Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 1/38
Álgebra LinealMa1010
Matrices: Conceptos y Operaciones BásicasDepartamento de Matemáticas
ITESM
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
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Introducción
En esta lectura veremos conceptos básicos sobrematrices, las operaciones de suma entre matrices,producto de un escalar por una matriz y elproducto entre matrices.
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Matriz
Una matriz A m× n es un arreglo rectangular dem · n números en forma de m rengloneshorizontales y n columnas verticales:
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Matriz
Una matriz A m× n es un arreglo rectangular dem · n números en forma de m rengloneshorizontales y n columnas verticales:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
am1 am2 · · · amn
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Matriz
Una matriz A m× n es un arreglo rectangular dem · n números en forma de m rengloneshorizontales y n columnas verticales:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
am1 am2 · · · amn
Nos referiremos al elemento que se encuentra enel renglón i y en la columna j como el elemento aijde A o como el (i, j)-esimo elemento de A.
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Matriz
Una matriz A m× n es un arreglo rectangular dem · n números en forma de m rengloneshorizontales y n columnas verticales:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
am1 am2 · · · amn
Nos referiremos al elemento que se encuentra enel renglón i y en la columna j como el elemento aijde A o como el (i, j)-esimo elemento de A. Ladimensión de A es el producto indicado delnúmero de renglones por el número de columnas,así en este caso la dimensión de A es m× n.
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El i-esimo rengl on de A es:[
ai1 ai2 · · · ain
]
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El i-esimo rengl on de A es:[
ai1 ai2 · · · ain
]
La j-esima columna de A es:
a1j
a2j...
amj
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También podemos considerar que la matriz A esuna secuencia de sus columnas a1, a2,..., an:
A = [a1 a2 · · · an] .
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Ejemplo
Indique cuáles de las siguientes representacionesson matrices:
2
−2 4 −3
0
,
2 2
−2 4 −3
0 −1
0
,
2 2 0
−2 4 −3
5 0 −1
0 0 0
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Ejemplo
Indique cuáles de las siguientes representacionesson matrices:
2
−2 4 −3
0
,
2 2
−2 4 −3
0 −1
0
,
2 2 0
−2 4 −3
5 0 −1
0 0 0
Recuerde: Matriz es un arreglo rectangular; Porconsiguiente, la única representación quecorresponde a una matriz es la última �
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Ejemplo
Para cada matriz, indique el número de renglones, el número de columnas y sudimensión:
1.
−4
4
2.[
−1 −4]
3.
2
−4
−4
4.
6 −2
−5 6
5.[
−1 −1 1]
6.
4 3 −4
2 5 −5
2 6 −3
7.
−2 3
−6 6
−2 5
8.
−3 −6 0
3 −1 0
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Ejemplo
Para cada matriz, indique el número de renglones, el número de columnas y sudimensión:
1.
−4
4
2.[
−1 −4]
3.
2
−4
−4
4.
6 −2
−5 6
5.[
−1 −1 1]
6.
4 3 −4
2 5 −5
2 6 −3
7.
−2 3
−6 6
−2 5
8.
−3 −6 0
3 −1 0
Soluci on
1. tiene 2 renglones y 1 columna: es 2× 1; 2. tiene 1 renglón y 2 columnas: es
1× 2, 3. tiene 3 renglones y 1 columna: es 3× 1, 4. tiene 2 renglones y 2 columnas:
es 2× 2, 5. tiene 1 renglón y 3 columnas: es 1× 3, 6. tiene 3 renglones y 3
columnas: es 3× 3, 7. tiene 3 renglones y 2 columnsa: es 3× 2, y 8. tiene 2
renglones y 3 columnas: es 2× 3 �
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Ejemplo
Liste en orden los elementos (3, 1), (3, 2), y (2, 2) dela matriz:
−3 −4 −1
−3 1 2
−3 3 3
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Ejemplo
Liste en orden los elementos (3, 1), (3, 2), y (2, 2) dela matriz:
−3 −4 −1
−3 1 2
−3 3 3
Soluci onEl elemento (3, 1) está en el renglón 3 y en lacolumna 1: es -3. El elemento (3, 2) está en elrenglón 3 y en la columna 2: es 3. El elemento(2, 2) está en el renglón 2 y en la columna 2: es 1�
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Igualdad entre matrices
Dos matrices se dicen matrices iguales si tienen lamisma dimensión y además elemento porelemento son iguales.
