7/18/2019 Impedancia de Entrada de Una Línea Terminada Con Una Carga Arbitraria
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Impedancia De Entrada De Una Línea Terminada Con Una Carga Arbitraria
Considérese una línea finita de longitud l como la de la figura mostrada. De
ahora en adelante, coniene tomar al punto donde est! la carga como " # $, por lo
%ue el generador estar! situado en " # &'. Esta es una pr!ctica com(n ) no
implica ninguna dificultad adicional. Las ecuaciones %ue describen elcomportamiento de las ondas totales de olta*e ) corriente son las mismas, pues
la coordenada " crece en el mismo sentido %ue antes, de i"%uierda a derecha.
La impedancia + ista hacia la derecha en direcci-n hacia la carga desde
cual%uier punto en la línea est! dada, a partir de las ecuaciones de olta*e )
corriente, por/
a
0i " # &', la impedancia de entrada ista por el generador hacia la derecha,
ser! entonces/
b
Ahora bien, en " # $, donde est! la carga +L de la ecuaci-n a se obtiene/
De donde, c
Al coeficiente 12A se le da el nombre de coeficiente se le da el nombre de
coeficiente de refle3i-n en el punto de carga. 0e designa por la letra 4 )
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generalmente es una cantidad comple*a.
0i el numerador ) el denominador de la ec. b se diiden entre , se tiene/
5 como 12A # / d
Esta ecuaci-n permite calcular la impedancia de entrada de la línea si se conocen
su longitud, su impedancia característica, la corriente de propagaci-n ) el
coeficiente de refle3i-n en el punto donde est! la carga. 6tra ecuaci-n
alternatia, en funci-n de la impedancia de carga en lugar del coeficiente de
refle3i-n, se puede obtener usando la ec. c ) escribiendo la ec. b como/
5 al diidir numerador ) denominador entre 7 cosh l, , %ueda finalmente/
Impedancia De Entrada De Una Línea Terminada En Corto Circuito
Como caso particular se considerar! ahora una línea en cu)o e3tremo final se
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tiene un corto circuito. Al ealuar la ecuaci-n de soluci-n general de olta*e en la
carga, donde " # $, ) dado %ue el olta*e en ese punto ale cero, se obtiene/
Impedancia De Entrada De Una Línea Terminada En Corto Circuito
Como caso particular se considerar! ahora una línea en cu)o e3tremo final setiene un corto circuito. Al ealuar la ecuaci-n de soluci-n general de olta*e en la
carga, donde " # $, ) dado %ue el olta*e en ese punto ale cero, se obtiene/
8 $ # A 9 1 # $ : 1 # &A # &'
Línea terminada en corto circuito.
Utili"ando la relaci-n anterior, las e3presiones para 8 " e I " pueden
rescribirse, a partir de las ecuaciones generales de olta*e ) corriente, de la
siguiente forma/
La impedancia de entrada ista por el generador puede obtenerse sustitu)endo "
# &' ) tomando el cociente tradicional de las dos relaciones anteriores/
e
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Esta e3presi-n también pudo haberse obtenido directamente de la ecuaci-n e,
sustitu)endo +L # $, pero a continuaci-n se er! por %ué coniene reali"ar el
r!pido c!lculo anterior por separado.
En la pr!ctica, medir la impedancia de entrada de una línea corta terminada en
circuito cerrado permite medir indirectamente los par!metros ; ) L de la línea. 0i
la línea es lo suficientemente corta, de tal modo %ue , los e3ponenciales
en la ec. f pueden e3pandirse para simplificar a la misma en forma mu)
apro3imada/
g
Ahora bien, si las ecuaciones de +$ ) g se multiplican/
h
<inalmente, igualando la ec g con la ec. h/ i
Impedancia de Entrada de una Línea Terminada en Circuito Abierto
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Línea terminada en circuito abierto.
El procedimiento %ue se reali"a para anali"ar una línea terminada en circuito
abierto es similar al procedimiento a seguir con las líneas terminadas en circuito
cerrado.=ara un circuito abierto al final de la línea se tendr! una corriente igual a cero.
=or lo tanto,
por lo %ue,
) la impedancia ista en " # &'
0i suponemos nueamente %ue la línea es corta , la ecuaci-n se puede
reducir a/
Ahora diidiendo a entre +o/
teniendo %ue/
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=or lo tanto ,la impedancia de entrada medida a cierta frecuencia angular > para
una línea corta de longitud l terminada en circuito abierto permite obtener los
par!metros ? ) C de la línea.
Reactancia de Entrada y Aplicaciones de Líneas sin Pérdidas Terminadas en
Corto y Circuito Abierto
Adem!s de ser utili"ada para transmitir informaci-n. como lo es en la ma)or parte de los csos, una línea puede serir también como elemento de un circuito.
En el rango de frecuencias de U@< $$ B@" a ?@" es difícil fabricar
elementos de circuitos con par!metros concentrados, pues la longitud de onda
aría entre '$ cm ) ' m. En estos casos, se pueden disear segmentos de
transmisi-n %ue produ"can una impedancia inductia o capacitia, ) %ue se
puedan utili"ar para acoplar una carga arbitraria con la línea principal ) efectuar
la m!3ima transferencia de potencia posible. A estas altas frecuencias, las
pérdidas en una línea se pueden considerar como despreciables, por lo %ue se
refiere al c!lculo de +o, de ) de la impedancia ista en cual%uier punto de la
línea, puesto %ue . Al hacer estas
consideraciones, las ecuaciones se reducen a/
=or lo tanto, $ ) +o es real puramente resistia.
