MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Cálculo DiferencialEjercicios y Problemas resueltos
MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
Cálculo DiferencialEjercicios y Problemas resueltos
Julián Rodríguez Ruiz Carmen García Llamas (Catedrático de Economía Aplicada. UNED) (Profesora Titular de Economía Aplicada. UNED)
Mariano Matilla García(Profesor Titular de Economía Aplicada. UNED).
7ÍNDICE
Prólogo................................................................................................................. 9
Capítulo 1. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS..................................... 11
Conceptos Teóricos ........................................................................ 11Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 21
Capítulo 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL........................... 67
Conceptos Teóricos ........................................................................ 67Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 78
Capítulo 3. DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN............................................... 143
Conceptos Teóricos ........................................................................ 143Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 152
Capítulo 4. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES (I). 219
Conceptos Teóricos ........................................................................ 219Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 227
Capítulo 5. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES (II) . 257
Conceptos Teóricos ........................................................................ 257Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 265
Capítulo 6. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 305
Conceptos Teóricos ........................................................................ 305Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 317
Capítulo 7. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTEGRAL .......................... 371
Conceptos Teóricos ........................................................................ 371Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 378
7ÍNDICE
ÍNDICE
00a_Principios 10/8/10 07:44 Página 7
© Ediciones Académicas, S.A. Bascuñuelos, 13-P. 28021 – Madrid
© Julián Rodríguez Ruiz, Carmen García Llamas y Mariano Matilla García
ISBN: 978-84-92477-91-3Depósito legal: M-24093-2013
Impreso por: Campillo Nevado, S.A. Antonio González Porras, 35-37 28019 MADRID
Impreso en España / Printed in Spain
Reservados todos los derechos.«Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra (www.conlicencia.com; 91 702 19 70 / 93 272 04 47)».
7ÍNDICE
Prólogo................................................................................................................. 9
Capítulo 1. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS..................................... 11
Conceptos Teóricos ........................................................................ 11Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 21
Capítulo 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL........................... 67
Conceptos Teóricos ........................................................................ 67Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 78
Capítulo 3. DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN............................................... 143
Conceptos Teóricos ........................................................................ 143Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 152
Capítulo 4. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES (I). 219
Conceptos Teóricos ........................................................................ 219Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 227
Capítulo 5. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES (II) . 257
Conceptos Teóricos ........................................................................ 257Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 265
Capítulo 6. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 305
Conceptos Teóricos ........................................................................ 305Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 317
Capítulo 7. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTEGRAL .......................... 371
Conceptos Teóricos ........................................................................ 371Ejercicios y Problemas resueltos.................................................... 378
7ÍNDICE
ÍNDICE
00a_Principios 10/8/10 07:44 Página 7
312
353353363
9PRÓLOGO
La enseñanza de las matemáticas en los planes de estudios de los nuevos Gra-dos, supone una adecuación de sus capacidades y habilidades formales a las necesi-dades que eventualmente pueden aparecer a lo largo de su formación.
La asignatura de Matemáticas para la economía: Cálculo que se imparte en elGrado de Economía en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, de laUniversidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) es cuatrimestral, y de ca-rácter formativo básico.
El desarrollo del programa correspondiente a las Matemáticas para la econo-mía: Cálculo se recoge en siete capítulos. En cada capítulo se tratan los aspectos másrelevantes de la materia objeto de estudio.
En el capítulo 1, se estudian las Sucesiones y las series, en los capítulos, 2 y 3 sedesarrollan las Funciones reales de variable real y las Derivadas de una función.En los capítulos 4, 5 y 6 se estudian las Funciones reales de varias variables reales(I) y (II) y los Extremos de las funciones de varias variables, respectivamente y fi-nalmente en el capítulo 7 se desarrolla una Introducción al cálculo integral que for-ma por sí sólo, una unidad temática propia.
Para facilitar la adquisición de las competencias previstas para esta materia cadacapítulo tiene la misma estructura. Los conceptos teóricos se ponen en valor median-te numerosos ejemplos prácticos, que aplicados al ámbito de la economía, tratan declarificar y hacer más comprensible las dificultades de carácter matemático con que seencuentra el alumno.
Los autores han procurado, en la medida de lo posible, introducir algunas aplica-ciones a la economía. Se pretende con ello que el estudiante aprecie la necesidad deutilizar las matemáticas para resolver los problemas reales que, en cada momento, seplantean en el mundo económico.
