INDICE INTRODUCCION…………………………………………………………………………….………………………………….……...2 ORIENTACIONES DIDACTICAS GENERALES…………………………………………………………………………...3 ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA LA EVALUACION DEL CURSO……………………………………..5 PROPOSITOS GENERALES…………………………………………………………………………………………………………8 BLOQUE I LA VISION GENERAL DE LA INVESTIGACION EN DIDACTICA DE LA MATEMATICA……………………………………………………………………………………………………………………..…9 BLOQUE II ALGUNOS APORTES EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA PARA EL NIVEL DE SECUNDARIA SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN LA EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS…………………..…………………………………………………………………..12 BLOQUE III ANÁLISIS, EXPERIMENTACION Y OBSERVACION DE ACTIVIDADES DE ESTUDIO……………............................................................................................….19
MATERIAL DE APOYO
BLOQUE I LA VISION GENERAL DE LA INVESTIGACION EN DIDACTICA DE LA MATEMATICA………………24 INVESTIGACIONES EN MATEMATICA EDUCATIVA II………………………………….………………………..…24 FERNANDO HITT ESPINOZA CONTEXTO EDUCATIVO MEXICANO DURANTE LA DECADA 1982-1992…………….……………..38 BLOQUE II ALGUNOS APORTES EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA PARA EL NIVEL DE SECUNDARIA…...41 SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN LA EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO. PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS………………………………………………………………………..……………...41 LAS FRACCIONES Y DIVISIONES EN LA ESCUELA PRIMARIA: ANÁLISIS DIDACTICO DE UN VÍNCULO……………………………………………………………………………………………………………….………………....57 EXPERIENCIA DIDACTICA.”LOS INTERCAMBIOS”.ESTUDIO DE LA NOCION DE LA RAZON COMO PRECURSOR DEL OPERADOR MULTIPLICATIVO NATURAL………………………………………………………………………………………………………………………..….……..81 DAVID FRANCISCO BLOCK S. BLOQUE III ANÁLISIS, EXPERIMENTACION Y OBSERVACION DE ACTIVIDADES DE ESTUDIO……..………89 DIDACTICA DE LAS MATEMÁTICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES……………………………89 GUÍA PARA LA OBSERVACION DE UNA CLASE DE MATEMÁTICAS…………………….
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INTRODUCCIÓN La realización de este seminario puede verse como un complemento a la formación de los
profesores de secundaria en tres aspectos fundamentales. El conocimiento general sobre el estado
de investigación que se realiza en México; el análisis particular de algunas investigaciones
realizadas con las matemáticas de la educación secundaria y llevar a cabo un proceso de análisis-
experimentación-análisis de algunas actividades de estudio con alumnos de secundaria.
En el primer caso, se trata de recurrir a fuentes que nos permitan averiguar dónde se hacen
investigaciones, quiénes las hacen y cómo las hacen. En el segundo caso se espera que los
estudiantes analicen algunos artículos o reportes breves de investigación con la finalidad de
entender cuáles son los temas de mayor interés para los investigadores y vislumbrar algunos
aportes de la investigación al trabajo que se realiza en las aulas. En el tercer caso pone se
manifiesto un particular interés en el sentido de que los estudiantes fortalezcan sus herramientas
de análisis de actividades antes y después de llevarlas a cabo con los alumnos, asumiendo que el
trabajo docente cotidiano se da en condiciones menos favorables, sin que signifique que por ello
deja de ser importante el conocimiento previo de las actividades que se plantean a los alumnos y
la observación de los procedimientos que usan para resolverlas.
Los profesores encargados de coordinar este Seminario deben ser conscientes de que los
estudiantes no van a realizar trabajos de investigación y en función de esto procurar que esta
actividad no se desvíe de las intenciones del programa mediado por unos propósitos. En cambio, si
se puede explorar en ella y los resultados pueden ser de mucho provecho para el desempeño
docente, sobre todo si el análisis de la experimentación se hace de manera crítica en cuanto a la
manera de cuestionar a los alumnos y la forma de ayudarlos a aclarar sus ideas.
El programa está dividido en tres bloques cuyos temas se pueden abordar de manera alternada
con el fin de complementar entre uno y otro para evitar el riesgo de dejar fuera el último bloque
por falta de tiempo. De esta manera, el Bloque No. 1, cuyo nombre se titula “La visión general de
la investigación en didáctica de la matemática”, amalgama algunos temas de importancia como:
los orígenes de la educación matemática en México, la investigación en educación matemática en
México durante la década de los 80’ y la didáctica de la matemática y formación de profesores; en
el Bloque No. 2, que lleva el nombre de “Algunas aportaciones de la investigación en educación
matemática para el nivel de secundaria”, se analizan tres temas de importancia: de un lado, las
fracciones y proporcionalidad del otro el razonamiento probabilista y finalmente los referentes del
álgebra; en el Bloque No. 3, que lleva el nombre de “Análisis, experimentación y observación de
actividades de estudio”, analiza dos temas igualmente importantes, se trata de la observación en
la clase de matemáticas y las variables didácticas.
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ORIENTACIONES DIDÁCTICAS GENERALES
El seminario, en la opinión de algunos teóricos como Gustavo F. J. Cirigiliano y Anibal Villaverde,
tiene por objeto la investigación o estudio intensivo de un tema en reuniones de trabajo
debidamente fincadas. Puede decirse que constituye un verdadero grupo de aprendizaje activo,
pues los miembros no reciben la información ya elaborada, sino que la indagan por sus propios
medios en un clima de colaboración recíproca, aunque, en la organización social del grupo de
trabajo, las orientaciones quedan sujetas al campo del estudio de los temas propuestos.
El grupo del seminario está integrado por lo menos con 5 integrantes, aunque existen
recomendaciones que pueden ser de hasta de 12 miembros, estos grupos grandes, por ejemplo,
una clase que desee trabajar en forma de Seminario, es subdividida en grupos pequeños para
realizar una determinada tarea.
El Seminario posee ciertas características, tales como:
1. Los miembros tienen intereses comunes en cuanto al tema, y un nivel semejante de
información acerca del mismo.
2. El tema o materia del Seminario exige la investigación o búsqueda específica en diversas
fuentes. Un tema ya elaborado y expuesto en un libro no justifica el trabajo del Seminario.
3. El desarrollo de las tareas, así como los temas y subtemas, por tratarse, son planificados
por todos los miembros en la primera sesión del grupo.
4. Los resultados o conclusiones son responsabilidad de todo el grupo de Seminario. El
director (asesor) es un miembro más que coordina la labor pero no resuelve de todo por
sí.
5. Todo seminario concluye con una sesión de resumen y evaluación del trabajo realizado.
6. El seminario puede trabajarse durante varios días hasta dar término a su labor. Las
sesiones suelen durar de dos a tres horas de trabajo.
Tratándose de un ambiente educacional, los Seminarios serán organizados y supervisados por el
profesor titular, el cual actúa, generalmente, como asesor. Podría darse el caso de que la iniciativa
partiera de los propios alumnos, lo cual sería muy favorable, y que ellos se manejaran con
bastante autonomía, requiriendo una limitada ayuda del profesor en calidad de asesoramiento. En
cualquiera de los casos habrá un organizador encargado de reunir a los grupos, seleccionar los
temas o áreas de interés en que se desea trabajar, preparar un temario provisorio “agenda
previa”, ubicar elementos y fuentes de consulta, disponer de locales y elementos de trabajo,
horarios para cuando sea necesario establecerlos, es decir, fuera de un sistema escolarizado o
mixto, etcétera.
Es recomendable que quien o quienes asuman el rol de asesores del Seminario, tomen en cuenta
las siguientes indicaciones:
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1. En la primera sesión deberán estar presentes todos los participantes que se dividirán luego
en subgrupos del Seminario. El organizador, después de las palabras iniciales, formulará a
título de sugerencia la agenda previa que ha preparado, la cual será discutida por todo el
grupo, modificada o no dicha agenda por el acuerdo del grupo, queda convertida en
agenda definitiva sobre la cual han de trabajar los distintos subgrupos.
2. El grupo grande, en caso de existir, se subdivide en grupos de 5 miembros a voluntad de
los mismos, es decir, por voluntad propia; no obstante, en un sistema escolarizado o
semiescolarizado, se recomienda que el asesor sea quien determine la forma de
integración social del grupo; estos pequeños grupos se instalan en los locales previstos,
preferentemente tranquilos y con los elementos de trabajo necesarios.
3. Cada grupo designa a su director para coordinar las tareas, y un secretario que tomará
nota de las conclusiones parciales y finales.
4. La tarea específica del seminario consistirá en:
a) indagar,
b) buscar información,
c) consultar fuentes bibliográficas y documentales,
d) recurrir a expertos,
e) analizar a fondo datos e informaciones,
f) relacionar aportes
g) confrontar puntos de vista, hasta llegar a formular las conclusiones del grupo
sobre el tema.
Todo ello siguiendo el plan de trabajo formulado en la agenda aprobada por el grupo general.
5. Al concluir las reuniones de Seminario debe haberse logrado en mayor o menor medida el
propósito buscado. El grupo redactará las conclusiones de los estudios realizados, las
cuales serán registradas por el secretario para ser presentadas ante el resto del grupo.
6. Terminada la labor de los subgrupos, todos ellos se reúnen nuevamente con la
coordinación del organizador, para dar a conocer sus conclusiones. Éstas se debaten hasta
lograr un acuerdo y resumen general de las conclusiones del Seminario.
7. Finalmente, se llevará a cabo la evaluación de la tarea realizada, mediante las técnicas
que el grupo considere más apropiadas, no obstante, es recomendable que tome las
sugerencias propuestas en este programa de trabajo.
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SUGERENCIAS PARA LA EVALUACIÓN DEL CURSO
Sabiendo que las formas que se adoptan como parte del proceso de evaluación son y han sido
muy diversas, además de los debates que existen en cuanto a la integración de los elementos que
la componen y, por otro lado, que cada uno de las características de los grupos definen el cómo y
cuándo evaluar, así como los rasgos deseables desde la perspectiva del grupo y de la metodología
del profesor, por tanto esta es solo una propuesta que aglutina varias formas de llevarlo a cabo, y
si bien es cierto, que algunas de ellas han sido experimentadas, también es cierto que otras tantas
solo forman parte del acervo cultural de los proceso evaluativos en cuanto a la persecución de los
propósitos del Seminario.
El encuadre del seminario tendrá una importancia fundamental, ya que se hará una organización
completa de equipos que trabajarán de una manera muy independiente; uno de los propósitos del
encuadre, además de hacer la organización operativa de los equipos, resulta conveniente
sensibilizar al grupo acerca de la necesidad de aprovechar las potencialidades en ellos como
grupo, y de superar, así, el obstáculo que implica el individualismo, pues debemos tomar en
cuenta que la característica principal de esta modalidad de trabajo pone de relieve el trabajo
colaborativo, como consecuencia, es importante señalar que una de las fallas más comunes
cuando se realiza un trabajo grupal durante un curso, lo constituye únicamente los productos
elaborados en equipo, en estos casos, las evidencias dejan ver que únicamente uno o dos de los
integrantes del grupo de trabajo resuelve las tareas y que el resto disfrute inmerecidamente de la
calificación obtenida por éstos, en este sentido, la calificación se irá construyendo de la siguiente
manera:
a) Cada grupo de trabajo colaborativo irá elaborando, a lo largo del semestre, un proyecto
completo de inversión, para un área específica de las matemáticas (Aritmética, Álgebra,
Geometría, Presentación y Tratamiento de la Información y Nociones de Probabilidad para
el primer y segundo grado, y Probabilidad para el tercero, considerando que la Geometría
para el tercer grado lleva la definición de los elementos trigonométricos), ya sea que se
considere como propuesta o bien que tenga su origen en la práctica docente, desde la
perspectiva de la titularidad1. Este estudio será presentado al final del semestre y
constituirá el 30 % de la calificación final de Seminario. El responsable de llevar los
trabajos del Seminario definirá los criterios según los cuales calificará estos trabajos,
pueden ser: el esquema general, el manejo de procedimientos, resultados alcanzados,
presentación, ortografía, entre otros. Esta calificación será la misma para todos
integrantes del grupo de trabajo colaborativo.
b) Así mismo, al final del semestre, cada círculo del Seminario presentará la bitácora que
haya elaborado, en ella irá reseñando las actividades realizadas en cada una de sus
1 No se recomienda, puesto que el enfoque del Plan 1999 de la Licenciatura en Educación Secundaria en la especialidad de Matemáticas considera al profesor estudiante como un estudiante, no obstante la experiencia titular de algunos de ellos
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sesiones de trabajo. Esta bitácora valdrá para todo el grupo de trabajo colaborativo el 10
% de la calificación final. El responsable de los trabajos del Seminario indicará los criterios
con base en los cuales calificará dicha bitácora como: el esquema de la presentación,
redacción y ortografía, puntos tratados en la sesión, aportaciones de cada uno de los
integrantes, entre otros, serán los que definan la proporción del 10 % alcanzado.
c) A lo largo del semestre se abordan el análisis de texto de algunas posturas teóricas y otras
de investigación como obligatorias. Cada no de los integrantes debe entregar el reporte de
cada una de dichas posturas en las fechas indicadas por el coordinador de los trabajos de
los grupos colaborativos. Estos reportes aportarán el 10 % de la calificación final. Los
criterios para calificarlos pueden ser los siguientes: una extensión de cinco a seis cuartillas
como mínimo, dependiendo del contenido analizado2, una parte (la mitad) puede ser el
cabildeo del contenido del texto y la otra las opiniones personales de quien analiza
(profesor estudiante) sobre el autor leído. Los criterios que se sugieren pueden ser los
siguientes: la presentación, la redacción y la ortografía, la congruencia entre el contenido
del texto y las ideas que expone el estudiante, entre otras. Esta calificación es por
eminencia individual, puesto que se espera que refleje la formación y el proceso cognitivo
y cambio conceptual en las ciencias, aún cuando las evidencias ponen de relieve la
extraordinaria capacidad del estudiante para evidenciar ideas acartonadas, es decir, dejar
ver el cambio conceptual que se espera, en tanto sus prácticas siguen bajo el viejo debate
de la práctica docente, por eminencia discursiva y demostrativa, de ahí la importancia de
esta parte del Seminario.
d) Se proponen al menos tres momentos de evaluación escrita, dos de ellos en forma parcial
y uno al final del camino. Cada uno de estos momentos tendrá un valor acumulado del 10
% de la calificación final para, en su conjunto, aportar el 30 % de esa calificación final. Al
igual que el rasgo anterior, esta calificación es por eminencia individual y refleja, como
consecuencia del análisis de texto, el proceso cognitivo y cambio conceptual en la ciencias.
e) El encargado de coordinar los trabajos de cada uno de los grupos colaborativos lleva un
registro de las participaciones y aportaciones, tanto individuales como de los grupos de
trabajo colaborativo a lo largo de las sesiones plenarias y de las sesiones de los círculos
del seminario. Esto implica, por parte del coordinador, una constante observación del
trabajo que cada círculo lleve a lo largo de todo el semestre. Esta calificación constituye el
10 % de la calificación final y podrá no ser la misma para todos los miembros de un
mismo grupos de trabajo colaborativo.
f) Por último, durante la evaluación final del Seminario, cada uno de los participantes se
autoevaluará en función de ciertos criterios definidos por el coordinador del Seminario,
como asistencia al Seminario (al menos el 85 % de las 38 sesiones presenciales), reportes
de lectura realizada, aportaciones al trabajo grupal en los círculos del Seminario,
aprendizajes logrados, entre otros. Esta parte constituirá el 10 % de la calificación final
(tome en cuenta, que por lo regular, los estudiantes sobreestiman el trabajo realizado, de
2 No valen extractos de ideas principales, solamente vale el esquema de reporte de una postura teórica bajo la dimensión de análisis de texto
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modo que si durante el desarrollo del Seminario se manifestaron actitudes de descanso,
esta parte puede elevar la calificación del estudiante, según evidencias muy generalizadas
en todos los niveles de formación académica); no obstante, es bueno señalar que si el
titular de la materia de estudio advierte esta asunción actitudinal de los participantes, las
recomendaciones dejan ver la necesidad de omitir la auto evaluación.
Finalmente, toda esta organización debe quedar completamente clara para todos y cada uno de
los integrantes del grupo de trabajo colaborativo, antes de empezar formalmente las sesiones del
Seminario. Por eso, es importante dedicarle uno, y si en necesario dos sesiones completas al
encuadre. Es importante destacar que en la medida en que se logre que todos los integrantes de
involucren en esta organización y se comprometan con ella, se asegurará el éxito del Seminario.
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PROPÓSITOS GENERALES
Al concluir las actividades propuestas en el curso se espera que los estudiantes normalistas:
1. Reconocer la Instituciones que posibilitaron el proceso de investigación en educación
Matemática en México a partir de la década de los 70’
2. Reconocer las dificultades que se manifestaron en la constitución teórica y metodológica
para el establecimiento, tanto de las instituciones como de la formación que se requería
para la investigación en educación matemática en México a partir de la década de los 70’
3. Reconocer otras instituciones que aportaron investigación en educación matemática en
México a partir de la década de los 70’
4. Reconocer la metodología que se implementó de parte de las instituciones y el cuerpo de
investigadores mexicanos y extranjeros, así como las aportaciones de cada uno
5. Reconocer que los resultados de las diferentes investigaciones dieron origen a los
programas y enfoques propuestos a partir de la mitad de la década de los 80’ y la
procuración metodológica del programa oficial de 1993
6. Reconocer que los procesos de investigación en educación matemática en México a partir
de la década de los 70’ desentraman el enfoque propuesto, tanto en el programa oficial y
asentado en el Libro para Maestro como un recurso bibliográfico que deja ver la diversidad
de elementos que se pueden utilizar para la persecución de los contenidos curriculares del
programa oficial de Matemáticas para la educación secundaria.
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BBllooqquuee II LA VISIÓN GENERAL DE LA INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA
TEMAS
a) Los orígenes de la educación matemática en México
b) La investigación en educación matemática en México durante la década de los 80’
c) La didáctica de la matemática y formación de profesores
PROPÓSITOS
Al concluir las actividades que se proponen en el presente programa, los profesores estudiantes
serán capaces de:
1. Alcanzar niveles de indagación en el trabajo de investigación diversificadas en países e
investigadores mexicanos
2. Analizar las investigaciones realizadas por Instituciones acreditadas y los criterios para su
realización, así mismo los resultados alcanzados
3. Precisar la consistencia de la didáctica de las matemáticas y lo que se espera de los
estudiantes profesores a partir de haber analizado el origen de la educación matemática y
los procesos investigativos realizados
ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN
Reunidos en los grupos colaborativos para el trabajo del Seminario: 1. Discutan las posturas que dieron origen a la Educación Matemática en México, la definición de
las características y cómo éstas dieron paso a la integración de las instituciones a las que se
encomendaron la tarea de sentar las bases para la operatividad de las reformas educativas de
1984, 1993 y la de 2005 que entrará en vigor a partir del ciclo escolar 2005 – 2006.
2. Presente las conclusiones de cada grupo de trabajo al resto del grupo en la que se deje ver el
derecho de réplica para dejar por escrito las conclusiones finales de las indagaciones y
discusiones generadas.
3. Indaguen cuáles fueron las investigaciones en educación matemática en México durante la
década de los 80’, los autores, las bases de cada proceso, la metodología que establecieron y
los resultados obtenidos en cada una.
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4. Discutan con sus compañeros de grupo la concordancia que existe en cuanto a las bases que
sustenta cada proceso, la metodología y proponga una secuencia de actividades didácticas
para el nivel, en la que refleje el alcance de las propuestas de investigación y los resultados
obtenidos por el grupo de investigadores.
5. Presente al resto de grupo el reflejo de las discusiones y diseño de la secuencia de actividades
didácticas en cada uno de los contenidos que propone para el diseño de la secuencia de
actividades mediados por unos propósitos; es recomendable que el titular de la materia de
Taller de Diseño de Propuestas Didácticas apoye, mediante el análisis de la práctica docente a
partir del área de acercamiento a la práctica docente, con algunas sugerencias metodológicas,
tanto a nivel enciclopédico como aquellas que concuerden con el enfoque para la enseñanza
de la matemática del nivel de secundaria.
6. Analice la postura de Guy Brousseau y G. Glasser para pone de manifiesto ante los
investigadores mexicanos el enfoque de la educación matemática en Francia durante la década
de los 70’, la concordancia que propone el Dr. Filloy comparada con la educación
estadounidense, en especial con el enfoque de J. Taylor y las bases en se fundamenta.
7. Analice y discuta con sus compañeros de grupo de trabajo del seminario las dos vertientes en
que se promulgó la Sección de Matemática educativa del Cinvestav, en tanto la convocatoria
para la formación de investigadores en las Universidades estatales, Institutos Tecnológicos,
Escuelas Normales y la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).
8. Analice, como es que esta convocatoria a las Instituciones dieron lugar a los estudios de
postrado (Doctorado), y cómo es que el número reducido de investigadores franquearon los
obstáculos que representaba la investigación
9. Discutan cómo en qué sentido, los investigadores mexicanos franquearon los obstáculos en el
sentido del, desarrollo curricular y lo que se entiende como “desarrollo curricular”, la
experimentación educativa de materiales didácticos para la enseñanza media básica y el
sentido que le dieron a estos materiales; en qué consiste el análisis exploratorio de datos, las
formas de recuperación de los mismos para el análisis exploratoria; pero sobre, todo, por qué
se le reconoce como “análisis exploratorio de datos”, cuál es el sentido que le dieron al análisis
epistemológico y en qué consiste; cuál es el carácter que le dieron a la observación clínica y
las bases en que la implementaron; cómo fue que establecieron la metodología para la
observación en el aula y situaciones didácticas, resaltando los resultados que se obtuvieron
durante esta fase de las investigaciones; cómo establecieron la convocatoria para la prueba
operativa en el campo de la experimentación educativa entre profesores de matemáticas para
la detección de obstáculos epistemológicos y qué encontraron de modo tal que pudieran
establecer los nuevos métodos de enseñanza y uso de tecnología, en la que sin duda de
ubican los programas alternos reconocidos como EMAT, EFIT, ECAM y EQUIM, sobre todo,
resalte el uso de la tecnología y la didáctica de las matemáticas con el uso del computador
(Cabrí Geométré II para el trabajo de la geometría interactiva, la hoja de Cálculo electrónica
para la modelación matemática, Power Point para la presentación de los resultados) y la
calculadora científica (TI – 92 o TI – 92PLUS)
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BIBLIOGRAFÍA
Block, D., Waldegg, G. (et al) 1995: Matemáticas. En; Procesos de enseñanza y aprendizaje II,
Volumen 2. Consejo Mexicano de Investigación Educativa, A. C. pp 23 – 72.
Michéle Artigue (1995) “El lugar de didáctica en la formación de profesores” en “Ingeniería
didáctica en educación Matemática”. Grupo Eitorial Iberoamérica, pp 7 – 23.
Moreno, L. (1995) La educación Matemática en México” en “ingeniería didáctica en educación
matemática”. Grupo Editorial Iberoamérica, pp 23 – 31.
Hitt, Fernando (1998) “Matemática Educativa”: Investigación y desarrollo 1975 – 1997” en:
“Investigaciones en Matemática Educativa II”. Grupo Editorial Iberoamérica. Pp 41 – 65.
Sainz, I. (1990) “Guía Para la observación de una clase de matemáticas”
Block, D. y solares, D. (2000) “Las fracciones y la división en la escuela primaria: análisis didáctico
de un vínculo” en: Educación matemática, Volumen 13 No. 2. Agosto 2001, pp 5 – 30.
Block, Sevilla David. (2000) “Los intercambios de la noción de razón como precursora del operador
multiplicativo natural” en: “Memorias del VII congreso Nacional de Investigación Educativa”.
Manzanillo, Colima.
Alarcón, J. (1996)”Sobre el uso de ciertos problemas en la exploración del razonamiento
probabilista de los alumnos” en: Investigaciones en educación Matemática. Grupo Editorial
Iberoamérica. pp 111 – 130.
Gallardo, A. (1996) “El paradigma cualitativo en matemática educativa. Elementos teóricos
metodológicos de un estudio sobre números negativos” en: Investigaciones en Matemática
Educativa. Grupo Editorial Iberoamérica. pp 197 – 222.
Antigue, M. (2000) “Didáctica De las matemáticas y formación de profesores” Conferencia dictada
en el Instituto Superior del Profesorado Joaquín V. González, Buenos aires, Argentina, Mayo
de 2000.
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BBllooqquuee IIII
ALGUNAS APORTACIONES DE LA INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
PARA EL NIVEL DE SECUNDARIA
TEMAS
a) Las fracciones y proporcionalidad
b) El razonamiento probabilista
c) Los referentes del álgebra
PROPÓSITOS
Al concluir las actividades que se proponen en el presente programa, los profesores estudiantes
serán capaces de:
1. Fundamentar los 4 contextos de la fracción: como reparto – todo; cociente; razón y
operador
2. Establecer las bases fundamentales de la proporcionalidad
3. Desentramar el dilema de la probabilidad en la escuela secundaria
4. Conceptuar los 3 usos de la variable
ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN:
1. Luego de haber analizado diferentes posturas teóricas que ponen de relieve el tratamiento
de las fracciones (comunes y decimales), discutan las propuestas que existen en cuanto al
tratamiento de las mismas, de acuerdo a los logros alcanzados por el grupo de
investigadores encargados de averiguar los obstáculos endógenos, epistemológicos y
didácticos para el tratamiento de las fracciones (quebrados y decimales), tome en cuenta
el planteamiento que hacen Chamorro, Cid, Brousseau, Glasser, entre otros, para analizar
los obstáculos endógenos, epistemológicos y didácticos para el tratamiento de los
contenidos de la matemática del nivel de secundaria.
2. Discutan, con sus compañeros de grupo de trabajo, ¿en qué consiste el dilema del
tratamiento de la probabilidad?, desde la perspectiva de “las nociones…, para el primero y
segundo grado y, probabilidad para el tercer grado de educación secundaria (es
importante que se remitan a los obstáculos encontrados desde el ejercicio de la práctica
docente en la dimensión del área de acercamiento a la práctica docente que antecede al
presente curso)
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3. Analicen, en conjunto la propuesta de investigación de Bartolussi en cuanto a los ejemplos
que señala para derivar los obstáculos en el tratamiento de la probabilidad
4. Presenten al grupo las conclusiones que se obtuvieron a partir de las discusiones
generadas en el grupo de trabajo, recuerden que tienen derecho de réplica, de este modo,
en general, habrá de surgir una sola conclusión.
5. Elaboren, con el antecedente de Bartolussi y el análisis realizado, en grupo de trabajo
colaborativo, una secuencia de actividades factible de poner en marcha con alumnos de
secundaria, puede ser en el marco del primero, segundo o tercer grado de educación
secundaria, respectivamente.
6. Presenten al resto de grupo esta secuencia de actividades didácticas a fin de enriquecer,
de un lado, al resto del grupo y del otro a los integrantes de grupo de trabajo
colaborativo.
7. Presente al Asesor un reporte que deje ver, de un lado, las conclusiones obtenidas a partir
del ejercicio desde la perspectiva del área de acercamiento a la práctica docente y del
otro, el cambio conceptual que se espera como parte del perfil de egreso que supone el
plan 1999 en la Licenciatura en Educación Secundaria en la especialidad de Matemáticas.
8. Analicen los argumentos teóricos de… en el sentido de revisar los cuatro contextos de
trabajo (la fracción como “relación parte – todo; cociente; razón y operador) para
plantear a los alumnos de secundaria una secuencia de actividades que distinga este
planteamiento y mejore los resultados que hasta hoy se han obtenido (SEP, 2004;
www.sep.gob.mx).
9. Presente al asesor de la materia un reporte de lectura que deje ver otra postura teórica a
la que tienen actualmente respecto del tratamiento de las fracciones (quebrado y
división), recuerden que las bases las deben adquirir a partir de la concepción del autor
analizado.
10. Analicen la postura de los investigadores Block y Solares, desde los hallazgos encontrados
como parte del antecedente para poner en marcha una secuencia de actividades que
permitan, elaborarla y por otro lado, ponerla en marcha.
11. Analice con cuidado, de ser posible, lleven a la mesa de la discusión y puesta en marcha la
propuesta de la secuencia de actividades, la que hacen los autores para ver la factibilidad
de llevarla a término con los alumnos, es importante que vayan registrando los obstáculos
a los que se enfrenten para la revisión de ésta.
12. Presenten al resto del grupo, a partir de las discusiones generadas en el grupo de trabajo
colaborativo, las conclusiones que se pueden obtener luego de haber practicado el trabajo
de los autores analizados, recuerden que tienen derecho de réplica y a partir de éste, las
conclusiones finales del grupo en su totalidad.
13. Como parte del trabajo de grupo colaborativo, es importante que, después de analizar
estas posturas y las reflexiones derivadas de la misma, elaboren una secuencia de
actividades que deje ver, de un lado, el cambio conceptual que se espera lograr y del otro
el contexto del planteamiento de la propuesta didáctica para abordar un problema en el
salón de clase.
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14. Analice la problemática que presenta Alarcón (1992) en función del razonamiento
probabilista en el sentido de desentramar la dificultad que plantea el razonamiento
probabilista y que dan lugar a respuestas inexactas.
15. Analice las dos situaciones de aprendizaje y las consecuencias que trae una y otra e tanto
incorrecta en la primera y correcta en la segunda; de ser posible, se recomienda que la
practique como parte de la actividad con los miembros del grupo de trabajo, registre en su
cuaderno las dificultades encontradas así como los posibles aciertos; tome en cuenta los
contenidos vistos en la materia de La predicción y el azar; esta, puede contribuir a
desentramar el problema planteado.
16. Presenta al resto de sus compañeros las conclusiones a las que haya llegado; asimismo,
presente al asesor de la materia un reporte que deje ver cómo desentrama el problema de
las urnas.
