Funciones exponenciales
Anteriormente han considerado ecuaciones de potencia que
tienen la variable en la base y una potencia constante.
(base variable) (potencia constante) ,
tales como x2 , 4x3 , 𝒙𝟐
𝟑 , x 0.4, etc.
Ahora, revisaremos ecuaciones con términos de la forma
(base constante) (potencia variable) ,
tales como 2x , 4x , 𝟏
𝟐
𝒙, 0.4 x, 𝟑(𝟐𝒙−𝟏) etc.
Ejemplo 1: Graficar (continuación) f (x) 2x.
Funciones Exponenciales - Ejemplo
Notamos:
• f(x) es creciente en todo su
dominio.
• Dominio: Todos los reales
• Campo de valores: (0,∞)
OJO:
• Un exponente negativo no
implica que el término es
negativo, Ej. 𝟐−𝟑 =𝟏
𝟐𝟑 =𝟏
𝟖
• 2x NUNCA es igual a 0, por eso
la gráfica NO toca ni cruza el
eje de x. El eje de x es una
asíntota horizontal.
OJO:
• Un exponente negativo no implica que el término es negativo,
• Ej. 𝟏
𝟐
−𝟑=
𝟏
𝟐
𝟑−𝟏
=𝟏
𝟖
−𝟏= 𝟖
• g(x) es decreciente en todo su dominio.
• Dominio: Todos los reales
• Campo de valores: (0,∞)
•𝟏
𝟐
𝒙 NUNCA es igual a 0, por eso la gráfica NO toca ni cruza el eje de x.
Ejemplo 3
Sea g(x) = 𝟏
𝟐
𝒙, 𝐦ostramos algunos valores para g:
Definición
La función exponencial, f(x) = ax, tiene las siguientes características,
(para a , un número positivo diferente de 1 y x , cualquier número real)
Ejemplo 4
Tracemos la gráfica de y = 3𝑥, y =1
3
𝑥
, y =3
2
𝑥
𝐍𝐨𝐭𝐚𝐬:
a) y =1
3
x= 3−1 x = 3−x
b) a0 = 1, para a≠ 0
c) ax = 0, es FALSO siempre
d) Si a>0, ax es creciente
e) Si 0<a<1, ax es decreciente
x 𝟑𝒙 𝟏𝟑
𝒙 𝟑
𝟐
𝒙
-4
-2
0
2
x 𝟑𝒙 𝟏𝟑
𝒙 𝟑
𝟐
𝒙
-4 181 81 16
81
-2 19 9 4
9
0 1 1 1
2 9 19 9
4
Tracemos la gráfica de y = 3x , y = 3x-2 , y = 3x - 2
Observemos las tablas de valores:
x 𝟑𝒙 𝟑𝒙−𝟐 𝟑𝒙 − 𝟐
-4
-2
0
2
OJO:
a) El orden de operaciones es diferente para 3x-2 y 3x-2.
b) Todas las funciones son crecientes y tienen la misma forma.
c) Todas las funciones tienen dominio: todos los reales, pero los campos de valores cambian.
d) Los interceptos en x y los interceptos en y son diferentes para las 3 funciones.
Ejemplo 4
x 𝟑𝒙 𝟑𝒙−𝟐 𝟑𝒙 − 𝟐
-4 3−4 = 1
81 3−6
181−2
=−16181
-2 19 1
81
19 −2=−
179
0 1 19 -2
2 9 1 7
DEFINICION:
Llamamos la constante 𝑒
la base natural.
𝑒 es un número irracional.
f(x) = 𝑒𝑥 una función que utiliza la base natural se
denomina la función natural
La constante e
Ej. Utilice su calculadora para aproximar los valores
siguientes a 4 lugares decimales:
𝑎) 𝑒2 b) 𝑒3.55 c) 3 𝑒 d) 𝑒−1
f) −29
𝑒2
a) 𝑒2 ≈ 7.3891
b) 𝑒3.55 ≈ 34.8133
c) 𝑒 ≈ 1.6487 por lo tanto 3 𝑒 ≈ 3(1.6487)≈ 4.9461
d) 𝑒−1 ≈ 0.3678
f) −29
𝑒2 ≈ −29
7.3891≈ −3.9247
La constante e (continuación)
Ejemplo 5: Graficar 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, g 𝑥 = 𝑒−𝑥 , h 𝑥 = 𝑒𝑥 − 3
La función exponencial natural
Notamos:
• f(x) y h(x) son crecientes en
todo su dominio, g(x) es
decreciente
• Dominio de todos: (−∞, ∞)
• Campo de valores de f(x) y g(x)
es (0,∞), de h(x) es (-3,∞)
• f(x) y g(x) tienen el eje de x
como asíntota horizontal, la
asíntota horizontal de h(x) es
y=3.
TEOREMA
La derivada de la función
está dada por
o
Es decir que la derivada de la función exponencial es
igual a sí misma.
Derivadas de Funciones Exponenciales
xf x e
Ejemplo: Hallar dy/dx si:
Derivadas de Funciones Exponenciales
2b) xdx e
dx
2 2x xx e e x
2 2xe x x
a) 3 xdye
dx3 xd
edx
3 xe
Ejempo (conclusión):
Derivadas de Funciones Exponenciales
3c)
xd e
dx x
3 2
23
3x xx e e x
x
2
6
3xx e x
x
4
( 3)xe x
x
𝑑) 𝑓 𝑥 = 2𝑒𝑥 − 5𝑥3 + 9 𝑑) 𝑓′ 𝑥 = 2𝑒𝑥 − 15𝑥2
Ejemplo: Derivar:
Derivadas de ax
a) 2 ;xy b) (1.4) ;xy
a) 2 ln2 2x xd
dx
b) (1.4) ln1.4 1.4xxd
dx
𝑐) 𝑓′ 𝑥 = ln 12
1
2
𝑥
≈ (0.3365) 1.4𝑥
≈ (0.6932) 2𝑥
≈ (−0.6931)1
2
𝑥
Ejemplo: Derivar:
Derivadas de ax
d) 𝑓′(𝑥) = ln 4 4𝑥 − 12𝑥2 −1
𝑥2
e) 𝑔 𝑥 =3𝑥+2𝑒𝑥
5𝑥
e) 𝑔′ 𝑥 =5𝑥 3+2𝑒𝑥 − 3𝑥+2𝑒𝑥 𝑙𝑛5 5𝑥
5𝑥 2
Derivadas de Funciones Exponenciales
Practica adicional 1
Derivar:
a.) ,
b.) ,
c.) ,
6 xy e
3 xy x e
2
xey
x
6 6x xdye e
dx
3 2 33x x xdyx e x e x e
dx 2 ( 3)xx e x
2
2 4
(2 )x x xdy e x e e x
dx x x
4
( 2)xxe x
x
3
2xe x
x