dn

n

n

n

n

n

1

1

.....!2

12

2

2

2

dx

vd

dx

dnnn

n

n

n

n

n

dx

vdu

dx

vd

dx

dun

1

1

también conocida como la fórmula de

Leibnitz.



TABLA DE INTEGRALES

Integrales algebraicas racionales

37. xdx

38. dxxfadxxaf )()(

39. wdxvdxudxdxwvu )(

40.

1 cuando 1

1

mm

xdxx

mm

41. xdxx

ln1

42.

1 cuando 1

1

mma

baxdxbax

mm

43.

baxa

dxbax

ln11

44.

baxbbaxabax

xdxln

12

45.

bax

bax

b

abax

xdxln

122

46.

baxbbaxb

bax

abax

dxxln2

2

1 2

2

3

2

47.

baxb

bax

bbax

abax

dxxln2

1 2

32

2

48.

bax

x

bbaxx

dxln

1

49.

bax

x

bbaxbbaxx

dxln

1122

50.

x

bax

b

a

bxbaxx

dxln

122

51.

x

bax

b

a

baxxb

bax

baxx

dxln

222222

52.

a

x

abx

dx 1

22tan

1

53.

x

a

aax

ax

aax

dx 1

22tanh

1ln

2

1 bax

dx2

se reduce a

la 52 o la 53 tomando como factor a a

1 fuera del signo de

integral.

54.

122 12

mmbaxbm

x

bax

dx

1 cuando

12

3212

mbax

dx

bm

mm

55.

1 cuando 12

1122

mbaxambax

xdxmm

56. baxabax

xdx

2

2ln

2

1

57.

bax

dx

a

b

a

x

bax

dxx22

2

58.

122

2

12mm

baxam

x

bax

dxx

1 cuando 12

112

mbax

dx

am m



59.

3

2tan3

3

1

3k

kx

b

k

bax

dx

3

22 donde ln

a

bk

xkxk

xk

60.

3

2tan3

3

1

3k

kx

ak

k

bax

xdx

3

22 donde ln

a

bk

xkxk

xk

61.

bax

x

bnbaxx

dxn

n

nln

1

Suponiendo que cbxaxX 2 y que acbq 42

62. 0 cuando 2

2ln

1

q

qbax

qbax

qX

dx

63. 0 cuando 2

tan2 1

qq

bax

qX

dx

Para el caso en que q= 0, use la fórmula 42 con m = -2

64.

1 cuando

1

322

1

211

nX

dx

nq

an

qXn

bax

X

dxnnn

65. X

dx

a

bX

aX

xdx

2ln

2

1

66.

X

dx

a

bmanX

a

m

X

dxnmx

2

2ln

2

67.

X

dx

a

acbX

a

b

a

x

X

dxx2

2

2

2

2

2ln

2

Integrales que involucran expresiones del tipo bax

42

fórmulala usando integradasser pueden sexpresione estas Todas

baxbax

dx

dxbaxbax

bax

dx

dxbax

n

n

68.

2

3

15

232

a

baxbaxdxbaxx

69.

3

32222

105

812152

a

baxbabxxadxbaxx

70.

dxbaxxmbbaxx

madxbaxx mmm

32

2 13

71.

0 si40fórmula la use

0 si tan22

0 si ln 22

1

b

bb

baxbbax

bbbax

bbaxbbax

x

dxbax

72.

11

3

m

2

52

1

1

x

mmb x

dxbaxam

x

bax

m

dxbax

cuando 1m

73.

baxa

bax

bax

xdx23

22



74.

baxa

babxxa

bax

dxx3

2222

15

8432

75.

21 cuando

12

2 1

mbax

dxxmbbaxx

mabax

dxx mm

m

76.

0 si40fórmula la use

0 sitan2

0 silnb

1

1

b

bb

bax

b

bbbax

bbax

baxx

dx

77.

1 cuando

22

32

1 11m

baxx

dx

bm

am

bxm

bax

baxx

dxmmm

Integrales que involucran expresiones del tipo 22 ax y

22 xa .

(Estas integrales son casos especiales de las integrales más generales

dadas en la siguiente sección.)

78. * 2222222 ln2

1 axxaaxxdxax

79.

a

xsenaxaxdxxa 122222

2

1

80. *

22

22ln axx

ax

dx

81.

a

xsen

xa

dx 1

22

82. 32222

3

1axdxaxx

83. *

222222

322222 ln84

axxaaxxa

axx

dxaxx

84. 32222

3

1xadxxax

85.

a

xsenaxax

axa

xdxxax 1222

2322222

84

86. * x

xaaaxa

x

dxxa 2222

22

ln

87.

x

aaax

x

dxax 12222

cos

88. *

22

22

2

22

ln

xaxx

xa

x

dxxa

En las fórmulas marcadas con ``*´´, podemos reemplazar

22ln xax por a

x1sinh

22ln axx por a

x1cosh

x

xaa 22

ln por x

a1sinh

x

xaa 22

ln por x

a1cosh



89.

a

xsen

x

xa

x

dxxa 122

2

22

90.