La intención de este libro, que ha sido elaborado por un equipo docente de la Uni-versidad Nacional a Distancia, experto en matemáticas y en métodos cuantitativospara la economía y empresa, es que sirva para la formación matemática de los alum-nos que inician sus estudios en la ciencia económica.
LOS AUTORES
9PRÓLOGO
PRÓLOGO
00a_Principios 10/8/10 07:44 Página 9
La enseñanza de las matemáticas en los planes de estudios de los nuevos Gra-dos, supone una adecuación de sus capacidades y habilidades formales a las necesida-des que eventualmente puedan aparecer a lo largo de su formación.
La asignatura de Matemáticas para la economía: Cálculo que se imparte en el Grado de Economía en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) es cuatrimestral, y de carácter formativo básico.
El desarrollo del programa correspondiente a las Matemáticas para la econo-mía: Cálculo se recoge en siete capítulos. En cada capítulo se tratan los aspectos más relevantes de la materia objeto de estudio.
En el capítulo 1, se estudian las Sucesiones y las series, en los capítulos, 2 y 3 se desarrollan de las Funciones reales de variable real y las Derivadas de una fun-ción. En los capítulos 4, 5 y 6 se estudian las Funciones reales de varias variables reales (I) y (II) y los Extremos de las funciones de varias variables, respectivamen-te y finalmente en el capítulo 7 se desarrolla una Introducción al cálculo integral que forma por sí sólo, una unidad temática propia.
Para facilitar la adquisición de las competencias previstas para esta materia cada capítulo tiene la misma estructura. Los conceptos teóricos se ponen en valor mediante numerosos ejercicios y problemas, que aplicados al ámbito de la economía, tratan de clarificar y hacer más comprensible las dificultades de carácter matemático con que se encuentra el alumno.
Los autores han procurado, en la medida de lo posible, introducir algunas aplica-ciones a la economía. Se pretende con ello que el estudiante aprecie la necesidad de utilizar las matemáticas para resolver los problemas reales que, en cada momento, se plantean en el mundo económico.
La intención de este libro, que ha sido elaborado por un equipo docente de la Uni-versidad Nacional de Educación a Distancia, experto en matemáticas y en métodos cuantitativos para la economía y empresa, es que sirva para la formación matemática de los alumnos que inician sus estudios en la ciencia económica.
Los Autores
Julio 2013
11SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
SUCESIÓN
Conjunto de números en correspondencia biyectiva con el conjunto de los núme-ros naturales. Cada número es un término.
PROPIEDADES
Toda sucesión tiene primer elemento; todo término tiene siguiente (no hay últi-mo); existe una ley que permite conocer un término, sabiendo el lugar que ocupa.
ENTORNO DE UN PUNTO
Se llama entorno del punto P (de abscisa a) de radio δ, al segmento (a – δ, a + δ)del que se excluyen los extremos (intervalo abierto).
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN (LÍMITE FINITO)
La sucesión an tiende al límite a, (lím an = a) cuando para cada ε > 0 existe un N,tal que para todo n > N: |a – an| < ε.
Dentro de todo entorno del límite existen infinitos términos de la sucesión y fue-ra sólo un número finito.
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN (LÍMITE INFINITO)
Si fijado cualquier número A, tan grande como se quiera, para todo n > N, se cum-ple |an| > A se dice que lim an = ∞.
11SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Capítulo 1
SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
CONCEPTOS TEÓRICOS
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 11
12MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
13SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
En todos los casos a y b repreentan límite finito, respectivamente de an y bn.
LÍMITES INDETERMINADOS DE LAS FORMAS SIMBÓLICAS
El límite de la forma simbólica ∞/∞, si procede de
líma n a n a
b n b n b
p pp
q qq
0 11
0 11
+ + ++ + +
−
−
L
L
∞∞
⋅ ∞ ∞ − ∞, , ,00
0
13SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
lím an lím bnExpresión Resultadosimbólica
0 b — 0
0 acotado — 0
a b — ab
lím (an · bn) ∞ b ≠ 0 ∞ · b ∞
∞ 0 ∞ · 0 indeterminado
∞ ∞ ∞ · ∞ ∞
a b ≠ 0 —
a ∞ 0
a 0 ∞
∞ b ∞
0 0 indeterminado
∞ ∞ indeterminado∞∞
00
∞b
a0
a∞
ab
— b ≠ 0 —1b
lím1bn
límab
n
n
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 13
CONVERGENCIA
Una sucesión con límite finito es convergente. Si su límite es ∞, se dice que es di-vergente.
