INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Conceptualización Intuitiva de Límite:

Definamos la función P(n) como un polígono regular de n lados, la idea es observar que pasaría si n se hace muy grande; es decir, cuando n tiende a infinito.

En la ilustración se muestra que cuando n aumenta, el polígono se acerca cada vez más al círculo.

Luego:

P = Polígono; C = Circunferencia

La expresión anterior, está indicando que cuando el número de lados se hace muy grande, el polígono se acerca al círculo.

Conceptualización Básica de Límite:

Sea la función y = f (x), si se hace que la variable se acerque mas y mas a un valor fijo c, entonces la función se acercara a un valor fijo L. Lo anterior se puede escribir simbólicamente de la siguiente manera:

Si aplicamos la definición a un caso especifico, se puede entender mejor el principio.

Sea: 42

42

2

x

xLimx

Lo que vamos a hacer es tabular algunos valores de x muy cercanos; por encima y por debajo de 2 y, reemplazando en la función, se obtiene el valor del límite de la función.

Tomamos valores de la variable por debajo de 2:

X 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999

Límite 3,9 3,99 3,999 3,9999 3,99999 3,999999

Tomamos valores de la variable por encima de 2:

X 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001

Límite 4,1 4,01 4,001 4,0001 4,00001 4,000001

Los cuadros dejan ver claramente que a medida que la variable x se acerca a 2; por encima o por debajo, el límite de la función L se acerca a 4.

Definición de límite

Propiedades de los límites:

Con el fin de comprender de una mejor manera el desarrollo de los límites vamos a analizar algunas propiedades esenciales de esta temática.

1. Límite de una Constante: kkLimax

para k una constante

2. Límite de una Variable: nn

axaxLim

Para Zn

3. Límite de Constante por Función: )()( xfLimkxkfLimaxax

4. Límite de Suma / Resta de funciones:

)()()()( xgLimxfLimxgxfLimaxaxax

5. Limite de Producto de Funciones: )(*)()(*)( xgLimxfLimxgxfLimaxaxax

6. Límite de Cociente de Funciones:

)(

)(

)(

)(

xgLim

xfLim

xg

xfLim

ax

ax

ax

Para

0)(

xgLimax

Definición:

Se dice que ,

Que se lee: “El límite de f(x) cuando x tiende a a, es igual a L”,

Si es posible hacer que los valores de f(x) se aproximen tanto como queramos a L, al tomar valores para x suficientemente próximos a a, pero no igual a a.

En símbolos: entonces

7. Límite de una Potencia: nax

n

axxfLimxfLim )()(

Para Zn

8. Límite de la Raíz: nax

n

axxfLimxfLim )()(

Siempre que 0)(

n

axxfLim si n es

par

9. Límite de Función Exponencial: 0K

)()(

K

xfLimxf

ax

axKLim

Evaluar un límite

Evaluar un límite es reemplazar la tendencia de la variable en la función, para obtener su límite.

Ejemplo 1:

Sea la función xxxf 25)( 4 Evaluar el límite cuando x tiende a 3.

Solución: Escribamos analíticamente la expresión anterior: xxLimx

25 4

3

Aplicando las propiedades de suma / resta y constante por función:

xLimxLimxLimxLimxxLimxxxxx 3

4

33

4

3

4

3252525

El siguiente paso es evaluar el límite:

399640532)3(525 4

3

4

3

xLimxLim

xx

Observemos que cuando se evalúa el limite, la expresión ax

Lim

Desaparece, ya

que la variable es reemplazada por su tendencia. Ejemplo 2:

Hallar el límite de la función 643)( 23 xxxf cuando x tiende a 4.

Solución:

Expresemos el ejercicio de manera analítica: 643 23

4

xxLim

x

Aplicando la propiedad de suma: 6434

2

4

3

4

xxxLimxLimxLim

El primer límite es de una constante por una función al igual que el segundo y el tercero es el límite de una constante, entonces:

66436434

2

4

3

44

2

4

3

4

xxxxxxLimxLimxLimLimxLimxLim

Aplicando las propiedades 1 y 2, y evaluando obtenemos:

2506641926)4(4)4(3643 23

4

2

4

3

4

xxxLimxLimxLim

Entonces:

250643 23

4

xxLim

x

Es de anotar que en el desarrollo de un límite se pueden utilizar una o varias de las propiedades mencionadas.