22

22xa

xa

xdx

91.

22

22ax

ax

xdx

92. *

222

22

22

2

ln22

axxa

axx

ax

x

93. a

xsen

axa

x

xa

dxx 12

22

22

2

22

94.

x

a

aaxx

dx 1

22cos

1

95. *

x

xaa

axax

dx 22

22ln

1

96.

xa

xa

xax

dx2

22

222

97.

xa

xa

xax

dx2

22

222

98. *

22

422

2322

41

322 ln2

3

2

3axx

aax

xaxaxdxxa

99.

a

xsen

axa

xaxaxdxxa 1

422

2322

41

322

2

3

2

3

100. 222322 axa

x

ax

dx

101.

222322 xaa

x

xa

dx

Integrales que involucran expresiones del tipo cbxax 2

Sea cbxaxX 2 y acbq 42

102.

0 si

21

0 si2

2ln

1

1 aq

baxsen

a

aa

baxX

a

X

dx

103. X

dx

a

b

a

X

X

xdx

2

104.

X

dx

a

bman

a

Xm

X

dxnmx

2

2

105.

X

dx

a

acb

a

Xbax

X

dxx2

2

2

2

8

43

4

32

106.

0 si2

0 si21

0 si2

ln1

1

cbx

X

cqx

cbxsen

c

cc

b

x

cX

c

Xx

dx



107.

0 si2

2

0 si221

0 si2

2ln

1

1

knmxanbm

Xm

kqnmxm

knmxanbmsen

k

kk

anbm

nmx

Xmk

k

Xnmx

dx

cuando cmbmnank 2

108. Xx

dx

c

b

cx

X

Xx

dx

22

109.

X

dx

a

q

a

XbaxdxX

84

2

110.

2

2

24

56

a

XXbaxdxXx

X

dx

a

qacb

a

Xbaxacb3

2

3

2

128

45

64

245

111. Xx

dxc

X

dxbX

x

dxX

2

112.

X

dx

m

anbm

m

X

nmx

dxX22

2

Xnmx

dx

m

cmbmnan2

22

113. X

dxa

Xx

dxb

x

X

x

dxX

22

114.

Xq

bax

XX

dx 2

115.

264

23

8

22

a

Xbaxq

a

XXbaxdxXX

X

dx

a

q2

2

128

3

Miscelánea de Integrales Irracionales

116. a

axsen

axax

axdxxax

1

222

22

22

117.

a

xa

xax

dx 1

2cos

2

118.

bnxanbmamx

dxnmxdx

bax

nmx

2 y entonces use la

fórmula 104

Integrales Logarítmicas

119. e

xxxdx aa loglog

120. 1lnln xxxdx

121.

2

1

1

log

1

loglog

m

e

m

xxxdxx aam

a

m

122.

2

1

1

1

1

lnln

mm

xxxdxx mm

Integrales Exponenciales

123. a

adxa

xx

ln

124. xx edxe

125. 1xedxxe xx



126. dxexmexdxex xmxmxm 1

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

NOTA: En las siguientes fórmulas, los números m y n son enteros

positivos, a menos que sea indicada otra cosa.

127. xsenxdx cos

128. xsenxxxdxsen cos 212

129.

par es si1cos

112fórmula la luego y cos1 de

expansiónla Use

impar es si cos1

11

2

12

2

12

nxdxsenn

n

n

xxsen

x

nsenxdxx

xdxsen

nn

n

n

n

130.

141fórmula la use luegoy

par es cuando

csc

1impar es cuando1

2

1

cos21

n

xdx

nxsen

dx

n

n

xsenn

x

xsen

dxn

nn

n

131. senxxdxcos

132. xsenxxdxx coscos 212

133.

par es sicos1cos

135fórmula la y sen-1

de expansiónla Use

impar es sicos1

cos

21

2

12

2

12

nxdxn

n

n

xsenx

x

nxdxxsen

xdx

nn

n

n

n

134.

147fórmula la usey

par es sisec

1impar es sicos1

2

cos1

cos n

21

nxdx

nx

dx

n

n

xn

senx

x

dx

nn

n

135. 1

cos1

n

xsenxdxxsen

nn

136. 1

coscos

1

n

xdxxsenx

nn