17. Conviene que se discuta el significado que encierra el término “heurística” y cómo es que
opera a partir del razonamiento probabilística en función de la heurística de la
representatividad y de la disponibilidad.
18. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo a que se refiere el autor cuando señala la
limitación desde el punto de vista de la didáctica de la probabilidad cuando se solicita una
predicción o una decisión y la poca atención que se presta a la modelación y otros tipos de
de tareas.
19. Analice el problema No. 3 y 4, re3spectivamente; de ser posible, se recomienda que
intentes resolverlos antes de seguir avanzando en el análisis del dilema del razonamiento
probabilístico.
20. Señale cuál es el distractor que se introduce en uno de los problemas planteados para
contestar el por qué afirma el autor de lo ingenioso del planteamiento para producir una
respuesta inexacta, mientras que en el problema No. 4 la redacción supone una respuesta
de ½ y no 1/3 como debiera ser, precisando los elementos que dan lugar a la respuesta
1/3.
21. Señalen, luego de haber discutido y resuelto el problema, las razones que sostiene el
autor para afirmar que cuando el planteamiento no es claro, las interpretaciones aparecen
de inmediato.
22. Contesten, con el apoyo del asesor y las conclusiones obtenidas a partir de las discusiones
las siguientes preguntas:
a) ¿En qué casos es legítimo suponer que se llega a una determinada situación o
resultado a través de una elección aleatoria? (por ejemplo, en el problema 1,
discutido en esta parte del material del apoyo para el estudio de la materia y
b) ¿sería válido suponer que la urna de composición desconocida fue llenada al azar,
cualquier cosa que esto quiera significar?
23. Lleve al salón de clase diferentes libros de texto que circundan la educación matemática
en la escuela secundaria, en particular, se recomienda que recupere aquellos con los que
trabaja el titula de secundaria, busque los problemas que se plantea en el área de las
nociones de la probabilidad para el primero y segundo grado y probabilidad para el tercer
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grado, respectivamente a fin de encontrar los señalamientos que hace Falk en el sentido
de plantear situaciones que no se relacionan con la realidad del estudiante de secundaria
24. Analice los problemas 5, 6 y 7, respectivamente en el contexto de los profesores a nivel
de estudios probabilísticas de maestría; es recomendable, que con el apoyo de los
conocimientos adquiridos en la materia de “la predicción y el azar” los resuelva, antes de
seguir avanzando en el análisis del dilema que presentan los problemas planteados.
Constraste sus respuestas con las que encontró el autor para señalar las dificultades que
ofrece el tratamiento de los contenidos de la probabilidad de la educación matemática en
la escuela secundaria.
25. Advierta las dificultades que encontró el autor en función de los estudiantes de ingeniería
y aquellos que todavía no habían llevado el curso de probabilidad; se recomienda que, de
acuerdo con los problemas planteados conteste las preguntas registradas en el
cuestionario y las contraste en función de ser un estudiante que ha llevado el curso de “La
predicción y el azar” y las contraste con quienes se recuperó información que precisa los
resultados de la resolución del problema.
26. Obtenga algunas conclusiones y las presente ante el resto del grupo a fin de seguir
avanzando en el mejoramiento de la enseñanza de la matemática de la escuela secundaria
y la suya propia; asimismo, deje por escrito en un reporte presentado al asesor de la
materia las conclusiones obtenidas y los retos a los que está comprometido como futuro
licenciado en educación secundaria en la especialidad de matemáticas.
27. Analice , con el apoyo de los contenidos vistos en la materia de “La predicción y el azar”, y
el apoyo del asesor de la materia, el problema que refiere al modelo de ocupación que
utiliza el principio fundamental de conteo para determinar r-ada y la i-ésima de las
distribuciones posibles de los objetos que ocupan las urnas, asimismo, señale en qué
consiste la dificultad que presenta este tipo de problemas que se plantean.
28. Conteste, en conjunto con los compañeros de grupo de trabajo el cuestionario que plantea
el autor y contraste sus respuestas con las encontradas en los contextos de estudiantes
que llevaron el curso de probabilidad y los que aún no lo llevaban, en particular con los
que lo llevaron para registrar las dificultades que plantea el autor y lo poco claro que
resultan para el tratamiento de la probabilidad en la escuela secundaria.
29. Analice la postura que plantea Aurora Gallardo Cabello para señalar el “Paradigma
cualitativo en matemática educativa. Elementos teóricos-metodológicos de un estudio
sobre números negativos” en el sentido de advertir el “problema” objeto de estudio;
discuta con el grupo de trabajo del seminario los tres elementos que tomó en cuenta e
intente recuperar información sobre los autores en que se basaran cada una.
30. Redacte un informe en el que deje ver el sentido de las investigaciones que cada autor le
da a los tres elementos en que Gallardo Cabello fundamentó su investigación.
31. Discuta el sentido de dirección que esperaba la señora Gallardo Cabello para el inicio de su
investigación.
32. Discuta con el grupo de trabajo en qué consistió el método histórico – crítico y las áreas
que identifica para la recuperación de datos que permitan interpretar los hallazgos.
16
33. Discuta con los miembros del grupo de trabajo los planteamientos de las diferentes
culturas e que la autora basa su investigación (Matemáticas chinas, Matemáticas griegas,
Matemáticas hindúes, Matemáticas árabes y la primera etapa del renacimiento).
34. Redacte un reporte que deje ver la congruencia de cada uno de los enfoques culturales
analizadas y discutidos conforme a la educación matemática actual que se pone de
manifiesto en la educación secundaria desde la perspectiva de los profesores y la suya
propia; se sugiere que contraste los símiles existentes o bien el planteamiento cultural
analizado para derivar en el tipo de procesamiento de información para el alcance de unos
contenidos mediados por unos propósitos.
35. Analice el apartado de la operatividad de los números con signo que plantea Gallardo
Cabello, se recomienda que el análisis deje ver las categorías de análisis, en tanto
primeras soluciones asociadas a la parte negativa (solución negativa de las ecuaciones y
su interpretación).
36. De acuerdo con las primeras discusiones generadas y conclusiones obtenidas en el primer
bloque de esta materia, el método clínico deja ver los fundamentos en que se basa el
análisis de la información en tanto investigación, por ello, se recomienda que discuta de
nueva cuenta con el grupo de trabajo la dirección que plantea Gallardo Cabello para el
establecimiento del método clínico en función del tamaño de la muestra y edades con que
se llevó a cabo; asimismo la relación de las componentes del estudio a partir de plantear
problemas que tienen que ver con las edades.
37. Discuta con el grupo de trabajo las categorías de análisis que se plantean desde el plano
didáctico plantear a un grupo de 35 estudiantes problemas que ponen de relieve el cálculo
de edades y las formas metodológicas en que el grupo de estudiantes resuelve el
problema.
38. Redacte un reporte para discutir en forma general con el grupo de compañeros los
diferentes métodos que emplearon los estudiantes para resolver el problema planteado,
resaltando en las discusiones, tanto el nombre que la autora le otorga a cada forma
metodológica empleada y en qué consiste.
39. Discuta con el grupo de trabajo en qué consisten las dificultades sintácticas en la
operatividad con números negativos en el marco del segundo uso de la variable (el
número como incógnita Ursini, 2001), el propósito de esta parte del programa de
actividades pone de manifiesto el uso indiscriminado tanto de las leyes que regulan al
segundo uso de la variable como las formas metodológicas de resolverlo en función de las
soluciones negativas que se obtienen del planteamiento y resolución de problemas en el
marco de la ecuación de primer grado con una incógnita (segundo uso de la variable,
Ursini, 2001)
40. Analice y discuta la propuesta sugerida por Gallardo Cabello del uso de un modelo de
enseñanza resaltando la pertinencia que tiene el “Modelo Chino” para resolver problemas
algebraicos en el marco del segundo uso de la variable, sus beneficios y consecuencias
que, desde la perspectiva de los futuros estudiantes de la Licenciatura en educación
Secundaria en la especialidad de Matemáticas y la propia de Gallardo Cabello.
17
41. Finalmente, discuta con el grupo de trabajo la constrastación de la información que
presenta Gallardo Cabello en tanto La resolución de problemas verbales, las
dificultades sintácticas en la operatividad con negativos y el Modelo Chino, en
cuanto a:
a) Las tres componentes de análisis en a población estudiantil elegida.
b) Estatus del número negativo en la población elegida
c) Perfiles del estudiante en cuanto al dominio numérico restringido a los números
naturales y la extensión del dominio numérico de los números naturales a los
enteros
18
BIBLIOGRAFÍA
Block, D., Waldegg, G. (et al) 1995: Matemáticas. En; Procesos de enseñanza y aprendizaje II,
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34 – 41, Vol 74 (March)
19
BBllooqquuee IIIIII ANÁLISIS, EXPERIMENTACIÓN Y OBSERVACIÓN DE ACTIVIDADES DE ESTUDIO
TEMAS
a) La observación en la clase de matemáticas
b) Las variables didácticas.
PROPÓSITOS
Al término de las actividades propuestas el profesor estudiante será capaz de:
1. Diferenciar los elementos cualitativos de una clase de matemáticas y las conclusiones que
se pueden obtener de la misma.
2. Diferencias los elementos cualitativos de la didáctica de las matemáticas desde la
perspectiva de la formación de los futuros licenciados en educación secundaria en la
especialidad de matemáticas
3. Analizar los elementos metodológicos para el registro de la observación de una clase de
matemáticas
ACTIVIDADES QUE SE SUGIEREN3:
1. Discuta la importancia que tiene el establecimiento de los propósitos y la diversificación con
que deben plantearse (conceptuales, procedimientales y actitudinales), resaltando cuál es la
idea que debe plantearse en cada uno de ellos, hacia dónde se dirige y como éstos aportan
elementos para el diseño de la secuencia de actividades encadenadas de modo que se logren
os mismos.
2. Discuta la importancia que tiene el propósito o los propósitos para la recuperación de de los
contenidos aprendidos, así como las formas metodológicas de recuperar un proceso de
evaluación que de cuenta de la apropiación del concepto aprendido.
3. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo la necesidad de estructurar y buscar nuevas
formas de lograr que los estudiantes de secundaria se relacionen en forma estructurada para
el alcance de los contenidos que marca el programa oficial mediados por unos propósitos,
como parte fundamental de la organización social del grupo (trabajo individual, por grupo
colaborativo, autónomo o del grupo en general; asimismo, es conveniente que centren la
3 Las actividades propuestas en este bloque, tienen la referencia de la ficha de observación basada en una antología elaborada en el IREM de París VII, corrientes, junio de 1990
20
atención en la pertinencia de cada uno resaltando si esta forma de organización social del
grupo puede o no ser generalizada para todos los contenidos del programa oficial
4. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo del seminario la apropiación del contenido
que marca el programa, objeto del diseño de las actividades secuencias o actividades
encadenas, se recomienda que resalte si estos propósitos se alcanzan a mediano, corto o largo
plazo y la conveniencia que tiene cada uno de estos; asimismo, es conveniente que se apoye
en los siguientes planteamientos:
a) ¿Cuál es el proceso previsto para elaborar y hacer funcionar el conocimiento involucrado?
b) ¿Cuáles son las etapas principales del proceso y cómo rearticulan entre ellas?
c) ¿Cuál es la evolución constatada de las concepciones de los alumnos?
d) ¿Se han previsto las concepciones durante el desarrollo de la clase?
5. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo del seminaria cuáles son los nuevos roles
que se espera, tanto del profesor como del estudiante, es conveniente que se apoye en los
siguientes cuestionamientos:
a) ¿En qué consiste el trabajo del estudiante?
b) ¿Cuál es la consigna de trabajo?, resaltando si se discute con el grupo de estudiantes de la
escuela secundaria para precisarla o no
c) ¿Se negocia esta consigna? Esa discusión o negociación desemboca sobre la tarea prevista
o sobre otra, conviene que se precise la congruencia que tiene a negociación o discusión
respecto del contenido a tratar y si responde al diseño del propósito previamente diseñado
d) ¿El estudiante está involucrado en una actividad previamente diseñada?
e) ¿Cuál es la actitud que asume el titular de la materia frente a los obstáculos de la
situación?
f) ¿El estudiante puede volver hacia atrás durante el trabajo?, ¿es o no recomendable?
g) La toma de decisiones respecto al conocimiento, al deseo o insinuaciones de titular de la
materia.
h) ¿Cuáles son las negociaciones que tiene lugar entre el titular y los alumnos para la
producción de lo que espera el maestro?
i) ¿Cuáles son los medios de control y regulación que manifiesta el estudiante de la escuela
secundaria sobre la validación de lo que hace?
j) ¿Cuál es el rol del profesor de la escuela secundaria en la validación del trabajo que realiza
el estudiante de la escuela secundaria?
k) ¿Representa la realización un progreso del conocimiento desde el punto de vista del
profesor responsable de la dirección de la materia?
l) ¿Cuáles son las oportunidades de los estudiantes para trabajar en una situación de
formulación de conocimientos?
m) ¿Cuáles son las características del lenguaje que utiliza el estudiante?
n) ¿Tiene sentido para el estudiante la formulación de sus conocimientos cuando llega a
ellos?
21
6. Discuta con sus compañeros de grupo de trabajo del seminario la necesidad de controlar la
gestión del tiempo, es conveniente que se apoye en los siguientes planteamientos:
a) ¿Cómo se distribuye el tiempo para la consecución de unas actividades encadenadas?
b) ¿Cómo ocupa este tiempo el profesor titular?
c) ¿Cómo distribuye el estudiante el tiempo para la consecución de las actividades que
realiza y cómo lo ocupa?
d) ¿Cómo se distribuye el tiempo colectivo, de qué se ocupa la organización social del grupo?
BIBLIOGRAFÍA
Block, D., Waldegg, G. (et al) 1995: Matemáticas. En; Procesos de enseñanza y aprendizaje II,
Volumen 2. Consejo Mexicano de Investigación Educativa, A. C. pp 23 – 72.
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didáctica en educación Matemática”. Grupo Eitorial Iberoamérica, pp 7 – 23.
Moreno, L. (1995) La educación Matemática en México” en “ingeniería didáctica en educación
matemática”. Grupo Editorial Iberamérica, pp 23 – 31.
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Sainz, I. (1990) “Guía Para la observación de una clase de matemáticas”
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Block, D. (2000) “Los intercambios de la noción de razón como precursora del operador
multiplicativo natural” en: “Memorias del VII congreso Nacional de Investigación Educativa”.
Manzanillo, Colima.
Alarcón, J. (1996)”Sobre el uso de ciertos problemas en la exploración del razonamiento
probabilista de los alumnos” en: Investigaciones en educación Matemática. Grupo Editorial
Iberoamérica. pp 111 – 130.
Gallardo, A. (1996) “El paradigma cualitativo en matemática educativa. Elementos teóricos
metodológicos de un estudio sobre números negativos” en: Investigaciones en Matemática
Educativa. Grupo Editorial Iberoamérica. pp 197 – 222.
22
Antigue, M. (2000) “Didáctica De las matemáticas y formación de profesores” Conferencia
dicatada en el Instituto Superior del Profesorado Joaquín V. González, Buenos aires, Argentina,
Mayo de 2000.
INVESTIGACIONES EN MATEMATICAS EDUCATIVAS II___________________________
BLOQUE I
VISION GENERAL DE LA INVESTIGACION EN DIDACTICA
DE LAS MATEMATICAS
La crisis generada por la llamada reforma de
las matemáticas modernas (1960 – 70)
impulsó una mayor reflexión sobre los
problemas de aprendizaje de la matemática.
Es en esta época que empiezan a crearse
institutos de investigación sobre la
problemática del procesos de enseñanza –
aprendizaje d la matemática y se forman
grupos interdisciplinarios de investigación en
diferentes países; muchos de ellos dirigen
sus indagaciones hacia el estudio de
fenómenos ligados al aprendizaje de la
matemática.
En México, las autoridades en funciones de la
Secretaría de Educación Pública (SEP)
solicitaron a un grupo de matemáticos del
Departamento de Matemáticas del Centro de
Investigación y Estudios Avanzados
(CINVESTAV) del Instituto Politécnico
Nacional (DEM del CINVESTAV - IPN) un
trabajo relacionado con el proyecto
denominado Reforma Educativa (Principios
de los 70s’) para el ciclo escolar de la
primaria (edades de niños de 6 a 11 años),
que incluyó:
a) un currículum nacional para la
enseñanza del área de las
matemáticas,
b) Los planes y programas del ciclo
educativo y cada uno de los grados
y,
c) La escritura de los textos para los
niños
Este grupo estaba en contra de la llamada
matemática moderna, y, aunque se
experiencia docente era principalmente la
enseñanza en el nivel universitario, aceptó el
reto de elaborar los planes y programas de
estudio y los textos gratuitos de matemáticas
(1972 – 1975). La producción de los libros
para la escuela primaria resultó de suma
importancia para un cambio de la enseñanza
de la matemática en el país. Por primera vez
aparecieron temas totalmente nuevos para
los profesores como contenidos de la
enseñanza elemental, por ejemplo, se
incluyeron nociones y procedimientos de la
probabilidad y de la estadística. 1HItt Fernando
(1988).Matemática Educativa :investigación y
desarrollo 1975-1997.En investigación en
matemáticas educativa II, México
Los investigadores concientes de que los
profesores de primaria estaban preparados
de manera deficiente, solicitaron a la SEP loa
publicación de una serie de libros como
apoyo al profesor y la implementación de un
programa de capacitación. Un punto crucial
era la actualización de profesores, la cual n o
se implementó a tiempo y cuando se hizo, se
orientó hacia la normatividad y objetivos de
la educación pero poco hacia el estudio y
INVESTIGACIONES EN MATEMÁTICA EDUCATIVA II1
Fernando Hitt Espinosa
25
profundización de los contenidos. El
resultado fue que el profesor de primaria se
enfrentó al cambio con el conocimiento y
experiencia que el tenía.
Algunos de los investigadores comprometidos
en el proyecto antes mencionado
incursionaron en el estudio de la historia de
las matemáticas y el diseño curricular
(período 1972 – 75). Las reflexiones de estos
matemáticos empiezan a consolidarse en los
primeros artículos de divulgación en la
Revista Matemáticas y enseñanza (ver Filloy,
1974; Alarcón, 1974; Gorostiza y Hernández,
1974 y Rodríguez, 1974) y en los libros de
texto gratuito en el área de las matemáticas
(1972 – 75). Esta tendencia continuó
reflejándose en algunos artículos posteriores
(ver Alarcón, 1979, Rivaud, 1976, 1996 y
Riviera, 1996).
El proyecto del DM del CINVESTAV con la
SEP fue crucial para el grupo de
matemáticos, produjo una reflexión y una
toma de conciencia de que no bastaba saber
matemáticas para resolver los problemas
educativos, era imperativa la búsqueda de
nuevas alternativas. Parte de ese grupo,
comprometido con la tarea de encontrar
soluciones a problemas sobre la enseñanza y
el aprendizaje de las matemáticas, concluyó
que era necesario crear (1974 – 1975) un
Departamento de matemática Educativa en
el Cinvestav. En abril de 1975 se concedió la
creación de la Sección de Matemática
Educativa (SME), la cual en 1993 se convirtió
en Departamento. La SME desde sus inicios
se abocó al estudio de esa problemática, y,
al mismo tiempo, a promover grupos
similares en el resto de la República
Mexicana.
Una vez constituido el grupo de investigación
en el área de Matemática Educativa, este
inició sus actividades de docencia con un
programa de estudios de maestría en
ciencias, especialidad en matemática
educativa (septiembre de 1975).
Los cursos tenían un contenido matemático e
histórico, con un fuerte énfasis sobre la
fundamentación de la matemática. Dentro
del curso de Análisis, además de los aspectos
anteriores, se integró el uso de la calculadora
programable HP- 65, esta parte del curso de
abandonó posteriormente, lo cual desde un
análisis retrospectivo se considera un error.
Algo parecido sucedió con los cursos de
historia y Fundamentos de la Matemática y
Matemáticas y conocimiento científico y
técnico, todos ellos fueron pilares de la
Maestría empero se omitieron en los
posteriores planes de estudios; los análisis
que en ellos se hacías, así como contenidos
importantes sobre aspectos específicos de la
problemática educativa y d la matemática se
perdieron en el tiempo.
Los profesores de la SME empezaron a tener
relaciones más estrechas con investigadores
de otras instituciones interesados en
problemáticas similares, primer, de manera
particular, por ejemplo, con Brousseau y
Glasser, posteriormente con grupos de
trabajo como el de los Institutes de
Researche sur 1’ enseignment des
Mathématiques (IREM) de Burdeos y de
Estaburgo (Francia), respectivamente.
Esta interacción trajo consigo el enfoque de
la didáctica francesa (ver por ejemplo,
Brousseau, 1976; Glasser, 1978), centrada
26
en aquel entonces en el estudio de
fenómenos ligados al aprendizaje de las
matemáticas. Además de esta influencia
francesa en el trabajo de los investigadores
mexicanos se pueden apreciar otras; tal
como lo menciona Filloy (1981) se aparecía
una tendencia por tomar en cuenta marcos
referenciales de investigadores
estadounidenses, por ejemplo: los trabajos
de Tyler (1949) sobre currículum, de Bruner
(1960) acerca de educación, de Skinner
(1972) con su tecnología educacional y
Bloom (1975) en relación a los objetivos
educativos. Por otra parte, el grupo
mexicano tuvo acceso a la literatura soviética
con la obra de Krutetski (1976) y de la serie
soviet Studies In Thpychology of Learnig and
tehachin Mathematics (introducida al inglés
por Kiltatrick & Wirsur, 1971). Ello
proporcionó un abanico amplio pero difícil de
conciliar. A esta gama de diferentes
perspectivas se añadieron aspectos que
provienen de trabajos como los de
Brunschivig (1912), Piaget (1960) y Piaget y
García (1982).
Resumiendo, en la primera etapa de la SME
de 1975 a 1979, podemos señalar que la
orientación de sus investigadores se
plasmaba en los programas de estudio de su
maestría en ciencias y en los cursos que
dictaban. Por un lado, había una fuerte
tendencia a resolver un problema de
enseñanza estudiando la historia y los
fundamentos de la matemática; por el otro,
se analizaban fenómenos ligados al
aprendizaje de la matemática con marcos de
referencia teóricos como los señalados en las
párrafos anteriores. Al mismo tiempo, se
fueron desarrollando programas de
actualización de profesores y realizando
experimentación educativa en la escuela
secundaria.
Una nueva etapa de este grupo se inició a
principios de los 80’ con dos proyectos que
tuvieron que ver con la creación de dos áreas
diferentes de las que había hasta el
momento: el proyecto del Departamento de
audiovisuales de Matemática Educativa
(DAME) y el Departamento de Máquinas y
enseñanza (DEMEN); ambos formados
dentro de la SME. Los académicos que
trabajaron en esos proyectos tenías como
propósitos central el estudio de nuevos
métodos de enseñanza.
La SME tuvo dos grandes momentos en
relación a sus proyectos de formación de
investigadores y de actualización de
profesores de matemáticas en las
Universidades estatales, Institutos
Tecnológicos, Escuelas Normales y la
Universidad Nacional Autónoma de México
(UNAM). Un primer momento es aquel
relacionado a las actividades que se hacen en
torno a su programa de maestría semi-
escolarizada, desarrollado principalmente en
la década de los 80’. En realidad tuvo su
inicio formal en el verano de 1979, aunque
ya había experiencias con profesores de la
universidad michoacana desde 1977, y con
docentes d la Universidad de Guerrero a
partir de 1978. el segundo momento se ubica
al iniciarse al programa nacional de
formación y actualización de profesores de
matemáticas de 1984. Este proyecto logró
mostrar la factibilidad de trabajo conjunto
entre investigadores y profesores de
matemáticas en forma masiva. La producción
de materiales por investigadores en
formación fue muy fructífera, pero faltó un
27
programa sólido de edición que hubiese
impulsado la elaboración de esos materiales
con mejores niveles de calidad.
Otro programa paralelo fue el de promover
conferencias, seminarios nacionales,
simposios y reuniones centro americanas y
del Caribe con la finalidad de difundir la
problemática de la matemática educativa, así
como la apertura de foros de discusión entre
profesores e investigadores.
Hacia el año de 1982, se inició un programa
de estudios de doctorado que en su primer
etapa fue interno. Es decir, la preocupación
era la de impulsar una parte del grupo de
investigadores de la SME en su formación
académico formal; los colegas que no
tuvieran el grado de doctor serían los
candidatos para ese doctorado. Este
programa, en sus primeros años, no
demandaba de la atención de todos sus
miembros doctores, posteriormente, como
era natural, dada la gran cantidad de la
maestría y el avance académico de la SME,
este postgrado cobró fuerza dando pie a un
programa de doctorado que ya no estaba
totalmente dirigido a sus miembros sin el
grado. Una política de impulsar a realizar
estudios de doctorado en el extranjero
también se llevó a cabo de forma paralela,
ello ampliaría el horizonte académico de la
SME. En la actualidad, el programa de
doctorado exige mucho esfuerzo de los
miembros del Departamento, así como de los
profesores invitados para apoyo del mismo.
A principios d los 90’ se acentúa una crisis
dentro del grupo, se contaba con una planta
de investigadores que llevó a contar en algún
momento con 35 miembros. Pocos se
dedicaban al programa de doctorado interno,
y la mayoría se concentraban en el programa
de maestría y en actividades muy variadas.
La maestría no parecía satisfacer las
necesidades del grupo en términos de llevar
a la práctica sus conocimientos. Es así que
los investigadores se dividen en grupos cuyo
interés se engloban en aras del conocimiento
sobre problemáticas específicas asociadas a
niveles educativos: básico (primaria y
secundaria) medio superior, superior,
Ciencias de la cognición y tecnología aplicada
y microcomputadoras en educación.
Surgieron planes y programas de estudio
para 5 maestrías dependiendo de la
problemática y objetos de estudio. La
concentración por áreas del conocimiento fue
adecuada en un principio dado que permitió
una reorganización de las actividades de los
investigadores y propició el desarrollo de
investigaciones en los distintos niveles de
educación. Sin embargo, por ejemplo, el uso
cada vez mayor de nuevas tecnologías en el
aula, y las exigencias del programa de
doctorado, sugiere la integración en acciones
comunes a nivel del programa de maestría.
El doctorado del departamento ha ido
consolidándose conforme transcurre el
tiempo, cada vez demanda mayor
concentración de los investigadores y ello
limita las acciones en los programas de
estudio de las maestrías en ciencias. Estas
hacia futuro, para fortalecerse, debería de
integrase más y más alrededor de las
acciones del programa del doctorado.
El término de la producción académica de los
investigadores de matemática educativa
podemos identificar las siguientes líneas de
investigación:
28
a) Desarrollo curricular
b) Experimentación educativa de
materiales didácticos para la
enseñanza media básica
c) Análisis exploratorio de datos
d) Análisis epistemológico
e) Observación clínica
f) Observación en el aula y
situaciones didácticas
g) Experimentación educativa
entre profesores de
matemáticas para la
detección de obstáculos
epistemológicos
h) Nuevos métodos de
enseñanza y uso de
tecnología.
A continuación realizaremos una descripción
breve sobre las líneas de investigación e
intentaremos clasificar algunas de las
publicaciones de los investigadores de
acuerdo a su contenido. Es posible que
algunas de éstas se puedan clasificar en más
de una línea de investigación. Así mismo, es
probable que hayamos omitido algunas, pero
quisiéramos señalar que la intención es dar
una muestra, lo más amplia posible, de las
líneas de investigación y ejemplos de algunas
de ellas; no se pretende hace un recuento de
todos los trabajos realizados por los
miembros del departamento. Se expondrán
también brevemente algunos ejemplos
derivados de tesis de maestría o de
doctorado que puedan ayudar a ampliar el
panorama de acción académica del
Departamento de Matemática Educativa; de
la gran cantidad de egresados del DME, no
sería posible en este documento realizar un
análisis de los contenidos de las tesis para
clasificarlas.
29
DESARROLLO CURRICULAR
Filloy (1981, p. 240) señala que algunos
trabajos que corresponden al área de
desarrollo curricular, son:
a) Los textos para niños y maestros
para la educación primaria que
corresponden al currículum nacional
(1972 – 1975).
b) Los elaborados por el grupo del
Departamento de Investigaciones
Educativas del CINVESTAV (1979 –
1980) los cuales se produjeron con el
marco de referencia del trabajo de
Dienes.
c) Serie de libros para la enseñanza
media, Alarcón et al (1979 -82.
1991. 1994, 1995), y Figueras et al
(1980).
El diseño y elaboración de planes, programas
y libros de texto gratuitos (1972 – 75) así
como los programas paralelos a actualización
de profesores de primaria podemos
clasificarlos dentro del rubro diseño
curricular.
Es conveniente mencionar que en México,
para el nivel primaria (6 – 11 años) existen
los libros gratuitos (desde principios del
siglo) y obligatorios con un programa único
(en la década de los 60’ hasta la fecha).
El área de matemáticas del Departamento de
Investigaciones Educativas tuvo una fuerte
interacción con los miembros de de
Matemática Educativa hacia finales de los
setentas. Parte de los fundadores de esta
área, nombrada inicialmente
psicomatemática, se habían formado en el
programa de estudios de maestría de
Matemática Educativa. Este grupo se centró
desde sus inicios en la problemática de la
educación primaria, produciendo
posteriormente, en 1993, uno de los libros
de texto gratuito (todavía vigente); los
materiales bibliográficos que han elaborado
para este nivel han representando un fuerte
apoyo en la educación primaria (ver, por
ejemplo, Block et al, 1994 – 96).
Otros egresados de Matemática Educativa
que también han tenido una fuerte influencia
relevante en el mismo nivel son los autores
de los libros de texto gratuitos de quinto y
sexto año (López et al, 1993 y Pérez et al,
1994). Estos nueve libros de texto gratuito
contienen elementos innovadores en relación
a las anteriores versiones. Se han
incorporado, posiblemente con timidez en
alguno de ellos, el uso de la calculadora y se
han incrustado ideas sobre la resolución de
problemas, todo ello en ambientes
educativos de corte constructivista.