SUCESIONES MONÓTONAS
Si en una sucesión todo término es ≤ (≥) que su siguiente, la sucesión se llamamonótona creciente (decreciente).
Toda sucesión monótona creciente (decreciente) acotada superiormente (infe-riormente) tiene límite.
LÍMITE DE LOS RESULTADOS OPERATIVOS (SUMA, PRODUCTO Y COCIENTE)
Si an y bn tienen límites finitos a y b, lím (an + bn) = a + b, esto es, el límite de lasuma igual a la suma de los límites.
Si an y bn tienen límites finitos a y b, lím (anbn) = ab, o sea, el límite del productoigual al producto de los límites.
Si an y bn tienen límites finitos a y b ≠ 0,
A continuación se incluye un cuadro con los valores de los límites, no sólo en loscasos normales, sino también en los singulares. Las igualdades simbólicas tienen unsentido convencional, nemotécnico.
líma
bab
n
n
=
12MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
lím an lím bnExpresión Resultadosimbólica
a b — a + b
+∞ b +∞ + b +∞
–∞ b –∞ + b –∞
lím (an + bn) ∞ b ∞ + b ∞
+∞ +∞ +∞ + ∞ +∞
–∞ –∞ –∞ – ∞ –∞
+∞ –∞ +∞ – ∞ indeterminado
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 12
12MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
13SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
En todos los casos a y b repreentan límite finito, respectivamente de an y bn.
LÍMITES INDETERMINADOS DE LAS FORMAS SIMBÓLICAS
El límite de la forma simbólica ∞/∞, si procede de
líma n a n a
b n b n b
p pp
q qq
0 11
0 11
+ + ++ + +
−
−
L
L
∞∞
⋅ ∞ ∞ − ∞, , ,00
0
13SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
lím an lím bnExpresión Resultadosimbólica
0 b — 0
0 acotado — 0
a b — ab
lím (an · bn) ∞ b ≠ 0 ∞ · b ∞
∞ 0 ∞ · 0 indeterminado
∞ ∞ ∞ · ∞ ∞
a b ≠ 0 —
a ∞ 0
a 0 ∞
∞ b ∞
0 0 indeterminado
∞ ∞ indeterminado∞∞
00
∞b
a0
a∞
ab
— b ≠ 0 —1b
lím1bn
límab
n
n
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 13
CONVERGENCIA
Una sucesión con límite finito es convergente. Si su límite es ∞, se dice que es di-vergente.
SUCESIONES MONÓTONAS
Si en una sucesión todo término es ≤ (≥) que su siguiente, la sucesión se llamamonótona creciente (decreciente).
Toda sucesión monótona creciente (decreciente) acotada superiormente (infe-riormente) tiene límite.
LÍMITE DE LOS RESULTADOS OPERATIVOS (SUMA, PRODUCTO Y COCIENTE)
Si an y bn tienen límites finitos a y b, lím (an + bn) = a + b, esto es, el límite de lasuma igual a la suma de los límites.
Si an y bn tienen límites finitos a y b, lím (anbn) = ab, o sea, el límite del productoigual al producto de los límites.
Si an y bn tienen límites finitos a y b ≠ 0,
A continuación se incluye un cuadro con los valores de los límites, no sólo en loscasos normales, sino también en los singulares. Las igualdades simbólicas tienen unsentido convencional, nemotécnico.
líma
bab
n
n
=
12MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
lím an lím bnExpresión Resultadosimbólica
a b — a + b
+∞ b +∞ + b +∞
–∞ b –∞ + b –∞
lím (an + bn) ∞ b ∞ + b ∞
+∞ +∞ +∞ + ∞ +∞
–∞ –∞ –∞ – ∞ –∞
+∞ –∞ +∞ – ∞ indeterminado
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 12
14MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
15SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
LÍMITES DE LOS RESULTADOS OPERATIVOS (LOGARÍTMOS Y POTENCIAS)
Si lím an = a > 0 y si b > 1:
lím logb an = logb a
Si lím an = > 0 y c = lím cn (finito):
lím acnn = ac
Se excluyen los casos en que a sea 0 ó + ∞ y c sea ± ∞.
A continuación se incluye un cuadro similar al anterior (con las mismas observa-ciones) y que incluye los casos singulares.
15SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
lím an lím cnExpresión Resultadosimbólica
0 –∞ 0–∞ +∞0 c < 0 0–c +∞0 c = 0 00 indeterminado0 c > 0 0+c 00 + ∞ 0+∞ 0
a > 0 c — ac
+∞ –∞ (+∞)–∞ 0+∞ c < 0 (+∞)–c 0+∞ c = 0 (+∞)0 indeterminado
lím acnn +∞ c > 0 (+∞)c +∞
+∞ +∞ (+∞)+∞ +∞a = 0 +∞ 0+∞ 0
0 < a < 1 +∞ a+∞ 0a = 1 +∞ 1+∞ indeterminadoa > 1 +∞ a+∞ +∞a = 0 –∞ 0–∞ +∞
0 < a < 1 –∞ a–∞ +∞a = 1 –∞ 1–∞ indeterminadoa > 1 –∞ a–∞ 0
Los casos de indeterminación resultantes son de las formas simbólicas
00, ∞0 y 1∞
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 15
resulta
Si p > q límite ∞Si p = q límite a0/b0
Si p < q límite 0
Los límites 0/0, 0 · ∞ e ∞ – ∞, operando convenientemente, se suelen reducir a lí-mites de la forma simbólica ∞/∞.
Para los límites de la forma simbólica ∞ – ∞, cuando aparecen en forma de dife-rencias de raíces, conviene recordar las expresiones conjugadas:
14MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
Diferencia Conjugadade raíces dada
A B
A B
A B
A Bn n
−
−
−⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
3 3
4 4
A B
A AB B
A A B AB B
A A B A B
AB B
nn nn nn
nn nn
+
+ +
+ + +⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ + + +
+ +
− − −
− −
23 3 23
34 24 24 34
1 2 3
2 1
L
El producto de cada expresión por su conjugada siempre es A – B.
FÓRMULA DE STIRLING
Una aproximación de n!, se obtiene con
En el cálculo de límites n! (en producto o cociente) se puede sustituir por
CRITERIO DE STOLZ
Si Bn es divergente y lím An/Bn es indeterminado
lím límA
B
A A
B Bn
n
n n
n n
=−−
−
−
1
1
2πn n en n−
n n n en n!� 2π −
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 14
14MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
15SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
LÍMITES DE LOS RESULTADOS OPERATIVOS (LOGARÍTMOS Y POTENCIAS)
Si lím an = a > 0 y si b > 1:
lím logb an = logb a
Si lím an = > 0 y c = lím cn (finito):
lím acnn = ac
Se excluyen los casos en que a sea 0 ó + ∞ y c sea ± ∞.
A continuación se incluye un cuadro similar al anterior (con las mismas observa-ciones) y que incluye los casos singulares.
15SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
lím an lím cnExpresión Resultadosimbólica
0 –∞ 0–∞ +∞0 c < 0 0–c +∞0 c = 0 00 indeterminado0 c > 0 0+c 00 + ∞ 0+∞ 0
a > 0 c — ac
+∞ –∞ (+∞)–∞ 0+∞ c < 0 (+∞)–c 0+∞ c = 0 (+∞)0 indeterminado
lím acnn +∞ c > 0 (+∞)c +∞
+∞ +∞ (+∞)+∞ +∞a = 0 +∞ 0+∞ 0
0 < a < 1 +∞ a+∞ 0a = 1 +∞ 1+∞ indeterminadoa > 1 +∞ a+∞ +∞a = 0 –∞ 0–∞ +∞
0 < a < 1 –∞ a–∞ +∞a = 1 –∞ 1–∞ indeterminadoa > 1 –∞ a–∞ 0
Los casos de indeterminación resultantes son de las formas simbólicas
00, ∞0 y 1∞
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 15
resulta
Si p > q límite ∞Si p = q límite a0/b0
Si p < q límite 0
Los límites 0/0, 0 · ∞ e ∞ – ∞, operando convenientemente, se suelen reducir a lí-mites de la forma simbólica ∞/∞.
Para los límites de la forma simbólica ∞ – ∞, cuando aparecen en forma de dife-rencias de raíces, conviene recordar las expresiones conjugadas:
14MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
Diferencia Conjugadade raíces dada
A B
A B
A B
A Bn n
−
−
−⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
3 3
4 4
A B
A AB B
A A B AB B
A A B A B
AB B
nn nn nn
nn nn
+
+ +
+ + +⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ + + +
+ +
− − −
− −
23 3 23
34 24 24 34
1 2 3
2 1
L
El producto de cada expresión por su conjugada siempre es A – B.
