NOLAN JARA J.
1
PROBLEMA 1: Sea el sólido definido en R³ por:
||;1;4/),,( 222223 yzyxzyxRzyxS Calcular el volumen del solidó S Solución:
2 2
( ) .................(*)
( , , ) / | | 4 ; ( , ) E
V E dV
E x y z R y z x y x y D
NOLAN JARA J.
2
2 2 2 22 2
2 2
2
2 2 2
3 2 2 2 2
4 ( ) 4 ( )1 1 1 1
1 | | 11 1
4 (
( , ) / 1 1 ; 1 1
( , , ) / | | 4 ; 1 1 ; 1 1
(*) :
( ) ( ( ) ) 2 ( ( ) )
4 ( ( ) )
x y x yx x
x z y x z yy x y x
x
z y
D x y R x y x x
E x y z R y z x y x y x x
en
V E dz dy dx dz dy dx
dz dy dx
22 2
2
)1 1 1 12 2
0 0 0 0
12 2 2 2 2 1
00
4 ( ( 4 ( ) ) )
4 [(1/ 2)[ (4 ) (4 ) ( / ( 4 ))] / 2] |
yx x
x y x y
xy
x
x y y dydx
y x y x arcsen y x y
Como la integración es muy complicada utilizaremos otro método Otra forma: en coordenadas cilíndricas
2
3 2
2 1 4
( ) 0 0 | |
2 1 22 2 3/2 2 1
00 0 0
( ) ( , , ) / | | 4 ;0 1;0 2
( ) | ( , , ) | ( ( ) )
( ( [ 4 | |] ) (1/ 2)[(2 / 3)(4 ) | | ( )] |
(1/ 2) [2 3 |
r
T E r z r sen
rr
T E r z R r sen z x r
V E J r z dv rdz dr d
r r r sen dr d r sen r d
se
2 /2
0 0
/20
| 16 / 3] 2 ((16 / 3) 2 3 )
2[(16 (6 / 3)) / 3 cos ] | 2(((8 3 3 ) / 3) 1)
n d sen d
PROBLEMA 2 Dado el cambio de variables definido por las ecuaciones x = u + v ; y = v – u2. Calcular el determinante jacobino de dicho cambio de variables. Sea T el triangulo del plano UV cuyos vértices son los puntos (0,0) ;(2,0) y (0,2). sea R la imagen en el plano XY del triangulo T . Mediante el cambio de variables dado: Hacer un dibujo de la región R Calcular el área de la región R .
Calcular la integral doble de R yx
dA
1 2
SOLUCIÓN x = u + v ; y = v – u2
uu
vy
uy
vx
ux
vuJ 211211
.
Grafica en UV
NOLAN JARA J.
3
Las líneas que que encierran la superficie T en el plano UV al ser proyectados sobre en el plano XY también encierran otra superficie entonces: u+v=2: u=0: v=0
Grafica en XY
XYXXRyxRxyyxx
sonsproyectadacurvaslasEntoncesyxvcomo
uvvuvvuyx
yxucomouvvuyx
xvux
uu
23
2
2
2222
22
:20/,::0:2
:00
2
00:
22
22
0
22
0 314
2 udxxxdxx
dydxdySx
RR
))3/32arctan()32(arctan(3/)32(2
|)3/)1(2arctan()2/3)(3/4(|)1)3/)1(2(
1)3/4(.1
)1)3/)1(2(341
)1)1(3/4(4/311
4/3)1(11
111
11
11
20
20
2
0 2
2
0
2
0 2
2
0 2
2
0 2
2
0 2
2
0
2
0 222
2
xxdxx
x
dxx
dxx
dxx
dxxx
dxxyx
dxxy yxdy
YXdA
x
xR
x
x
PROBLEMA 3 Sea R la porción acotada del primer cuadrante situada entre las curvas de ecuaciones: R xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x Dibujarla y calcular la integral: dAyx
R
22
SOLUCIÓN: Graficando la región R que es limitada por las líneas: xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x
NOLAN JARA J.
