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LÓGICA DE PREDICADOS 5. IDENTIDAD Y FUNCIONES (PARTE 1)
Juan Carlos León Universidad de Murcia
Esquema del tema
§ 5.1. La noción lógica de identidad § 5.2. Reglas de deducción natural para “=” § 5.3. Cuantificadores numéricos § 5.4. Descripciones definidas § 5.5. Extensión del método de árboles § 5.6. Funciones. Términos § 5.7. Árboles con letras funcionales
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5.1. La noción lógica de identidad
Lógica de predicados 5. Identidad y funciones
Igualdad e identidad
§ En matemáticas, la identidad se representa por el (engañosamente llamado) signo de igualdad
§ “2+2=4” no significa que 2+2 sea igual que 4, sino que 2+2 es el mismo número que 4: una identidad (numérica), o mismidad
§ En contextos no matemáticos, la identidad se expresa mediante el verbo “ser” ú por ejemplo, “Juan Carlos es el profesor de Lógica”
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Proposiciones de identidad
§ Compárese: 1) Sócrates es un filósofo 3) Sócrates es el maestro de Platón
2) París es una ciudad 4) París es la capital de Francia
§ (1) y (2) son proposiciones de sujeto-‐predicado: la partícula “es” significa que el objeto a que refiere el sujeto tiene la propiedad expresada por el predicado (se trata de un “es” predicativo)
§ En cambio, (3) y (4) son proposiciones de identidad: la partícula “es” significa “es el mismo objeto que”: es un “es” de identidad
El “es” de identidad
§ Algunas claves para reconocer un “es” de identidad: ú ¿Puede reemplazarse por “es el mismo objeto que”?
ú ¿Puede invertirse el orden de las expresiones que flanquean al verbo “es”, sin que resulte lingüísticamente forzado?
§ Respuestas afirmativas son signo de que tenemos una proposición de identidad
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Extensión del lenguaje
§ Añadimos al alfabeto un nuevo símbolo: ú El signo de identidad: “=”
§ Y añadimos una nueva cláusula a la definición de fórmula atómica: ú k=j es una fórmula atómica para cualesquiera
constantes k y j
§ Ejemplos ú a=b c=a b=b
§ Esta extensión constituye el lenguaje de la llamada lógica de predicados con identidad
El predicado de identidad
§ “=” es como una letra predicativa diádica (que expresa una relación binaria) ú pero seguimos la costumbre matemática de escribirla
entre las dos constantes y no delante de ambas ú y, a diferencia de las restantes letras predicativas, “=”
tiene una interpretación fija
§ Teniendo en cuenta las reglas de formación de cfs, “=” podrá aparecer en expresiones complejas del mismo modo que lo hacen las letras predicativas. Por ejemplo, son cfs ú ∀x x=x ∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
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5.2. Reglas de deducción natural para “=”
Lógica de predicados 5. Identidad y funciones
Introducción de “=” (I=)
§ Para cualquier constante k, podemos introducir k=k en cualquier línea de una prueba, sin depender de ningún supuesto
§ Esquema metalingüístico ├ k=k
§ El efecto de esta regla es como el de introducir un teorema: siempre podemos hacerlo, y sin depender de ningún supuesto
§ Intuitivamente, la idea es que, por pura lógica, un objeto será siempre idéntico a sí mismo
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Eliminación de “=” (E=) § Si tenemos como premisas un enunciado de identidad
del tipo k=j y una cf que contenga apariciones de una constante k, podemos sustituir en la cf una o más apariciones de k por j, dependiendo de todos los supuestos de ambas premisas
§ Esquema metalingüístico: Γ ├ k=j
Δ ├ P(k) ⎯⎯⎯⎯ Γ,Δ ├ P(j) donde P(j) es el resultado de sustituir k por j,
al menos en una de sus apariciones en P(k)
§ O sea, si un objeto es el mismo que otro, cualquier cosa que digamos del uno, podemos decirla del otro
Demostración de 5.01 y 5.02
5.01 a=b ├ b=a (conmutatividad) 1 (1) a=b S
(2) a=a I= 1 (3) b=a E= 1,2
5.02 a=b, b=c ├ a=c (transitividad) 1 (1) a=b S 2 (2) b=c S
1,2 (3) a=c E= 1,2
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Demostración de 5.03
5.03 Fa ┤├ ∃x (x=a ∧ Fx)
(a) Fa ├ ∃x (x=a ∧ Fx)
1 (1) Fa S
(2) a=a I=
1 (3) a=a ∧ Fa I∧ 1,2
1 (4) ∃x (x=a ∧ Fx) I∃ 3
(b) ∃x (x=a ∧ Fx) ├ Fa
1 (1) ∃x (x=a ∧ Fx) S
2 (2) b=a ∧ Fb S
2 (3) b=a E∧ 2
2 (4) Fb E∧ 2
2 (5) Fa E= 3,4
1 (6) Fa E∃ 1,2,5
Regla derivada
§ Usaremos únicamente una regla derivada, que es una generalización del esquema 5.01
§ Conmutativa de la identidad (C=): Γ ├ k=j ⎯⎯⎯⎯ Γ ├ j=k
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Teoremas
5.04 ├ ∀x x=x (reflexividad)
(1) a=a I=
(2) ∀x x=x I∀ 1
5.05 ├ ∀x∀y (x=y → y=x) (simetría)
5.06 ├ ∀x∀y∀z (x=y ∧ y=z → x=z) (transitividad)
§ Ambos se obtienen fácilmente a partir de 5.01 y 5.02
5.07 ├ ∃x x=a
(1) a=a I=
(2) ∃x x=a I∃ 1
¿Nombres sin referencia?