FÓRMULA DE STIRLING
Una aproximación de n!, se obtiene con
En el cálculo de límites n! (en producto o cociente) se puede sustituir por
CRITERIO DE STOLZ
Si Bn es divergente y lím An/Bn es indeterminado
lím límA
B
A A
B Bn
n
n n
n n
=−−
−
−
1
1
2πn n en n−
n n n en n!� 2π −
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 14
16MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
17SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
CONDICIÓN NECESARIA DE CONVERGENCIA
La condición necesaria, pero no suficiente, de convergencia de una serie es lím un = 0.
La condición necesaria y suficiente de convergencia es que, fijado un ε > 0
|un+1 + un+2 + ··· + un+k + ···| < ε
desde un valor de n en adelante.
SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. CRITERIOS DE CONVERGENCIAS
Criterio de D’Alambert
Criterio de Cauchy
Criterio de Raabe
Criterio logarítmico
SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Una serie de términos positivos y negativos es incondicionalmente convergente, sialterando arbitrariamente el orden de sus términos, su suma no varía.
Si lím
ln1
ln
Convergente
Dudoso
Divergente
u
nl
l
l
l
n =>=<
⎧⎨⎪
⎩⎪
1
1
1
Si lím
Convergente
Dudoso
Divergente
nu
ul
l
l
l
n
n
1
1
1
11
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=>=<
⎧⎨⎪
⎩⎪−
Si lím
Convergente
Dudoso
Divergente
u l
l
l
ln
n =<=>
⎧⎨⎪
⎩⎪
1
1
1
Si lím
Convergente
Dudoso
Divergente
u
ul
l
l
l
n
n−=
<=>
⎧⎨⎪
⎩⎪1
1
1
1
17SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 17
LÍMITES INDETERMINADOS DE LAS FORMAS SIMBÓLICAS 00 E ∞0
Se toman logaritmos neperianos y se reducen a límites de la forma simbólica 0 ·∞.
Conviene recordar para las aplicaciones
donde a > 1, p > 0, b > 1.
LÍMITES DE LA FORMA SIMBÓLICA 1∞ · NÚMERO e
El número e es el límite de la sucesión
También se verifica
Su valor aproximado es e � 2,71828...
Si abnn es límite indeterminado de la forma simbólica 1∞, se verifica
lím abn
n = elím bn(an – 1)
resultando, en el exponente, un límite de la forma simbólica ∞ · 0.
SERIES
Dada la sucesión u1, u2, u3, ..., un, ..., se llama serie a la sucesión U1, U2, U3, ..., Un,..., tal que
U1 = u1; U2 = u1 + u2; U3 = u1 + u2 + u3; ··· Un = u1 + u2 + u3 + ··· + un
Si lím Un = U (finito), la serie es convergente.
Si lím Un = ∞ la serie es convergente.
Si lím Un no existe la serie es oscilante.
e
n= + + + + + +1
11
12
13
1! ! ! !
L L
an
en
n n
= +⎛⎝
⎞⎠ = ⎛
⎝⎞⎠1
1 o sea lím 1+
1n
lím lím límlog
na
an
nn
n
n
n
p
p
b
= ∞ = ∞ = ∞; ;
16MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 16
16MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
17SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
CONDICIÓN NECESARIA DE CONVERGENCIA
La condición necesaria, pero no suficiente, de convergencia de una serie es lím un = 0.
La condición necesaria y suficiente de convergencia es que, fijado un ε > 0
|un+1 + un+2 + ··· + un+k + ···| < ε
desde un valor de n en adelante.
SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. CRITERIOS DE CONVERGENCIAS
Criterio de D’Alambert
Criterio de Cauchy
Criterio de Raabe
Criterio logarítmico
SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Una serie de términos positivos y negativos es incondicionalmente convergente, sialterando arbitrariamente el orden de sus términos, su suma no varía.