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Igualdad entre matrices
Dos matrices se dicen matrices iguales si tienen lamisma dimensión y además elemento porelemento son iguales.Ejemplo
Cuál debe ser el valor de x y de y para que lasmatrices sean iguales:
[
1 x
y x+ y
]
=
[
1 y − x
2 x 3
]
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Igualdad entre matrices
Dos matrices se dicen matrices iguales si tienen lamisma dimensión y además elemento porelemento son iguales.Ejemplo
Cuál debe ser el valor de x y de y para que lasmatrices sean iguales:
[
1 x
y x+ y
]
=
[
1 y − x
2 x 3
]
Soluci onSe requiere que: x = y − x, que y = 2 x y quex+ y = 3. Resolviendo el sistema se obtiene quex = 1 y que y = 2 �
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Ejemplo
Cuál debe ser el valor de x y de y para que lasmatrices sean iguales:
[
1 x
y x+ y
]
=
1 y − x
2 x 3
0 0
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Ejemplo
Cuál debe ser el valor de x y de y para que lasmatrices sean iguales:
[
1 x
y x+ y
]
=
1 y − x
2 x 3
0 0
Soluci onComo la matriz a la izquierda es 2× 2 y la de laderecha es 3× 2. Las matrices no pueden seriguales para ningún valor de x y de y �
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Matrices especiales
1. Una matriz 1× n se llama matriz renglón.
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Matrices especiales
1. Una matriz 1× n se llama matriz renglón.2. Una matriz m× 1 se denomina una matriz
columna o vector.
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Matrices especiales
1. Una matriz 1× n se llama matriz renglón.2. Una matriz m× 1 se denomina una matriz
columna o vector.3. Una matriz n× n se llama matriz cuadrada.
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Matrices especiales
1. Una matriz 1× n se llama matriz renglón.2. Una matriz m× 1 se denomina una matriz
columna o vector.3. Una matriz n× n se llama matriz cuadrada.4. Una matriz cuya totalidad de elementos es cero
se llama matriz cero y se representa por 0.
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Sea A una matriz cuadrada:1. A la colección de elementos aii se le llama su
diagonal principal.2. Se dice matriz triangular superior si todos los
elementos que están abajo de la diagonalprincipal son cero.
3. Se dice matriz triangular inferior si todos loselementos que están arriba de la diagonalprincipal son cero.
4. Se dice matriz diagonal si todos los elementosque están por arriba y por abajo de la diagonalprincipal son cero.
5. Se dice matriz escalar si es diagonal y todos loselementos de la diagonal principal son iguales.
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Ejemplo
Clasifique las siguientes matrices:
1.
2 6
1 0
2.
0 4
4 0
3.
4 4
0 0
4.
4 0
0 −8
5.
2 0
4 5
6.
2 0
4 0
7.
5 0
0 5
8.
0 3
6 3
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Ejemplo
Clasifique las siguientes matrices:
1.
2 6
1 0
2.
0 4
4 0
3.
4 4
0 0
4.
4 0
0 −8
5.
2 0
4 5
6.
2 0
4 0
7.
5 0
0 5
8.
0 3
6 3
Soluci on La matriz 1. por el elemento (2, 1) no esni triangular superior, ni diagonal, ni escalar. Por elelemento (1, 2) tampoco es triangular inferior
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Ejemplo
Clasifique las siguientes matrices:
1.
2 6
1 0
2.
0 4
4 0
3.
4 4
0 0
4.
4 0
0 −8
5.
2 0
4 5
6.
2 0
4 0
7.
5 0
0 5
8.
0 3
6 3
Soluci on La matriz 2. por el elemento (2, 1), no estriangular superior, ni diagonal ni escalar. Por ellemento (1, 2) tampoco es triangular inferior.
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Ejemplo
Clasifique las siguientes matrices:
1.
2 6
1 0
2.
0 4
4 0
3.
4 4
0 0
4.
4 0
0 −8
5.
2 0
4 5
6.
2 0
4 0
7.
5 0
0 5
8.
0 3
6 3
Soluci on La matriz 3. es triangular superior, perono diagonal ni escalar; no es triangular inferior.
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Ejemplo
Clasifique las siguientes matrices:
1.
2 6
1 0
2.
0 4
4 0
3.
4 4
0 0
4.