4
R = R1 R2 R3 *En R1 *En R2 *En R3
22
21
X 122
X 21 x
XYX
41
XY
X21
x
yx 2
dAy 22x
= dAy 22x + dAy 22x
+ dAy 22x
dxdyyx
x
x
22
21
4
1
22 dxdyyx
x
x
1
22
2
1
22
dxdyyxx
x
2
1
2
22
x
x
x
x
x
x
yxyxyx2
2
1
322
1
1
22
324
1
22
21
32
333
dxx
dxxx
dxx
xx
2
1
51
22
22
21
5
338
31
38
31
364
2
1
61
22
22
21
6
183ln8
3ln7
3ln
932
xx xxx
32ln7
181
94
32ln8
32ln7
32ln7
32ln
94
181
uydAxR
22
32ln7
PROBLEMA 4 Calcular el volumen del cuerpo del espacio definido por las ecuaciones
322
222 1,0,1,1yx
zzyxyx
SOLUCIÓN
R3 R2 R1 R
NOLAN JARA J.
5
32 2
3 2
2
1
, / 0 1;1 1
:cos ;
1, / 1;0cos 2
D
V s dAx y
D x y R x x y x
usando transformacion de cordenadas decartesianas a polares dondex r y rsen
T D r R rsen
PROBLEMA 5 Calcular
R
dAyx 33 , siendo R la región contenida en el cuadrante positivo y limitado por
las curvas 2,1,4,2 22222222 yxyxyxyx SOLUCIÓN GRAFICO DE R
12
13 30cos
1
2 20 01
cos
2 20 0
3
1 1,
1 (1 cos )
cos 1 12 2
22
senT
sen
V s J r dA rdr dr r
d sen dr
sen
V s u
422
:
81
81
,
21,42/,8
1,
822
22,
1,,:
21,42,var
21,42/,
222222
2233
3333
2
22
22
22222
vuyxvuyvux
pero
dudvyxdudvxy
yx
dudvvuJyxdAyx
vuRvuTxy
vuJ
xyyx
yx
yv
xv
yu
xu
yxJ
vuJyxJqueSabemos
vyxvuyxu
iablecambiodeHagamosyxyxRyxRregionLa
RTRT
R T
R
R
NOLAN JARA J.
6
GRFICA DE T(R)
2
1
4
2
24
2
32
1
4
2
2222
41281
481
481
vv uRT
uvudvduvududvyu
PROBLEMA 6:
Calcular 2 2 2
................(*)x y z
S
e dv donde S es el conjunto de los puntos 3),,( Rzyx
tales que 0,1222 zzyx Solución: Graficamos 0,1222 zzyx
10;11;11/),,( 22223 yxzxyxxRzyxS Proyeccion de la region S
R
v
dAyx
vvdvv
167
167
61256
81
21256
81
22
2
1
32
1
2
1
2
NOLAN JARA J.
7
Transformando a coordenadas esféricas x=ρcosθsenφ y=ρsenθsenφ z=ρcosφ |J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ Donde la variación de ρ,θ,φ es:
102/0
20
En la integral (*) 2
2
2 /2 12
0 0 0
2 /2 1 2 /22
0 0 0 0 0 0
. | ( , , ) | . . . . .
( . . ) ( 2) ( 2)
. | ( , , ) | . 2 ( 2)
S
S
e J dv e sen d d d
sen e d d d sen e d d e
e J dv e
PROBLEMA 7 Calcular la integral triple 2
s
y dv
Donde S es el sólido
41);/(10/),,/(),,(41,0/),,(
22
22332223
yxyxzRzyxRzyxzyxzRzyxS
Entonces tenemos que S=D1 U D2 pues D1 y D2 son regiones disjuntas 2 2 2
1 2S D D
y dv y dv y dv ...........................(*)
22;)4()1(
)1()4(,)1()4(/),,(22
2222223
xxyx
xyxyxzyxRzyxS
2
1D
y dv : en coordenadas esféricas
NOLAN JARA J.