Si lím
ln1
ln
Convergente
Dudoso
Divergente
u
nl
l
l
l
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⎧⎨⎪
⎩⎪
1
1
1
Si lím
Convergente
Dudoso
Divergente
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1
1
1
11
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
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⎧⎨⎪
⎩⎪−
Si lím
Convergente
Dudoso
Divergente
u l
l
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⎧⎨⎪
⎩⎪
1
1
1
Si lím
Convergente
Dudoso
Divergente
u
ul
l
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l
n
n−=
<=>
⎧⎨⎪
⎩⎪1
1
1
1
17SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 17
18MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
19SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Teorema de Dirichlet: La condición necesaria y suficiente para que una seriesea incondicionalmente convergente es que la serie formada por los valores absolutossea convergente. Si una serie de términos positivos y negativos cumple esta condición,se dice que es absolutamente convergente.
SERIES ALTERNADAS
Serie alternada es aquélla en la que los términos son alternativamente positivos ynegativos.
La condición necesaria y suficiente para que una serie alternada sea convergentees que lím un = 0. Nótese que aquí es condición necesaria y suficiente, la que sólo eranecesaria en las series de términos positivos.
SERIE GEOMÉTRICA
La serie u1 = a, u2 = ar, u3 = ar2 ...; un = arn–1 ... es convergente si |r| < 1; diverge si|r| > 1 y si r = 1; es oscilante si r = –1.
SERIES ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS
Son el producto, término a término, de una progresión aritmética de razón d y unaprogresión geométrica de razón r.
Son convergentes si |r| < 1.
Siendo S la suma de una serie aritmético geométrica, se tiene que S – Sr es una se-rie geométrica.
SERIES DE TIPO STIRLING
Son aquéllas en que su término general es cociente de dos polinomios, teniendo eldenominador sólo raíces reales simples.
Si son convergentes, basta para obtener su suma, descomponer el término generalen fracciones simples.
En el caso de convergencia Sa
r=
−⋅
1
18MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 18
18MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
19SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
SERIES DE FACTORIALES
Son de la forma
donde P(n) es un polinomio en n de grado k. Para obtener su suma se descompone unen suma de k términos de la forma
Ai constantes. Hay que tener en cuenta que
SERIES DEL TIPO DE LA ARMÓNICA
La suma de n términos de la llamada serie armónica es:
donde Hn representa la suma de n términos de la serie armónica. Se tiene que
El valor de Hn es:
Hn = ln n + η + εn
donde η es una constante, η = 0,5772... εn → 0 si n → ∞.
La suma
es la suma de los n primeros términos pares de la armónica, e
I
nn = + + + +−
113
15
12 1
L
P
n nHn n= + + + = + + +⎛
⎝⎞⎠ =1
214
12
12
112
1 12
L L
límln
H
nn = 1
H
nn = + + + +112
13
1L
e
n= + + + + +1
11
12
1! ! !
L L
A
n ii ki
( )!, , ,...,
+= −0 1 1
uP nn hn =
+( )
( )!
19SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 19
20MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
21SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
es la suma de los n primeros términos impares
INTERÉS COMPUESTO
Si un capital c, se capitaliza a interés compuesto del r por 1 (tanto por ciento di-vidido por 100) el capital al cabo de t años es Ct = c(1 + r)t.
INTERÉS CONTINUO
Si la capitalización en vez de anual fuera instantánea, el capital al cabo de t añossería Ct = cert.
In n n
H P H H
n
n n n n
= + + + + +−
+ − + + +⎛⎝
⎞⎠ =
= − = −
112
13
14
12 1
12
12
14
12
122 2
L L
20MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 20
20MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
21SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
21SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
|1Calcular
Se trata de un límite indeterminado de la forma simbólica .
Dividiendo numerador y denominador por n3:
puesto que el numerador tiende a 1, ya que tiende a cero; por la mis-ma razón, el denominador tiende a cero.
En la práctica, basta observar que el grado del numerador (3) es mayor que elgrado del denominador (2) para poder afirmar que el límite es ∞.
|2Calcular
Del mismo tipo del anterior.
Dividiendo numerador y denominador por n4 se obtiene:
puesto que el numerador tiende a cero y el denominador a 1.