Al inicio de las actividades de la Sección de
Matemática Educativa, algunos
investigadores se dieron a la tarea de
elaborar materiales que se integrarían en
varios volúmenes para la escuela secundaria
(alumnos de 12 a 14 años); realizaron
durante varios años experimentación
educativa de materiales didácticos para la
enseñanza de ese nivel, que poco a poco
fueron conformando la serie de libros
matemáticas 100 horas (Alarcón et al, 1979 -
82; Figueras et al, 1980). Estos trabajos
30
rompieron con la tradición de escribir
materiales didácticos guiados exclusivamente
por la experiencia sin considerar necesaria la
experimentación. Con estos productos de
investigación, se inicia una nueva época, la
cual tiene un énfasis marcado en la
experimentación en el aula. La tendencia de
los investigadores era la del constructivismo,
aunque cabe señalar que en esos tiempos la
teoría no se había desarrollado como en la
época actual.
El programa de estudios de la escuela
secundaria es único, como en la escuela
primaria, pero en este caso el texto no es
obligatorio, en consecuencia, hay una mayor
variedad de libros que cubren dicho
programa. Para este nivel se realizaron dos
estudios del programa oficial (Rojano, 1978;
Recio, 1980) utilizando elementos teóricos
proporcionados por la taxonomía de los
objetivos educativos (Bloom et al, 1972;
Bloom, 1975).
El desarrollo tecnológico trajo consigo nuevos
objetivos para el currículo de matemáticas.
Los estudiantes debían ser educados con la
finalidad de aprovechar las nuevas y
potentes herramientas. La rápida
proliferación de las microcomputadoras y el
diseño del software espectacular pero con
poco impacto en el aprendizaje, hizo la tarea
más difícil. Considerando esta problemática,
se inicia otra línea de investigación que
comprende el uso de esas nuevas
herramientas para la enseñanza y el
aprendizaje de conceptos matemáticos. En
particular, se realizaron investigaciones
respecto al uso del software comercial y
sobre diseño curricular (Turriza, 1990;
Riestra et al, 1990 y Chávez et al, 1993).
En la actualidad, las autoridades educativas
encargadas de la enseñanza media han
seguido los lineamientos de la corriente
sobre constructivismo y resolución de
problemas. Ha habido intentos para cambiar
los programas de estudio bajo esta filosofía,
sin percatarse que un nuevo diseño curricular
comprende la formación y actualización de
profesores, los sistemas de evaluación, los
métodos de enseñanza, etcétera.
31
ANÁLISIS EXPLORATORIO DE
DATOS (MÉTODOS CUANTITATIVOS
DE ANÁLISIS DE DATOS)
Quisiéramos señalar que lo que caracteriza a
los estudios que mencionaremos a
continuación es la metodología utilizada en la
investigación, en vez de asociarlos a una
línea de investigación. En la década de los
setentas y parte de los ochentas, los
métodos cuantitativos predominaban en la
investigación a nivel mundial e irrumpieron
también en el campo de la educación. En
México, se emplearon algunos métodos
desarrollados por Benzecri (1973) y
adaptados a la investigación en didáctica de
las matemáticas por Pluvinage (1977). Por
ejemplo, técnicas de análisis de
Correspondencias (análisis de datos
multidimensionales) se aplicaron para
analizar una población en la que s quería
detectar su sensibilidad a la contradicción en
matemáticas (Hitt, 1978).
Los métodos cuantitativos fueron cada vez
menos utilizados como lo señala Klipatrik
(1995, págs. 4 – 6). En particular, la
influencia de los trabajos de Piaget y de sus
colaboradores se dejó sentir en el tipo de
problemas planteados y en la manera de
considerarlos, dando lugar al uso de métodos
cualitativos para el análisis de la información.
El empleo de estos es una característica de
las investigaciones desarrolladas en
Matemática Educativa en la década de los
ochentas y lo que de los noventa.
Los miembros del Departamento de
Matemática Educativa han influido a través
de sus diferentes acciones académicas
(Maestría, Maestría semiescolarizada,
Doctorado, PNFAPM, etcétera) en la
formación de investigadores de las
universidades estatales, institutos
tecnológicos y escuelas normales superiores.
Por ejemplo, en la actualidad hay una
investigación en curso en la Universidad de
Morelos realizada por Hernández y De Mata,
con jóvenes de 15 a 18 años sobre la
estabilidad de los conocimientos algebraicos
y resolución de problemas utilizando ya sea
una estrategia aritmética o algebraica. En
este estudio se utilizan
complementariamente los dos acercamientos
cuantitativos y cualitativos. Aunque el
análisis no ha finalizado, se tiene ya
evidencia de que el avance en estos
conocimientos no es significativo después de
tres años de instrucción y que incluso en la
resolución de problemas los alumnos de 15
años utilizan acercamientos aritméticos y
tienen mayor éxito que los estudiantes de 18
años quienes usan procedimientos
algebraicos.
32
OBSERVACIÓN CLÍNICA
Hacia principios de los años ochenta, algunas
preguntas de investigación se centraron en la
emergencia de ideas matemáticas
particulares de niños y jóvenes, o en la
identificación de malentendidos y sus
fuentes, o bien en describir las estrategias de
los alumnos para resolver problemas. La
necesidad de obtener información sobre por
qué los sujetos se comportan de manera
particular cuando se enfrentan a preguntas
ligadas a conceptos matemáticos llevó a los
investigadores a una observación de corte
clínico. Sobre utilización de métodos
cualitativos podemos citar, por ejemplo, la
investigación de Lema Y Morfin (1981)
quienes realizaron su estudio sobre la
pertinencia de los resultados de Piaget e
Inhelder (1975) acerca de la idea de azar
haciendo entrevistas a niños.
Dificultades en el razonamiento de la
aritmética al álgebra, también fueron
investigadoras con niños de 12 a 13 años por
medio de entrevistas clínicas (Rojano, 1985).
Varios problemas fueron investigados y
analizados en este proyecto de investigación,
tales como los obstáculos que los estudiantes
tienen para entender lo que es una constante
y el papel que juega una variable en una
ecuación. También se investigaron algunos
errores sintácticos cuando resuelven
ecuaciones.
Con a finalidad de encontrar lineamientos
para diseñar estrategias didácticas para la
enseñanza de conceptos matemáticos en los
niveles básicos, otras investigaciones
apuntaron hacia la conveniencia de conocer
las redes semánticas de constructos sobre
los números racionales para la construcción
de estos conceptos por parte de los escolares
(Figueras, 1988, 1996). Una investigación
complementaria en esta línea fue
desarrollada por Valdomeros (1993, 1994,
1995) quien investiga el conocimiento
relacionado con el concepto de fracción.
Sobre la problemática del concepto de
número negativo se tienen los trabajos de
Gallardo y Rojano (1990) y Gallardo
(1993,1994), ellas combinan observación
clínica con un acercamiento histórico sobre la
noción de los números negativos. En relación
con procesos generalizadores para la
adquisición del concepto de variable tomando
en consideración aspectos del trabajo de
Vigotsky se cuenta con la investigación de
Ursini (1990,1991); acerca de errores
algebraicos y sobre el conocimiento
matemático en los procesos de resolución de
problemas de mecánica clásica ver Guzmán
(1995). La problemática sobre la
demostración en matemáticas en la
enseñanza media es estudiada por Acuña
(1996).
Investigaciones realizadas acerca de la
comprensión de ideas fundamentales de
estocásticos en el nivel preuniversitario
señalan dificultades de interpretación de la
probabilidad condicional cuando se cuestiona
sobre probabilidad de la intersección de
eventos, Ojeda (1990,1994 y 1996) en
relación con esta problemática nos muestra
la influencia de contexto y de las
representaciones gráficas en los procesos de
aprendizaje de la probabilidad condicional.
En Alarcón (1996) podemos encontrar un
análisis sobre el razonamiento probabilista de
33
los alumnos en paralelo a su idea de
proporción.
Santos (1993, 1994, 1995) ha desarrollado u
trabajo sobre resolución de problemas
empleando el marco teórico de Schoenfels
(1983). Recientemente, las ideas de Greeno
(1996) sobre transferencia del conocimiento
situado han permeado en sus estudios
complementado sus primeros acercamientos.
Santos (1996,1997) presenta ejemplos
donde ilustra que el contexto y el tipo de
problemas matemáticos contribuyen al
desarrollo de diferentes tipos de
conocimiento del estudiante ( inertesimplista,
ritual). Los cuales, en la mayoría de los
casos, bloquean la transferencia de los
contenidos matemáticos.
Un grupo de investigadores con los que
trabajó E. Filloy, iniciaron el proyecto
curricular para la educación media básica (12
a 14 años) que se conjunta con lo que se
observa en la entrevista individual y los
resultados del análisis de las respuestas a
cuestionarios diseñados ex profeso. Como
resultado de estas investigaciones (Filloy,
1990, 1991; Filloy y Hoyos, 1993; Filloy y
Rubio, 1993; Filloy, 1996; Kiren y Filloy,
1989) Filloy ha desarrollado lo que llama
modelo teórico local y sistemas matemáticos
de signos; Filloy er al., (1996, pág 59)
considera tres componentes para cualquier
modelo teórico en la investigación en
educación matemática: modelo de
enseñanza, modelo de procesos cognitivos y
modelo de competencia formal.
34
OBSERVACIÓN EN EL AULA Y
SITUACIONES DIDÁCTICAS
Este tipo de investigación se realiza en
ambientes naturales en el salón de clases,
por ejemplo, Fuenlabrada y Sainz (1979)
realizaron un estudio utilizando esta
metodología en el nivel primario. Los
conceptos que analizaron con mayor
detenimiento fueron los relativos al
aprendizaje de diferentes bases para
introducir posteriormente de manera que
pudiera entender mejor la base 10 del
sistema decimal. Un trabajo posterior del
grupo de psicomatemática creado por
Fuenlabrada, Galvez y Sainz, es el
realacionado con la producción de materiales
que sirvan para el estudio de fenómenos
ligados al aprendizaje y a la enseñanza, a
partir de un análisis preliminar de las
situaciones (lo que los franceses denominan
situaciones didácticas). Otra investigación
con una metodología similar es la
desarrollada por Garnica ( en proceso), quien
está estudiando los procesos de
comunicación en el aula en el nivel primario,
en donde se contextualizar tres campos, la
pragmática universal, la acción comunicativa
y la comunicación.
ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO
El análisis epistemológico realizado sobre
conceptos matemáticos ha demostrado ser
un magnifico referente para entender
algunos problemas de aprendizaje. La
detección de obstáculos epistemológicos fue
una de las primeras tareas que realizó el
grupo de investigadores en México (1974-
77). Esta línea de investigación se desarrolló
de manera natural dado que los matemáticos
fueron los primeros interesados en los
problemas de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas. El análisis de la historia de las
matemáticas proporcionó elementos para ser
considerados en el diseño de lecciones; estos
materiales didácticos fueron atractivos e
interesantes. Después, estos investigadores
preocupados por los fenómenos ligados al
aprendizaje incorporaron a su problemática
las idea de Bachelard (1971, 1977) sobre
epistemología. De 1978 a 1996 parte del
grupo se preocupó por la detección de
obstáculos epistemológicos por medio del
análisis histórico crítico, Podemos
ejemplificar la investigación que caracterizó
esta línea con algunos estudios considerando
diferentes rama de la matemática como la
geometría, precálculo, cálculo y análisis;
autores de trabajos relativos a este apartado
son; Antolín (1981, 1991), Ruíz (1986,
Waldegg (1978), Bromberg y Moreno (1990),
Moreno (1991, 1996), Moreno y Waldegg
(1995), Rigo (1994), Cantoral (1983), Farfán
(1986), Cordero (1986) y Quintero (1996).
EXPERIMENTACIÓN EDUCATIVA ENTRE
PROFESORES DE MATEMÁTICAS Y
DETECCIÓN DE OBSTÁCULOS
EPISTEMOLÓGICOS
A finales de la década de los setentas se
realizaron investigaciones donde el profesor
de matemáticas juega un papel importante
dentro de la experimentación. Podemos
señalar los trabajos de Filloy et al. (1977-
1979) con relación a que los profesores de
matemáticas son buenos predictores sobre el
conocimiento de sus alumnos en tareas
simples y no lo son cuando las tareas de los
alumnos son complejas. En esas
35
investigaciones se seguían esquemas de diseño experimental como el siguiente.
Problemas
Análisis de los problemas
Diseño del montajede la exper imentación Diseño del análisis estadístico
Preparación de lasexperiencias
de aprendizaje
Diseño del trabajocon profesores
Diseño d e los mecanismosde observación y medición
Diseño de la toma de datosy análisis estadísticos
Un acontecimiento como el anterior se siguió
también en el trabajo de Filloy et al. (1979)
sobre el conocimiento de los alumnos de
quinto grado de primaria sobre los números
decimales. Hitt (1980) en relación a la
misma investigación muestra un
acercamiento cuantitativo de los datos
recolectados. Cabe señalar que en estos
estudios había una preocupación e sobre el
diseño estadístico de la experimentación.
En 1984 la SEP inició un Programa Nacional
de Formación y Actualización de Profesores
de Matemáticas (PNFAPM); la SME junto con
16 universidades estatales y 7 institutos
tecnológicos diseñaron e implementaron
dicho programa a lo largo de más de un a
década. Ello permitió que de manera natural
se iniciara una línea de investigación con
relación a la detección de obstáculos sobre la
comprensión de conceptos matemáticos de
los profesores de esta disciplina. Los
estudiantes siguieron un plan de trabajo que
se pude resumir mediante las acciones
representadas en el esquema que aparece a
continuación; en estas indagaciones, el
diseño del análisis mediante técnicas
estadísticas ya no se consideraba un
elemento central como en los estudios
anteriores. La producción de textos de
PNFAPM fue muy extensa; sin embargo, la
falta de procesos de refinamiento hizo que
este gran esfuerzo en la producción de
materiales bibliográficos de textos educativos
no alcanzara una culminación que se
plasmara en libros que compitieran en el
mercado existente; lo único que se conservó
fue la revista Cuadernos de Investigación,
editada por el PNFAPM y el DME que continuó
impulsando la publicación de artículos y
memorias de los Seminarios nacionales e
internacionales (1987-97)
INVESTIGACIONES EN MATEMATICAS EDUCATIVAS II___________________________
Libros de texto
Historia de lasmatemáticas
Obstáculos epistemológicosen el profesor de
Matemáticas
Obstáculos epistemológicosen el alumno, p roducidosa) Por la manera como se enseña
b) Por la comp lejidad del concepto
En lo que se refiere a las investigaciones que
siguieron el esquema anterior, se realizaron
estudios de corte histórico, complementados
con la detección de obstáculos
epistemológicos que enfrentan los alumnos al
estudiar temas como precálculo, cálculo y
análisis (Arreguín, 1989; Cantoral, 1990;
Cordero, 1993; Resendiz y Cordero, 1993;
Sacristán, 1990; Zubieta y Moreno, 1996;
Zubieta, 1996) Otra área de interés fue la
detección de obstáculos epistemológicos de
profesores de matemáticas (Cambray, 1993;
Cordero, 1993; Farfán y Hitt, 1990; Farfán,
1997; Hitt, 1989,1994,1995,1996). Sánchez
(1996) analiza el concepto de independencia
en probabilidad e identifica obstáculos que
tienen profesores de matemáticas en relación
a este concepto; se pone de manifiesto que
la confusión que existe en la comprensión de
eventos independientes tiene sus raíces en
representaciones internas derivadas de sus
experiencias anteriores.
INVESTIGACIONES SOBRE NUEVOS
MÉTODOS DE ENSEÑANZA Y USO DE
TECNOLOGÍA
La investigación que se realiza en el DME con
relación a es línea intenta analizar procesos
de aprendizaje utilizando nuevos métodos de
enseñanza apoyada por medio de
audiovisuales, calculadoras y
microcomputadoras. Nuevamente, como en
el caso de análisis de datos, es la
metodología la que se ha seleccionado para
clasificar los trabajos correspondientes y no
por sus contenidos.
En la década de los ochentas, en la entonces
SME, se inició un proyecto sobre la
producción de audiovisuales para se
empleados en la enseñanza de las
matemáticas. La historia de la matemática
fue una componente muy importante en la
investigación y producción de materiales,
como ejemplo de esos trabajos en la serie de
geometría se tiene El Teorema de Cheva
(Figueras y Filoyy, 1984), en la de cálculo El
Método de Arquímides (Cantoral y Ojeda,
1985), en la de ciencia y arte se cuenta con
Dos problemas de matemáticas (Gallardo,
1981), en la de probabilidad, un ejemplo es
Génesis de una teoría (Ojeda, 1985) y en la
geometría no euclidiana, Expansión
identificada del universo (Ursini, 1983). Esta
producción no se prosiguió por lo costoso de
su producción y lo anacrónico del equipo
(audioviewer). Una nueva posibilidad que se
está explorando es la continuación de las
37
ideas del proyecto original usando la
computadora, digitalizando las imágenes.
Otro proyecto que tuvo lugar en esa misma
década, cuyo objetivo principal fue la
producción de software para la enseñanza de
las matemáticas. El acercamiento que se
propuso parte de un grupo de la SME para
diseñar los programas para la computadora,
era novedoso para su época. Por ejemplo, en
las lecciones pensadas como apoyo para un
curso de geometría analítica era posible con
software producido, solicitar la
representación algebraica de una cónica
dada su representación gráfica, si el alumno
cometía un error de sintaxis algebraica, la
computadora le señalaba el tipo de error
cometido; aún más, si el alumno proponía
una expresión diferente a la respuesta
correcta, el software le graficaba su
representación correspondiente (Riesta,
1991). En esta línea se ha continuado
produciendo software de matemáticas que,
sin ser muy espectacular, tiene elementos
didácticos significativos, producto de la
investigación en educación matemática; ver
por ejemplo, el programa diseñado sobre la
línea recta por Cuevas (1994) y Cortés
(1995), y el que ha elaborado Mejía (1996)
sobre evaluación de conceptos ligados a la
geometría analítica.
Considerando las ideas sobre los
micromundos computacionales (Hoyles y
Noss. 1989) se ha desarrollado software
como herramienta para ser usado en
ambientes de papel, lápiz y computadora
sobre los números poligonales (Hitt, 1994;
Hitt y Monzoy, 1996 y Moreno Y Sacristán,
1996). Hitt (1997) muestra un ejemplo
donde se conjuga la historia de una idea
matemática y el uso del software
Matemática.
En Rojano et al. (1996,1997) hay una
muestra de la factibilidad de modificar las
actuales prácticas matemáticas en el aula
sobre la enseñanza de las ciencias,
proponiendo actividades en ambientes
computacionales utilizándola hoja
electrónica.
Una línea de investigación que conjuga el
análisis epistemológico en relación a las
ecuaciones diferenciales y el uso de nuevas
tecnologías se pueden encontrar en
Hernández (1995). En éste, hay una
influencia marcada de la investigación
francesa, se trata de la ideas de
transposición didácticas (Chevalard, 1985),
juego de marcos (Duady, 1986) y marco
numérico, algebraico y gráfico (Artigue,
1989)
Las autoridades educativas le han dado
mayor importancia al uso de computadoras y
han descuidado la promoción de la
calculadora como una herramienta muy útil
en el salón de clases. La aparición de las
llamadas calculadoras graficadoras y las que
además incluyen tratamientos simbólicos han
llamado la atención del uso de estas
herramientas tecnológicas en el aula de
matemáticas.
Algunos productos de esta línea son los
Cuadernos Didácticos (Cantoral y Reséndiz,
1997; Cordero y Solís, 1997 y Farfán y
Albert, 1997) y tesis de maestría (ver por
ejemplo, Ruiz, 1997)
38
REFLEXIONES FINALES
En el pasado, se pensó que el problema de la
enseñanza de las matemáticas se podría
solucionar solamente con la escritura de
“buenos materiales” y no se reflexionaba
sobre la necesidad del estudio de fenómenos
ligados al aprendizaje. La problemática que
han abordado los investigadores del DME ha
ido evolucionando, los estudios de éstos han
mostrado a través de su producción
académica que el problema es más complejo
de lo que creía (ver por ejemplo la
publicación relativa al XX Aniversario del
DME: Investigaciones en Matemática
Educativa es joven y a través de él se busca
constituir una disciplina que caracterice con
cierto grado de precisión la actividad práctica
y teórica relativa a los procesos de
enseñanza y del aprendizaje de
matemática)ver ejemplo, Cantoral, 1996;
Garnica, 1988; Imaz, 1992 y Moreno, 1995)
Resolver un problema de enseñanza ha
conducido al estudio profundo sobre la
construcción del conocimiento. Ello ha
motivado a los investigadores a analizar las
diferentes variables que intervienen en los
procesos de construcción por parte de los
alumnos. Los resultados de investigación nos
muestran que la naturaleza de cada una de
esas variables pude ser muy diferente y el
entenderlas y controlarlas en el aula es una
tarea muy compleja. No se ve cercana una
solución, dado que ello tendría que ver
también con un conocimiento profundo del
funcionamiento del cerebro y del desarrollo
de la inteligencia del ser humano.
Los investigadores se cuestionan sobre la
concepción que tienen los estudiantes en
relación con los conceptos matemáticos, qué
representaciones mentales han construido
alrededor de un concepto, qué
representaciones semióticas han utilizado los
profesores de matemáticas y los autores de
libros de texto que han provocado la
construcción de tal o cual imagen mental,
qué cambios en la concepción del estudiante
se produce al utilizar tal o cual herramienta
tecnológica o una nueva propuesta de
enseñanza, qué representaciones semióticas
produce el estudio al explicar o al resolver un
problema.
Los altos índices de reprobación en nuestro
sistema educativo nos muestra que se está
muy lejos de resolver el problema. No sólo
hace falta la producción de materiales que
tomen en cuenta los aspectos antes
señalados, existe una gran preocupación de
los investigadores para que sus productos
puedan llamar la atención del profesor de
matemáticas con la intención de que él los
incorpore a su práctica educativa. Es
importante que los programas de
actualización de profesores sean
permanentes y también lo es la promoción
de una mayor interacción entre profesores e
investigadores.
CONTEXTO EDUCATIVO MEXICO DURANTE LA DECADA 1982-1992 _________________________
PROCESOS DE ENSEÑANZA Y
APRENDIZAJE II Block, David et. Al. (1995), en Guillermina Waldegg (coord.), Procesos de enseñanza y aprendizaje II, Vol. 2, México, Consejo Mexicano de Investigación Educativa/Fundación SNTE para la Cultura del Maestro Mexicano, pp. 23 – 72.
.
ANTECEDENTES
La preocupación por estudiar los problemas
de la enseñanza de la matemática en México
se remonta a los inicios de la Escuela
Normal. Sin embargo, los esfuerzos
realizados en estas épocas fueron poco
sistemáticos y no se les dio una difusión
amplia; fueron reflexiones acerca de la
enseñanza de esta ciencia sin ningún apoyo
propiamente en la investigación.
Ya como una disciplina autónoma, con
orientación sistemática hacia la
investigación, la educación matemática tiene
sus orígenes en el país en la década de los
setenta. El grupo que la impulsó propuso,
entre sus primeras acciones, la creación de
un programa de maestría en ciencias con la
especialidad de Matemática Educativa.
La maestría surgió en 1975, con auspicio del
Centro de Investigación y de Estudios
Avanzados (CINVESTAV), del Instituto
Politécnico Nacional (IPN), en la Sección de
Matemática Educativa (SEM) del
Departamento de Investigaciones Educativas
(DIE) del CINVESTAV. Desde sus inicios, la
SEM gozó de autonomía respecto del DIE,
tanto en lo académico como en lo
organizativo.
La necesidad de la creación de esta sección
estuvo justificada por la insuficiencia de
cuerpos de profesionales, en el campo de la
enseñanza de la matemática, que dieran
respuesta a las demandas del Sistema
Educativo Nacional (Avance y Perspectiva 1,
1981, pp. 9 – 13). Dichas demandas
apuntaban, casi exclusivamente, a la
necesidad de elaborar lineamientos y
programas para la enseñanza de la
matemática en los distintos niveles del
Sistema, ya que en el contexto de las
reformas educativas de ese momento se
había hecho patente la carencia – y las
deficiencias en la formación - de
profesionales que pudieran asumir dichas
funciones.
Todavía en 1978 (fecha en la que se graduó
el primer egresado del programa), las líneas
de investigación denotaban la preocupación y
el interés, casi exclusivo, en la elaboración
de textos y en la formación de profesores
(Anuario del CINVESTAV 1977 – 1978, pp.
183)
CONTEXTO EDUCATIVO MEXICANO DURANTE LA DÉCADA 1982 – 1992
40
Ese mismo año se decidió en el DIE un
proyecto de investigación sobre la enseñanza
de la matemática en la escuela primaria
(Ibid., pp 182 – 183). No fue sino hasta
1980 cuando, por primera vez, se propuso
como objetivo formal de la maestría en
matemática educativa la
Formación de profesores cuyo trabajo esté enfocado principalmente a la investigación sobre la problemática se la enseñanza-aprendizaje de la matemática, entendiendo esta problemática en toda su extensión, es decir, a cualquier nivel de escolaridad en general como el contexto específico de3 nuestro sistema educativo (Anuario del CINVESTAV 1979 – 1980, p. 281)
En un inicio este objetivo de investigación no
se logró cabalmente, puesto que el programa
de la maestría apuntaba en principio a
resolver las necesidades del docente – más
que a las del investigador – que se referían
a los contenidos matemáticos del currículo y
no a la profundización sobre procesos de
aprendizaje y de enseñanza. Sin embargo, a
lo largo de la década siguiente, tanto el
enfoque del programa como la actividad de
la planta docente de la SEM fueron
redireccionadas hacia labores
predominantemente investigativas. Hacia el
final de la década de los ochenta, con las
primeras tesis de doctorado (Cantoral, 1990;
Figueras, 1988; Rojano, 1985; Waldegg,
1987) se ve claramente esta tendencia.
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
41
BLOQUE II
ALGUNAS APORTACIONES
DE LA INVESTIGACION EN EDUCACION MATEMATICA
PARA EL NIVEL SECUNDAR
1. INTRODUCCIÓN: DOS EJEMPLOS.
Algo que ocurre con frecuencia en la
Probabilidad es que problemas
aparentemente sencillos, con enunciados
accesibles a cualquiera, incluso a alumnos
inexpertos de niveles elementales, dan lugar
a respuestas que no parecen respetar el
sencillo común y tienen un fuerte aire de
paradojas. Esto es parte del atractivo de la
Probabilidad, pero la realidad es que el
recurso al lenguaje de las situaciones
clásicas: volados, lanzamientos de dados,
resultado de un nacimiento, extracciones de
una urna, etcétera, en situaciones que
solicitan una predicción y una decisión,
permite elaborar problemas que ocultan su
verdadera dificultad y distraen de los
tratamientos adecuados, dando paso a
respuestas inexactas.
Como un ejemplo, examinaremos los
problemas 1 y 2 que aparecen a
continuación. El primer problema fue
elaborado para atraer la preferencia de los
alumnos hacia la urna de composición
conocida, mientras que el segundo buscaba
provocar el rechazo de la urna conocida y la
aceptación de aquella cuyo contenido se
ignora. Estas respuestas serían incorrecta en
el primer caso y admisible en el segundo.
Problema 1: se tienen dos urnas: la primera
contiene cuatro bolas blancas, la
otra es de contenido desconocido.
Se tomó una de ellas, sin saber
cuál, y se extrajeron al azar, una
tras otra, seis bolas de reemplazo:
El resultado fue 6 BLANCAS. ¿Cuál
urna se tomó para realizar la
extracción?
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN LA EXPLORACIÓN DEL RAZONAMIENTO
PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS 4
CONTEXTO EDUCATIVO MEXICO DURANTE LA DECADA 1982-1992 _________________________
URNA 1 URNA 2CONTENIDO
DESCONOCIDO
Forzosamentede la Urna 1
De preferenciala Urna 1
No hay razónpara preferi r
la Urna 1
De preferenciala Urna 2
Forzosam entede la Urna 2
Problema 2: se tienen dos urnas: la primera
contiene una bola blanca y una bola
negra, la otra es de contenido
desconocido. Se tomó una de ellas,
sin saber cuál, y se extrajeron al
azar, una tras otra, seis bolas de reemplazo:
El resultado fue 6 NEGRAS. ¿Cuál
urna se tomó para realizar la
extracción?
URNA 1 URNA 2CONTENIDO
DESCONOCIDO
Forzosamentede la Urna 1
De preferenciala Urna 1
No hay razónpara preferi r
la Urna 1
De preferenciala Urna 2
Forzosam entede la Urna 2
Cuando preguntas similares a las anteriores
fueron presentadas a una muestra de
alumnos de secundaria y preparatoria (ver
Alarcón, 1982; Ávila, 1984) se obtuvieron las
respuestas siguientes:
- Para el problema 1, la mayoría de
los alumnos se inclinan por la urna
de composición conocida, donde
todas las bolas son blancas. Entre
ello, un número no despreciable,
más del 20 % utilizan la respuesta
“forzosamente…”, quizá porque el
resultado de las extracciones refleja
perfectamente la composición de
esa urna.
- Para el problema 2 un poco más de
la mitad no se deciden por ninguna
de las urnas, mientras que el resto
se reparte, entre la preferencia por
la urna que contiene una blanca y
una negra y la urna de composición
desconocida.
Este último problema es admisible elegir la
urna de composición desconocida, ya que la
probabilidad de extraer, con reemplazo, seis
bolas negras seguidas d una urna donde sólo
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
43
hay una bola blanca y una negra es 641
,
menor que el 5 %. Por la misma razón, las
respuestas que favorecen esta última urna
no pueden justificarse, pero señalaremos que
aparecieron acompañadas por la respuesta
“no hay razón para preferir…” en otras
preguntas donde la composición de las dos
urnas era conocida y una urna era más
probable que otra. Es decir, una parte de los
alumnos interrogados se abstuvo de decidir
cuando el contenido de las dos urnas era
aparente y, si había una composición
desconocida, eligieron aquella cuyo
contenido conocían, aunque fuera muy poco
probable.