8
2/,20,21/),,()1(21,0cos/),,()1(
41,0cos/),,()1(
3
3
23
RDTRDTRDT
x=ρcosθsenφ y=ρsenθsenφ z=ρcosφ |J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ
2 22 2 4 2 3
1 /2 0 12 2
2 3 5 2 2 21
/2 0 0 /2
( ) . . . . . .
. . / 5 | . . (31/ 5) (1 cos ) cos .
(62 /15)
D
sen sen sen d d d sen sen d d d
sen sen d d sen d d
2
2D
y dv : en coordenadas cilíndricas
20,21,/10/),,()2(41,/10/),,()2(
23
223
rrzRzrDTrrzRzrDT
x=rcosθ y=rsenθ z=z J(r,θ,z)=r
2 2 22 2 1/ 2 2
0 1 0 0 12
2 2 21
0
( ) . . . . .
. / 2 | . (3 / 2)
r
rsen r dz dr d rsen dr d
sen r d
En (*) : )2/315/62(2 vys
NOLAN JARA J.
9
2
3 2 2 2 2
Problema nro 8
Calcular la integral dv.SiendoSel recintosolido
definido por:
( , , ) / 1, 0 4
::
s
z
S x y z x y y z x y
solucionGraficamos el volumen S
Hallando la region D sobreel plano xy
NOLAN JARA J.
10
2 22
3 2 2 2
41 12 2
1 0
( , , ) / 0 4 , 1 1,0 1
( ( ) )
Vemosquemediantecoordenadascartesianaselcalculodela integralsecomplica,hacemosuncambiodevariblemediantecoordenada
x yx
s x y z y
S x y z y z x y x y x
z dv z dz dy dx
3 2
scilindricas tenemos
T(s)= (r, ,z) / 4 ; 0 ;0 1rsen z r r
2
2
( )
2
1 42 2
0 0
( , , ) ( , ,
: ( , , ; ( , , ) ( , , )
( ( ) )
s T s
r
s r z r se n
z d v F r z J r z d v
s i J r z r f x y z F r z z
z d v z d z rd r d
241 3
2
0 0
1 32 2 3 32
0 0
1 132 2 2 3 32
0 0
1 15 42 2 32
0 00
( ) )3
1 ( ( 4 ) )3
1 1 ( 4 ) ( 4 ) )3 2
1 1 ( 4 )3 2 4
r
s r r s e n
s r
s r o r
s
zz d v r d r d
z d v r r s e n r d r d
z d v r d r s e n r d r d
rz d v r s e n d
2 5 5 3
0 0
32 5 5
0
1 1( 3 4 )6 1 2
1 1( 3 4 ) (c o s )6 1 2 3
s
s
z d v d se n d
c o sz d v
2 5 5 31 1( 3 4 )
6 9s
z dv u
NOLAN JARA J.
11
PROBLEMA 9: Sea Ω el recinto comprendido entre el interior de un paraboloide 223 yxz y el interior de un elipsoide 94 222 zyx , calcular zdv
Resolución: Grafica del paraboloide:
Corte en los ejes coordenados
2/30:
30:
30:
yzxyxzyxzyxz
corte en los planos coordenados Para el plano xy
elipseyxz
.....340
22
Para el plano xz
parabolaxzxz
y
....33
0
2
2
Para el plano YZ
parabolayzyz
x
...34430
2
2
Para : z=k(//planoXY)
elipsesdeconjuntokyx ......34 22 Grafica de una elipsoide
94 222 zyx
Corte en los ejes coordenados
2/30:30:30:
yzxyxzyxzyxz
Corte en los ejes coordenados Para el plano XY
elipseyxz
...940
22
Para el plano XZ
elipsezxy
...90
22
22 43 yxz
NOLAN JARA J.