De forma general:
lím sia n a n a
b n b n bp q
p pp
q qq
0 11
0 11 0
+ + ++ + +
= <−
−
L
L
lím límn nn n
n n n
n
3
4 2
3 4
2
3 13
1 3 1
13 0
+ −−
=+ −
+=
límn nn n
3
4 3
3 13
+ −−
3 12 2n n
y −
lím límn n
n nn n
n n
3
2
2 3
2
3 12
13 1
2 1+ −
+=
+ −
+= ∞
∞∞
límn n
n n
3
2
3 12
+ −+
EJERCICIOS RESUELTOS
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 21
22MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
23SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
22MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
|3Calcular
Dividiendo numerador y denominador por n3 se obtiene:
De forma general:
esto es, si numerador y denominador tienen el mismo grado, el límite es el co-ciente de los coeficientes de los términos de mayor grado.
|4Calcular
El numerador resulta ser de grado el denominador es de primer grado;luego
puesto que 43
> 1.
límn n
n
43 3 12
− −+
= ∞
43
;
lím43 n nn+ −+3 12
líma n a n a
b n b n b
a
b
p pp
p pp
0 11
0 11
0
0
+ + ++ + +
=−
−
L
L
lím lím2 5 25 1
25 2
51 1
25
3
3 2
2 3
3
n nn n
n n
n n
− ++ −
=− +
+ −=
lím2 5 25 1
3
3 2
n nn n
− ++ −
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 22
22MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
23SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
23SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
|5Calcular
El numerador y el denominador son del mismo grado: Por tanto, el
límite será el cociente de los coeficientes de mayor grado, o sea:
|6Calcular
El límite de cada sumando es ∞; por tanto, se trata de un límite de la formaindeterminada ∞ – ∞. Como:
Se tiene
lím límn n
n nnn
n nn n n
3 2
2
2 2
3 2
13
12
4 25 6
0+ −
+− +
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − −+ +
=
n nn n
nn
n n n n n nn n n
n nn n n
3 2
2
2 3 2 2 2
2
2
3 2
13
12
1 2 3 13 2
4 25 6
+ −+
− ++
= + − + − + ++ +
=
= − −+ +
( )( ) ( )( )( )( )
límn n
n nnn
3 2
2
213
12
+ −+
− ++
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
lím4 3 2
27 6 2
4
27
23
2
33 3
n n
n n
+ ++ −
= =
22
33
= .
lím4 3 2
27 6 2
2
33
n n
n n
+ ++ −
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 23
24MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
25SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
24MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
|7Calcular
Ejercicio análogo al anterior. De
resulta:
|8Calcular
El límite del primer factor es ∞; el del segundo es cero. Por tanto, se trata deun límite indeterminado de la forma simbólica ∞ · 0. Para deshacer la indetermi-nación basta efectuar el producto, convirtiéndose entonces en un límite indeter-
minado de la forma
|9Calcular
Se trata de un límite indeterminado de la forma simbólica ∞ – ∞.
Para desahacer este tipo de indeterminaciones, se multiplica y divide por laexpresión conjugada:
lím( )n n n n2 21 1+ + − − +
lím lím2 5
13 24
6 2 15 104 4
64
32
3 2
2 2
4 3 2
4 2
n nn
nn
n n n nn n
− ++
⋅ + = + − + ++
= =
∞∞
.
lím2 5
13 24
3 2
2 2
n nn
nn
− ++
⋅ +
lím límn n
nn n
nnn
2 2 2
2
3 11
3 11
4 21
4+ +
+− − −
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −−
=
n nn
n nn
nn
2 2 2
2
3 11
3 11
4 21
+ ++
− − +−
= −−
límn n
nn n
n
2 23 11
3 11
+ ++
− − +−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
00_Cap01 10/8/10 09:21 Página 24
24MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
25SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
25SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
donde para llegar al resultado se ha dividido numerador y denominador por n. Di-rectamente se hubiese llegado al mismo resultado.
|10Obtener
Como multiplicando y dividiendo por se debeobtener:
|11Calcular
Procediendo como en el problema anterior se tendrá:
valor que resulta inmediato después de dividir numerador y denominador por n2.
lím lím
lím
lím
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n n n n n n
n n n
n n n n n n
n
n n n n n n
3 23 3 23 33
3 2 3
3 2 23 3 2 33 3 23
2
3 2 23 3 2 33 63
6 6
6
6 6
6
6 6
63
2
+ − = + − =
= + −+ + + +
=
=+ + + +
= =
lím( )n n n3 23 6+ −
lím lím( )n n nn n n
n n n2
2 2
2 26 1
6 1
6 1
62
3+ − − = + − −+ − −
= =
n n n2 26 1+ − +n n= 2 ,
lím( )n n n2 6 1+ − −
lím
lím lím
lím
+
( )
( )( )
( )
( )
n n n n
n n n n n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n
n n n n
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
2
1 12
11
+ + − − + =
= + + − − + + + + − ++ + + − +
=
= + + − − ++ + + − +
=+ + + − +
=
=
nn n n n+ + − +
= =1
11 1
22
1
2 2
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 25
26MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
27SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
26MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
|12Obtener
Como todos los términos del numerador y denominador
tienden a cero, se trata de un límite de la forma simbólica 0/0. Multiplicando nu-merador y denominador por n2(n2 + 1), se obtiene:
por ser los polinomios del numerador y denominador del mismo grado y tal quelos coeficientes de los términos de mayor grado (n3) son iguales e iguales a uno.