Más interesante de discutir era la preferencia
por la urna de composición conocida en el:
problema 1. Esta respuesta parece correcta,
pero no lo es tanto, ya que Una decisión a
favor de esta urna tiene que considerar la
posibilidad, el riesgo, podría decirse, de que
la seis bolas blancas provengan de la urna de
composición desconocida. Ahora bien, el
resultado de las seis extracciones, y lo
mismo sería si se hubiera extraído 10, 100 ó
1 000 bolas blancas, no permite ponderar
esta posibilidad y, por lo tanto, disminuirla
incertidumbre que acompaña la elección de
una u otra de las urnas, por lo que en este
problema lo mejor sería abstenerse de
cualquier preferencia. La situación es bien
distinta a la del problema 2, donde el
resultado de las extracciones hace “casi
imposible” la urna con una bola blanca y otra
negra y justifica, como ya se dijo, una
decisión a favor de la urna cuyo contenido de
desconoce.
El cruzamiento de las respuestas anteriores
con las obtenidas en otras preguntas
permitió tener una visión más fina de las
reacciones de los alumnos frente a las
situaciones propuestas. Una parte parece
proceder solo en función de la composición
de la urna conocida y lo que es probable
extraer de ella; aceptación si hay
concordancia y rechazo si no la hay. En un
tratamiento correcto, por el contrario, a toma
en cuenta de lo que puede extraerse de la
urna conocida suele subordinarse a la
consideración de las decisiones posible y la
ponderación de los riesgos que la
acompañan, ya que la pregunta no se refiere
a la composición, sino a la urna de la cual
fueron extraídas las bolas. Esta distinción
parece sutil, y hasta insustancial, pero puede
marcar la diferencia entre un tratamiento
correcto y otro inadecuado en situaciones
donde hay incertidumbre.
Como ya se indicó, otros alumnos parecen
razonar solamente en términos de la
probabilidad de que las extracciones hayan
sido realizadas en una u otra urna,
posibilidad que, en los casos en que se
desconoce la descomposición de una urna,
no es igualmente aparente para las dos
urnas.
Los problemas anteriores, el problema 1, en
particular, pone en evidencia cómo el
pensamiento de los alumnos, orientando
fuertemente hacia una predicción, contrasta
con los tratamientos adecuados de las
probabilidades. Pero también ilustran, en un
caso extremo quizás, cómo situaciones
planteadas en términos bastante sencillos
involucran conceptos delicados, que uno
pensaría difícilmente accesibles a un
razonamiento espontáneo. En términos
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
44
estrictos no se trata precisamente de dos
problemas de probabilidad, en la medida que
la consideración de la urna de composición
desconocida no da lugar a una distribución
de probabilidad.
2. IDEAS Y CONCEPCIONES
ESPONTÁNEAS DE PROBABILIDAD
La distancia que separa las respuestas
espontáneas de los alumnos de un
tratamiento adecuado de las probabilidades,
así como los mecanismos que las personas
utilizan para responder a situaciones donde
hay incertidumbre, o tienen que hacerse una
predicción o tomar una decisión con base en
información insuficiente, han atraído la
atención de numerosos investigadores, tanto
en psicología como en educación
matemática. Así, son clásicos los trabajos de
Ahneman y Tversky (1974) identifican una
serie de heurísticas que las personas utilizan
para enfrentar este tipo de situaciones, entre
otras:
- La heurística de las
representatividad: de acuerdo con
esta heurística, las personas estiman
la probabilidad de un evento o
resultado según lo bien que
representa algunos aspectos de la
población total, o el resultado
esperado de un experimento
aleatorio. Así, mucha gente piensa
que en una familia de seis hijos la
secuencia HMMHMH es más probable
que cualquiera de las dos secuencias
HHHHMH o HHHHMM, solamente
porque le parece que la primera es
más representativa de lo que puede
ocurrir en seis nacimientos, a pesar
de que, al nivel de eventos
elementos, las 64 secuencias
posibles tienen la misma probabilidad
de que ocurra.
- La heurística de las disponibilidad: la
gente está utilizando esta heurística
cuando estima la probabilidad de un
evento a partir de lo fácil o difícil que
resulta imaginar o exhibir instancias
particulares del evento. Por ejemplo,
sujetos inexpertos en las técnicas de
conteo responden con frecuencia que
en un grupo de 10 se pueden formar
más comités de 2 que comités de 8,
debido a que es más sencillo
construir ejemplos de comités de 2
que construirlos de comités de 8.
Una revisión crítica de los trabajos sobre
razonamientos probabilística de éstos y otros
investigadores en psicología y en educación
matemática puede encontrarse en
Shaughnessy (1992).
También han señalado algunas limitaciones
de los trabajos realizados, el mismo
Shaughnessy apunta que se trata por lo
general de estudios cuantitativos, apoyados
en cuestionarios de opción múltiple, y que
todavía son escasas las observaciones de
corte clínico que permitan profundizar en las
respuestas de los sujetos. Plavinage (1991)
hace notar la limitación que, desde el punto
de vista de la didáctica de la probabilidad,
constituye el predominio de preguntas que
solicitan una predicción o decisión y la poca
atención prestada a la modelación y otros
tipos de tareas. Sánchez (1996) discute
además del alcance de observaciones
dedicadas a contrastar la distancia existente
a priori entre las creencias y respuestas
espontáneas de las personas y tratamientos
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
45
matemáticos. Al mismo tiempo insiste sobre
la necesidad de investigaciones clínicas, en
situaciones que favorezcan con el estudio de
las interacciones entre las ideas espontáneas
de los alumnos y los conceptos, formas de
representación y tratamientos que se les
proporcionan en los cursos de probabilidad,
ya que numerosas observaciones muestran
la persistencia de concepciones incorrectas o
inadecuadas, incluso entre estudiantes con
estudios en la materia.
Por nuestra parte, señalaremos que en
algunos trabajos se recurre, de una manera
que no siempre parece justificarse, a
problemas cuyo alto grado de dificultad se
conoce de antemano. El uso de estos
problemas es útil para aislar algunas
relaciones de los alumnos, pero cuando se
acompaña de la observación y el análisis
sistemático de su complejidad, se limita la
información que puede extraerse de las
respuestas obtenidas y desde el punto de
vista de la enseñanza, oscurece la reflexión
sobre su significado. Consideremos, por
ejemplo, los siguientes problemas:
Problema 3: se tienen tres urnas que
contienen, respectivamente; dos bolas
blancas, una bola blanca y una negra
y dos bolas negras. Se toman al azar
una urna y una bola de su interior. Si
la bola extraída de la urna es blanca,
¿cuál es la probabilidad de que la bola
que queda dentro también es blanca?
Problema 4: El Sr. Smith es el padre de
dos, un día nos lo encontramos
caminando por la calle acompañado de
un joven varón que nos presenta
orgullosamente como uno de sus
hijos, ¿cuál es la probabilidad de que
el otro hijo del Sr. Smith también sea
varón? (Falck & Bar-Hillel, 1992)
Los dos problemas están planteados
ingeniosamente para producir una respuesta
inexacta y, en el segundo, al menos
discutible. El primer problema presenta una
situación cuya dificultad es conocida desde
hace tiempo en matemáticas (ver, por
ejemplo, Poncaré, 1896): se sabe que en
lugar de la respuesta correcta 32
, las
personas proporcionaban con frecuencia ½.
Detrás de esta última respuesta se encuentra
un razonamiento que, de entrada, reduce la
situación a la sola consideración de la
primera y segunda urnas, pues el color de la
bola extraída elimina la posibilidad de una
extracción realizada en la urna que contiene
dos negras. Entonces, la bola que queda en
la urna o bien es blanca (si se trata de la
primera urna) o bien es negra (si se trata de
la segunda urna), por lo que la respuesta
parece ser ½, sin tomar en cuenta que la
urna que contiene dos blancas debe contarse
dos veces, lo que llevaría a la respuesta
correcta, 32
. Observemos que desde un
punto de vista estrictamente matemático, el
problema sería el mismo si en lugar de
considerar tres urnas en el enunciado, se
dice desde el principio que solo se tienen dos
urnas; una con dos bolas blancas y la otra
con una bola blanca y una negra. Solamente
que al introducir la urna con dos bolas
negras, se agrega un elemento distractor que
al dotar, por ejemplo, a la situación de una
simetría aparente, busca esconder el
equilibrio entre las dos urnas y dificultar la
respuesta correcta. No insistiremos por el
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
46
momento en el análisis de este problema,
pero hay todavía otros factores que impiden
escapar de una organización inadecuada de
la situación y conducen, de manera casi
inexorable, a una respuesta incorrecta.
El problema 4, por su parte, está diseñado
para centrar la atención en el resultado de
un solo nacimiento y producir la respuesta
½. Este problema parece inspirado en un
comentario de Feller (1983, Pág. 130) Quien
señala que la pregunta: “dado que una
familia con (exactamente) dos hijos, tiene
uno varón, ¿cuál es la probabilidad de que
ambos hijos sean varones?”, da lugar en
muchas ocasiones a la respuesta falsa ½, y
no 1/3 como debería ser. Al interpretar el
problema como la pregunta de Feller, la
respuesta correcta puede obtenerse como
sigue: si denotamos por H y M un varón y
una niña y escribimos en primer lugar la
inicial del hijo mayor, tenemos cuatro
posibilidades que pueden considerarse
equiprobables: HH, HM, MH y MM, la
probabilidad MM tiene que eliminarse, pues
hay al menos un hijo varón, por lo que la
probabilidad de que el otro hijo sea varón, es
decir HH, es 31
.
Más formalmente, si se designa por A y B los
eventos:
A: el primer hijo es varón
B: El segundo hijo es varón
Se tiene:
31
4341
)( ==∪∩ BABAP
Pero Falk señala que en realidad la pregunta
de Feller y el problema 4 son distintos,
debido a que, a falta de información
específica sobre el experimento estadístico
que subyace a este último problema, es
natural suponer que el Sr. Smith eligió al
azar el hijo con quien saldría a pasear. Más
adelante indica que para resolverlo es
relevante considerar no solo la información
disponible, sino también la forma como se
obtuvo y añade, - en el intento de hacer
objetiva la distinción entre ambas
situaciones, - que debemos tener en cuenta
“la diferencia que existe entre saber que al
menos uno de dos objetos tiene una
propiedad dada en base a la observación de
ambos, o saberlo en base a la observación de
solo uno”.
Si se considera que el Sr. Smith escogió al
azar al hijo con quien saldría a pasear, la
respuesta ½ puede obtenerse utilizando el
siguiente diagrama de árbol:
HH HM MH MM
14 1
414
14
H H H M M H M M21
21
21
21
21
21
21
21
Encontramos al Sr. Smith con un varón en cuatro casos, de los cuales dosprovienen de una composición HH de la familia
Es cierto que cuando no resulta claro el
experimento estadístico al que se refiere la
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
47
situación de un problema, este puede
prestarse a diferentes interpretaciones. Esta
es, entre otras razones, una de las
dificultades que acompañan la elaboración de
un problema de probabilidad, donde con
frecuencia no parece disponerse de la
libertad, presente en otras partes de las
matemáticas elementales, de parafrasear un
enunciado, o de modificar ligeramente una
situación, sin correr el riesgo de
transformarla en un problema muy distinto al
que originalmente quería proponerse. Pero
los comentarios de Falk conducen también a
otras consideraciones: en primer lugar, ¿cuál
es el significado preciso de una expresión
como “observar solo uno de dos objetos”?
Tal tipo de observación supone algún
mecanismo qe decide o escoge el resultado
que se observa, que puede o no identificarse
con una elección aleatoria. Este comentario
destruir el intento de objetivación de la
diferencia entre la pregunta de Feller y el
problema 4 y regresarnos a la pregunta
original: ¿En qué casos es legítimo suponer
que se llega a una determinada situación o
resultado a través de una elección aleatoria?
(por ejemplo, en el problema 1, discutido en
esta parte del material del apoyo para el
estudio de la materia, ¿sería válido suponer
que la urna de composición desconocida fue
llenada al azar, cualquier cosa que esto
quiera significar?)
Por otro lado, Falk señala que la información
no puede ser divorciada de sus fuentes, y
que un tal divorcio sólo puede encontrarse
en los libros de texto y no en las aplicaciones
de la probabilidad a la realidad, lo que puede
interpretarse como un argumento adicional a
favor de la admisibilidad de la respuesta que
considera que el Sr. Smith tomó al azar el
hijo con quien pasearía. Pero si en algunas
situaciones uno puede preguntarse sobre la
forma como se obtuvo determinada
información, existen otras preguntas que
igualmente pueden plantearse; por ejemplo,
¿la pregunta se refiere específicamente a las
costumbres del Sr. Smith? ¿o a las de
cualquier padre de dios hijos que sale a
pasear con uno de ellos? También podemos
preguntarnos qué uso se hará de la
información obtenida. Supongamos, para
insistir en el mismo ejemplo, que el Sr.
Smith nos ha hecho un favor que queremos
reconocer con un presente que puedan
utilizar sus dos hijos: Si se trata de dos
varones, podríamos regalarle un tablero de
baloncesto, pero una enciclopedia escolar
parece más conveniente si se trata de un
varón y una niña. En este caso, resulta más
adecuado considerar que la probabilidad de
dos varones es 31
y no ½, pues el primer
valor permite juzgar mejor el riesgo que
corremos si decidimos regalarle un tablero de
baloncesto.
Antes de continuar, agregaremos dos
comentarios: el primero es que hay indicios
de que un cálculo de probabilidades
BABAP ∪∩ )( presenta fuertes
dificultades para los alumnos, e situaciones
que no presentan las ambigüedades del
problema que estamos discutiendo. El
segundo comentario es de orden
matemático: entre todas las respuestas que
pueden obtenerse al interpretar de distintas
formas el problema 4 y otros similares, la
probabilidad mínima se obtiene
interpretándolo como la pregunta de Feller.
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
48
El punto en esta discusión es que las
aplicaciones de la probabilidad a las
situaciones del mundo real no se resuelven
solamente a través de la búsqueda de un
modelo probabilista apropiado, sino que
involucra así mismo, un tratamiento del
significado de las probabilidades que se
obtienen. La idea de este doble tratamiento
de las probabilidades es importante y no
debe perderse tratando de recuperar para la
probabilidad situaciones donde no está claro
el experimento estadístico subyacente. Mejor
sería reconocer que el análisis de ciertas
situaciones de incertidumbre hace intervenir
conceptos que rebasan el marco clásico de la
probabilidad y pertenecen a otras disciplinas,
la estadística por ejemplo.
Después de las distracción que significaron
los últimos comentarios, volvemos a la
interpretación que pueden darse a las
respuestas ½ en el problema 4 y otros
construidos en forma similar. Esta respuesta
aparece con frecuencia entre personas
inexpertas en probabilidad y, por lo pronto,
sería arriesgado tratar de asimilarlas a un
razonamiento como el discutido en párrafos
anteriores, o a cualquier razonamiento que
intente poner en juego un uso consciente de
la noción de independencia. Por el contrario,
para comprender las dificultades que
encierran las posibilidades para los alumnos,
parece más fructífero considerar que, como
en el caso del Problema 3, corresponde a una
organización inadecuada que reduce la
situación del problema a los posibles
resultados de un solo nacimiento.
3. DIFICULTADES EN LA
ORGANIZACIÓN DE LAS
SITUACIONES PROBABILISTAS
Las dificultades de los alumnos para acceder
a una organización adecuada de las
situaciones probabilistas son observables aún
en situaciones que no parecen encerrar
ninguna paradoja. Los problemas 5, 6 y 7
que discutiremos a continuación fueron
tratados durante el desarrollo de un curso de
Probabilidad, ofrecido a profesores de
secundaria que seguían una maestría en
educación matemática.
Problema 5. Una secretaria escribió tres
cartas para tres personas
diferentes, pero se distrajo al
momento de introducirlas en los
sobres y no supo cuál carta metió
dentro de cada sobre, ¿cuál es la
probabilidad de que todas las cartas
hayan quedado en el sobre
correcto?
Y, para fines de comparación con el anterior,
consideremos también este otro problema:
Problema 6. Los tres tomos de un
diccionario se acomodaron al azar
en un librero, ¿cuál es la
probabilidad de que hayan quedado
en el orden correcto?
Por lo general, los alumnos del curso no
tuvieron dificultades para resolver este
último problema. Utilizaron los dígitos 1, 2 y
3 para indicar cada tomo del diccionario y
enumerar las distintas formas de colocarlos
en el librero:
123, 132, 213, 231, 312 y 321
y llegar a la respuesta correcta: 61
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
49
La situación del Problema 5 puede obtenerse
considerando las distintas formas de
permutar tres elementos: Si designamos los
sobres A, B y C, y por a, b y c las cartas
correspondientes, tenemos en la siguiente
tabla la lista de todas las posibles formas de
introducir las cartas en los sobres:
A B C a b c a c b b a c b c A c a B c b A
Nuevamente, la respuesta correcta es 61
. Sin
embargo, los maestros alumnos no llegaron
a resolver este problema. Al principio
trataron de indicar el número de casos que
pueden presentarse, proporcionado
respuestas como 32 ó 33.cuando se les pidió
escribirlos explícitamente, no encontraron la
forma de organizar adecuadamente la lista
de los casos posibles. Así, utilizaban las
letras A, B y C para los sobres y a, b, y c
para las cartas, pero al enumerar los casos
escribían, por ejemplo, AbBaCc para indicar
“carta b en sobre A, carta a en sobre B y
carta c en sobre C, y en la misma lista,
también escribían BaAbCc, sin darse cuenta
de que se trataba del mismo caso anterior, lo
que finalmente les impidió completar una
buena lista y llegar a la respuesta correcta.
La dificultad de este problema reside en que
tienen que aparearse dos listas de valores
cambiantes; las letras que designan los
sobres, por un lado, y las que designan las
cartas, por el otro. Como los alumnos no
alcanzaban a fijar un orden de una de estas
listas y utilizarlo para enumerar los casos
posibles, no se dan cuenta que la situación
se reduce a las permutaciones de tres
elementos y tienen la impresión, según
pudimos observar, que la lista de los casos
posibles es más grande y compleja de lo que
en realidad es.
Lo ocurrido con el problema anterior llamó
nuestra atención, por lo que nos pareció
interesante explorar las dificultades de los
alumnos para enfrentar adecuadamente las
situaciones donde intervienen dos series de
valores cambiantes. Para ellos propusimos a
291 estudiantes de ingeniería, 187 que
todavía no habían llevado su curso de
probabilidad y 104 que ya lo habían tomado,
las preguntas que aparecen a en la siguiente
página (ver Escobedo, 1992). En cada
pregunta, y al lado de cada opción, se indica
el número de alumnos que la dio como
pregunta:
- A la izquierda, entre los
alumnos que todavía no
habían llevado el curso de
Probabilidad. - A la derecha, entre quienes ya
lo habían tomado.
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
50
I. Imagine que juega una serie de volados con otra persona, la otra persona lanza los volados y Usted adivina, ¿con cuál de las siguientes estrategias tiene más oportunidades de ganar?
87 – 39 A ( ) Apostar siempre por águilas 41 – 19 B ( ) Apostar alternadamente por águilas y soles 59 – 46 C ( ) Ambas estrategias dan las mismas oportunidades de ganar
II. Imagine otra vez que juega a los volados, ¿con cuál de las siguientes estrategias tiene más oportunidades de ganar?
86 – 40 A ( ) Apostar siempre por águilas 52 - 22 B ( ) Apostar alternadamente por águilas y soles 49 - 42 C ( ) Ambas estrategias dan las mismas oportunidades de ganar
III. Nuevamente imagine que juega a los volados, ¿con cuál de las siguientes estrategias tiene más oportunidades de ganar?
19 – 11 A ( ) Apostar siempre por lo mismo que salió en el volado anterior. Así, si en el volado anterior salió águila, en este volado apuesta a que saldrá águila y salió sol, apuesta a que saldrá sol
39 – 14 B ( ) Apostar siempre por lo mismo que salió en el volado anterior. Así,
si en el volado anterior salió águila, en este volado apuesta a que saldrá sol y salió sol, apuesta a que saldrá águila
129 - 79 C ( ) Ambas estrategias dan las mismas oportunidades de ganar
Aunque el sentido común indica que en un
juego de volados ninguna estrategia es
mejor que otra, en las preguntas I y II la
mayoría de los alumnos, sobre todo los
inexpertos en probabilidad, escogió una
opción distinta a la C (que indicaba que las
dos estrategias presentadas eran igualmente
buenas). Tampoco fueron mayoritariamente,
aunque si con frecuencia, atraídos por la
semejanza que existe entre la redacción de
las opciones marcadas B y lo que sería una
descripción, no necesariamente válida, de lo
que puede presentarse al realizar una serie
de volados. En ambas preguntas, las
respuestas más numerosas se acumulaban
en la opción A: “Apostar siempre por
águilas”, a pesar de que con mucha
frecuencia esta pregunta no coincide con el
resultado del volado. La razón de estas
preguntas podría explicarse se la siguiente
manera: El valor constante de la apuesta, en
el caso de la opción “Apostar
siempre por águilas”, permite reducir la
situación a la consideración de los resultados
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
51
de una sola serie de volados. Las opciones
marcadas B, por el contrario, llevan a pensar
en las coincidencias que pueden pensarse
entre dos series de valores combinatorios:
Los que corresponden a la apuesta y los
posibles resultados de la serie de volados. La
situación se vuelve entonces más compleja y
conduce a los alumnos a creer que estas
estrategias son peores, sólo porque piensan
equivocadamente que “sería más difícil que
coincidan”. Esta interpretación parece
confirmarse con las respuestas obtenidas
para la pregunta III, donde tanto la
estrategia A como la B conducen a la
consideración de dos series de valores
cambiantes y, por lo tanto, las respuestas se
acumulan masivamente en la opción C, quizá
porque ambas estrategias les parecen
entonces igualmente malas. Cabe aclarar que
la comparación de una estrategia como
“Apostar alternadamente por águilas y soles”
con los posibles resultados de una serie de
volados no les impedirá necesariamente la
conclusión de que esta estrategia es
igualmente buena que “Apostar siempre por
águilas”, pero puede dificultarla mucho, pues
entonces los alumnos deberán pensar la
situación no en términos de dos series, sino
como una sola serie de “éxitos – fracasos”
(p. ej. EFEEEFFE…) donde ambas
posibilidades tienen las mismas
oportunidades de ocurrir, pues tanto la
probabilidad de “atinarle” a un volado como
la de “no atinarle” valen ½.
La interpretación anterior debe completarse;
en las preguntas I y II las estrategias a
comparar nos involucran de manera
diferente:”Apostar siempre por águilas”
significa apostar por el resultado global de
una serie de volados, aunque estemos
seguros de perder aproximadamente la
mitad de las veces. La opción B en ambas
preguntas parece, por el contrario, llevarnos
a apostar por el resultado de cada volado,
algo que no solo aumente la incertidumbre y
complica la situación en la mitad que puede
percibirse como apostar por, o por intentar
adivinar, el resultado particular de una serie
de volados, sino que parece poco razonable
dada la diversidad de resultados posibles.
Es probable que ninguna de las
interpretaciones anteriores describa
exactamente el modo como los alumnos
llegaron a sus respuestas, por lo que sólo
conservaremos el hecho de que tienen
dificultades para enfrentar adecuadamente
las situaciones donde intervienen dos series
de valores cambiantes.
El problema que veremos a continuación se
refiere al llamado Modelo de ocupación, es
decir, a las distintas formas de distribuir r
objetos en n urnas o lugares, sin la
restricción de que objetos diferentes ocupen
urnas distintas. Para mostrar que hay en
general nr formas de hacerlos, se utiliza el
llamado Principio Fundamental del Conteo: Si
se tienen 1, 2, 3… hasta s lugares distintos y
cada uno puede llenarse de a2, a3…as formas
respectivamente, entonces hay
a1xa2xa3x…xas formas diferentes de llenar los
S lugares:
1 2 3 S a1 a2 a3 … as
hay a1xa2xa3x…xas formas de llenar los S lugares
Ahora, para ver cuántas formas pueden
distribuirse r objetos en n urnas, se asocia a
cada distribución posible de r-ada ordenada,
donde la i-ésima componente indica el lugar
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
52
donde quedó el i-ésimo objeto y puede
tomar los valores 1, 2, 3, …hasta n. Por
ejemplo, (3,5…,2) indica que el primer objeto
queda en tercera urna, el segundo e la
quinta, … y finalmente, el r-ésimo objeto en
la segunda urna. Entonces, como cada r-ada
ordenada representa r lugares hay n formas
de llenar cada lugar, aplicando el principio
fundamental del conteo tenemos que hay nr
distribuciones posibles de los objetos de las
urnas.
Parece muy sencillo, pero presenta una
dificultad: en el enunciado del problema los
objetos y las urnas no están en la misma
relación contenido-continente que en la
demostración de la fórmula; en el enunciado,
las urnas representan los n lugares que van
a ocupar los r objetos. En la demostración,
esta relación se invierte y cada r-ada
representa r lugares (que corresponden a los
objetos) que pueden ser llenados de n
formas diferentes cada uno
(correspondientes a las n urnas o lugares
que pueden ocupar cada objeto). Todo esto
parece indicar que para los alumnos del
curso realizar esta inversión no fue sencillo y
siempre tuvieron dificultades para reproducir
el argumento de la demostración al resolver
problemas como el siguiente y otros
similares.
Problema 7. Tres personas se distribuyen al
azar en un tren de cinco vagones, ¿cuál es la
probabilidad de que todos vayan en el mismo
vagón?
Dificultades como las anteriores no son
privativas de los alumnos, nosotros mismos
titubeamos en comprender la solución
propuesta para el siguiente problema la
primera vez que la vimos en un manual para
alumnos de preparatoria:
Problema 8. Las banderas de Francia,
Alemania, Italia y España van a
ser izadas en l alto de cuatro astas
alineadas, en un orden elegido al
azar. ¿Cuál será la probabilidad de
que la bandera alemana quede
entre la francesa y la italiana?
Solución. Dibujamos el diagrama de árbol:
14
14
2
13
12
1
3
3
12
1 4
4
13
3
12
1
4
4
13
21
1
4
13
14
12
2
1
4
1
4
1
1
1
1
F
A
I
E
De donde, si llamamos p a la probabilidad
buscada, tenemos:
61
24141
21
31
414 ==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= xxxxxP
La solución nos pareció poco natural
solamente porque al leer el enunciado del
problema pensamos en llegar a la respuesta
enumerada primero “las banderas que
pueden pensarse estar en cada asta”,
mientras que el árbol fue considerando “las
astas que pueden ocupar cada bandera”
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
53
(más adelante, cuando releímos el enunciado
tratando simultáneamente de imaginar cómo
construir el árbol, entonces dejó de
parecernos artificial).
4. RESPUESTAS A UN CUESTIONARIO
Las preguntas discutidas hasta ahora
contenían siempre elementos de dificultad
que parecen hacerlas inaccesibles a un
razonamiento espontáneo, o que no son
explícitamente discutidas en los cursos de
probabilidad. Podemos preguntarnos
entonces qué se observará si se plantean
preguntas más sencillas, donde, si es
posible, se hayan minimizado el costo del
tratamiento matemático y se refieran a
situaciones usuales en un curso de
probabilidad. Buscar, de alguna manera, un
grado 0 de complejidad en situaciones
susceptibles todavía de producir una
organización inadecuada entre alumnos
inexpertos, pero accesibles para aquellos con
conocimientos elementales de probabilidad.
Con este objetivo se propuso un cuestionario
de 27 preguntas a 104 alumnos de ingeniería
que habían seguido ya un curso de
probabilidad relativamente avanzado, que
incluía, en su parte final, el estudio d las
principales distribuciones: Binomial, Poisson,
Normal, Gamma, Chi-cuadrada, etcétera (ver
Escobedo, 1992). Para fines comparativos, el
mismo cuestionario se aplicó a 187
estudiantes d la misma institución que
todavía no había llevado el curso. Una
muestra de las preguntas aplicadas aparece
en la página siguiente. Nuevamente, para
cada pregunta (ver cuadro en la siguiente
página) se ha indicado el número de alumnos
que prefirió cada opción: A la izquierda, los
alumnos que todavía no habían llevado el
curso de probabilidad; a la derecha, los
alumnos que ya lo habían llevado.
No discutiremos las hipótesis a partir de las
cuales fueron diseñadas las preguntas, pues
resultan evidentes de las mismas. Como
puede verse, incluso los alumnos que habían
tomado el curso de probabilidad se
equivocan con mucha frecuencia,
masivamente en algunos casos, a pesar de
que, según los maestros del curso, casi todas
las preguntas de la muestra se refieren a
situaciones vistas en clase. Además, salvo
quizá por la Pregunta 1, no hay diferencias
significativas entre sus respuestas y las de
los alumnos que todavía no habían llevado el
curso. La situación es completamente
similar para las otras preguntas del
cuestionario.