4 0
0 −8
5.
2 0
4 5
6.
2 0
4 0
7.
5 0
0 5
8.
0 3
6 3
Soluci on La matriz 4. es triangular superior ytriangular inferior, diagonal pero no matriz escalar.
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Ejemplo
Clasifique las siguientes matrices:
1.
2 6
1 0
2.
0 4
4 0
3.
4 4
0 0
4.
4 0
0 −8
5.
2 0
4 5
6.
2 0
4 0
7.
5 0
0 5
8.
0 3
6 3
Soluci on La matriz 5. es triangular inferior, perono diagonal ni escalar; no es triangular superior.
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Ejemplo
Clasifique las siguientes matrices:
1.
2 6
1 0
2.
0 4
4 0
3.
4 4
0 0
4.
4 0
0 −8
5.
2 0
4 5
6.
2 0
4 0
7.
5 0
0 5
8.
0 3
6 3
Soluci on La matriz 6. es triangular inferior, perono diagonal ni escalar; no es triangular superior.
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Ejemplo
Clasifique las siguientes matrices:
1.
2 6
1 0
2.
0 4
4 0
3.
4 4
0 0
4.
4 0
0 −8
5.
2 0
4 5
6.
2 0
4 0
7.
5 0
0 5
8.
0 3
6 3
Soluci on La matriz 7. es triangular inferior,triangular superior, matriz diagonal y matrizescalar.
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Ejemplo
Clasifique las siguientes matrices:
1.
2 6
1 0
2.
0 4
4 0
3.
4 4
0 0
4.
4 0
0 −8
5.
2 0
4 5
6.
2 0
4 0
7.
5 0
0 5
8.
0 3
6 3
Soluci on La matriz 8. no es triangular inferior,ni triangular superior, ni matriz diagonal, ni matrizescalar �
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Suma de matrices
Dos matrices de las mismas dimensiones se pueden sumar; lasuma de dos matrices de diferente dimensión no. La suma de dosmatrices de las mismas dimensiones es una matriz de las mismadimensiones y se obtiene sumando sus elementoscorrespondientes:
a11 · · · a1n
a21 · · · a2n
.... . .
...
am1 · · · amn
+
b11 · · · b1n
b21 · · · b2n
.... . .
...
bm1 · · · bmn
=
a11 + b11 · · · a1n + b1n
a21 + b21 · · · a2n + b2n
.... . .
...
am1 + bm1 · · · amn + bmn
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Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 15/38
Ejemplo
Realice la suma de las matrices:
A =
−1 2
1 1
1 1
y B =
−1 0
1 2
4 1
.
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Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 15/38
Ejemplo
Realice la suma de las matrices:
A =
−1 2
1 1
1 1
y B =
−1 0
1 2
4 1
.
Observamos que la suma sí se puede realizarporque las dimensiones de las matrices coinciden,así:
−1 2
1 1
1 1
+
−1 0
1 2
4 1
=
(−1) + (−1) (2) + (0)
(1) + (1) (1) + (2)
(1) + (4) (1) + (1)
=
−2 2
2 3
5 2
�
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Producto de un escalar por una matriz
Sea A cualquier matriz y c un escalar cualquiera. El productoescalar cA es una matriz que tiene las mismas dimensiones que lamatriz A, y que en cada elemento contiene el elementocorrespondiente de A multiplicado por c:
c
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
=
c a11 c a12 · · · c a1n
c a21 c a22 · · · c a2n
......
. . ....
c am1 c am2 · · · c amn
.
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Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 17/38
Ejemplo
Realice el producto
−3
−1 2
1 0
1 −4
.
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Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 17/38
Ejemplo
Realice el producto
−3
−1 2
1 0
1 −4
.
Este producto siempre se puede realizar, y eneste caso:
−3
−1 2
1 0
1 −4
=
(−3) · (−1) (−3) · (2)
(−3) · (1) (−3) · (0)
(−3) · (1) (−3) · (−4)
=
3 −6
−3 0
−3 12
�
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Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 18/38
Producto de una matriz por un vector
Sea A una matriz m× n y B una matriz columnan× 1, el Producto Matricial AB es la una matriz C
columna m× 1 definida como:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
b1
b2
...
bn
=
∑n
j=1a1j bj
∑n
j=1a2j bj
...∑n
j=1amj bj
=
a11 b1 + a1,2 b2 + · · ·+ a1n bn
a21 b1 + a2,2 b2 + · · ·+ a2n bn
...
am1 b1 + am,2 b2 + · · ·+ amn bn
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 19/38
Alternativamente,
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
b1
b2
...
bn
= b1
a11
a21
...
am1
+b2
a21
a22
...
am2
+· · ·+bn
a1n
a2n
...
amn
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Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 20/38
Ejemplo
Realize el producto de acuerdo a ambas definiciones y compruebela igualdad de resultados:
2 0 −1
3 4 −2
−4
5
−7
.