12
Para el plano YZ
elipsezyx
...940
22
Para : z=k(//planoXY)
elipsesdeconjuntokyxyxk
.....94
94222
222
GRAFICA DE LA INTERSECCION DEL PARABOLOIDE Y EL ELIPSOIDE
Otra vista:
NOLAN JARA J.
13
Grafica de la ecuación (3) 34 22 yx
2 22
2 22
2 2 2
3 2 2 2 2 2 2
9 4( 3 )/23
3 4 3( 3 )/2
( , ) / 3 / 2 3 / 2; 3 3
( , , ) / 4 3 9 4 ; 3 / 2 3 / 2; 3 3
( )x yx
x z x yy x
D x y R x y x x
x y z R x y z x y x y x x
V zdv zdzdydx
Notamos que la integración es muy operativa, por eso utilizaremos coordenadas cilíndricas.
),(;)49(34/),,( 22223 DyxyxzyxRzyxz
En coordenadas cilíndricas: x=rcosθ 2y=rsenθ z=z
)9(3
))4(9(3422
2222
rzr
yxzyx
De (3):
20;50
0;554
2
22
rrryx
)3.......(..............................540)4(6)4(2
:)2.().1.(
)2.......(..........).........4(9)1.....(..........34:21
22
22222
222
22
yxyxyx
endoreemplazan
yxzyxzSS
NOLAN JARA J.
14
Además: J(r,θ,z) = r/2 2
2
2 5 9
( ) 0 0 3
2 5 5 3
( ) 0 0
26 4 5
00
2
02
0
( ) ( , , ) ( / 2)
( 5 )( ) ( , , ) (1/ 4)
( ) (1/ 4) ( / 6 (5 / 4) | )
( ) (1/ 4) (125 /12)
( ) (1/ 4)(125 /12) |
r
T r z r
T r
r
V J r z zdv r zdzdrd
r r drdV J r z zdv
V r r d
V d
V
( ) (125 / 24)V
PROBLEMA 10 Consideremos el recinto del primer octante de R3
baconyxzbxyabxyaRzyx 0,,,;,, 22223 Calcular el volumen de Ω y hallar
dvyxxy 33
SOLUCIÓN Hallaremos el volumen:
D
zdADV
Definiremos la región D
b
au
b
av
b
au
b
av
DT
abdudvdudvyx
yxV
emplazando
dudvvuJyxV
IIbabvabuaRvuDT
yxvuJxy
yxxy
yv
xv
yu
xu
yxJ
dondevuJyxJxyvxyu
iabledecambiounalizandoIbabxyabxyaRyxD
222
22
22
2
2222
22
222
21
21
21
Re
,
0,,/,
21,22
22,
1,,,varRe
0,,/,
NOLAN JARA J.
15
b
au
b
av
DTDT
DD
abuvdudv
dudvyx
uvyxdudvvuJuvyx
IIendefinidoestaDTyIendefinidoestaDComo
dAxyxyyxdAyxxyzdvyxxy
Hallando
222
222222
22223333
81
21
21,
)()()(
PROBLEMA 11: Calcular el volumen del sólido definido por las desigualdades x²+y²+z² 24a , z aa, >0, mediante coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas. SOLUCIÓN:
En coordenadas esfericas: T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 2,2 24a , aa,cos >0 T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2 sec,22 aa T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2 3/0,2sec aa x=ρcosθsenφ y=ρsenθsenφ z=ρcosφ |J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ Se tiene :
2 /3 2 2
0 0 sec. . .
a
asen d d d
NOLAN JARA J.