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
54
1. Si lanzamos un par de dados y sumamos los puntos que aparecen en ambos dados, ¿qué es más probable: obtener una suma igual a dos puntos, obtener una suma igual a tres puntos o ambos resultados son igualmente probables? 2 – 2 A ( ) Obtener una suma igual a dos puntos 49 – 61 B ( ) Obtener una suma igual a tres puntos 136 – 41 C ( ) Ambos resultados son igualmente probable
2. ¿Qué es más probable; obtener un águila y un sol en dos volados, obtener dos águilas y dos soles en cuatro volados o ambos eventos son igualmente probables? 51 – 24 A ( ) Obtener una águila y un sol en dos volados 16 – 6 B ( ) Obtener dos águilas y dos soles en cuatro volados 119 – 74 C ( ) Ambos eventos son igualmente probables
3. Tenemos dos cajas, cada una con una figura circular y otra triangular. Si tomamos al azar una figura de cada caja, ¿qué es más probable: elegir dos círculos o elegir un círculo y un triángulo o los tres eventos anteriores son igualmente probables? 5 – 4 A ( ) Elegir dos círculos 2 – 0 B ( ) Elegir dos triángulos 34 – 18 C ( ) Elegir un círculo y un triángulo 146 – 86 D ( ) Los tres eventos anteriores son igualmente probables
11.1 Se tiene un grupo formado por 7 personas, entre los cuales hay cuatro hermanos y tres
personas sin ningún parentesco entre sí. Se forma un comité de dos personas elegidas al azar, sacando de una caja los nombres anotados en apellidos, ¿qué tiene mayor probabilidad de ocurrir?
139 – 77 A ( ) Elegir dos hermanos 25 – 18 B ( ) Elegir dos personas que no sean hermanos 23 – 9 C ( ) Ambos eventos son igualmente probables
11.2 Considere ahora el grupo formados por 10 personas 5 hermanos y 5 personas sin ningún
parentesco entre sí. Como antes, se forma un comité de dos personas elegidas al azar, ¿qué tiene mayor probabilidad de ocurrir?
6 – 1 A ( ) Elegir dos hermanos 28 – 15 B ( ) Elegir dos personas que no son hermanos 153 – 88 C ( ) Ambos eventos son igualmente probables
Como puede verse, al menos en esta
muestra de estudiantes y para las preguntas
planteadas en el cuestionario, no fue posible
encontrar el grado 0 de complejidad
buscado. Salvo por las consideraciones que
pudiera hacerse a propósito de las
organizaciones inadecuadas de una situación
que explicaría tal o cual respuesta, que ya
hemos discutido con amplitud en los párrafos
anteriores, este resultado debe, tomarse con
precaución. Parece, en efecto, que un
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
55
cuestionario con numerosas preguntas de
opción múltiple, que además solicitan una
predicción o una comparación de
probabilidades, no fue para los estudiantes la
mejor oportunidad de poner en juego lo
aprendido durante su curso de probabilidad.
Últimamente hemos obtenido, con
estudiantes de bachillerato, mejores
resultados en preguntas abiertas que
involucran un cálculo de probabilidades en la
situación de un doble sorteo (pero que no
contemplan todavía el cálculo de
probabilidades condicionales).
4. CONCLUSIONES
En los últimos años ha crecido fuertemente
entre los psicólogos e investigadores en
educación matemática el interés por el
razonamiento probabilista. Como resultado,
también ha crecido nuestro conocimiento
sobre las concepciones y creencias
espontáneas de probabilidad. Sin embargo,
todavía son escasos, y con frecuencia
inaccesibles, los estudios de corte didáctico,
pues la mayoría de las investigaciones
motivadas por la enseñanza tienen como
propósito explorar la forma de cómo la
instrucción modifica las concepciones
probabilistas de los alumnos.
El conocimiento de las ideas y concepciones
espontáneas de los alumnos es útil para el
educador matemático en la medida que, uno,
puede darse cuenta de la distancia que
separa estas ideas de los conceptos de
probabilidad que tratamos de transmitirles
en los cursos y, dos, le ayuda a preparar su
curso e imaginar actividades que animen la
discusión en clase y permitan la interacción
entre los tratamientos matemáticos y las
concepciones, con frecuencia equivocadas,
de sus pupilos, puede pensase, en efecto,
que el hecho observable de que muchos
alumnos pasan por un curso de probabilidad
sin modificar sensiblemente algunas de sus
ideas inexactas se debe, al menos en parte,
a que nuestros cursos les ofrecen pocas
oportunidades de reflexionar sobre sus
creencias y contrastarlas con los modelos
adecuados de probabilidad.
Pero desde el punto de vista didáctico, la
sola exploración de las concepciones
probabilistas espontáneas de los alumnos,
sin detenerse a observar o reflexionar sobre
las dificultades que acompañan el acceso a
los tratamientos matemáticos de las
probabilidades, presenta limitaciones que
vale la pena señalar, aunque solo sea
parcialmente. En primer lugar, privilegia
tareas y formas de preguntar que, si bien
puede servir para aislar las reacciones de los
alumnos y mostrar la existencia de ciertos
comportamientos, dejan fuera del campo de
observación aspectos importantes de la
enseñanza de la probabilidad. Así, en un
comentario sobre las situaciones de previsión
y de decisión construidas a partir del
esquema de urna, pero que puede
extenderse a otras situaciones y problemas
utilizados en los estudios sobre razonamiento
probabilista. Pluvinage y Zaky (1991)
señalan que, con frecuencia de la
observación se elimina la modelación
probabilista, que es la etapa fundamental y
específica de las probabilidades.
Mencionaremos también que, gran parte de
esta investigación se realiza desde una
perspectiva que tiende a identificar el
razonamiento combinatorio con las técnicas
de conteo y considera que aunque estas
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
56
técnicas son útiles en el cálculo de
probabilidades, los conceptos de probabilidad
tienen poca relación con la combinatoria (ver
p. ej. Shaughnessy, 1992; 481). Aunque
habría que analizar hasta qué punto esta
posición puede defenderse en el caso de los
estudios de corte psicológico, cuyo interés
principal parece centrarse en la descripción
del comportamiento espontáneo de personas
inexpertas en situaciones que no favorecen
los tratamientos matemáticos, resulta
discutible desde el punto de vista de la
investigación en la enseñanza de la
probabilidad. Considérese, a modo de
ejemplo, las respuestas de los alumnos a
algunas de las preguntas presentadas en la
sección anterior, en particular a las
Preguntas 11.1 y 11.2. Estos problemas
fueron diseñados bajo la hipótesis de que los
alumnos tenderían a ignorar la naturaleza
combinatoria de la tarea y dicotomizar la
situación, sin tomar en cuenta las relaciones
internas entre los datos. Es decir, que
transformarían el Problema 11.2, por
ejemplo, en una situación similar a la de la
pregunta “Se tiene una urna con 5 bolas
blancas y 5 negras y se escogen al azar dos
de ellas, ¿qué es más probable: obtener dos
blancas u obtener dos negras?”.
Por otro lado, la perspectiva descrita en los
párrafos anteriores no contempla
suficientemente el estudio sistemático de la
complejidad de las situaciones aleatorias, así
como de las dificultades para acceder a una
organización adecuada de las mismas.
Dificultades que están presentes en las
respuestas de los alumnos, aun en
problemas que no han sido elaborados para
producir “paradojas”, hacer intervenir sus
concepciones inexactas o poner en juego
conceptos delicados. Nosotros esperamos
que, sin abandonar el estudio de las ideas y
concepciones espontáneas de los alumnos, la
presencia daca vez mayor de la probabilidad
en los niveles elementales de la enseñanza
se traduzca en estudios didácticos que
involucren situaciones y tareas
eventualmente menos complejas para los
alumnos, y quizá menos atractivas para el
investigador, pero más cercanas a la
exploración de las dificultades que
acompañan la elección y gestión adecuada
de los modelos d probabilidad.
LAS FRACCIONES Y LA DIVISION EN LA ESCUELA PRIMARIA: ANALISIS DIDACTICO DE UN VINCULO_______________________________________________________________________
David Block, Departamento de investigaciones Educativas CINVESTAV, México y Diana Solares; Coordinación
Sectorial de Educación Primaria en el D. F. Educación Matemática Volumen 12 No. 2;
Agosto de 2001, Pp. 5 – 30
Hace ya más de dos década se empezó a
prestar atención a la diversidad de
significados que la noción de fracción asume
cuando se le considera en el contexto de los
problemas específicos que permite resolver
(Kieren, 1976; Kieren, 1988; Ohlsson, 1988;
Behr, ete al, 1992). Si bien desde entonces
se han utilizado distintos acercamientos a
esta polisemia, tiende a haber consenso en
cuanto a la pertinencia de distinguir cinco
significados (también llamados
“subconjuntos”, “interpretaciones” o
“concepciones” y dependiendo de los
acercamientos y de los autores), a saber:
parte-todo, cociente, razón, operador y
medida. También hay cierto nivel de
acercamiento en cuanto a la necesidad de
favorecer progresivamente la apropiación por
los alumnos de estos significados específicos,
en aras de lograr una comprensión cabal de
la noción de número racional.
Esta diferenciación de significados ha
permitido comprender mejor la complejidad
que subyace a este objeto de enseñanza, las
fracciones y, a la vez, ha motivado
numerosos preguntas más que están en
curso de ser estudiadas, por ejemplo, ¿cómo
se articulan estos significados en un proceso
de enseñanza? ¿Qué situaciones pueden
favorece su apropiación y vinculación por
parte de los alumnos?
El trabajo que presentamos a continuación
aborda algunos aspectos puntuales de esta
problemática.
1) MODALIDADES DE LA FRACCIÓN
COMO COCIENTE DE ENTEROS
En esta primera parte intentaremos mostrar
que en el nivel de los contextos, con
números expresan cantidades o medidas, el
significado de las fracciones como cocientes
puede asumir modalidades con niveles de
complejidad diversos, así como vínculos
específicos con los otros significados de las
fracciones y con otras nociones. Distinguir
estas modalidades, además de permitirnos
precisar la que asumimos en el estudio
experimental, puede ser útil para ayudar a
clasificar algunos aspectos de los
significados de las fracciones.
DOS DEFINICIONES DE LAS
FRACCIONES: COMO “QUEBRADOS” Y
COMO “COCIENTES”.
En la escuela primaria, cuando se pide a los
niños que iluminen 43
de un rectángulo, se
espera que dividan el rectángulo en cuatro
partes iguales e iluminen tres de éstas. Las
fracciones se construyen como sumas de
fracciones unitarias, 43
tiene el sentido de
partes de unidad: 41
+ 41
+ 41
. Este
significado es cercano alas primeras
construcciones conocidas en la historia de
las fracciones, las egipcias y también las
LAS FRACCIONES Y LA DIVISIÓN EN LA ESCUELA PRIMARIA: ANÁLISIS DIDÁCTICO DE UN VÍNCULO
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
58
babilónicas. En el sentido las difundido en la
vida cotidiana y también es el que se enseña
explícitamente en la primaria. Llamaremos a
estas fracciones “quebrados”.
Por otra parte, en la escuela secundaria, las
fracciones significan también cocientes:, una
escritura como 43
remite por igual a la idea
de parte de unidad: 41
+ 41
+ 41
, que a la
idea de cociente: 43
es el número que
multiplicado por 4 da 3, es 3:4.
Tenemos entonces dos significados de las
fracciones, cada una con una fuerte
presencia en la enseñanza escolar en
momentos distintos.
43
como partes de unidad: una unidad
partida en cuatro partes iguales, de las que
se toman tres.
L
0 34
43
como cociente: la medida que
multiplicada por 4 es igual a tres unidades:
L
134
2 3
LA CONSTRUCCIÓN DE LAS FRACCIONES
COMO COCIENTES
En la primaria, las fracciones no se
introducen con el significado de
subrepticiamente con fines prácticos. Por
ejemplo, para expresar una fracción como
53
en su notación decimal (0.6) se suele
enseñar a hacer la división 3 ÷ 5.
La división funge únicamente como el medio
que permite pasar de una expresión a otra
del mismo número, medio que queda por el
momento sin justificación y esto porque la
justificación (el hecho de que las fracciones
también significan cocientes) es demasiado
compleja como para introducirse en ese
momento. Otro ejemplo lo constituye la
forma de de denotar un cociente en el
contexto de la escritura de fórmulas en
geometría, por ejemplo: A = 2
hxb. En
este caso la idea de fracción (quebrado)
está totalmente ausente, la notación
fraccionaria se utiliza para indicar una
división.
Más allá de estas referencias fugaces al
cociente, cabe preguntarse si es posible
introducir las fracciones definidas como
cocientes en la escuela primaria y, en caso
de que lo fuera, si es conveniente
introducirlas de esta manera, si presenta
ventajas sobre el camino tradicional en el
que las fracciones se introducen como
quebrados, a partir del fraccionamiento de
unidades. A continuación haremos referencia
a dos estudios experimentales en los que
dicho camino fue explorado. Éstos permiten
entrever que dicha construcción es
efectivamente posible en condiciones de
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
59
trabajo muy particulares, dejan ver algunas
de las ventajas de esta opción, pero también
muestran sus limitaciones.
Brousseau (1989) diseñó una situación que
propicia la medición por conmensuración: los
alumnos tienen que comunicar la medida de
espesor de una hoja de papel. Para que otros
la clasifiquen entre varios tipos de hoja. La
imposibilidad de medir el espesor de una
hoja los lleva a la idea de proporcionar el
espesor de un paquete de hojas, por ejemplo
“8 mm, 100 hojas”. Estos pares, en realidad
razones, permiten identificar hojas de un
espesor determinado así como anticipar, a
partir de dos pares dados, qué hojas tienen
mayor espesor, o si tienen el mismo, por
ejemplo, las hojas corresponden a (8mm 100
hojas) tienen el mismo espesor que las que
corresponden a (15 mm, 100 hojas) y el
mismo espesor que las que corresponden a
(4 mm, 50 hojas).
En la medida que los alumnos manipulan
estos pares para expresar y comparar
medidas así como para sumar medidas, se
espera que les empiecen a dar, poco a poco,
el estatuto de números, esto implica pasar
de la relación “100 hojas miden 8 mm” a la
relación “una hoja mide 100
8 de mm, en
donde 100
8 de mm significa “el espesor de
una hoja tal que 100 hojas miden 8 mm”, es
decir, el cociente de 8 mm ÷ 100
Block (1987) y Balbuena (1989) realizaron
una secuencia que indica con problemas de
reparto (tiras que representan chocolates
entre diferentes cantidades de niños) y
continua con una situación en la que los
alumnos utilizan la relación de
conmensuración entre “chocolates enteros”
y “porciones de chocolate” para comunicar
el tamaño de las proporciones. Llegan
establecer del tipo (3 u, 5 l), cuyo
significado es “5 veces la tira l es igual a 3
veces la unidad”, como un medio para
comunicar la medida de l, posteriormente,
al igual que en el trabajo de Brousseau
(1989), se propician diversas anticipaciones
a partir de dichas expresiones de la medida.
L L L L LU U U
Una fracción 3/ 5, por ejemplo, en este contexto expresa la longitud deuna tira que iterada 5 veces es igual a 3 unida des, es deci r, expresa el
cociente 3 unidade s entre 5
En ambos trabajos, la noción de fracción se
construye directamente con el significado de
una razón primero, de un cociente después
sin asar por la noción de quebrado. No
obstante, si bien la construcción de la noción
de fracción que se logra mediante la fracción
– cociente es más amplia que la que se
construye con la de la fracción – quebrado,
aquella no queda exenta de dificultades de
distinto orden. Rajohn (1982) demuestra en
un estudio sobre estos dos significados de la
fracción (cociente quebrado) que éstos
constituyen dos concepciones del número
racional que se obstaculizan entre sí, en el
sentido de que la adquisición de una puede
dificulta a la otra. La cuestión de cómo
propiciar, en el nivel de la primaria, la
construcción de una de estas concepciones a
partir de la otra, constituye, hasta donde
sabemos, un problema didáctico aún no
resuelto.
Por otra parte, desde el punto de vista de la
enseñanza primaria actual, introducir las
fracciones como cocientes antes de
introducirlas como quebrados representaría
un cambio demasiado radical que
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
60
difícilmente podría ser conducido de manera
adecuada, por un lado, porque rompería con
una práctica muy arraigada en la enseñanza
(la introducción de fracciones como
quebrados), y por otro, porque situaciones
didácticas como las que anteriormente
presentamos son relativamente complejas.
DOS FORMAS DE “SER COCIENTES”
PARA LAS FRACCIONES
No obstante, las fracciones pueden jugar el
papel de cocientes d una división sin haber
sido definidas, o construidas con el
significado de un cociente.
Consideremos las siguientes divisiones 6 ÷ 2
= 3 y 3 ÷ 4 = 43
. Tanto el número natural 3
como la fracción 43
pueden ser, en
determinadas circunstancias, cocientes de
una división, como pueden ser también
productos de una multiplicación o sumas de
una adición, la diferencia esencial entre los
cocientes 3 y 43
radica en que el “3”, no es
un cociente por naturaleza, o por definición,
lo es solo circunstancialmente, mientras que
la fracción 43
puede ser definida
precisamente por el cociente de 3 entre 4, es
decir, como el número que multiplicado por 4
da 3.
Así, el vínculo conceptual entre las nociones
de fracción y de división de números
naturales puede enfocarse de dos maneras:
por un lado, la fracción puede definirse de
entrada como un cociente de dos naturales,
lo cual supone que construcción matemática
como la que mostramos anteriormente, muy
distinta a la que prevalece en la enseñanza
básica, la llamaremos “cociente por
definición”. Por otro lado, si la fracción no se
define de de entrada como un cociente, si es
un “quebrado” en el sentido que aquí le
hemos dado, puede de todas formas resultar
ser el cociente de una división de naturales,
al igual que puede serlo cualquier número,
la llamaremos, “cociente calculado”. En este
caso, la división no aparece como una
característica esencial, definitoria de la
fracción, sino como una fuente de
situaciones que implican la utilización de
quebrados.
Esto lleva a distinguir dos sentidos del signo
“=” en una igualdad como 3 ÷ 4 = 43
”;la
igualdad puede expresarse que la fracción
43
es lo que resulta de dividir tres entre
cuatro (cociente calculado), o bien, que la
escritura 3 ÷ 4 y la escritura 43
representan
al mismo número (cociente por definición).
El carácter de cociente calculado se hace
completamente explícito cuando el cociente
de la división se calcula mediante el
algoritmo de la división y se expresa con un
decimal, por ejemplo, 3 ÷ 4 = 0.75. Por lo
general lo que se expresa con esta igualdad
es el hecho de que 0.75 resulta de dividir 3
entre 4 y no porque 0.75 y 3 ÷ 4
representen al mismo número.
Vemos en una situación ya clásica, el
reparto de pasteles, la forma en que la
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
61
fracción quebrado, juega el papel de cociente
calculado.
EL QUEBRADO, COCIENTE CALCULADO
EN EL “REPARTO DE PASTELES”
Consideremos el siguiente problema de
división: 4 niños se repartieron 3 pasteles en
partes iguales, se quiere saber cuánto toca a
cada uno. Es perfectamente posible
encontrar el cociente solicitado (43
de pastel)
a partir de la interpretación de la fracción
como quebrado sin conocer la definición de
las fracciones como cocientes. De hecho esto
es lo que suelen hacer los niños cuando se
les plantea el problema:
12
14+
O bien:
14
14+ 1
4+
la fracción que resulta de la división sigue
siendo concebida como quebrado, como
suma de fracciones unitarias. El hecho de
que esta fracción tenga como numerador al
al dividendo de la división y como
denominador al divisor de algo, desde la
perspectiva de los niños que resuelven,
completamente casual que puede incluso
pasar inadvertido4.
Por ello, hasta este punto, el interés de la
situación de reparto radica en que propicia
una utilización de fracciones quebrado que
presenta ciertas propiedades didácticas: los
problemas ponen en juego varias unidades y
no una solo, permite que el resultado
fraccionario sea mayor o menor que la
unidad, permiten expresar el resultado con
escrituras aditivas diferentes, según se haya
hecho la partición y estudiar su
equivalencia, por ejemplo, 21
+ 41
= 41
+
41
+ 41
(Balbuena, H. et al., 1984), (Block,
1987), (Dávila, 1992)5
Por otra parte, aunque en estos problemas
nada obliga a introducir la noción de
fracción, tal y como lo hemos definido antes,
es posible ir un poco más lejos y plantear
como objetivo que los alumnos, además de
contrastar que la división a unidades entre b
arroja como cociente el quebrado ba
de
unidad, comprendan y anticipen la
4 De León y Feunlabrada (1996) plantearon a niños de distintos grados de la escuela primaria la situación de reparto de tres barras de chocolate entre 4 niños. observan que muy pocos niños, en
sexto grado, anticipan que el resultado es 4
3 de
barra. La mayoría se da a la tarea de realizar los repartos 5 Dávila (1992) entre otros investigadores, muestra que los repartos de pasteles implican, a cierta edad v dificultades anteriores al uso de fracciones, desde lograr hacer particiones equitativas y exhaustivas, hasta establecer equivalencias como las siguientes: una mitad obtenida partiendo un pastel rectangular en dirección vertical “tiene lo mismo” que una mitad obtenida partiendo el pastel en forma horizontal, o bien: una mitad de pastel y dos cuartos de pastel son partes iguales.
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
62
necesidad de dicho resultado. El lograr esta
anticipación, si bien no significaría que en
ese mismo momento los alumnos se
apropian del significado de las fracciones
como cocientes, si permitiría tender un
puente hacia dicha concepción.
Este objetivo ha sido asumido en mayor o
menor grado en los textos para la enseñanza
de las matemáticas dirigidos a primaria, por
lo menos desde mediados del siglo XX. A
continuación revisaremos res ejemplos
consecutivos.
2) PRESENCIA DE LA PROBLEMÁTICA
EN LA ENSEÑANZA
Revisamos algunos textos elaborados en
México a los largo de la segunda mitad del
siglo XX. En todos, la equivalencia entre la
fracción y el cociente de dos enteros ha sido
un problema de enseñanza más o menos
explícito: se trata siempre de mostrar que el
quebrado ba
, ya conocido, puede ser el
cociente de una división a ÷ b.
DOS TEXTOS DE LOS AÑOS 50
Los extractos que a continuación
presentamos, pertenecen a dos textos del
mismo autor, el Profr. Santiago Hernández
Ruiz, quien en los años 50’ se preocupó por
ofrecer información y orientación sobre la
enseñanza de la aritmética a maestros en
servicio. Varios de sus textos se encuentran
solo en la Biblioteca de la Escuela Nacional
de Maestros, son también en las bibliotecas
particulares de maestros y maestras. En su
libro “Aritmética y Nociones de la Geometría.
Tercer Ciclo (Hernández, 1954; 195), el
autor presenta las siguientes definiciones:
FRACCIÓN Y COCIENTE, TPERMINOS EQUIVLAENTES
Las expresiones 8 ÷ 5 y 58
son equivalentes. Una división puede indicarse en forma de fracción y a su vez, una fracción es un cociente indicado. Es frecuentísimo el uso alternativo de una y otra forma.
COCIENTE COMPLETO DE UNA DIVISIÓN INEXACTA
El cociente completo de una división inexacta es un número mixto que tiene por parte entera el cociente entero de la división y por parte fraccionaria un quebrado que tiene por numerador el residuo y por denominador el divisor, el cociente completo de
485 ÷ 7 = 7269 .
También puede escribirse 485 ÷ 7 =
7485
En esta breve presentación, el autor justifica
la fracción como cociente en el uso de
ciertos procedimientos o algoritmos, pero no
hay nada en la exposición del autor que de
cuenta de la forma en que pueden
vincularse.
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
63
En una obra anterior (Hernández, 1950;
216), en la parte titulada “El número
fraccionario como conjunto de unidades
fraccionarias y como consecuencia de la
división inexacta. Identidad original de
ambos conceptos”, el autor afirma que “una
vez que el alumnos a adquirido el concepto
de número fraccionario, estará listo para
usar la fracción en divisiones inexactas”.
Plantea la siguiente situación:
Si se repartieran ahora 8 tortas entre tres chicos (…) ¿Qué parte le toca, pues, de las 8 tortas?
Muy sencillo 38
. (…)
Podremos dar por lo pronto las dos tortas a cada uno y estudiar el modo de repartir las otras dos: pero entonces se trata de dividir dos tortas entre tres partes. Si una torta se puede dividir, como sabemos, entre tres niños,
tocando a cada uno 31
,
dos tortas también se podrán dividir, y la parte será justamente
el doble; 32
Tendremos pues: 8 ÷ 3 =
232
.
En este punto los caminos que van a Roma son diferentes, y todos hacederos. Solo uno excluimos inicialmente por su significación regresiva: repartir una torta entre tres niños, luego otro, luego
otra… y contar al fin 31
+
31
+ 31
+ 31
+ 31
+ 31
+ 31
+
31
= 38
(Hernández, 1950;
216)
El primer procedimiento consiste en repartir
primero unidades “completas”: 8 tortas
entre tres niños, toca a dos tortas y sobran
dos. El razonamiento que sigue es
interesante: si se reparte una torta entre
tres, cada uno recibe un tercio; si se
reparten dos, que es el doble de uno, pues
entonces también recibe el doble, dos
tercios. Este procedimiento consiste en
establecer una relación proporcional entre la
cantidad de dos tortas a repartir y la porción
de torta que toca a cada niño, con el
número de niños existente. Puede
esquematizarse como sigue:
a unidades entre b = a veces b1
de unidad
= ba
de unidad
Llamaremos a este procedimiento “La
conservación de las razones internas” una
pieza clave del procedimiento consiste en
pasar por una división cuyo dividendo es la
unidad (una torta entre tres niños). En este
caso, no hay ninguna dificultad en
establecer que el cociente de la división (1 ÷
3) es la fracción 31
.
El segundo procedimiento sugiere repartir
cada torta por separado de donde a cada
niño tocan 8 veces la torta. Este
procedimiento se traduce también en la
relación que hemos descrito arriba a
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
64
unidades entre b = a veces (1 unidad entre
b). la diferencia es que aquel, el factor “a
veces” expresa una razón que se conserva
en una relación proporcional, mientras que
en este, el factor “a veces” tiene un referente
más concreto, proviene de un conteo de las
veces que se reparte una torta. Claramente,
este último, es más fácil de comprender. Lo
llamaremos “la partición de cada unidad”
Finalmente, al plantear la “operación en
abstracto” Hernández propone obtener el
total de tercios contenidos en 8 enteros y
después dividirlos entre 3. Un procedimiento
como éste puede provenir de la búsqueda de
una partición tal que el número de partes
que se obtiene pueda dividirse entre 3, sin
residuo. Llamaremos a este procedimiento
“utilización del divisor como factor de
partición”.
Aunque es poco probable que con la sola
lectura que propone Hernández los alumnos
d primaria pudieran comprender el por qué
de la relación en juego (porque la fracción
que resulta de 8 ÷ 3 es 38
), el texto sugiere
caminos que parecen viables para lograr el
objetivo con un desarrollo didáctico más
amplio. Desde este punto de vista, en este
libro de mediados de siglo encontramos un
relativamente buen análisis del problema,
análisis que como veremos parece perderse
en textos de las décadas posteriores.
LA ÉPOCA DE LAS MATEMÁTICAS
MODERNAS. UNA RELACIÓN DE LOS
AÑOS 70’
El ejemplo que a continuación vamos a
presentar fue tomado del libro de
matemáticas para el alumno de 5° grado de
educación primaria de la década de los 70
(SEP, 1972), el cual estuvo vigente hasta
1992. el tema se denomina Producto de un
entero por una fracción y corresponde a
lección 55. en esta lección encontramos un
ejemplo de las dificultades que se
enfrentaron en esta década al intentar
“ilustrar” o “concienciar” conceptos
matemáticos.
Estos son los primeros ejercicios que
presenta la lección:
12
12 + = 2 x = 11
212
12
+ 12
+ 12+ 1
2+ 1
2= 5 x 5
2=
Dibujo 1
Expresa en forma de multipl icación y efectúa la operación
Notemos que hasta aquí, en las
multiplicaciones presentadas, el
multiplicador (número de veces) siempre ha
sido un número entero. La fracción juega el
papel de multiplicando (medida). En el
siguiente ejercicio se pretende que los
alumnos entiendan el significado de
multiplicar un número entero (medida) por
una fracción (multiplicador.
2 x = =
es la __________ de 2
12 3 x = =
es la __________ de 3
12
Dibujo 2
Expresa en forma de multiplicación y efectúala operación
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
65
El primer ejercicio supone la siguiente
respuesta:
“2 x 21
= 122
= (entonces) 1 es la mitad de
2”, y para el segundo ejercicio:
“3 x 21
= 23
22
= (entonces) 23
es la mitad
de 3”
Así, la forma de introducir a los niños es la
lección es primero a través de una suma
iterada de una fracción de naranja (21
+ 21
+ 21
) en la que la fracción expresa una
medida, se sustituye esta suma iterada por
una multiplicación (21
+ 21
+ 21
= 3 veces
21
= 3 x 21
) en la que el número entero (3)
es un escalar (un número de veces) que
multiplica a la fracción medida: 3 veces 21
naranja. Pero en la conclusión que se
“infiere” en el segundo renglón debajo de la
ilustración, ese 3 pasa a convertirse en
expresión de una medida (3 naranjas) y el
21
pasa ahora a ser el escalar: 23
es la
mitad de 3:
Es decir, se pasa de
3 (veces) (naranjas) = (de naranja)12
32
Escalar Medida Medida
a:
3 (veces) (naranjas) = (de naranja)12
32
Escalar Medida Medida
x
¿Qué noción es la que se intenta poner aquí
en juego? Precisamente la de fracción como
cociente de dos números enteros. Al
plantear, por ejemplo, que “23
es a mitad
de 3”, se está afirmando que 23
es el
cociente de 3 ÷ 2. Sin embargo, no se parte
de dicho cociente, en ningún memento
hubo, al inicio, 3 naranjas que fueran a ser
repartidas entre 2 (lo que hay es 3 veces 21
de naranja). Se llega a la afirmación 3 ÷ 2 =
23
a través de un malabarismo numérico
que pasa por encima del contexto (se
registra un intercambio de los papeles que
juegan la fracción y el entero). Los alumnos
no pueden deducir que “multiplicar cualquier
número entero por un medio equivale a
obtener la mitad de ese número” porque no
hay una justificación que les permita
vincular, en el contexto, 23
con la división 3
÷ 2.