§ Como muestra 5.07, en el lenguaje científico (cuyas proposiciones pretenden tener un valor de verdad), no caben los nombres vacíos (sin referencia), pues el mero uso de un nombre nos compromete con la existencia del objeto nombrado
§ Cuando los científicos descubrieron que el hipotético planeta intramercuriano Vulcano no existía, no pasaron a negar todas las proposiciones que hasta el momento habían afirmado sobre él. Simplemente, su nombre fue eliminado del lenguaje científico
§ En cambio, el lenguaje científico puede usar predicados vacíos, y sostener por ejemplo que “no existen unicornios”. (Hay incluso un tratado de Compuestos químicos inexistentes)
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Formalización (ejercicio 5.20)
§ Sólo Pérez y el centinela sabían la contraseña. Alguien que sabía la contraseña robó el arma. Luego el arma fue robada por Pérez o por el centinela
§ Convenciones simbólicas
a: Pérez Fx: x sabía la contraseña
b: el centinela Gx: x robó el arma § La primera premisa significa “Pérez y el centinela sabían la
contraseña, y cualquiera que la supiera será Pérez o el centinela”. Donde la partícula “será” es un “será” de identidad
§ Formalización: (Fa ∧ Fb) ∧ ∀x (Fx → x=a ∨ x=b), ∃x (Fx ∧ Gx) ├ Ga ∨ Gb
Demostración de 5.08 (1)
5.08 (Fa ∧ Fb) ∧ ∀x (Fx → x=a ∨ x=b), ∃x (Fx ∧ Gx) ├ Ga ∨ Gb
1 (1) (Fa ∧ Fb) ∧ ∀x (Fx → x=a ∨ x=b) S
2 (2) ∃x (Fx ∧ Gx) S
3 (3) Fc ∧ Gc S
1 (4) ∀x (Fx → x=a ∨ x=b) E∧ 1
1 (5) Fc → c=a ∨ c=b E∀ 4
3 (6) Fc E∧ 3
3 (7) Gc E∧ 3
1,3 (8) c=a ∨ c=b MP 5,6
(continúa)
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Demostración de 5.08 (2)
9 (9) c=a S
3,9 (10) Ga E= 7,9
3,9 (11) Ga ∨ Gb I∨ 10
12 (12) c=b S
3,12 (13) Gb E= 7,12
3,12 (14) Ga ∨ Gb I∨ 13
1,3 (15) Ga ∨ Gb E∨ 8,9,11,12,14
1,2 (16) Ga ∨ Gb E∃ 2,3,15
5.3. Cuantificadores numéricos
Lógica de predicados 5. Identidad y funciones
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Hay al menos dos
§ Con la identidad podemos expresar proposiciones como “sólo a y b son F”, que hubiéramos sido incapaces de representar sin ella
§ Tampoco puede expresarse sin la identidad la afirmación de que “hay al menos dos objetos que son F”
§ Es fácil comprobar la equivalencia entre estas dos cfs: ∃x Fx ∃x∃y (Fx ∧ Fy)
con lo que usar dos variables distintas no garantiza que haya dos objetos diferentes
§ Para decir “hay al menos dos Fs” necesitamos esto
∃x∃y (Fx ∧ Fy ∧ x≠y) (escribimos “x≠y” en lugar de “¬x=y”)
Hay al menos n
§ Similarmente, podemos decir “hay al menos tres cosas que son F” escribiendo ∃x∃y∃z (Fx ∧ Fy ∧Fz ∧ x≠y ∧ x≠z ∧ y≠z)
§ En general, resultará obvio que para cualquier número n podemos decir que al menos hay n cosas que son F, con el concurso esencial del signo de identidad
§ ¿Pero podremos expresar “hay exactamente n cosas que son F”?