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Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 20/38
Ejemplo
Realize el producto de acuerdo a ambas definiciones y compruebela igualdad de resultados:
2 0 −1
3 4 −2
−4
5
−7
.
Soluci on
De acuerdo a la definición del producto como producto punto de losrenglones de A con b:
2 0 −1
3 4 −2
−4
5
−7
=
(2) (−4) + (0) (5) + (−1) (−7)
(3) (−4) + (4) (5) + (−2) (−7)
=
−8 + 0 + 7
−12 + 20 + 14
=
−1
22
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 21/38
De acuerdo a la definición del producto como combinación lineal de las columnasde la matriz:
2 0 −1
3 4 −2
−4
5
−7
= − 4
2
3
+ 5
0
4
− 7
−1
−2
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 21/38
De acuerdo a la definición del producto como combinación lineal de las columnasde la matriz:
2 0 −1
3 4 −2
−4
5
−7
= − 4
2
3
+ 5
0
4
− 7
−1
−2
=
−8
−12
+
0
20
+
7
14
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 21/38
De acuerdo a la definición del producto como combinación lineal de las columnasde la matriz:
2 0 −1
3 4 −2
−4
5
−7
= − 4
2
3
+ 5
0
4
− 7
−1
−2
=
−8
−12
+
0
20
+
7
14
=
−1
22
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 21/38
De acuerdo a la definición del producto como combinación lineal de las columnasde la matriz:
2 0 −1
3 4 −2
−4
5
−7
= − 4
2
3
+ 5
0
4
− 7
−1
−2
=
−8
−12
+
0
20
+
7
14
=
−1
22
Observamos que hay equivalencia entre una forma y otra para el cálculo de un
producto de una matriz por un vector columna�
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 22/38
Ejemplo
Suponga una fábrica con varias etapas deensamble. En la primera etapa se producen dostipos de productos, digamos productos tipo X y tipoY. Estos productos están compuestos de partesque la fábrica denomina materia prima. La fábricaopera utilizando tres tipos de partes del tipomateria prima; tipo a, tipo b, y tipo c. Para armaruna pieza del tipo X requiere 4 piezas del tipo a, 3del tipo b y 5 del tipo c. Para armar una pieza deltipo Y requiere 5 del tipo a, 2 del tipo b y 6 del tipoc. Suponga que la planta desea armar 10 piezasdel tipo X y 21 piezas del tipo Y. ¿Cuántas piezasa, b, y c necesita?
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 23/38
Soluci onLa anterior composición podría ordenadamentepresentarse por la siguiente tabla.