16
/32 /3 23 3 3 3
sec0 00
/33 /3 3 30 0
/33 3 2
0/33 3
0
. / 3 . . 2 [ (8 sec ) / 3. ]
2 [8 / 3 ( cos ) | / 3 .sec . ]
2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan .sec . ]
2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan . tan ]
2 [(4 / 3)]
| a
asen d d sen a a d
a a sen d
a a d
a a d
3 3 2 /30
3
( / 3) tan (1/ 2) |
(5 / 3)
a aa
En coordenadas cilíndricas: T(s)=(r,θ,z) є R³/ )4(,30,20 22 razaar x= rcosθ y= rsenθ z= z J(r,θ,z)=r
3
30
230
2/322
3
0
3
0
22222223
0
2
0
223
0
2
0
)4(3
0
2
0
)3/5(
]||)4(3/2[
])4([))4(()2/1(
))4((...22
a
arra
drarraddrara
drdararddrdzr
aa
a aa
ara
a
a
PROBLEMA 12: Sea S el sólido limitado, inferiormente por la parte superior del cono 222 44 zyx Y superiormente por la esfera zzyx 2222 Calcular la integral (1 )
s
x dv
SOLUCIÓN: Graficamos:
NOLAN JARA J.
17
2 2 21
2 2 22
3 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
sea:4x +4y =z .......x +y +z =2z.....S
: , , / 2 1 ( ) 1, ( , ): S
Entonces interceptamos estas dos superficies:
2 1 ( ) 1
2 1 1 ( )
4 1 4 1 ( )
5 4
S
S x y z x y z x y x y DD S
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x
2 2
2 2 16 4....25 5
y
x y circunferencia de radio R
Graficando la región D:
NOLAN JARA J.
18
21
2
3
3 2
Transformando a coordenadas cilindricas:
cos
2 1 ........De la region Dsededuce:
0 2 ..........40 ............5
De α,β,δ,tenemos:4( ) : ( , , ) / 2 1 ;0 ;0 25
( , , )
x ry rsenz z
r z r
r
T S r z r z r r
J r z r
2
2
s
42 15
s 0 0 24
2 51
20 0
42 5
2
0 0
42 5
2 2 2 2 3
0 0
(1+x)dv ( , ) ( , , )
(1+x)dv. (1 cos )
( (1 cos ) ) )
( (1 cos ) ( 1 2 ) )
( ( 1 2 cos 1 cos 2
s
r
r z r
r
rr
r
r
f x y J r z dv
r rdzdrd
r r z dr d
r r r r dr d
r r r r r r
3
2 2 32 3 42 2 32 5
0 02
0
s
) )
2(1 ) 1 4 coscos (1 ) 2
8 8 3 3
cos arctan(1/ 3) 47 2cos4 16 250 25
4(1+x)dv.25
r
dr d
r r r rarcsenr r r
d
PROBLEMA 13: Calcular el plano tangente P a la superficie de ecuación 033 yxzxxz en el punto (1,3,1). Sean A,B,C los puntos en los que el plano P corta a los ejes coordenados. Calcular mediante una integral triple el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen y los puntos A,B y C.
NOLAN JARA J.
19
Hallando el plano tangente P(t): Sea : 03),,( 3 yxzxxzzyxF Punto de tangencia: )1,3,1(),,( 000 zyx Ecuación del plano tangente
063:)()1().4.().3(),2.(
)4..(..............................).........,,()3.....(..............................).........,,(
)2........(..........).........6,1,3()1,3,1()33,1,13(),,(
),,(...)1........(0),,()(:)(
0000
23000
000
0000
zyxtPenydoreemplazan
zyxPzyxP
FxxzzzzyxF
zyxFgradienteelhallandozyxFpptP
Hallando los puntos de corte del plano P(t) con los ejes coordenados: En x:Hacemos y=z=0A: x=2 En y:x=z=0B:y=-6 en Z:x=y=0C:z=6
3
( )
( , , ) / 0 3 6;( , ) S
V s dv
S x y z R z y x x y D
NOLAN JARA J.