LOS LIBROS DE LOS 90
La reforma a los planes de matemáticas de
los años noventa se caracteriza, entre otras
cosas, por poner un mayor énfasis en la
diversidad de significados de las nociones
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
66
matemáticas y en el papel de los problemas
y de los conocimientos no formales en el
aprendizaje. En lo que corresponde a las
fracciones, puede observarse una tendencia
a posponer la introducción del cálculo formal,
en aras de proporcionar más experiencias a
los estudiantes: la introducción de fracciones
se aplaza de primer grado a tercero, la
multiplicación y la división con fracciones se
aplazan a la secundaria (séptimo grado).
En la revisión de los nuevos libros de texto
de 4º a 6º grados, centramos nuestra
atención en las situaciones en las que se
plantea la división a unidades ÷ b, cuando a
no es múltiplo de b. encontramos que ahora,
sobre todo en cuarto grado, se presentan
varias situaciones de reparto (de galletas,
papeles u hojas) en las que el resultado es
una fracción: se pide a los alumnos que
encuentren la fracción de unidad que resulta
de un reparto, que propongan formas
distintas de realizar los repartos y también
que comparen nuevos repartos (en qué
reparto tocan más, en cuál tocará menos),
por ejemplo, “En el equipo de Mario hay
cuatro niños y se repartieron 3 galletas. En el
equipo de Laura hay 5 niñas y también se
repartieron 3 galletas; a quién le tocó más
galleta, a Mario o a Laura” (SEP,
1994a:124). Estas situaciones no se
complejizan de un grado a otro, y en ninguno
de los libros se pretende que los niños
lleguen a establecer la relación “a unidades
entre b = ba
de unidades”, lo cual puede
deberse a la cautela asumida en estos libros
de texto con respecto a la formalización6
el …6 Llama la atención, sin embargo, en los problemas aparece explícitamente el conjunto de la fracción como cociente. Por ejemplo, en el
No obstante, en el libro de 5º grado
encontramos una situación distinta del
reparto en la que se utiliza, más no se
justifica, el vínculo entre la fracción y la
división (SEP, 1994a: 132 – 133).
Nuevamente a colación del algoritmo de la
división de naturales con cociente decimal,
se presenta una situación en la que es
necesario dividir el residuo:
7 2 15 1
Se da entonces la siguiente explicación: “Si
se reparte por igual el residuo 1 entre el
divisor 2, el resultado es un medio, esto es,
con números decimales 5,021
= ”.
Se ofrece la solución:
7.5 2 15.0 1.0 0
Inmediatamente se pide a los alumnos que
resuelvan las siguientes divisiones:
2 7 5 635 6 784
En la primera y segunda división, el residuo
es la unidad, en la tercera división el residuo
es cuatro. Esto marca una diferencia
importante: si se desea que el resultado se
exprese con fracciones; el residuo 1 facilita
la expresión, puesto que en este caso
particular las interpretaciones de la fracción
como quebrado y como cociente coinciden:
1 ÷2 = 21
; 1 ÷ 3 = 31
; 1 ÷ 5 = 51
, etcétera.
Pero cuando el residuo es 4 se presenta una
programa de matemáticas para 5º grado se señala como contenido
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
67
división más compleja; 4 ÷ 6 = 64
. No hay
ningún trabajo didáctico que permita
comprender por qué 4 ÷ 6 = 64
. La
ilustración de una regla general mediante la
utilización del caso particular en el que las
dificultades no se manifiestan, constituye
una de las maneras más frecuentes en la
enseñanza de las matemáticas de eludir las
dificultades.
COMENTARIO
Resulta sorprendente encontrar en el texto
más viejo, el de los años 50, las
explicaciones más variadas y claras de la
equivalencia que estudiamos, la fracción y el
cociente. El texto ofrece por lo menos tres
formas de justificar dicho vínculo sin
abandonar el contexto en el cual los
quebrados fueron definidos y cobran sentido.
Es cierto que, hoy en día, a u texto se le
exige mucho más que una “buena
explicación”, se espera de éste la sugerencia
situaciones que permitan al alumno
apropiarse de la noción, o de la relación en
juego, y esto representa una tarea más
compleja.
En el texto de los 70, el vínculo en cuestión
aparece en el tema de la multiplicación de
una medida fraccionaria por un operador
entero, multiplicación que subrepticiamente
se convierte en la de una medida entera por
un operador fraccionario. Este cambio implica
una ruptura con el contexto lo cual dificulta
seguir su hilo conductor. Finalmente, en los
libros de los años 90, el tema deja se ser
tratado explícitamente y en su lugar se
ofrecen experiencias de reparto.
El estudio experimental que presentamos a
continuación toma como punto de partida
esta última propuesta, intenta enriquecerla
al ampliar la gama de problemas
considerados mediante un cambio en el tipo
de magnitud considerada, e intenta a la vez
explorar, con los recursos didácticos con que
contamos hoy en día, la factibilidad de los
razonamientos descritos en el texto de los
año 50 para inferir explícitamente que el
cociente de la división a ÷ b es la fracción
ba
.
3) ESTUDIO EXPERIMENTAL
LOS QUEBRADOS EN EL PAPEL DE
“COCIENTES CALCULADOS”. EL
EFECTO DE UNA VARIABLE
DIDÁCTICA
Nos situaremos a continuación en la familia
de problemas que dan lugar a utilizar los
quebrados en tanto cocientes calculados. Se
trata de problemas en los que una cantidad
concreta (a unidades) es objeto de una
partición (entre b) cuyo cociente es otra
cantidad, como una fracción de unidad (ba
de unidad).
A esta familia de problemas pertenecen los
clásicos repartos de pasteles (o de barras de
chocolate, de tortas, o cualquier otra
colección de objetos fraccionables). En
ciertos repartos, aquello que es objeto de
partición es una colección de objetos y por
lo tanto es una magnitud discreta, aunque
los objetos, considerados individualmente
puedan ser fraccionados, y por lo tanto
constituyan e sí mismos una magnitud
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
68
continua (superficie, longitud, peso). Esto es
lo que permite realizar el reparto repartiendo
cada objeto por separado y con ello concluir
que a objetos entre b es igual a a veces un
objeto entre b (procedimiento “partición
unidad por unidad”).
En otro estudio (Block, 2001) hemos
observado ya la posibilidad de propiciar en
estudiantes de quinto grado, un
razonamiento como éste al plantear repartos
en los que el número de pasteles varía
mientras que el de niños es constante:
Si se reparte un pastel entre 7 niños,
a cada uno le toca 71
de pastel.
Si se reparte otro pastel más, les
toca otro 71
de pastel, es decir, 72
.
En general, si se reparte n pasteles,
como de cada pastel les toca 71
, tendrán 7n
…
El hecho de que el reparto a pasteles entre b
resulte la fracción ba
de pastel deja de ser
entonces casual para volverse necesario.
LA VARIABLE “MAGNITUD DISCRETA O
CONTINUA”
Nos interesamos ahora por el efecto de la
variable “tipo de magnitud”: ¿qué sucede
si la magnitud en juego es continua, si las
unidades no existen físicamente separadas,
por ejemplo el “reparto” de una longitud de 3
metros? Podría pensarse que la magnitud
longitud al expresarse mediante una medida
como “tres metros”, se ha “discretizado” y
que los metros pueden ser considerados
como los pasteles. Sin embargo, el contexto
suele tener un peso significativo, sobre todo
en las primeras experiencias. Si el problema
consiste, por ejemplo, en cortar un listón de
tres metros para obtener cuatro listones del
mismo tamaño, evidentemente no se va a
cortar cada metro de listón en cuatro para
después juntar tres pedazos de un cuarto.
En un problema como el del listón, a
diferencia de uno de reparto de pasteles, el
cálculo de la medida buscada mediante la
partición de cada unidad no corresponde con
las acciones que se llevarían a cabo
físicamente. Dicha resolución requiere
desprenderse del contexto y probablemente
por ello no es una solución inicial. Dos
experiencias puntuales en las que aplicamos
problemas como el del listón a grupos de
alumnos de quinto grado quienes ya habían
establecido el algoritmo “a pasteles entre b
personas es igual a ba
de pastel”, sugieren
efectivamente que ésta transferencia no es
espontánea.
La estrategia en el problema del listón se
corresponde más con las acciones físicas
que se realizan (tomar la longitud de tres
metros y partirla en cuatro) podría ser la de
dividir tres metros entre cuatro. Estaríamos
entonces frente a un problema trivial cuando
los niños ya saben realizar esta división con
cociente decimal; 3 metros entre cuatro es
igual 0.75 metros. Una solución aún más
simple podría consistir en aprovechar que la
medida se exprese en el sistema decimal
para cambiar la unidad de manera que el
cociente sea entero; 300 cm entre 47
7 Notemos que el problema de reparto de pasteles estas soluciones no suelen aparecer, por ejemplo.
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
69
Pero si dicha división se plantea antes de que
los niños dominen el algoritmo
correspondiente, y si además se utiliza una
unidad no convencional, por ejemplo,
”3 varas entre 4”, es probable que los niños
ya no piensen en recurrir al algoritmo de la
división, el problema deja entonces de ser
trivial. Cabe suponer que una estrategia
inicial para realizar la división será en este
caso la de la falsa posición, utilizando
medidas expresadas con fracciones, por
ejemplo: se estima que la medida resultante
puede ser 21
metro, se multiplica 21
por 4,
se obtienen dos metros, se concluye que el
cociente debe ser mayor, se vuelve a
estimar, etcétera.
Entonces el tipo de magnitud en juego podría
afectar la manera de resolver: mientras el
reparto de pasteles propicia la obtención
progresiva del cociente mediante la partición
de cada unidad, el problema de dividir una
longitud podría propiciar la búsqueda de una
medida que satisfaga la condición de que,
repetida cierto número de veces, sea igual a
otra medida.
Nos interesa estudiar si en este último
problema es posible propiciar que la
búsqueda de dicha medida se realice
mediante un procedimiento más sistemático
que el del ensayo y error, y, en particular, si
es posible, establecer, a partir de alguno de
los procedimientos de resolución, la relación
3p: pasteles entre 4 = 0.75 de pastel, o bien 300 centésimas de pastel entre 4 = 0.75 centésimos de pastel. Aunque en la práctica la utilización de decimales en lugar de fracciones abarca, por cierto pocos numerosos, sobre todo cuando las unidades no pertenecen a un sistema decimal establecido y cuando la fracción e juego es un simple medio
“a ÷ b debe ser igual a ba
”. Estas preguntas
más específicas orientaron la experiencia
que presentamos a continuación.
LA SITUACIÓN DIDÁCTICA
FUNDAMENTAL8
Se considera a un conjunto de “robots”, por
lo general cuatro, que al dar un número
determinado de pasos (todos al mismo
tiempo), avanzan cierta distancia (medida
de unidades arbitrarias). Se pregunta por el
tamaño de un paso de cada robot. Por
ejemplo:
Robot Distancia recorrida en 5
pasos
Distancia recorrida en
un paso A 1 unidad B 2 unidades C 3 unidades D 4 unidades
En algunas situaciones se pide únicamente
que construyan físicamente la longitud del
paso (se utilizan tiras de cartoncillo para
representar la longitud) y en otras se pide
además que determinen la medida. La
primera opción no requiere del uso de
fracciones, pero permite comprender la
consigna e incorporar recursos que después
puedan facilitar la obtención de la medida.
El tamaño del paso de cada robot está
determinado por la división “distancia en b
pasos entre b”. la división (÷b) juega el
papel de operador constante en la relación
8 El término es propio de la Ingeniería Didáctica y se refiere a la situación a partir de la cual se genera un campo de problemas al modificar ciertas variables. “Una situación es fundamental respecto al conocimiento que interesa hacer funcionar, cuando es posible, mediante el juego de las variables presentes en ella, hacerla coincidir con cualquier situación en la cual intervenga ese conocimiento (Galvez, 1994: 451)
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
70
proporcional entre el recorrido en b pasos y
el tamaño del paso.
Materiales: cada equipo recibe una ficha de
trabajo en la que se presenta la información
en una tabla como la anterior. Además,
reciben las siguientes tiras de cartoncillo:
Tira numerada (tira amarilla)
0 1 2 3 4 5
Tira unidad de la misma longitud que las
unidades de la tira numerada:
Tira para “construir” el “paso”
EL PROCEDIMIENTO QUE SE QUISO
PROPICIAR
Entre los procedimientos de resolución previa
(los veremos más adelante al analizar lo que
hicieron los alumnos) explicaremos aquí
únicamente el procedimiento que
trataremos de propiciar con las sucesivas
aplicaciones de situación fundamental, por
considerarlo el más económico y adecuado
para que los alumnos establecieran y
comprendieran la relación a ÷ b = ba
.
La medida del paso de un robot que en b
pasos avanza a unidades puede obtenerse a
partir de alguna de las medidas ya
calculadas, en particular, a partir de la del
paso del robot que en ese mismo número de
pasos avanza solo una unidad. Por ejemplo,
avanza una unidad en 5 pasos, el tamaño de
su paso es fácil de determinar: 51
de
unidad. U robot que recorre, en ese mismo
número de pasos 3 unidades, debe tener un
paso tres veces mayor. Su paso mide
entonces 3 veces de unidad.
Robot
A
C
Distancia recorrida Distancia recorrida en 5 pasos en 1 Paso
1 unidad
3 unidades
de un idad
de unidad
1535
X 3 X 3
Ya habíamos visto este procedimiento en el
texto del maestro Hernández Ruiz. Se trata
de aplicar la conservación de las razones
internas: en el mismo número de pasos, a un
recorrido 3 veces mayor, corresponde un
paso 3 veces mayor. Este procedimiento
permite establecer la siguiente relación:
A unidades ÷ b = a veces (1ª ÷ b) = a veces
b1
= ba
.
Para propiciar que se consideren estas
razones internas, en la situación
fundamental se presentan sistemáticamente
varios robots
que dan un mismo número de pasos.
Además, en la primera aplicación de esta
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
71
situación y en algunas más se incluyó entre
los robots al que avanza una sola unidad.
Cuando el robot que avanza una unidad no
se incluye, recurrir al procedimiento en
cuestión implica la dificultad adicional, nada
pequeña, de proponer su existencia como un
medio que facilita los cálculos.
LA SECUENCIA DE SITUACIONES
La decencia comprende ocho situaciones. Las
tres primeras fueron el antecedente de la
situación fundamental (cuarta situación) y
tuvieron el propósito de permitir a los
alumnos familiarizarse con las relaciones en
juego, tamaño de un paso, número de pasos
y distancia total. En estas situaciones
establecieron relaciones como: si el número
de pasos es el mismo, entre más grande es
el tamaño de un paso, más grande es el
recorrido.
Las situaciones posteriores a la situación
fundamental tuvieron los siguientes
propósitos: brindar experiencias similares
para permitir a los alumnos mejorar sus
procedimientos; difundir los procedimientos
de resolución y propiciar si discusión;
estudiar la aplicación de relaciones y
procedimientos a situaciones con la misma
estructura pero en diferente contexto9
LA EXPERIMENTACIÓN Y EL ANÁLISIS
Para cada situación se desarrollaron las
siguientes tareas:
9 La descripción detallada y el análisis previo de cada situación pueden consultarse en Solares (1999)
Análisis previo. En este análisis señalamos
las características generales de la situación,
los objetivos, los momentos de la clase, su
organización y las consignas. Expusimos las
hipótesis referentes a los razonamientos y
procedimientos que esperábamos de los
alumnos, así como los posibles errores.
Experimentación y registro. La secuencia se
aplicó a un grupo de 5º grado de educación
primaria con 36 alumnos10. Los alumnos han
estudiado las fracciones desde tercer grado,
en tanto quebrados, la equivalencia de las
fracciones, la suma y la resta con distinto
denominados, así mismo, han empezado a
estudiar la notación decimal de las
fracciones.
Las sesiones fueron dirigidas por la maestra
del grupo, a quien previamente se explicó el
objetivo y las fases de cada sesión. Se
realizaron de una o dos sesiones a la
semana con una duración de 60 a 90
minutos.
Cada sesión fue observada y registrada por
dos observadores (en algunas sesiones)
quienes observaron a dos o tres equipos.
Los protocolos de las sesiones se realizaron
además con el apoyo de las grabaciones y
de las fichas de trabajo de los alumnos.
Análisis posterior a cada sesión. Al término
de cada sesión se realizó un primer análisis
de lo ocurrido con la finalidad de tomar
decisiones sobre la comunicación de la
secuencia. Efectivamente, en función de lo
que sucedió en una clase, se hicieron
modificaciones a las clases siguientes.
10 La escuela primaria es de nivel socioeconómico heterogéneo y se caracteriza por un buen nivel.
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
72
Análisis final. En éste se hizo un análisis
global del proceso, principalmente
contrastando las hipótesis planteadas en el
análisis previo con los procedimientos,
argumentos y errores observados durante la
secuencia.
RESULTADOS: DIVERSIDAD DE
PROCEDIMIENTOS
Los niños del grupo desarrollaron una
diversidad considerable de procedimientos
para resolver la situación fundamental. Los
organismos en dos grupos: procedimientos
de ensayo y error, que la mayoría de los
alumnos utilizó en la primera aplicación de la
situación, y procedimientos más
sistemáticos, que algunos desarrollaron
desde la primera aplicación, y otros más
adelante.
PROCEDIMIENTOS DE ENSAYO Y ERROR
a) Obtener físicamente “el paso” por
ensayo y error. Por ejemplo, para un
robot que avanza 3 unidades en 5
pasos, algunos alumnos cortaron un
pedazo de la tira y la y la iteraron
sobre la tira numerada para ver si
llegaban a o no a la meta. De
acuerdo al resultado obtenido,
cortaron un pedazo más grande o
más pequeño al anterior.
0 1 2 3 4 5
b) Obtener físicamente el tamaño del
paso formando una longitud igual al
recorrido total y partiéndolo entre el
número de pasos.
Para el mismo ejemplo (tres
unidades en cinco pasos), los niños
cortaron una tira de longitud igual a
3 unidades, y la partieron en 5
partes iguales.
En los procedimientos a) y b), una vez
que se tuvo el paso, algunos intentaron
asignar una medida comparando el paso
con la unidad, por diferentes medio.
• Estimando: “un poco más de
la mitad”, como un tercio
(de la unidad)…
• Doblando la tira unidad en
medios, en cuartos, y,
finalmente, aproximando
con octavos.
En este último procedimiento podemos
ver la puesta en marcha de un sistema
de medición binario basado en el mismo
principio que el decimal: así como en el
sistema decimal cualquier medida puede
ser aproximada mediante fracciones
decimales (del tipo m
n10
, en este, las
medidas de aproximan mediante
fracciones del tipomn
2
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
73
c) Sin utilización del material, estimaron
una fracción de unidad, la verificaron
multiplicándola por el número de
pasos (o sumándola iteradamente) y
la ajustaron progresivamente. Por
ejemplo, para un robot C, que
avanza 9 unidades en 7 pasos, se
presentó el siguiente diálogo en un
equipo11:
Ismael a Juan. Es menos de uno y medios
(…)
Alejandro Va a llegar al nueve y se a pasar
por un medio. Vean (prueban sobre la tira
amarilla y se pasan sobre lo previsto)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
(…)
Alejandro. (…) tiene que ser entre uno y
uno y medio
Ismael. Tendría que ser entre uno y un
cuarto
(prueban con 1 ¼ pero les falta un
poco para llegar a 9, llegan a 83/4
Alejandro. Un tercio es más de un cuarto
pero menos de un medio
Ismael. Sí, un tercio
Alejandro. Un quinto es más chico que un
cuarto, un tercio es más grande. Uno y un
tercio (intentan con un entero y un tercio,
pero al avanzar 6 pasos llegan ya a 8
unidades (…)
Obs. Entonces, si es un paso y un cuarto, le
falta, si es un paso y un tercio, le sobra,
¿cuánto tendría que ser? (…)
Juan. Un paso un quinto (…)
11 Las abreviaturas de los registros se refieren a lo siguiente: Obs: Observadora; Ao. Alumno; Aos, alumnos; M maestra; Mo. maestro
Alejandro. Pero es que mira, un quinto es
más chico que un cuarto, y si con un cuarto
no se pudo, con un quinto menos.
Ismael. Un octavo.
Alejandro. ¡Ay! (risas)
La búsqueda de una medida x que satisfaga
la condición 7 veces x = 9 unidades, lleva a
los niños a estimar varias medidas, a
iterarlas y ajustarlas hasta encontrar una
buena acotación entre números formados
con fracciones unitarias: 1¼ < x < 1. Cabe
señalar que cuando los alumnos estimaron
medidas fraccionarias, casi siempre fueron
unitarias. Este podría haber sido un buen
momento para preguntar y estudiar si
existen o no fracciones mayores que ¼ pero
menores que 1/3.
PROCEDIMIENTOS MÁS SISTEMÁTICOS
LA BÚSQUEDA DE UNA PARTICIÓN
CÓMODA DE LA UNIDAD
Varios alumnos tenías claro que el problema
se resolvía con una división, pero se
encontraban con una división “difícil” de
realizar, ya que el dividendo no era múltiplo
del divisor y generalmente era menor que el
divisor. Por tal razón, optaron por partir
cada unidad en determinado número de
partes para después dividir el total de partes
entre el número de pasos. El problema a
resolver ahora era ¿en cuántas partes
conviene partir cada unidad? Aquí tenemos
un ejemplo de esta búsqueda, nuevamente
para el Robot C que avanza 9 unidades en
7 pasos
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
74
Alejandro. (…) Miren, necesitamos cuarenta
y cinco quintos para llegar aquí (a 9
unidades) cuarenta y siete quintos entre
siete.
Obs. ¿Por qué cuarenta y cinco?
Alejandro. Por que de aquí al nueve
necesitamos cuarenta y cinco quintos
Obs. Pero, ¿por qué quintos?
Alejandro. ¡Ah! Pues es lo que yo saqué (…)
Ismael. Séptimos, serán séptimos
Sin embargo, Ismael sigue probando con 1 +
½ + ¼ (…)
Alejandro. De allá a acá (del 0 al 9) en
sextos serian cincuenta y cuatro sextos.
Obs. ¿Por qué sextos?
Alejandro. No sé (a Ismael) ¿por qué me
dijiste sextos?
Ismael. ¡Séptimos!
En cada uno de sus intentos, Alejandro logra
una medida aproximada pero no se
conforma, desea la medida exacta y se
encuentra con un problema: e queda un
residuo. Más adelante veremos cómo
resuelve su problema, por ahora, veamos
ahora dos tipos particulares de partición.
• Partir cada unidad en décimos (para
un Robot que avanza 2 unidades en
5 pasos)
Rolando. Nosotros le pusimos un cero al 2,
tengo 20, vi entre 5 cuando me sale y saqué
el cuatro… y ya para ponerlo normal le puse
un 10 y le puse104
Obs. Repite la explicación de Rolando
escribiendo en el pizarrón la división descrita
por Rolando:
4 5 20
Obs. ¿Cuatro décimos cuántos se escribe?
Ao. Un cuatro y abajo el diez
(…)
Rolando. Hay que multiplicar cinco veces y
ya sale
Obs. Pero este cuatro décimos, ¿qué
representa? El tamaño del paso, el número
de pasos…
Rolando. Un paso. Y cinco veces llegaría a
dos unidades
Obs. ¿Lo sumo? ¿Cómo le hago?
Rolando. Los sumas
Obs. ¿Cuántas veces?
Rolando. Cinco veces
Obs. (Escribe la suma en el pizarrón y
obtiene 1020
). ¿Y cuánto da eso?
Rolando. Dos unidades, dos enteros
La partición de la unidad en décimos (y
centésimos, si es físicamente posible)
constituye la forma instituida de aproximar
una medida fraccionaria con decimales. El
procedimiento de Rolando es de hecho el
principio del algoritmo de la división con
cociente decimal. Aunque en este caso
particular el procedimiento se facilitó por el
divisor 5 (al dividir el total de décimos entre
cinco no hay residuo) la idea de “partir las
unidades” en décimos proporciona una
buena entrada para el estudio de dicho
algoritmo.
• Partir cada unidad en el número de
pasos
Al partir cada unidad en el número de pasos
se obtiene ya no un resultado aproximado,
sino exacto, pues el número de total de
partes que se obtiene es múltiplo del divisor
(número de pasos). Volvamos al equipo de
Alejandro: los alumnos han estado buscando
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
75
un factor de partición que les permitiera
dividir el total de partes entre el número de
pasos sin que haya residuo. De una manera
que no logramos identificar, Alejandro
descubre que el número de pasos
proporciona la partición deseada. Trabaja con
el robot que avanza 4 unidades en 5 pasos:
(…)
Alejandro. En cinco partes (unidades) hay
20 quintos
Ismael. Son dos cuartos y un cachito (no
atiende a la idea de Alejandro, siguen
buscando por ensayo y error).
Alejandro. Sí, pero ese cachito ¿cómo lo vas
a sacar?... cuatro por cinco serían los veinte.
Ismael. En cuartos sería en los que se
divide…
Alejandro. No, porque mira, esto (la
unidad) lo vamos a partir en quintos. Lo que
tenemos que hacer es cómo llegar en cinco
pasos a veinte quintos.
Obs. ¿Cómo distribuyes los veinte quintos en
cinco pasos?
Alejandro. ¡Cuatro quintos!
(Ismael le pide que lo compruebe. Alejandro
divide con dificultad la unidad en quintos.
Finalmente obtiene los cuatro quintos y
comprueba sobre la recta que,
efectivamente, llega a las 4 unidades en 5
pasos)
Más adelante, frente a otro problema, Ismael
y Alejandro muestran que han podido
generalizar su procedimiento. Para un robot
que avanza 9 unidades en 7 pasos:
Alejandro. Ya pudimos. Primero hicimos lo
que nos dijo Ismael, de acá al nueve hay
sesenta y tres unidades (séptimos) lo
dividimos entre siete y nos dio nueve,
entonces… de acá a acá hay 63 séptimos
entonces lo dividimos eso entre siete,
porque eran 7 pasos y nos dio…
Ismael. De nueve no sobra nada. Nos dio a
nueve y no sobra nada
Alejandro. Con nueve séptimos llega acá
(Al número 9)
(…)
Obs. ¿Y cómo sacaron los 63 séptimos)
Alejandro. Multiplicamos siete por nueve
Este procedimiento se difundirá rápidamente
entre varios miembros del grupo. Es,
efectivamente, un procedimiento accesible y
eficiente que permite encontrar que a
unidades entre b es igual a ba
de unidad.
Notemos sin embargo que no permite, en
cambio, comprende por qué resulta
precisamente la fracción cuyo numerado es
el dividendo y cuyo denominador es el
divisor. El recorrido, compuesto de varias
operaciones, es demasiado largo, y la
explicación es de índole algebraica:
ba
bbabb
babba =÷=÷=÷
No obstante, independientemente de la
explicación anterior, la cual deberá esperar
todavía algunos años, el procedimiento
constituye un logro importante en los niños,
representa el nivel de sistematización más
alto que se encontró en esta experiencia.
b) El algoritmo de la división con
cociente decimal
Vimos anteriormente que en un equipo
optaron por partir la unidad en décimos,
procedimiento que está en el origen de la
división con cociente decimal. Otros alumnos
(pocos) intentaron aplicar de entrada el
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
76
algoritmo para dividir el número de unidades
del recorrido entre el número de pasos. Se
toparon con dos tipos de dificultad: la falta
de dominio de dicho algoritmo y la dificultad
para interpretar un decimal aplicado a la
unidad “tira”: los centésimos no representan
centímetros, entonces ¿qué representan? A
continuación presentamos un ejemplo cuyo
interés radica en que los alumnos solo
lograron obtener la primera cifra decimal del
cociente, y, a partir de esa aproximación
intentan acercarse más al cociente exacto
mediante un proceso de sumas itreradas.
Primero aparece la siguiente división:
1.1 6 7.0 10
Y después las sumas
1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.2 6.6 7.2
En esta búsqueda surgen dos problemas que
podrían ser objeto de un estudio específico:
primero, nuevamente aparece el problema
de la densidad: ¿hay o no un número
comprendido entre 1.1 y 1.2? Por otra parte
cabe preguntar si en algún lugar momento
debe quedar un resultado de cero, es decir,
si el cociente de dos números naturales debe
poderse expresarse siempre de manera
exacta mediante un decimal. La búsqueda
de los alumnos parece indicar que ellos
piensan que así es.
c) Identificar las relaciones internas.
Este fue el procedimiento que se quiso
propiciar en la secuencia. No obstante, muy
pocos alumnos la desarrollaron. Veamos
primero un ejemplo en que entre los robots
figuraba el que recorre una sola unidad.
Erick. Primero dividimos la unidad de
medida en cinco partes, que es el robot A (el
robot A avanza 1 unidad en 5 pasos), y
después como son unidades (robot B), es el
doble de A.
M. ¿Cómo escribieron su mensaje?
Erick. Igual (al equipo anterior: “Haz robot
que dé un paso de 52
”) (…)
M. ¿Y cómo podríamos saber que realmente
es el paso exacto?
(Erick explica dibujando en el pizarrón)
Erick. Como esto es una unidad entera
(señala del 0 al 1 en la recta), lo dividimos
en cinco partes, que es el robot A: entonces
como ese robot es una unidad y éste es dos
unidades (B), ocupamos dos (dos unidades
de la recta, del 0 al 2) (dibuja en el pizarrón
una tira unidad y la divide en cinco partes
iguales): Como el A tiene solo este (señala
51
de la unidad que dibujó) y el B tiene dos,
agarramos dos.
A
B
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
77
Es decir:
Distancia en 5 pasos
Distancia en un paso
Robot A
1 U
51
de Un
x 2
x 2
Robot B
2 U
52
de U
Veamos ahora un ejemplo en el que el robot
que avanza una unidad no figuraba entre los
robots de la lista.
(Para un robot que avanza 5 unidades en 7
pasos)
Raúl. Primero dividimos entre siete, de esos
siete solo tomamos cinco.
Mo. ¿Pero por que agarramos cinco?