Requerimientos por armado
un tipo X un tipo Y
tipo a 4 5
tipo b 3 2
tipo c 5 6
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 24/38
Para ver que este problema se resuelve usando el producto deuna matriz con un vector, desarrollemos los cálculos:
10 ·
4
3
5
+ 21 ·
5
2
6
=
10 · 4
10 · 3
10 · 5
+
21 · 5
21 · 2
21 · 6
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 24/38
Para ver que este problema se resuelve usando el producto deuna matriz con un vector, desarrollemos los cálculos:
10 ·
4
3
5
+ 21 ·
5
2
6
=
10 · 4
10 · 3
10 · 5
+
21 · 5
21 · 2
21 · 6
=
(10) · (4) + (21) · (5)
(10) · (3) + (21) · (2)
(10) · (5) + (21) · (6)
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 24/38
Para ver que este problema se resuelve usando el producto deuna matriz con un vector, desarrollemos los cálculos:
10 ·
4
3
5
+ 21 ·
5
2
6
=
10 · 4
10 · 3
10 · 5
+
21 · 5
21 · 2
21 · 6
=
(10) · (4) + (21) · (5)
(10) · (3) + (21) · (2)
(10) · (5) + (21) · (6)
=
(4) · (10) + (5) · (21)
(3) · (10) + (2) · (21)
(5) · (10) + (6) · (21)
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 24/38
Para ver que este problema se resuelve usando el producto deuna matriz con un vector, desarrollemos los cálculos:
10 ·
4
3
5
+ 21 ·
5
2
6
=
10 · 4
10 · 3
10 · 5
+
21 · 5
21 · 2
21 · 6
=
(10) · (4) + (21) · (5)
(10) · (3) + (21) · (2)
(10) · (5) + (21) · (6)
=
(4) · (10) + (5) · (21)
(3) · (10) + (2) · (21)
(5) · (10) + (6) · (21)
=
4 5
3 2
5 6
·
10
21
=
145
72
176
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 25/38
Ejemplo
Continuamos con la Empresa Ensambladora. Suponga que enuna siguiente etapa de ensamblado se prepan dos tipos depiezas; la pieza tipo M y la pieza tipo N. Suponga que para lapieza tipo M requiere 8 piezas tipo X y 3 piezas tipo Y. Mientrasque para la pieza tipo N requiere 2 piezas tipo X y 4 piezas tipoY. Suponga que la planta desea armar 11 piezas del tipo M y20 piezas del tipo N, ¿cuántas piezas X y Y se necesita? Digaentonces, cuántas piezas tipo a, b y c se requiere.
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 26/38
Soluci onLa información de la etapa se puede representaren forma de matriz como:
Requerimientos por armado
tipo M tipo N
tipo X 8 2
tipo Y 3 4
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 26/38
Soluci onLa información de la etapa se puede representaren forma de matriz como:
Requerimientos por armado
tipo M tipo N
tipo X 8 2
tipo Y 3 4
Así, las piezas requeridas se pueden calcular
8 2
3 4
·
11
20
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 26/38
Soluci onLa información de la etapa se puede representaren forma de matriz como:
Requerimientos por armado
tipo M tipo N
tipo X 8 2
tipo Y 3 4
Así, las piezas requeridas se pueden calcular
8 2
3 4
·
11
20
=
(8) · (11) + (2) · (20)
(3) · (11) + (4) · (20)
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 26/38
Soluci onLa información de la etapa se puede representaren forma de matriz como:
Requerimientos por armado
tipo M tipo N
tipo X 8 2
tipo Y 3 4
Así, las piezas requeridas se pueden calcular
8 2
3 4
·
11
20
=
(8) · (11) + (2) · (20)
(3) · (11) + (4) · (20)
=
128
113
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 26/38
Soluci onLa información de la etapa se puede representaren forma de matriz como:
Requerimientos por armado
tipo M tipo N
tipo X 8 2
tipo Y 3 4
Así, las piezas requeridas se pueden calcular
8 2
3 4
·
11
20
=
(8) · (11) + (2) · (20)
(3) · (11) + (4) · (20)
=
128
113
Por ello es que para armar 11 piezas M y 20piezas N se requieren 128 del tipo X y 113 del tipoY.
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 27/38
Por otro lado, para saber cuántas piezas a, b y c serequieren hagamos:
4 5
3 2
5 6
·
128
113
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 27/38
Por otro lado, para saber cuántas piezas a, b y c serequieren hagamos:
4 5
3 2
5 6
·
128
113
=
(4) · (128) + (5) · (113)
(3) · (128) + (2) · (113)
(5) · (128) + (6) · (113)
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 27/38
Por otro lado, para saber cuántas piezas a, b y c serequieren hagamos:
4 5
3 2
5 6
·
128
113
=
(4) · (128) + (5) · (113)
(3) · (128) + (2) · (113)
(5) · (128) + (6) · (113)
=
1077
610
1318
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 27/38
Por otro lado, para saber cuántas piezas a, b y c serequieren hagamos:
4 5
3 2
5 6
·
128
113
=
(4) · (128) + (5) · (113)
(3) · (128) + (2) · (113)
(5) · (128) + (6) · (113)
=
1077
610
1318
De donde concluimos que se requieren en total1077 piezas a, 610 b y 1318 c �
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 28/38
Matriz de requerimiento
Para un proceso simplificado de entrada-salida que cumple las
propiedades de aditividad y proporcionalidad donde a la materia
prima se codifica como un vector de n componentes (el valor de n
es el total de tipos diferentes de materia prima en el proceso) y a la
salida se codifica como un vector de m componentes (el valor de m
es el total de tipos diferentes de productos posibles a la salida del
proceso):
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 28/38
Matriz de requerimiento
Para un proceso simplificado de entrada-salida que cumple las
propiedades de aditividad y proporcionalidad donde a la materia
prima se codifica como un vector de n componentes (el valor de n
es el total de tipos diferentes de materia prima en el proceso) y a la
salida se codifica como un vector de m componentes (el valor de m
es el total de tipos diferentes de productos posibles a la salida del
proceso): la matriz de requerimiento del proceso es una matriz A
n×m tal que para determinar el total de cada tipo de materia prima
requerida para producir cantidades de productos codificados en el
vector y se realiza el producto A · y.