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Hay a lo sumo uno
§ Decir “hay exactamente una cosa que es F” equivale a decir “hay al menos una y a lo sumo una cosa que es F”
§ Ya sabemos que para decir “hay al menos un F” basta escribir
∃x Fx
§ Y afirmar “hay a lo sumo un F” es lo mismo que decir “si dos cosas cualesquiera son F, serán la misma cosa”:
∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
§ Esta cf permite que no haya nada que sea F, y que haya una sola cosa que sea F; pero si más de una fuera F, la cf resultaría falsa
Hay exactamente uno
§ Para decir “hay exactamente un F” escribiremos pues ∃x Fx ∧ ∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
§ Esa cf es equivalente a estas otras más breves y nítidas
∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y))
∃x (Fx ∧ ¬∃y (Fy ∧ x≠y))
§ Indicamos incluso un tercer equivalente más simple aún, aunque menos claro
∃x∀y (Fy ↔ x=y)
§ Podemos convenir en usar la notación “∃1x Fx” como abreviatura de cualquiera de esas cfs y llamar a este nuevo símbolo “cuantificador numéricamente definido”
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Hay exactamente n § Para decir “hay exactamente dos cosas que son F” quizá
lo más sencillo sea escribir
∃x∃y (Fx ∧ Fy ∧ x≠y ∧ ∀z (Fz → x=z ∨ y=z))
§ También podríamos usar el cuantificador numérico “∃1x” y escribir
∃x (Fx ∧ ∃1y (Fy ∧ x≠y)) § Ahora podemos abreviar cualquiera de las dos cfs
anteriores con un segundo cuantificador numéricamente definido “∃2x Fx”
§ Y, obviamente, este procedimiento puede extenderse de modo que para cualquier número finito n tendremos una cf que afirme que “exactamente n cosas son F”
Ejercicios: del 5.09 al 5.15
5.09 a=b, a=c ├ b=c 5.10 a=b ├ a=c ↔ b=c 5.11 a=b ├ Fa ↔ Fb 5.12 Fa ┤├ ∀x (x=a → Fx) 5.13 ├ ∀x∀y (Fx ∧ x=y → Fy) 5.14 ∀x (Fx → Gx), Fa, a=b ├ Gb 5.15 ∀x (Fx → ¬Gx), Fa, Gb ├ a≠b
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Ejercicios: del 5.16 al 5.19
5.16 ∀x (Fx → x=a ∨ x=b), Ga ∧ Gb ├ ∀x (Fx → Gx) 5.17 ∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y), Fa, a≠b ├ ¬Fb 5.18 ∃x Fx ┤├ ∃x∃y (Fx ∧ Fy) 5.19 ∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y)) ┤├ ∃x Fx ∧ ∀x∀y (Fx ∧ Fy → x=y)
5.4. Descripciones definidas
Lógica de predicados 5. Identidad y funciones
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Nombres y descripciones
§ Hasta aquí hemos tratado por igual nombres de objetos y descripciones de objetos (como expresiones que refieren a un objeto), y los hemos simbolizado mediante constantes
§ Pero hay argumentos cuya validez depende de la composición interna de una descripción, ya que ésta se construye a base de indicar que una cierta propiedad le corresponde a un único objeto
§ Por esa razón las denominamos “descripciones definidas”
Ejemplo (ejercicio 5.27)
§ El autor de La Ilíada escribió La Odisea; luego, alguien escribió tanto La Ilíada como La Odisea
§ El argumento es obviamente válido, pero esa validez no se manifiesta si tratamos la descripción “el autor de La Ilíada” como si fuera un nombre, y lo representamos mediante una constante: Ga ├ ∃x (Fx ∧ Gx) (a: el autor de La Ilíada; Fx: x escribió La Ilíada; Gx: x escribió La Odisea)
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Formalización
§ Lo que afirma la premisa es que exactamente una persona escribió La Ilíada, y que esa misma persona escribió La Odisea: ∃x (Fx ∧ ∀y (Fy → x=y) ∧ Gx)
§ El contenido de la descripción está captado por los dos primeros miembros de la conjunción: alguien escribió La Ilíada y es el único que lo ha hecho
§ La conclusión se sigue entonces obviamente
La teoría de las descripciones
§ Este tratamiento de las descripciones se debe a B. Russell (1905)
§ Las dos proposiciones ú El actual rey de Francia es calvo ú El actual rey de Francia no es calvo
son ambas falsas (y sólo aparentemente contradictorias), ya que no existe actualmente un rey de Francia
§ La teoría de las descripciones definidas de Russell suscita problemas filosóficos que se abordan mejor en el ámbito de la filosofía del lenguaje
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Bertrand Russell