Raúl. Porque nada más eran cinco unidades
Mo. (…) nos deja medio desconcertados,
parece magia. Porque eran cinco unidades
siete pasos, ustedes nada más agarraron la
unidad la dividieron en siete y tomaron cinco.
¿Cómo supieron que si les iba a salir? (…)
Maltos. Si quisiéramos llegar a la unidad en
siete pasos nada más necesitaríamos un
séptimo y si quisiéramos llegar a dos
unidades serían dos séptimos y así va
aumentando hasta llegar al cinco y cinco
séptimos y llegaríamos a la quinta unidad.
La utilización de esta relación de escala, a un
recorrido n veces mayor corresponde al paso
n veces mayor, como recurso para resolver
el problema se reveló aún difícil para la
mayoría de los niños de quinto grado de
primaria.
d) Indicación de la medida de un paso
como fracción unitaria del recorrido
total.
Vimos anteriormente que algunos alumnos
construyeron físicamente la tira que
representa un paso uniendo el número de
tiras del recorrido total y partiendo esta
unión en un número de partes igual al
número de pasos.
En un equipo derivaron de este
procedimiento una forma de proporcionar la
medida del paso. Por ejemplo, para el robot
que recorre 3 unidades en siete pasos:
“Divide 3 unidades entre 7 pasos, el
resultado va a ser el tamaño del paso”. O
bien, “31
de 7 unidades”.
Esta forma de indicar la medida fue
cuestionada por otros alumnos, quienes
argumentaban que se dejaba al constructor
de robots el trabajo de calcular la parte de
la unidad. No obstante, dio lugar a analizar
la equivalencia entre esta forma de expresar
la medida y la y la que otros encontraron.
Veamos la discusión acerca de si 32
de
unidad es lo mismo o no que 51
de 2
unidades.
Mariel y Erick argumentan contra dicha
equivalencia en buena parte porque no
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
78
consideran la “nueva unidad” (2 unidades” y
se siguen centrando en una sola unidad:
Mariel. Partieron una unidad en cinco
partes, pero tenían que haber partido a las 2
unidades en quintos para que puedan sumar
los dos quintos… pero ellos nada más
tomaron un quinto de una unidad.
(…)
Erick... Con un quinto de dos unidades está
mal, porque en todo caso serían dos quintos
de dos unidades.
Este es un diálogo entre alumnos que están
de acuerdo con la equivalencia entre ambas
expresiones:
Ao1. Entonces sería así: agarraríamos una
unidad, dos unidades, las pegaríamos y
después las dividimos en quintos.
Ao2. Es lo mismo (que 52
de unidad)
Ao1. Sí, pero con palabras diferentes… Sí
está bien, porque si las juntas, lo partes en
quintos, serían dos quintos de unidad… ¡de
una de esas unidades!, Bueno los juntas y
tienes dos unidades Un quinto serían dos
unidades porque tendrías diez quintos,
bueno… tendrías… tendrías un quinto de las
dos unidades. Sería igual a dos quintos.
Por otra parte, notemos que la información
que los alumnos proporcionan en esta
modalidad, “51
de dos unidades”, ó “2
unidades entre 5” da cuenta perfectamente
de la medida del paso. De hecho, todas la
medidas en juego podrían expresarse
mediante esta relación de conmensuración
entre unidades y pasos lo cual permite no
solo reproducir el paso dada la unidad, sino
también comparar el tamaño de dos pasos y
encontrar expresiones equivalentes para un
mismo tamaño de paso. Si e algún momento
se propusiera la escritura 52
para denotar el
tamaño del paso que en 5 pasos llega a dos
unidades, tendríamos una construcción de
las fracciones definidas como cocientes. No
obstante, éste no fue el camino que nos
propusimos explorar con esta secuencia.
EL PAPEL DE LA VERIFICACIÓN
La verificación, en sus distintas
modalidades, permitió a los alumnos poner
a prueba, una y a la vez, el grado de
exactitud de sus resultados, y con ello, la
pertinencia de sus procedimientos. Además
de esta función, la verificación favoreció el
que los alumnos establecieran una relación
multiplicativa entre los datos: si a ÷ b = x
entonces b veces x = a. por ejemplo, para
un robot que avanza 3 unidades en 7 pasos.
Zulu. Los tres séptimos es la medida del
paso y dice la distancia recorrida en siete
pasos, entonces la podemos multiplicar por
7.
Joel. Yo creo tres séptimos de las tres
unidades es una fracción (de una unidad), y
multiplicándolo 7 veces porque son 7 pasos,
eso me da tres, tres unidades.
(Para un robot que avanza 5 unidades en 7
pasos)
Alejandro. Mira el paso de cinco séptimos,
lo multiplicas por 7 porque son 7 pasos y me
da 35 séptimos. O sea del cero al cinco hay
treinta y cinco séptimos y luego lo divido
eso entre 7
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
79
Este papel de la verificación aritmética en el
aprendizaje de la división para establecer
una relación multiplicativa ya fue señalado
por Moreno (1996) en un estudio sobre la
noción de división en la escuela primaria12
Conclusiones:
El análisis del conjunto de procedimientos
que los niños desarrollaron a los largo de las
aplicaciones de la situación fundamental
permite concluir lo siguiente:
Primero, efectivamente la variable “tipo de
magnitud” influyó de manera determinante
en la forma de abordar el problema se
generó una diversidad de procedimientos que
se ponen en juego en los problemas clásicos
de reparto.
Segundo, el procedimiento que se quiso
propiciar (el recurso de las razones internas)
fue puesta en marcha por muy pocos niños
de manera que no podemos afirmar que la
secuencia la propicie, no por lo menos en el
nivel escolar con el que trabajamos.
Tercero, no obstante lo anterior, varios niños
lograron establecer la relación a ÷ b = ba
,
pocos a partir del procedimiento de las
razones internas, la mayoría a partir del
procedimiento de partición de la unidad entre
el número de pasos. Lograron también, en
una de las últimas situaciones, establecer la
12 Moreno afirma: “Dividir partiendo de un cociente hipotético. Ubicados en este punto final, el problema que los niños enfrentan aplica ahora multiplican (…) puede decirnos entonces. Que es en el momento de la verificación (espontánea o propiciada). De la acción inversa del reparto, cuando se produjeron los primeros procedimientos numéricos formales para resolver divisiones, y cuando se estableció la relación multiplicativa entre los datos de un problema de reparto (Moreno, 1996; 206)
relación recíproca, dada una fracción de
unidades, encontraron un número de
unidades del recorrido (numerador) y un
número de pasos (denominador) que arroja
este tamaño de pasos.
Desde el punto de vista de la comprensión
del vínculo entre la división a ÷ b y la
fracción que resulta, ba
necesitamos
distinguir dos niveles: la mayoría de los
niños, quienes utilizaron el procedimiento de
partición de las unidades en el número de
pasos pudo constatar, que un contexto
distinto al reparto de pasteles, que el
resultado de una división a ÷ b es la
fracción ba
. Pero muy pocos pudieron
comprender el por qué de la relación en
cuestión, posiblemente sólo aquellos que
utilizaron el procedimiento de las razones
internas.
Por último, independientemente del
propósito de establecer una relación entre la
división, el problema que hemos estudiado,
calcular la medida fraccionaria que resulta
de dividir otra medida, se reveló adecuado
para propiciar la utilización de los
“quebrados” que los niños están en proceso
de aprender. El problema brinda la
posibilidad, además, de propiciar el estudio
por parte de los niños de aspectos de las
fracciones que normalmente no se
problematizan, entre los que destacan la
densidad del orden y la relación con los
decimales.
Cabe decir también que las situaciones que
hemos analizado no agotan la problemática
de este vínculo. En los problemas que
SOBRE EL USO DE CIERTOS PROBLEMAS EN AL EXPLORACION DEL RAZONAMIENTO PROBABILISTA DE LOS ALUMNOS_________________I________________________________
80
hemos considerado hasta ahora, la división
en juego ha sido siempre una división de una
medida entre un escalar, y por lo tanto el
cociente también es una medida; tres
pasteles (medida) entre cuatro (escalar) es
igual a 43
de pastel (medida). Recordemos,
sin embargo, que en el trabajo con
cantidades hay otros tipos de división, entre
los cuales está la división “comparación” (o
“agrupamiento”, en ciertos casos). Es la
división que se establece entre cantidades de
la misma especie para determinar cuántas
veces una es la otra, por ejemplo ¿cuántas
veces 3cm es igual a 4 cm? El cociente en
estos casos no expresa una medida sino un
número sin dimensión, un escalar.
Esta división es más compleja que la que
vimos antes puesto que ahora no se trata de
“partir” una cantidad en partes iguales, sino
de encontrar “un número de veces”, (un
operador multiplicativo fraccionario13). El
hecho mismo de plantear la división es ya
muy complejo puesto que requiere concebir
de antemano que pueden existir un número
que, por ejemplo, multiplicado por 3 dé 4,
requiere de una concepción de la
multiplicación distinta, más amplia, que la
de suma repetida que se adquirió en los
naturales.
Así, “cociente medida”, o “cociente escalar”,
“cociente por definición” o “cociente
calculado” constituyen modalidades del
significado de la fracción como cociente con
niveles de complejidad muy distintos (Block,
2001).
13 En Behr. et. at. (1992; 308) se distinguen estas dos modalidades de la fracción cociente se analiza cada una desde la perspectiva de los procesos de redefinición de la unidad
Señalemos, para terminar, que la
importancia del conocimiento que aquí fue
objeto de estudio, el vínculo entre la división
y la fracción, no radica tanto en la
posibilidad de resolver problemas cuyo
contexto es extramatemático, pues en los
problemas de este tipo que implican una
partición, por ejemplo, dividir una cantidad
de litros o de kilogramos, se recurre
frecuentemente a una herramienta más
práctica que la fracción; la división como
cociente decimal. La importancia de este
conocimiento radica más en la posibilidad de
articular nociones, concepciones que los
alumnos están en proceso de aprender
(división y fracción) y cuya integración, en
un futuro, se da por adquirida.
EXPERIENCIA DIDACTICA__________________________________________________________
CINVESTAV
La experiencia didáctica que se presenta a
continuación forma parte de un estudio sobre
las formas en que la noción de razón
interviene en la construcción de diversos
conocimientos matemáticos que se estudian
en la escuela primaria (Block, 2001).
Esta noción, la razón se encuentra en la
intersección de dos temas que han sido muy
estudiados, la proporcionalidad, sobre todo
desde la perspectiva del desarrollo cognitivo
(e.g. Inhelder y Piaget, 1955; Noelthing,
1981ª y 1981b; Karplus et. Al ., 1983) y los
números racionales, desde una perspectiva
didáctica (e.g. Kieren, 1988 Behr et. Al.,
1990).
Una tendencia relativamente reciente,
apuntalada en gran medida por los trabajos
de Vergnaud (1988) sobre las estructuras
multiplicativas, han consistido en integrar el
estudio de estas des problemáticas; se
considera que la adquisición de aspectos
fundamentales de la noción de número
racional se registra en el marco de las
relaciones de proporcionalidad, a la vez que
la capacidad para resolver problemas de
proporcionalidad supone la incorporación de
herramientas aritméticas, en particular, el
cálculo con fracciones y decimales.
La noción de razón constituye un ejemplo
claro de esta articulación. En la perspectiva
que se asume en este estudio, la razón es
enfocada como un conocimiento implícito
que se pone en juego en la resolución de
determinados problemas y que procede a la
construcción de los números en su función
de expresar medidas y operaciones.
En la experiencia didáctica que se presenta
aquí, se analiza el uso de noción de razón
como la forma implícita de un operador
multiplicativo constante natural entre
conjuntos de cantidades.
. Un ejemplo:
El siguiente es uno de los problemas que se
presentaron a un grupo de 13 alumnos de
4º. A 6º. De primaria bajo la forma de
entrevistas individuales (Block, 2001).
Laura quiere cambiar sus estampas nuevas
por estampas viejas, Miguel le ofrece 6
estampas viejas por cada 2 nuevas;
Armando le ofrece 10 estampas viejas por
cada 5 nuevas. ¿Con quien le conviene a
Laura hacer el cambio?
La mayor parte de los alumnos, incluyendo
los de sexto, resolvieron el problema
generando, otras parejas de cantidades, con
la idea de igualar un término, por ejemplo,
EXPERIENCIA DIDÁCTICA
“LOS INTERCAMBIOS” ESTUDIO DE LA NOCIÓN DE RAZÓN COMO PRECURSORA DEL
OPERADOR MULTIPLICATIVO NATURAL
David Francisco Block Sevilla
EXPERIENCIA DIDACTICA__________________________________________________________
“Miguel a 30 estampas viejas por 10 nuevas.
Mientras que Armando da 20 viejas por 10
nuevas”.
Pocos alumnos cuantifican la relación en
juego con un factor: en un caso se da el
doble mientras que en el otro se da el triple.
Veamos un ejemplo:
. Itzel (4º. Grado) empieza haciendo una
estimación correcta, considerando las dos
variables. Es cuando cuestionamos su
argumento que termina por determinar los
dos operadores doble y triple. Estos emergen
con dificultad, como un hallazgo que aclara
de una vez por todas la situación.
It: (Se queda un rato pensando en silencio y
después escribe el resultado) Miguel (...)
porque con Miguel no tiene que perder tantas
estampas y le dan 6 y aquí (Armando) sí
tiene que perder más estampas y le dan 10
(...)
E: Y sí aquí (señala en la redacción del
problema el trato con Miguel le dijeran por
cada 2 de tus estampas nuevas te doy 4 en
vez de 6 ¿le seguiría conviniendo más?
(tacha el 6 y escribe 4)
It: ¡No!
E: Igual sigue perdiendo menos, ¿no?
It: ¡Sí, pero no le darían más!
E: Y si fuera aquí 4, ¿cuál le convendría más?
It: Armando (10,5)
E: ¿por qué?
It: Porque aquí le dan más estampas
E: Pero ella da poquitas, y aquí (Armando)
ella da más.
It: (Se queda un rato pensativo) ¡No!, aquí,
si le dieran 4 sería lo mismo porque en las
dos le dan el doble (...)It: (vuelve al
problema original)”le conviene más aquí
(Miguel) porque le dan el triple y aquí
(Armando ) le dan el doble”.
Así, no importa cuántas estampas se estén
intercambiando, 2 nuevas por 4 viejas, o 5
nuevas, por 10 viejas, en todos esos tratos
se está dando el doble. La cuantificación de
la relación con “el doble”, al dejar de lado
las cantidades específicas de estampas,
hace explícita la idea de razón constante.
La dificultad que mostraron los alumnos
para determinar y utilizar estos operadores
constantes muy simples, doble y triple,
sugiere una dificultad conceptual en la
aceptación de la multiplicación como
expresión de una razón constante. Esta
observación junto con otras similares motivó
la experiencia didáctica que se presenta a
continuación.
LA EXPERIENCIA DIDÁCTICA “LOS
INTERCAMBIOS”
El propósito general de la secuencia que se
presenta a continuación fue propiciar el
desarrollo de procedimientos de resolución
para comparar razones, de manera
EXPERIENCIA DIDACTICA__________________________________________________________
integrada al estudio de la multiplicación y la
división de números naturales. Se consideró
que el desarrollo de estos procedimientos
permitiría enriquecer la significación de la
operación de multiplicación.
Los propósitos más específicos son:
• Propiciar el paso de la
comparación de cantidades a la
comparación de razones entre
cantidades, expresadas como
reglas de cambio.
• Propiciar el desarrollo de dos
procedimientos para comparar
razones: 1) la obtención de pares
equivalentes mediante
conservación de la suma y la
sustitución de ésta por la
conservación de las razones
internas, y, la razón externa
mediante un operador o “numero
de veces”
METODOLOGÍA
Se trata de una experiencia de micro
ingeniería didáctica (corta duración, para
abordar aspectos puntuales de una noción).
El análisis de los resultados se realiza
mediante su confrontación con los análisis
previos en los que se precisan las variables
en juego y la forma en que se espera que
estas incidan en las conductas de los
alumnos (Artigue, 1995; Brousseau, 1998;
Block, 2002).
La secuencia se aplicó en un grupo de 24
alumnos de tercer grado de una escuela
pública vespertina. El nivel de desempeño del
grupo es heterogéneo. La conducción de las
sesiones estuvo a cargo de una maestra con
experiencia amplia en la aplicación de
situaciones experimentales con el mismo
enfoque que caracteriza el presente estudio.
En las sesiones participaron tres
observadores, Cada uno estuvo a cargo del
registro (con apoyo de grabadora) de un
equipo de cuatro niños. Una de las
observadoras registró además los momentos
de interacción colectiva (consignas y
confrontaciones). Con esta organización
logramos tener información precisa del
trabajo de alrededor de 10 niños e
información más puntual de los demás.
LA SITUACIÓN:
Se explica a los alumnos que:
• Van a recibir todos una misma
cantidad de fichas y las van a
cambiar por estampas
• Deben escoger una regla de
cambio. ANTES de recibir las
fichas
Ejemplo de un conjunto de reglas:
a) Se cambia cada ficha con 4
estampas
b) Se cambian cada 2 fichas por 4
estampas
c) Se cambian cada 4 fichas por 8
estampas
d) Se cambian cada 8 fichas por 24
estampas
• Ganan los que obtienen
más estampas después del
cambio,
EXPERIENCIA DIDACTICA__________________________________________________________
•
• Cuando ya escogieron la
regla, se dice la cantidad de
fichas que van a recibir:
deben calcular las estampas
que les corresponden
• Se anota en el pizarrón las
reglas escogidas y las
cantidades calculadas.
• Finalmente, se les dan las
fichas y se organizan los
intercambios. Esto permite
verificar.
La mejor regla no es necesariamente la que
se formula con más estampas, ni con menos
fichas, sino la que de más estampas en
relación con la cantidad de fichas. Es decir, la
situación exige comparar razones. El valor de
las razones fue siempre un número entero.
Esta situación se aplicó seis veces a lo largo
de las cinco sesiones, variando las
cantidades.
EL PROCESO DE LOS ALUMNOS A LO
LARGO DE LAS 6 APLICACIONES:
a. La elección de la mejor regla
Todos los alumnos empezaron estimando en
base a la cantidad de estampas
Por ejemplo
Beth, “Porque con la D ganamos muchas más
estampas”
Después de la primera verificación, la
mayoría desechó este criterio.
• A partir de la segunda
explicación aparece un nuevo
criterio: conviene más la regla
en la que se expresa con menos
fichas:
Ismael,”La A, es la A”(...) porque en la A no
se acaban rápido las fichas,
Con la dificultad, porque ese criterio les
funcionó una vez, los alumnos constatan
que tampoco es seguro.
• A lo largo de las aplicaciones
sucesivas, cada vez más
alumnos intentan considerar la
relación entre los dos términos.
Hacen una primera elección de una o dos
reglas, basada en una estimación
cualitativa, dicen cosas como “me late ésta
porque nos dan 6 y sólo tenemos que dar 2”
Ya sea porque “les laten” dos reglas, o,
sobre todo, por las diferencias de opinión al
interior de los equipos, poco a poco,
empiezan a verificar sus corazonadas antes
de escoger una regla.
Las verificaciones consistieron siempre en
aplicar las reglas que eran objeto de la
discusión, por lo general dos, a veces tres, a
una cantidad de hipotética de fichas.
Se enfrentaron entonces a la dificultad de
escoger una cantidad hipotética de fichas
que fuera múltiplo de las cantidades de
fichas de las reglas, por ejemplo:
EXPERIENCIA DIDACTICA__________________________________________________________
A(1 4) B (2 6) C(4 8) D (8 24)8 8 8 8
Aplican A, B y D a 12 fichas:
A: 12 8 48
B:12 8 36
D,12 8 24, pero les quedan 4 fichas por lo
que descartan la regla.
La dificultad no fue grave debido a que
tendieron a escoger las cantidades de fichas
que se dieron en la aplicación anterior y en
general, esto les permitió comparar.
Decidimos no abordar directamente el
problema de los múltiplos comunes debido a
que disponíamos de pocas sesiones. No
obstante, el problema constituye una buena
ocasión para hacerlo.
En la cuarta aplicación de la situación,
prácticamente en todos los equipos lograron
ya escoger y verificar la mejor regla (aunque
todavía no todos los alumnos) es decir,
lograron desechar los primeros criterios
centrados en una cantidad para considerar la
relación entre las cantidades.
• en la sexta aplicación empezaron
a aparecer formas de
verificación más independientes
de las cantidades fichas “que les
podíamos dar”.
• escoger una cantidad ad hoc que
facilite la comparación, por
ejemplo, para comparar 2 8 6,
con 4 8 8, usan 4 fichas, o
• igualan la cantidad de estampas,
no de fichas, para comparar
C(2 8 10) con D(10 8 20), una
•
• alumna obtiene C(2 8 19) =
(4 8 20), y (4 8 20) mejor que
10 8 20
B) EL CÁLCULO DE UN NÚMERO DE
ESTAMPAS:
La tarea consiste en aplicar las reglas a una
cantidad de fichas, por ejemplo:
2 fichas 10 estampas
12 fichas x estampas
Esto ocurrió en varios momentos:
• en el momento de probar reglas
antes de escoger una;
• después de elegida una regla,
cuando se dijo la cantidad de
fichas que habría y se les pidió
que anticiparan la cantidad de
estampas, antes del
intercambio;
• en una situación adicional que
consistió en aplicar varias reglas
a varias cantidades de fichas.
Sus procedimientos consistieron casi
siempre en lo siguiente:
1. determinar el número de agrupamientos
(2 fichas) que se forma con cantidad de
fichas (12) (es decir, 6 agrupamientos)
Está implicada una división “comparación” y
EXPERIENCIA DIDACTICA__________________________________________________________
2. determina el número de estampas que se
obtiene al hacer ese mismo número de
agrupamientos pero de 10 estampas:
6 agrupamientos de 10 estampas = 60
estampas. Está implicada una multiplicación
Número de grupos de 2 fichas
2 f 8 10 e
6 6
Número de grupos
de 10 estampas
12f 8 x
Se trata de una tarea más simple
conceptualmente que la anterior. A lo largo
de la secuencia, los alumnos lograron
mejorar notablemente sus técnicas como se
muestra en el siguiente esquema:
12f : 2f = 6 10e X 6 = 60 e
Dibujar 12 f y agruparlas de 2 en 2
Formar 6 grupos de 10 y contar
Sumar de 2 en 2
2f 8 10e Sumar 6 veces 10 e
6 6
Sumas de sumas
12f 8 x Sumas de sumas
Dividir 12 f entre 2
Multiplicar 10 e X 6
Sólo dos alumnos no pudieron abandonar el
dibujo y el conteo.
En el otro extremo, un alumno propuso un
algoritmo:” se divide la cantidad total de
fichas entre el número de fichas de la regla
y se multiplica por el número de estampas”.
Cabe señalar que la mayoría de los alumnos
manifestó tener un conocimiento de la
técnica para multiplicar. No obstante, no fue
sino poco a poco que lograron utilizarla en
tanto razón interna.
C) DOS ASPECTOS MÁS COMPLEJOS
Veamos los resultados desde el punto de
vista de dos aspectos más complejos:
La noción de equivalencia y la noción de
operador multiplicativo externo.
• La noción de equivalencia
A lo largo de las seis aplicaciones, los
alumnos constataron, a veces con mucha
sorpresa, que dos reglas arrojaban la misma
cantidad de estampas, por ejemplo, 1 3 y
3 9.
No obstante, nunca pudieron explicarlo, se
limitaron a decir “sale lo mismo”
Hacia el final, se plantearon dos situaciones
sobre la equivalencia. En una tenían que
identificar reglas equivalentes. Sólo seis
alumnos (de 24) lograron identificar
equivalencia, usando el mismo
procedimiento: aplicar las reglas a
cantidades de fichas.
En la otra situación, debían escribir tres
reglas, una mejor, una menos buena y una
equivalencia a la regla 2 10, usando
números hasta 10: La mayoría pudo escribir
EXPERIENCIA DIDACTICA__________________________________________________________
reglas mejores y menos buenas; pero muy
pocos lograron escribir una regla
equivalencia 1 5.
Estos resultados permiten distinguir dos
niveles en el proceso de comprensión de la
noción de “regla de cambio” uno que se
manifiesta en la capacidad de considerar la
relación entre los dos términos al comparar
reglas, y en el desarrollo de procedimientos
como los que ya vimos para hacer la
comparación. Esto lo logró la mayoría de los
alumnos a lo largo de las 5 sesiones.
El otro nivel se manifiesta en la capacidad de
prever que una misma regla puede
expresarse mediante distintas parejas de
cantidades. La comprensión de esta
característica esencial, se reveló mucho más
difícil para los niños. Cinco sesiones fue muy
poco tiempo para la mayoría.
• El operador multiplicativo.
Una forma notable más económica de
comparar las reglas y aplicarlas a cantidades
de estampas consiste en identificar los
operadores externos que subyacen a las
razones:
A. Se cambia cada ficha por 4
estampas
B. Se da 4 veces la cantidad
C. Se cambian cada 2 fichas por 6
estampas
D. Se da 3 veces la cantidad, etc.
Los operadores constituyen una expresión de
las razones que ya es totalmente
independiente de las cantidades.
Notamos también que, una vez que se
identifican los operadores, la idea de “reglas
equivalentes” se vuelve completamente
transparente: las reglas “por cada 2,6”.
“por cada 8,24, “por uno,3” son
equivalentes en virtud de que todas triplican
la cantidad.
Sin embargo, en el breve lapso de la
experimentación, los alumnos no lograron
identificar estos operadores para
compararlos.
En las dos últimas aplicaciones de la
situación “Elegir la mejor regla”, se
introdujo, entre las reglas de cambio, una
regla en la que el operador es explícito, por
ejemplo:
“Se da una cantidad de estampas igual a
tres veces la cantidad de fichas”
Con cierta dificultad, la mayoría de los
alumnos logró aplicar la regla a cantidades
de fichas, logró comparar la regla con otras.
Sin embargo, la introducción de este tipo de
regla no desencadenó la identificación de los
operadores en las otras reglas.
CONCLUSIONES
Esta breve experiencia muestra que es
posible propiciar, desde tercer grado y de
manera integrada el estudio de la
multiplicación y la división, un trabajo más
amplio sobre la noción de razón, con dos
beneficios: el desarrollo de la noción misma
de relación multiplicativa y un
enriquecimiento del sentido de las
EXPERIENCIA DIDACTICA__________________________________________________________
operaciones de multiplicación y de la
división.
Más específicamente, la situación “elegir la
mejor regla” permitió a los alumnos de tercer
grado:
• Desechar criterios centrados en
una sola variable e intentar
considerarla relación entre las
dos variables
• Desarrollar un procedimiento
para comparar que consiste en
aplicar las reglas a una misma
cantidad de estampas
• Mejorar en poco tiempo la
eficiencia de este procedimiento,
sobre todo al incorporar el uso de
la multiplicación en el papel de
operador interno, para calcular
un número de estampas. Desde
el punto de vista de este
procedimiento, el valor de las
razones podría haber sido no
entero sin que esto afectara el
nivel de dificultad (por ejemplo,
“por cada 2 fichas se dan 3
estampas”)
Por otra parte, la experiencia puso en
evidencia otra aceptación de la
multiplicación, como operador externo
constante, la cual se manifiesta como una
construcción conceptualmente más compleja.
El que los alumnos no hayan identificado a
estos operadores puede deberse en parte, en
este caso particular, al hecho de que las
magnitudes en juego no son iguales, unas
son fichas, las otras son estampas, el cambio
no es sólo cuantitativo sino también
cualitativo ( un contexto como el de los
intereses de un banco podría ser más
favorable). Pero, más allá de esta dificultad,
es probable que la identificación de los
operadores requiera de un mayor nivel de
desarrollo de la noción de equivalencia de
razones: es la condición para que el
operador emerja con el sentido de “aquello
que tiene en común los conjuntos de
razones equivalentes”, es decir, con el
sentido de una razón constante.
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
BLOQUE III
ANÁLISIS
EXPERIMENTACIÓN Y
OBSERVACION DE
ACTIVIDADES DE
ESTUDIO
¿Qué puede ofrecer la didáctica a la
formación de los profesores? Esa es la difícil
cuestión que me plantearon los
organizadores de esta reunión. Es una
cuestión difícil pero también una cuestión
crucial para el campo didáctico, puesto que
el mejoramiento de la educación matemática
depende en gran medida de la formación
inicial y continua del profesorado. Se puede
aproximar de varias maneras. Lo voy a hacer
aquí apoyándome en mi experiencia personal
como investigadora en didáctica y como
profesor que ha sido implicado durante
muchos años en la formación del
profesorado. No dudo que mi reflexión no
pretende la universalidad, puesto que está
fuertemente marcada por mi propia
experiencia y por los contextos y la cultura
en que encuentro estos problemas. Por eso,
sus cuestiones, sus comentarios serán
particularmente bienvenidos.
En Francia, la didáctica de las Matemáticas
se constituye primero como un campo de
investigación fundamental. Eso no significa
que no les importaba a los didactas mejorar
el funcionamiento de la enseñanza de las
matemáticas. Pero pensábamos que una
acción eficaz sobre la enseñanza necesitaba
más conocimiento de lo que teníamos, que
se debía dar la prioridad a la comprensión
del funcionamiento de los sistemas
didácticos en que se organizan las relaciones
entre la enseñanza y el aprendizaje. Esta
comprensión pasaba por la organización de
realizaciones en clase y una metodología
específica se constituyó para eso: la
metodología de ingeniería didáctica, con la
intención de abarcar mejor la complejidad
de la clase; pero no se pretendía que tales
ingenierías se podían importar sin más
trabajo en clases ordinarias o producir los
mismos efectos.
Incluso, si casi todos los didactas trataban
de utilizar su conocimiento didáctico para
mejorar localmente el funcionamiento del
sistema, se quedan muy prudentes en
cuanto a lo que pudiera resultar de una
transposición incontrolada de resultados
didácticos en decisiones pedagógicas. Los
problemas encontrados con la
reproductividad de ingenierías didácticas
muy bien mostraban la dificultad de tal
empresa.