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 28/38
Matriz de requerimiento
Para un proceso simplificado de entrada-salida que cumple las
propiedades de aditividad y proporcionalidad donde a la materia
prima se codifica como un vector de n componentes (el valor de n
es el total de tipos diferentes de materia prima en el proceso) y a la
salida se codifica como un vector de m componentes (el valor de m
es el total de tipos diferentes de productos posibles a la salida del
proceso): la matriz de requerimiento del proceso es una matriz A
n×m tal que para determinar el total de cada tipo de materia prima
requerida para producir cantidades de productos codificados en el
vector y se realiza el producto A · y. Note que el vector resultante
tiene n componentes que son precisamente el número de materias
primas disponibles.
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 28/38
Matriz de requerimiento
Para un proceso simplificado de entrada-salida que cumple las
propiedades de aditividad y proporcionalidad donde a la materia
prima se codifica como un vector de n componentes (el valor de n
es el total de tipos diferentes de materia prima en el proceso) y a la
salida se codifica como un vector de m componentes (el valor de m
es el total de tipos diferentes de productos posibles a la salida del
proceso): la matriz de requerimiento del proceso es una matriz A
n×m tal que para determinar el total de cada tipo de materia prima
requerida para producir cantidades de productos codificados en el
vector y se realiza el producto A · y. Note que el vector resultante
tiene n componentes que son precisamente el número de materias
primas disponibles. La matriz de requerimiento tiene en cada
columna el detalle de materia prima requerido para producir un
artículo o una unidad de cada tipo de artículo a la salida:
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 28/38
Matriz de requerimiento
Para un proceso simplificado de entrada-salida que cumple las
propiedades de aditividad y proporcionalidad donde a la materia
prima se codifica como un vector de n componentes (el valor de n
es el total de tipos diferentes de materia prima en el proceso) y a la
salida se codifica como un vector de m componentes (el valor de m
es el total de tipos diferentes de productos posibles a la salida del
proceso): la matriz de requerimiento del proceso es una matriz A
n×m tal que para determinar el total de cada tipo de materia prima
requerida para producir cantidades de productos codificados en el
vector y se realiza el producto A · y. Note que el vector resultante
tiene n componentes que son precisamente el número de materias
primas disponibles. La matriz de requerimiento tiene en cada
columna el detalle de materia prima requerido para producir un
artículo o una unidad de cada tipo de artículo a la salida: En la
primera columna aparece el correspondiente al tipo de producto 1,
y así sucesivamente.
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 29/38
En la primera etapa de la maquiladora del ejemplo anterior la matriz derequerimiento es simplemente la representación matricial de la información de latabla:
Requerimientos por armado
un tipo X un tipo Y
tipo a 4 5
tipo b 3 2
tipo c 5 6
matriz de requerimiento para la etapa de ensamble:
A =
4 5
3 2
5 6
�
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 30/38
Producto entre Matrices
Sea A una matriz m× n y B una matriz n× k. Elproducto AB es la matriz m× k cuyas columnasson A b1,A b2,..., A bk, donde b1,b2,..., bk son lascolumnas de la matriz B.
AB = A[b1, . . . ,bk]
= [Ab1, . . .Abk]
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 30/38
Producto entre Matrices
Sea A una matriz m× n y B una matriz n× k. Elproducto AB es la matriz m× k cuyas columnasson A b1,A b2,..., A bk, donde b1,b2,..., bk son lascolumnas de la matriz B.
AB = A[b1, . . . ,bk]
= [Ab1, . . .Abk]
Equivalentemente, el elemento (i, j) del productopuede ser calculado haciendo el producto puntoentre el renglón i de la matriz a la izquierda por lacolumna j de la matriz a la derecha.