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En lo %ue se refiere a la impedancia de entrada ista desde el generador en
direcci-n a la carga, la ecuaci-n general 7& se reduce, # * , a/
) como tanh*l # $ 9 *tanl2'9$ # *tanl, la ecuaci-n anterior %ueda
finalmente de la forma/
en donde l es la longitud total de la línea.
A continuaci-n procederemos a utili"ar la ec. 7&$ para los dos casos especiales
en %ue la línea termina en corto circuito o en circuito abierto.
a Línea teminada en corto circuito
En este cso +L # $ ) la ec. 7.$ se reduce a/
b Línea terminada en circuito abierto
Ahora +L &F ) la ec. 7&$ toma la forma/
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Las ecuaciones muestran %ue cuando una línea sin pérdidas de longitud arbitraria
t termina en corto circuito o en circuito abierto, la impedancia de entrada es
puramente reactia *Gl. En cual%uiera de los dos casos, la reactancia puede ser
inductia o capacitia, dependiendo del alor de l, )a %ue las funciones tan l
pueden tomar alores positios o negatios.
En la pr!ctica, no es posible obtener una línea realmente terminada en circuito
abierto impedancia de carga infinita, )a %ue e3isten problemas de radiaci-n en
el e3tremo abierto, especialmente a latas frecuencias, ) acoplamiento con ob*etos
cercanos. 0in embargo, es interesante notar %ue las reactancias de entrada de
líneas terminadas en circuito abierto o en corto circuito son idénticas cuando sus
longitudes difieren entre sí por un m(ltiplo impar de 2H. En la figura se
muestran algunas secciones de línea, ilustrando su e%uialencia con una
inductancia o una capacitancia, a una frecuencia determinada.
Líneas desacopladas ) 6ndas Estacionarias
0i # $, la línea esta acoplada, por%ue +L#+o, pero si por el contrario no es
igual a cero se dice % la línea esta desacoplada. El ob*etio de un ingeniero en
transmisi-n es lograr %ue sea mu) pe%uea, de modo %ue la potencia
transferida a la carga sea m!3ima. =or lo general, un acoplamiento se considera
aceptable si , con lo cual se entrega a la carga apro3imadamente el JK
de la potencia incidente. 8eamos ahora c-mo es la onda de olta*e total a lo largode una línea desacoplada
=ara cual%uier ", la magnitud del olta*e total se puede obtener a partir de la
ecuaci-n
En general el coeficiente es comple*o ) se representa ahora como /
=or lo tanto, suponiendo %ue #$, la e3presi-n para la magnitud del olta*e total
toma finalmente la forma/
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Esta funci-n se puede graficar f!cilmente. Considerando
%ue los alores e3tremos de dicha funci-n son/
De allí %ue la onda de olta*e tenga como alor m!3imo ) como
mínimo un alor igual a 0u gr!fica se muestra en la figura a
continuaci-n/
El patr-n de la onda total de olta*e es peri-dico ) se denomina patr-n de onda
estacionaria, pero resulta interesante ) siempre debe recordarse %ue su período
es diferente al de la onda incidente. La onda incidente ) la refle*ada tienen un
período de ", mientras %ue la onda total superposici-n de dos ondas anteriores
tienen un período de 7 ". Es decir, %ue si la onda incidente tiene una longitud de
onda , entonces la onda estacionaria tendr! una longitud de onda e # 27.
La e3presi-n matem!tica de la onda estacionaria de corriente es la siguiente/
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Al cociente del olta*e m!3imo de la onda estacionaria sobre el olta*e mínimo
se le da el nombre de relaci-n de onda estacionaria, ;6E o 80;/
Ahora bien, si se efect(a el cociente del olta*e m!3imo sobre la corriente
mínima ambos est!n en el mismo punto sobre la línea, es obio %ue se obtendr!
el alor de la impedancia ista en ese punto hacia la carga/
0imilarmente, para un punto donde el olta*e sea mínimo, la corriente ser!
m!3ima ) se tendr!/
Como +o es real, ambas impedancias dadas por las dos ecuaciones anteriores
también son puramente resistias.
Coniene obserar detalladamente el comportamiento del coeficiente de
refle3i-n a lo largo de la línea, por lo %ue es también posible definirlo para otros
puntos de la línea de la manera siguiente/
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esta ecuaci-n se puede rescribir con # * ,
como/
De la ecuaci-n anterior se deduce %ue el lugar geométrico en el plano comple*o
del coeficiente de refle3i-n de olta*e es un círculo de radio M M ) se repite cada
e" %ue se aan"a e o 27 a lo largo de la línea.
Bibliografía
;6D6L<6 NE;I 8ELA. Líneas de Transmisi-n. Editorial Bc?ra>&@ill
Interamericana. Noiem
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!ransmision-!erminadas.pd
https://www.youtu%e.com/watch&'()n*n+n#-c0
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