15 Conferencia didáctica por Michelle Artigue en
el Instituto Superior del profesorado Joaquin V
gonzalez.
DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Y FORMACIÓN DE LOS PROFESORES
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
La creación de los IUFM a principios de los
noventa modificó profundamente esta
situación. Con esta creación, se afirmó la
voluntad de quebrar con una formación
profesional del profesorado de secundaria
basada en la imitación de profesores
expertos: los consejeros pedagógicos que
acompañaban a los profesores
principalmente en la carrera. Se afirmó la
voluntad de construir para todos una
verdadera formación profesional basada en
una interacción positiva entre conocimientos
establecidos en varios campos de
investigación: didáctica, psicología,
sociología de la educación, y el mundo de la
práctica docente. La didáctica, que había ya
entrado en la formación de los maestros de
primaria, integrada a la formación
matemática, entró entonces en la formación
del profesorado de secundaria y se planteó el
problema de saber qué didáctica estudiar y
cómo hacerlo y luego tratar de medir los
efectos de tales formaciones. Se planteó el
problema de saber cómo los conocimientos
construidos por la didáctica podían ayudar al
profesorado principiante en su práctica
cotidiana en su clase. Este cambio tuvo
muchas consecuencias incluso al nivel de la
investigación fundamental. Volveré a este
punto al fin de la conferencia. Ahora,
después de esta breve introducción, quisiera
presentar la organización global de la
conferencia. Primero, trataré de apuntas qué
tipos de conocimientos producen la didáctica
de las matemáticas. Segundo, discutiré el
problema de su transposición didáctica en la
formación inicial del profesorado, antes de
volver a los desarrollos recientes de la
investigación didáctica inducidos por esta
transposición y los problemas que plantea.
II. ¿QUÉ TIPOS DE
CONOCIMIENTOS PRODUCE
LA DIDÁCTICA DE LAS
MATEMÁTICAS?
La didáctica produce conocimientos que se
sitúan a diferentes niveles y voy aquí a
distinguir tres tipos principales de
conocimientos:
- Conocimientos que se sitúan
al nivel de funcionamiento
cognitivo del alumno y del
aprendizaje.
- Conocimientos que se sitúan
al nivel del funcionamiento de
situaciones de clase.
- Conocimientos por fin que se
sitúan a un nivel macro-
didáctico y que se sitúan al
nivel del funcionamiento
institucional o de la ecología
de los saberes de enseñanza.
II.1 LOS CONOCIMIENTOS DE TIPO
COGNITIVO: UNA AYUDA PRECIOSA A
LA COMPRENSIÓN DE LOS PROCESOS
DE APRENDIZAJE.
Las aportaciones de la didáctica en este
dominio se basan generalmente en teorías
más generales del aprendizaje. Hemos
vivido y vivimos aun hoy bajo la dominación
de teorías dichas constructivistas, heredadas
más o menos directamente de la
epistemología de Piaget. En éstas como lo
saben bien, se modeliza el aprendizaje como
un proceso de adaptación biológica del ser
human a su entorno, incluyendo procesos de
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
asimilación y acomodación. La construcción
del conocimiento no se puede concebir como
algo continuo. Se hace de desequilibrios,
rupturas con conocimientos anteriores,
reconstrucciones. Veremos dentro de un
momento cómo se concretiza esto en un
dominio particular: el álgebra, pero antes
quisiera subrayar que, estos últimos años,
las limitaciones de la aproximación
constructivista han sido más y más
apuntadas, en particular en cuanto ala
dimensión social y cultural del aprendizaje.
Esto dio lugar a una gran diversidad de
aproximaciones teóricas, del socio-
constructivismo a aproximaciones de tipo
francamente cultural, subrayando el papel
jugado en el aprendizaje por procesos de
enculturación que no obedecen a la misma
dinámica que los procesos ya mencionados.
Vivimos de hecho aun, desde el punto de
vista del aprendizaje, en un paisaje teórico
por lo menos no unificado, pero donde
podemos vislumbrar unos puntos de
convergencia como los siguientes:
1. El aprendizaje de las
matemáticas es un proceso
complejo en el cual se
mezclan estrechamente el
individual, el social y el
cultural.
2. El aprendizaje de las
matemáticas no es un
proceso continuo. Necesita
reconstrucciones,
reorganizaciones e incluso, a
veces, verdaderas rupturas
con conocimientos y modos
de conocimiento anterior.
3. El aprendizaje de las
matemáticas no se puede
concebir como una simple
progresión entre niveles de
abstracción creciente. Es
tanto esencialmente
desarrollo de asociaciones,
articulaciones, flexibilidad
entre puntos de vista,
registros semióticos, marcos
matemáticos…
4. El aprendizaje de las
matemáticas depende
fuertemente, a la vez en sus
procesos y en su contenido
de los instrumentos
materiales y simbólicos del
trabajo matemático.
Además, los conocimientos
que desarrollamos son
fuertemente
contextualizados. Muy pocos
se transforman en
verdaderos saberes.
Todo esto puede parecer evidente, pero si
es evidente, se trata de una evidencia
tomada en cuenta muy poco por la
enseñanza. Para mostrarlo, es necesario
salir del registro de las generalidades y
examinar un dominio particular. Tomaré el
dominio del álgebra elemental.
Muchas investigaciones, internacionalmente,
se han dedicado a este dominio durante los
20 últimos años. Han demostrado, por
ejemplo el hecho de que la entrada en el
pensamiento algebraico necesita varias
rupturas con los modos de pensamiento
anterior heredados del trabajo numérico.
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
No puedo entrar en muchos detalles y solo
apuntaré unas rupturas esenciales:
- La ruptura entre resolución
aritmética y resolución
algebraica, la primera
perteneciendo al registro de
síntesis, donde se adelanta de
conocido en conocido hasta
obtener la respuesta buscada,
la segunda perteneciendo al
registro analítico donde se
ponen sobre el mismo pie
datos e incógnitas, se trabaja
con ellos, escribiendo y
transformando relaciones
hasta encontrar la solución.
- La reconstrucción necesaria
del sentido de la igualdad que
no se puede más concebir solo
con un punto de vista de señal
de producción y debe integrar
el punto de vista de
equivalencia.
- La evolución del estatuto de
las letras que de abreviaturas
de vuelven símbolos que
denotan números y que van a
tomar parte en las
computaciones.
- El pasaje de un control
esencialmente externo,
permitió por la resolución
aritmética a un control que se
vuelve parcialmente interno
basado en la legitimidad de las
transformaciones hechas,
deben conservar la denotación
de los objetos algebraicos, sin
referencia a lo que modelan
las expresiones manipuladas,
un cambio esencial difícil
aceptar que hace la fuerza del
trabajo algebraico.
Los resultados de las investigaciones han
también llamado la atención sobre el papel
jugado en el aprendizaje algebraico por el
desarrollo de articulaciones entre los
diferentes registros semióticos del trabajo
en álgebra: registro de las expresiones
algebraicas pero también el registro de la
lengua natural y el registro gráfico,
particularmente cuando se trabaja con
funciones. Han mostrado también las
dificultades introducidas por los cambios
sutiles que existen en las escrituras
simbólicas en aritmética y álgebra: implícito
de signos operatorios como la multiplicación,
de ciertos coeficientes, imposibilidad en
álgebra de finalizar todas las operaciones y
presentar resultados sin signos operatorios.
Han mostrado por fin la doble dimensión
sintáctica y semántica de las escrituras
algebraicas y el papel que jugaba en la
competencia algebraica la capacidad de
explotar la semántica interna de las
operaciones, lo que muchos llaman su
sentido.
Por otra parte, el trabajo con hojas de
cálculo y con programas de cálculo formal
han también mostrado cómo el uso de tales
instrumentos podía modificar el aprendizaje
del álgebra en sus formas y también en su
contenido.
Infortunadamente, las investigaciones
muestran también que los sistemas de
enseñanza son poco sensibles a estas
características del aprendizaje del álgebra.
Dejan la identificación de las rupturas al
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
trabajo privado de lo alumno, presentando el
álgebra como una aritmética simplemente
generalizada, y muchas veces como un
mundo sonde solo se funciona con reglas que
deben memorizar, y no se atiende al sentido.
Se encierra la entrada en este mundo en el
de la resolución de ecuaciones y del cálculo
formal y gratuito sobre expresiones,
olvidando el papel esencial que tiene el
álgebra incluso elemental en el acceso a la
generalidad y a la racionalidad matemática,
olvidando la necesidad de desarrollar una
inteligencia del cálculo algebraico.
Volveremos a este punto en la tercera parte
dedicada a la formación. Dado el tiempo que
tenemos, me voy a parar aquí en cuanto a la
parte “cognitiva” y hacer un salto en la
complejidad didáctica, abarcando el nivel de
las situaciones de clase.
II.2 LOS CONOCIMIENTOS DE TIPO
SITUACIONAL: DEL ALUMNO SUJETO
COGNITIVO AL ALUMNO SUJETO
INSTITUCIONAL.
Para abarcar este nivel de la “realidad
didáctica”, tenemos en Francia un apoyo
teórico bastante sólido: el de la teoría de las
situaciones didácticas iniciadas por G.
Brousseau. No tengo tiempo aquí para entrar
en los detalles de la teoría y espero que no
sea para ustedes una cos completamente
nueva. Pensando en el tema de hoy y en la
articulación con la parte procedente, quería
subrayar unas aportaciones esenciales de
esta teoría.
La teoría de las situaciones didácticas se
sitúa desde el punto de vista cognitivo en el
ambiente constructivista pero no se trata de
una teoría cognitiva.
Lo que se trata de entender y modelizar es
la situación social de clase en la que el
alumno va a encontrar y trabajar objetos
matemáticos.
Es la situación el objeto central de la teoría.
Y quisiera presentar esta modelización como
algo que tiene varios niveles, que permite
abarcar de modo progresivo la complejidad
del sistema de clase de hecho, voy a
introducir aquí dos niveles de modelización.
- El primero, el nivel a-
didáctico, se puede ver como
el nivel de la modelización
cognitiva con el sentido
amplio dado a este término
en la parte precedente. En
esta modelización, los
alumnos se modelizan como
sujetos cognitivos.
Interactúan con otros
alumnos en su medio que
ofrece posibilidades de acción
y de control. Los
conocimientos que elaboran
resultan de sus adaptaciones
individuales y sociales a este
“miles”. Vía la modelización,
se trata de entender las
posibilidades de acción,
control y validación ofrecidas
por la interacción con el miieu
asociado a la situación. Sin
este entendimiento, no se
comprende el sistema
dinámico que constituye la
situación y no se pueden
interpretar los
comportamientos observados.
- El segundo, el nivel didáctico,
se puede ver como el nivel en
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
- que se añade al modelo
precedente la dimensión
institucional del aprendizaje.
Los alumnos no se consideran
más como puros sujetos
cognitivos, sino que se toma
en cuenta el hecho de que son
también sujetos de una
institución, con sus normas,
valores, expectaciones
relativas al saber matemático.
El concepto de contrato
didáctico juega en este nivel
de modelización un papel
determinante.
Los procesos de adaptación desarrollados por
los alumnos son, de hecho, una mezcla sutil
de procesos a-didácticos. Entender esta
sutileza es algo esencial para entender lo que
se puede aprender, lo que se pretende en
una situación dada. En cada situación de
enseñanza, podemos ver una tensión entre
los dos tipos de adaptación que se puede
modelar como una dinámica entre los dos
niveles de modelización introducidos. Una
hipótesis fundamental de la teoría es que las
adaptaciones a-didácticas son necesarias
para aprender matemáticas. ¿Cómo se puede
conseguir esto cuando profesores y alumnos
saben que encuentran en una institución
didáctica con objetivos didácticos
específicos? La presión del contrato didáctico
se debe hacer lo más ligera posible, los
alumnos deben de olvidar, al menos
temporalmente, que su profesor tiene
intenciones precisas y renunciar a tratar de
adivinarlas.
Brousseau expresa esta necesidad en
términos de necesidad de un proceso de
devolución que transmita la responsabilidad
matemática de la situación a los alumnos.
Se trata de un proceso porque, a los largo
de la fase a-didáctica, el profesor debe
actuar para mantener esta transferencia de
responsabilidad que no es nada natural.
Las fases a-didácticas producen
conocimientos matemáticos, pero
conocimientos muy dependientes de las
acciones particulares y del contexto de la
situación. Otro papel esencial del profesor es
ayudar a los alumnos a relacionar estos
conocimientos locales con los conocimientos
institucionales que ambiciona la enseñanza.
Por eso, en la teoría, se oponen dos
procesos inversos: el proceso de devolución
y el proceso d institucionalización. Estos dos
procesos estructuran las relaciones entre los
dos niveles de monetización y mencionados:
al a-didáctico y el didáctico, como lo
muestra el esquema siguiente:
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
Conocimiento a-didáctico
Situación a-didáctica
Situación didáctica
Inst itucionalisación Devolución
Conocimiento institucional
Con este tipo de modelización y los
conceptos asociados, la teoría de las
situaciones didácticas nos provee de
instrumentos para analizar situaciones de
clase, no solo situaciones construidas en su
ambiente sino también situaciones
ordinarias, prever a priori sus
potencialidades en términos de aprendizaje,
identificar los procesos de adaptación de los
alumnos y no dejarse atrapar por la ilusión
de aprendizajes que pueden dar
funcionamientos dictados esencialmente por
el contrato didáctico. Nos da también
instrumentos para analizar las acciones y
mediaciones del profesor y prever sus
efectos posibles.
Hasta este punto, traté de explicar las
principales aportaciones de la teoría de las
situaciones didácticas. Antes de ilustrar estas
aportaciones con un ejemplo, yo quisiera
subrayar que los instrumentos de análisis al
nivel situacional, no se limitan a esta teoría,
incluso en Francia. Los conceptos y
construcciones ligados a la dialéctica
herramienta/objeto y los juegos de marcos
desarrollada por Douady, y más
recientemente las aportaciones a este nivel
de la teoría antropológica de didáctico
desarrollada por Chevelard: análisis de las
praxeologías matemáticas del estudio
matemático (momento de primer encuentro,
de trabajo de la técnica…), dan otras
perspectivas complementarias.
Generalmente, para mostrar las
aportaciones de la teoría, nos referimos a
situaciones elaboradas dentro de la teoría, y
que han hecho la prueba de sus
potencialidades. Aquí, me parece preferible
referirme a problemas y situaciones más
ordinarias. La ambición d la situación que
vamos a analizar es la de hacer encontrar a
los alumnos la funcionalidad del álgebra
para resolver problemas numéricos. No se
trata de un problema particular sino de un
tipo de problema dependiente de varias
variables. El modelo es el siguiente:
Dos alumnos tienen cada uno una
calculadora. Los dos eligen juntos un
número. Juan lo registra en la calculadora,
lo multiplica por… y añade… al resultado. El
segundo, Pedro, lo multiplica por… y añade…
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
al resultado. Los dos constatan que obtienen
los mismos resultados. ¿Es posible eso?
¿Puedes encontrar los números iniciales que
han elegido? ¿Estas seguro que fueron esos?
Claro que, para alumnos que no están
familiarizados con álgebra, o que solo utilizan
álgebra por razones de contrato didáctico,
este problema planteado en el plano
numérico, no va a inducir una resolución
algebraica. Claro también que, como no se
conoce el número de partida, ni el número
final, una resolución aritmética que
consistiría en invertir las transformaciones
sucesivas está fuera del alcance. En los
términos de la teoría, podemos anticipar
estrategias básicas hechas de ensayos
numéricos, tratando de reducir la distancia
de los resultados. Con ciertas variables, la
solución es accesible y aun la convicción de
que es la única solución, convicción ligada a
la aprehensión pragmática de la evolución de
la distancia cuando se cambian los números
iniciales. Este tipo de elección puede permitir
entrar en el problema y anticipar en el
proceso de devolución. Con otras elecciones
de las variables de la tarea, tal resolución por
ensayos controlados, se vuelve más difícil y
aun fuera del alcance (números decimales o
fraccionarios). El álgebra como la única
solución. Pero no podemos asegurar que esa
solución va a aparecer de modo espontáneo
en la clase y ese es el caso que más
frecuentemente encontramos, en particular
cuando se trata de matemática avanzada
respecto de la matemática de la primaria.
Podemos encontrar problemas cuya
resolución necesita los conocimientos que
queremos hacer construir a los alumnos, los
alumnos pueden trabajar con estas
situaciones, adelantar hasta cierto punto,
comprender las limitaciones de sus
herramientas usuales, pero no podemos
asegurar que van a construir en un
funcionamiento a-didáctico el conocimiento
ambicionado. Las intenciones con el
“milieu”, la exploración que pueden hacer
con sus conocimientos anteriores, la
distancia entre lo ya conocido y lo nuevo no
lo permiten. La mediación del profesor se
vuelve necesaria para ayudar a la evolución
cognitiva. Y con esta se introduce una
dinámica más compleja entre los dos niveles
de modelización y el riesgo de pasar de
adaptaciones a-didácticas a adaptaciones
puramente institucionales.
De hecho, lo que vemos aquí es que la
entrada en el modo de pensamiento
algebraico no es algo fácil, incluso si usamos
problemas que necesitan esta entrada. Se
puede ver como la entrada en otra cultura.
En la enseñanza, generalmente, esta
entrada se maneja de modo contracutual.
Se introducen las x, se muestra como
utilizarlas dentro de prácticas ostensivas de
enseñanza y luego se espera que los
alumnos se conformen a la nueva cultura.
Los problemas planteados les permiten
saber cuándo se deben utilizar letras y
aprender a jugar su papel de alumno
algebrista. El álgebra se vuelve rápidamente
un dominio de reglas y de legalidad, un
dominio en que no se necesita pensar, no se
puede dar sentido. Se debe solo tener un
comportamiento conforme a nuevas normas
institucionales.
Claro que se podría profundizar el análisis,
pero tenemos que adelantar.
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
II.3 CONOCIMIENTOS MACRO-
DIDÁCTICOS: UN APOYO ESENCIAL
PARA ENTENDER EL
FUNCIONAMIENTO INSTITUCIONAL
Y LA ECOLOGÍA DE LOS SABERES DE
ENSEÑANZA.
En este párrafo, quería apuntar otro nivel de
conocimiento ofrecido por la didáctica de las
matemáticas. Para mí, dado que mi cultura
aparece inseparable de las teorías
desarrolladas por Chevallard, sea la teoría de
la transposición didáctica, sea la teoría
antropológica. No voy a entrar aquí en
muchos detalles. Quería simplemente
subrayar lo que personalmente veo como
aportaciones esenciales de este enfoque.
- Primero, con la teoría de la
transposición didáctica, se ha podido
salir de una visión bastante ingenua
de los saberes enseñados, vistos
como puras simplificaciones a fines
de adaptarse a un público de
alumnos a saberes científicos o
técnicos de referencia. La teoría,
inicialmente basada en el análisis de
la reforma de las matemáticas
modernas, muestra que los saberes
enseñados obedecen a una
economía particular, inducida por
las características de los sistemas
didácticos, que una vez introducidos
en estos sistemas se adaptan a
estos sistemas y tienen en ellos su
propia vida que, a veces, tiene poco
que ver con las expectaciones de
sus promotores.
- Segundo, con la teoría
antropológica, se toma la medida
de la relatividad de los saberes, de
su dependencia de las instituciones
en que se desarrollan, se utilizan o
se enseñan, de las normas propias
a cada una. Nos ayuda la teoría a
tomar cierta distancia de una visión
conceptual idealizada de los objetos
matemáticos y a sacar las
consecuencias del hecho que, para
los matemáticos como para los
alumnos, estos objetos emergen de
prácticas y no existen por sí
mismos en absoluto.
Para ilustrar este punto, tomare sólo un
ejemplo, siempre ligado a álgebra, sacado
de la tesis de "una estudiante mía Grugeon.
El punto de partida de su trabajo de tesis
fue ciertas experiencias negativas que vivían
como profesor de clases de transición entre
la enseñanza profesional y la enseñanza
general. Alumnos seleccionados entraban en
estas clases, con gusto para la matemática
y una" fuerte 'motivación. Unos meses más
"tarde; "era un" fracaso" completo y álgebra
era causa esencial del fracaso. Los
profesores explicaban este fracaso
invocando el bajo nivel de estos alumnos'
que venían del profesional y sus limitadas
posibilidades matemáticas que ya habían
conducido a su orientación profesional. Se
aprecia una explicación plausible pero fácil.
Basándose en la teoría antropológica,
Grugreon hizo la hipótesis que
discontinuidades institucionales podían
desempeñar aquí un papel importante.
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
Incluso si se hablaba de los mismos objetos,
las relaciones institucionales a estos objetos
en los dos tipos de liceos eran
profundamente diferentes y, por eso, en la
transición institucional, los profesores del
general no eran capaces de identificar los
conocimientos de sus alumnos y apoyarse en
ellos, los alumnos no podían entender las
expectativas de sus nuevos profesores y
utilizar sus conocimientos anteriores para
adaptarse. El hecho ya mencionado que una
parte esencial de estos conocimientos se
quedaba contextualizada y movilizable sólo
para uno que podía evocar el contexto,
amplificaba el problema. Grugeon trabajó
con esta hipótesis, analizando con
programas, .libres de texto, 'cuadernos de
alumnos, textos de exámenes, las relaciones
institucionales, y mostrando las diferencias
sutiles que se escondían detrás de
programas que, a primera vista, parecían
muy próximos y hechos cortando y pegando.
Eso, con la construcción de un modelo
multidimensional de la competencia en
álgebra elemental, le permitió identificar el
real estado de los alumnos ingresando del
profesional y buscar en sus conocimientos los
gérmenes posibles de la entrada en el
pensamiento algebraico.
Hizo evidente la diversidad de los gérmenes
posibles, diferentes de un alumno a otro,
debido a la diversidad de las historias
individuales. Y con esto, construyó un
programa de ayuda individual izada para los
alumnos que permitió a la mayoría de estos
sobrepasar el fracaso inicial.
Frderic Praslon, en una tesis defendida en
enero, utilizó una problemática similar para
analizar las continuidades y rupturas en la
enseñanza de la derivada, en la transición
liceo universidad, mostrando que el
discurso común sobre la transición y el
conocimiento de los estudiantes cuando
ingresan a la universidad era por lo menos
ingenuo. Presentaré este trabajo en el
curso de análisis, la semana próxima.
Las aportaciones de la didáctica de las
matemáticas no se reducen a 10 que
presenté rápidamente en esta primera
parte, pero podemos considerarlo como un
punto de partida suficiente para discutir la
cuestión de lo que puede ofrecer la
didáctica a la formación del profesorado.
III. DIDÁCTICA Y FORMACIÓN
DE PROFESORES
Me limitaré aquÍ a la formación inicial de los
profesores. Plantea problemas diferentes de
la formación continua y, a lo que parece,
mucho más difíciles de resolver. Me limitaré
también a la enseñanza secundaria que
conozco mejor y que también plantea en
este dominio problemas más serios. Como lo
mencioné antes, la creación de los IUFM
hizo entrar la didáctica como materia en la
formación de los profesores de secundaria. Y
los didactas tuvieron que decidir qué
enseñar y cómo. Las opciones fueron muy
diversas, y la importancia dada a los
desarrollos teóricos bastante variada.
Aparecieron muchas dificultades que
condujeron a una reflexión más amplia
sobre la naturaleza de la profesionalidad
docente y sobre su formación.
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
Nuestros estudiantes, después de una
formación académica en matemáticas,
encontrándose inmediatamente con una
clase bajo su responsabilidad de seis horas
cada semana, buscaban antes que nada la
manera de asegurarse cierto nivel de
bienestar en la clase y un ambiente apacible.
Eso no es tan fácil ahora como era antes, la
escuela no pudiendo escapar a los problemas
de la crisis social y de manera general, una
evolución cultural de los sistemas de valores
donde la autoridad de los padres, el valor del
trabajo tienden a desmayarse.
Los problemas que encontraban tenían para
ellos poco que ver con la dimensión
didáctica de la reflexión profesional. No
percibían como sus elecciones didácticas,
como. su poco conocimiento del
funcionamiento del alumno, de las
dificultades del aprendizaje influían sobre
problemas vistos como de pura autoridad.
Peor, cuando se había establecido cierto
bienestar, se estimaban satisfechos y
cuestionarse sobre la realidad de la
actividad matemática de los alumnos no era
una tendencia espontánea.
Las situaciones propuestas en la formación
les parecían demasiado abiertas, demasiado
complejas para ser accesibles, reservadas a
profesores expertos.
Eso puede parecer una visión pesimista. No
lo es. Simplemente, muestra que, bajo las
coerciones que encuentra esta formación
profesional, concentrada casi en un año,
una integración eficaz de lo didáctico a la
formación no se finaliza fácilmente.
Una estudiante mía hace actualmente su
tesis sobre la evolución de la relación al
álgebra de estos profesores principiantes en
el segundo año del IUFM. Investiga esta
transición institucional de la posición de
estudiante a la posición de profesores,
analizando la evolución de unos profesores a
lo largo del año. La hipótesis que hace es
que esta evolución es algo sutil y
multidimensional, que se manifiesta de
forma diferente en las diferentes tareas
profesionales del profesor, dentro y fuera de
su clase, que presenta unas regularidades
pero también mucha diversidad
dependiendo de la historia matemática y
didáctica de cada profesor.
Lo que muestran los resultados obtenidos
hasta aquí en esta investigación, pero
también más generalmente, es una
diferencia de accesibilidad entre los
diferente tipos de conocimientos ya
mencionados. En primer lugar vienen los
conocimientos del primer tipo, concernientes
al alumno, sus dificultades, la coherencia
que se puede esconder tras respuestas
erróneas. A este nivel, al fin del año,
alcanzamos un nivel de análisis que parece
bastante bueno.
En lo que concierne a la construcción y el
análisis de situaciones didácticas, notamos
una gran distancia entre los análisis que
pueden hacer a posteriori los estudiantes de
situaciones, por ejemplo trabajando sobre
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS Y FORMACION DE LOS PROFESORES
transcripciones o videos en formación, y lo
que ponen generalmente en jugo preparando
sus propias secuencias de clase o actuando
en la clase. Notamos también una gran
diferencia entre lo que producen
colectivamente en formación "y” sus
prácticas de clase. Entre los conceptos de la
teoría de las situaciones didácticas, los de
variable didáctica, los de contrato didáctico
parecen los más accesibles. Pero lo que
domina es la dificultad que tienen los
estudiantes para preguntarse sobre la
responsabilidad matemática que dan a sus
alumnos, la que podrían dar, cambiando las
tareas o su gestión, la dificultad también que
tienen a problematizar una situación. En
esto, se gana muy poco dentro de este
primer año de formación.
Durante muchos años, la investigación se
focalizó sobre el alumno, considerando el
profesor como un actor transparente de la
relación didáctica. Puso el énfasis sobre la
necesidad de lo a-didáctico, buscó
situaciones fundamentales para este tipo de
relación con el saber, consideró al profesor
como un partidario del investigador en el
diseño y experimentación de ingenierías
didácticas, todo eso contribuyó a hacer del
profesor una figura no problematizada de la
relación didáctica.
Hoy, somos muy conscientes de que falta
una teoría del profesor desarrollada al mismo
nivel que la teoría del alumno.
Las investigaciones en este dominio
empezaron con trabajos sobre sus creencias
pensando que, en estas, se tenía la llave de
los problemas encontrados en las dificultades
de transmisión del didáctico. Hoy en día,
hemos entendido que esta aproximación está
lejos de ser suficiente. Comprender las
decisiones que toman los profesores en la
clase, sus determinaciones y sus efectos,
.no se puede hacer tomando simplemente
en cuenta sus creencias, su conocimiento
matemático. Necesitamos más conocimiento
sobre lo que es- realmente el trabajo
profesional del profesor, un trabajo que
corresponde, como lo expresan los
ergónomos, al manejo de entornos
dinámicos y abiertos para poder pensar
cómo podemos ayudarle en su trabajo
gracias a nuestro conocimiento didáctico.
El problema planteado es el siguiente:
Un prestidigitador te propone el truco
siguiente: elige un número...
Siempre vas a obtener 7.
¿Qué te parece este truco?
En esta situación, el álgebra aparece
como un modo imprescindible Para
probar que cualquiera que sea el
número de entrada, la salida siempre
será 7. Es decir que el conocimiento
que se usa es necesario para la
solución del problema. Las variables
de la situación han sido elegidas para
que un razonamiento aritmético no
sea suficiente.
GUIA PARA LA OBSERVACION DE UNA CLASE DE MATEMATICAS___________________
1. ¿CUÁL ES EL OBJETIVO DE LA CLASE?
a) Objetivo de aprendizaje
- de una noción
- de un leguaje
- de una técnica
- de una forma de trabajo
2. OBJETIVO DE FAMILIARIZACIÓN
En función del objetivo. Cuál es la organización de la clase elegida por el maestro:
trabajo individual, trabajo de grupo o situaciones de comunicación; ¿es pertienente?
3. SITUACIÓN DE LA LECCIÓN DEN LA PROGRESIÓN A MEDIO PLAZO
- ¿Cuál es el proceso previsto para elaborar y hacer funcionar el conocimiento
involucrado?
- Cuáles son las etapas principales del proceso y cómo se articulan entre ellas
- Cuál es la evolución constatada de las concepciones de los alumnos
- Se han previsto rectificaciones durante el desarrollo de la clase
- Si la respuesta es sí, cuáles y por qué razón
- Si la respuesta es no, por qué, porque por ejemplo, las realizaciones están de
acuerdo a las previsiones o el maestro no sabe cómo tener en cuenta a los alumnos
4. TRABAJO DEL MAESTRO, TRABAJO DEL ALUMNO
5. GESTIÓN DEL
6. TIEMPO
GUÍA PARA LA OBSERVACIÓN DE UNA CLASE DE MATEMÁTICAS