20
Graficando la ecuación D
2
06
230
6
2
0
6
3/)6(0
20
6
3/)6(
0
0
6
3/)6(
0
63
0
2
12)(
|)3663/)(6/1()3612()6/1()(
|)6)2/3(()63()(
06;3/)6(0/),(
udvsV
yyydyyysV
dyxxyxdxdyxydzdxdydvsV
yyxRyxD
S
yy
y
yx
y
y
xS y
y
x
xy
z
PROBLEMA 14: Calcular usando coordenadas esféricas 2 2 2( / ( ))
S
xyz x y z dv siendo S el recinto
limitado en el primer octante por la esfera 4222 zyx Solución:
40;40;20/),,( 2223 yxzxyxRzyxS
NOLAN JARA J.
21
Convirtiendo a coordenadas esféricas: x=ρcosθsenφ y=ρsenθsenφ z=ρcosφ intervalos de variación:
2/020
2/0
Operando
2
2 /2 /2 2 /2 /24 2 2 4
0 0 0 0 0 0
2
(( cos )( )( cos )( ) / )
1/ 4 ( 2 )( 2 ) 1/ 4 ( 1/ 2) 2 . . ( 2. 2 )
(( cos )( )( cos )( ) / )
1/
s
s
sen sen sen sen dv
sen sen sen d d d sen sen sen
sen sen sen sen dv
2 /2 2 /2 2
2 4 4 2 4
0 0 0 0 0
24
0
4 ( 1/ 2) 2 . . .( 2) 1/ 4 ( 2 . . ) 1/ 4 (1/ 2)
1/ 8( ) 32 / 40
sen sen d d sen sen d d
d
NOLAN JARA J.
22
PROBLEMA 15: Calcular el volumen del sólido.
yxyxyxR zzyxS2222223 1;
410/,,
Usando coordenadas esféricas y cilíndricas: SOLUCIÓN:
S
dV
Haciendo una transformación de coordenadas a coordenadas cilíndricas: x= rcos ; y= rsen ; z= z Donde el jacobiano J(r, )=r
2 2 2 2 22 2 21 10 ( ( 0 : 14 2) cos ) cosr zrsen r sen senr r r
3 21( , , ) / 0 2 : 0 : 12
S r z r r zR r
21 1
31 32 2 22 22 32
0 0 0 0 0
1 21 0.753 31
r
rdz rdr d r rdr d dr ur r
En coordenadas esféricas: x= rcosθsenф ; y= rsenθsenф ; z= rcosф Donde el jacobiano J(r,θ, ф)=r2senф:
senrsensenrsenrsensenr
senrsensenr
r2222
22
coscos
cos
1cos
410
NOLAN JARA J.
23
4
0.20:210/),,( 3 rrS R
ur dddsendddrsendVS
32
0
2
0
4
0
2
0
4
0
21
0
2 76.0221
12221
61
2444
PROBLEMA 16: Siendo 363694/,, 2223 zyxRzyxS Calcular usando un cambio de variable adecuado, la integral
S
dvzyx 2632
SOLUCIÓN Usando coordenadas esféricas
2
0 0
1
0
22
222
22
3
2
2
2
2
2
2
2222
coscos216
6coscos6632
coscos6632
0,20,10/,,
.2.3,,
cos2
cos3
123363694
dddrsenrsensensenr
ddrdsenrsensensenrdvzyx
sensensenrzyx
rRrSTdonde
senrrJ
rz
senrseny
senrx
zyxzyx
r
S ST
45
216cos23
25
216
cos225
216
2
0
2
0 0
3
dsensen
ddsensensensensensen
S
zyx 5
864632 2
PROBLEMA 17:
NOLAN JARA J.
24
Hallar el volumen del sólido situado en el exterior del paraboloide z=x2+y2 que lo limita el semiplano 0z y en el interior del cilindrox2+y2 =2x
SOLUCIÓN El volumen del sólido encerrado es:
32
0
20
42
0
cos2
0
32
2
22
222
23322
44
4cos222
22,cos20/,
22
cos;cos2cos2cos
,:cos
11/,
usensen
dddrrdrdrrV
rRrDT
tenemos
positivoserdebecomorrrsenr
rrJrsenyrxpolaresscoordenadapasandoa
yxRyxD
dondezdAV
rDT
D