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 31/38
Ejemplo
Realice el producto A por B si
A =
[
2 0 1
2 1 2
]
y B =
3 2 4
−2 4 5
0 3 −2
.
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 31/38
Ejemplo
Realice el producto A por B si
A =
[
2 0 1
2 1 2
]
y B =
3 2 4
−2 4 5
0 3 −2
.
Observamos que el número de columnas de A (3) coincidecon el número de renglones de B (3) por lo cual el producto sepuede efectuar. Para la realización trabajemos sobre lascolumnas de B:
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 31/38
Ejemplo
Realice el producto A por B si
A =
[
2 0 1
2 1 2
]
y B =
3 2 4
−2 4 5
0 3 −2
.
Observamos que el número de columnas de A (3) coincidecon el número de renglones de B (3) por lo cual el producto sepuede efectuar. Para la realización trabajemos sobre lascolumnas de B:■ A por columna 1 de B:
A b1 =
2 0 1
2 1 2
3
−2
0
=
(2) (3) + (0) (−2) + (1) (0)
(2) (3) + (1) (−2) + (2) (0)
=
6
4
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 32/38
■ A por columna 2 de B:
A b2 =
2 0 1
2 1 2
2
4
3
=
(2) (2) + (0) (4) + (1) (3)
(2) (2) + (1) (4) + (2) (3)
=
7
14
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 32/38
■ A por columna 2 de B:
A b2 =
2 0 1
2 1 2
2
4
3
=
(2) (2) + (0) (4) + (1) (3)
(2) (2) + (1) (4) + (2) (3)
=
7
14
■ A por columna 3 de B:
A b3 =
2 0 1
2 1 2
4
5
−2
=
(2) (4) + (0) (5) + (1) (−2)
(2) (4) + (1) (5) + (2) (−2)
=
6
9
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 32/38
■ A por columna 2 de B:
A b2 =
2 0 1
2 1 2
2
4
3
=
(2) (2) + (0) (4) + (1) (3)
(2) (2) + (1) (4) + (2) (3)
=
7
14
■ A por columna 3 de B:
A b3 =
2 0 1
2 1 2
4
5
−2
=
(2) (4) + (0) (5) + (1) (−2)
(2) (4) + (1) (5) + (2) (−2)
=
6
9
Por consiguiente el producto es:
AB = [A b1 A b2 A b3] =
[
6 7 6
4 14 9
]
�
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 33/38
Ejemplo
Siguiendo con la situación de la empresa maquiladora, ¿Cuál serámatriz que da el cálculo de piezas a, b y c de la etapa 1 a la etapa2?
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 33/38
Ejemplo
Siguiendo con la situación de la empresa maquiladora, ¿Cuál serámatriz que da el cálculo de piezas a, b y c de la etapa 1 a la etapa2?Soluci on El producto de las matrices con ambas etapas respetandoel orden es la respuesta:
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 33/38
Ejemplo
Siguiendo con la situación de la empresa maquiladora, ¿Cuál serámatriz que da el cálculo de piezas a, b y c de la etapa 1 a la etapa2?Soluci on El producto de las matrices con ambas etapas respetandoel orden es la respuesta:
4 5
3 2
5 6
·
8 2
3 4
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 33/38
Ejemplo
Siguiendo con la situación de la empresa maquiladora, ¿Cuál serámatriz que da el cálculo de piezas a, b y c de la etapa 1 a la etapa2?Soluci on El producto de las matrices con ambas etapas respetandoel orden es la respuesta:
4 5
3 2
5 6
·
8 2
3 4
=
(4) · (8) + (5) · (3) (4) · (2) + (5) · (4)
(3) · (8) + (2) · (3) (3) · (2) + (2) · (4)
(5) · (8) + (6) · (3) (5) · (2) + (6) · (4)
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 33/38
Ejemplo
Siguiendo con la situación de la empresa maquiladora, ¿Cuál serámatriz que da el cálculo de piezas a, b y c de la etapa 1 a la etapa2?Soluci on El producto de las matrices con ambas etapas respetandoel orden es la respuesta:
4 5
3 2
5 6
·
8 2
3 4
=
(4) · (8) + (5) · (3) (4) · (2) + (5) · (4)
(3) · (8) + (2) · (3) (3) · (2) + (2) · (4)
(5) · (8) + (6) · (3) (5) · (2) + (6) · (4)
4 5
3 2
5 6
·
8 2
3 4
=
47 28
30 14
58 34
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 33/38
Ejemplo
Siguiendo con la situación de la empresa maquiladora, ¿Cuál serámatriz que da el cálculo de piezas a, b y c de la etapa 1 a la etapa2?Soluci on El producto de las matrices con ambas etapas respetandoel orden es la respuesta:
4 5
3 2
5 6
·
8 2
3 4
=
(4) · (8) + (5) · (3) (4) · (2) + (5) · (4)
(3) · (8) + (2) · (3) (3) · (2) + (2) · (4)
(5) · (8) + (6) · (3) (5) · (2) + (6) · (4)
4 5
3 2
5 6
·
8 2
3 4
=
47 28
30 14
58 34
Es fácil comprobar que esta matriz contiene en las columnas los
requerimientos de piezas a, b y c para armar una pieza M y una
pieza N �
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 34/38
Matriz de requerimiento y producto de matrices
Es importante observar la bondad del producto dematrices respecto a las matrices de requerimiento:La matriz de requerimiento de un grupo de etapasde ensamble continuadas vistas como una solaetapa de ensamble es el producto de las matricesde requerimiento de las etapas involucradas justoen el mismo orden.
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Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 35/38
Propiedades de las operaciones
Sean A, B y C matrices m× n cualquiera, y seana, b, y c escalares cualquiera. Entonces sonválidas las siguientes afirmaciones:1. La suma de matrices es asociativa:
(A+B) +C = A+ (B+C).2. La suma de matrices es conmutativa:
A+B = B+A.3. La matriz 0 es el neutro bajo la suma:
A+ 0 = 0 +A = A.4. Cada matriz tiene un inverso aditivo y este es
precisamente el escalar −1 por la matriz:A+ (−1A) = (−1A) +A = 0.
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 36/38
5. El producto por escalares se distribuye sobre lasuma de matrices:c (A+B) = cA+ cB.
6. La suma de escalares se distribuye sobre lamultiplicación por matrices:(a+ b) A = aA+ bA.
7. La multiplicación por escalares es asociativa:(a · b) A = a (bA).
8. El escalar 1 multiplicado por una matriz dacomo resultado la matriz inicial:1A = A.
9. El escalar cero por una matriz da la matriz deceros:0A = 0.
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 37/38
10. La multiplicación de matrices es asociativa:A (BC) = (AB) C.
11. La multiplicación de matrices se distribuyesobre la suma de matrices:a) A (B+C) = AB+AC, yb) (A+B) C = AC+BC.
12. Movilidad de los escalares en unamultiplicación:a (AB) = (aA) B = A (aB).
13. La matriz cuadrada con sólo unos en ladiagonal In es la identidad multiplicativa:Im A = AIn = A.
14. El resultado de multiplicar la matriz cero, de ladimensión adecuada, por cualquier matriz dacomo resultado la matriz cero:0A = A0 = 0.
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Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 38/38
Notas Importantes
■ El producto de matrices sólo está definido en elcaso cuando el número de columnas de laprimera matriz es igual al número de renglonesde la segunda matriz. En cualquier otro caso sedice que está indefinido o que es irrealizable.
IntroduccionMatrizIgualdad entreMatricesMatricesespecialesSuma de matricesProducto porescalarMatriz por vectorMatrizrequerimientoProducto entrematricesComentarioPropiedadesNotas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 38/38
Notas Importantes
■ El producto de matrices sólo está definido en elcaso cuando el número de columnas de laprimera matriz es igual al número de renglonesde la segunda matriz. En cualquier otro caso sedice que está indefinido o que es irrealizable.
■ El producto matricial no es conmutativo: engeneral AB 6= BA.
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Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Álgebra Lineal - p. 38/38
Notas Importantes
■ El producto de matrices sólo está definido en elcaso cuando el número de columnas de laprimera matriz es igual al número de renglonesde la segunda matriz. En cualquier otro caso sedice que está indefinido o que es irrealizable.
■ El producto matricial no es conmutativo: engeneral AB 6= BA. Por ejemplo si
A =
[
1 1
2 1
]
, B =
[
1 3
1 2
]
se tiene
A ·B =
[
2 5
3 8
]
6= B ·A =
[
7 4
5 3
]