|13Obtener
Se trata de una indeterminación de la forma simbólica si conociéramos la
suma de los cuadrados de los n primeros números naturales, podríamos sustituirel numerador por dicho valor, pero suele resultar ventajosa la aplicación del de-nominado criterio de Soltz:
donde An–1 y Bn–1 designan las mismas expresiones que An y Bn, pero escribiendon – 1 en lugar de n y, además, Bn es divergente.
lím límA
B
A A
B Bn
n
n n
n n
=−−
−
−
1
1
∞∞
;
lím
1 2 32 2 2 2
3
+ + + +L nn
lím lím lím
1 3
11
1 3 11
3 31
2
2
2 2
2
3 2
3 2n nnn
n n nn n
n n nn n
−
++
= + − ++
− + −+
=( ) ( )( )
1 3 112 2n n
nn
, ,++
lím
1 3
11
2
2
n nnn
−
++
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 26
26MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
27SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
27SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Así, en nuestro caso, como
An = 12 + 22 + 32 + ··· + (n – 1)2 + n2
se tendrá
An–1 = 12 + 22 + 32 + ··· + (n – 2)2 + n – 1)2
y como Bn = n3, Bn–1 = (n – 1)3. Por tanto:
|14Calcular
Aplicando el criterio de Stolz, como Bn es divergente y
An–1 = 12 + 33 + 52 + ··· + [2(n – 1) – 1]2
Bn–1 = 22 + 42 + 62 + ··· + [2(n – 1)]2 – 1]
Se tendrá
lím lím lím
1 3 5 2 12 4 6 2
2 12
4 4 14
12 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
+ + + + −+ + + +
= − = − + =L
L
( )( )
( )( )
nn
nn
n nn
lím
1 3 5 2 12 4 6 2
2 2 2 2
2 2 2 2
+ + + + −+ + + +
L
L
( )( )n
n
lím
lím
= lím lím
1 2 3
1 2 1 1 2 2 11
3 3 1 3 3 113
2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
2
3 3 2
2
2
+ + + + =
= + + + − + − + + + − + −− −
=
− + − +=
− +=
L
L L
nn
n n n nn n
nn n n n
nn n
[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]( )
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 27
28MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
29SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
28MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
|15Calcular
donde ln representa logaritmo neperiano.
Aplicando el criterio de Stolz:
puesto que
y, por tanto,
|16Calcular
Por aplicación sucesiva del criterio de Stolz:
lím lím lím
lím lím
n n n n
n n
n n n n
n n n
2 2 2
1 1
1 1 1 2
21
2 22 12
2 1 2 1 12 2
22
0
= − −−
= − =
= − − − −−
= =
− −
− − − −
( )
[ ( ) ]
límn
n
2
2
lnn
n −→
10
nn −
→1
1
límln
límln ln(
límlnn
nn nn n
nn= − −
− −= − =1
11
10
)( )
límln n
n
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 28
28MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
29SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
29SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
|17Obtener
NOTA: Los resultados de los ejercicios 15, 16 y 17 se pueden escribir directamente,teniendo en cuenta lo dicho en el resumen teórico en límites indeterminados.
|18Calcular
Sabiendo que si lím an = 1 y lim bn = ∞, esto es, si lím abn
n es un límite de laforma simbólica 1∞, se tiene,
lím abn
n = elím bn(an –1)
se obtiene
Calculemos:
Por tanto:
lím nn
en+
+⎛⎝
⎞⎠ =1
1
24
lím 2 lím lím límnnn
nn n
nn
nn
n++
−⎛⎝
⎞⎠ = + − −
−=
−=
−=1
11 2
1 11
22
14
14
( )
lím lím n
ne
nn n
n+−
⎛⎝
⎞⎠ =
+−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
11
22 1
11
lím nn
n+−
⎛⎝
⎞⎠
11
2
puesto que3
0n
→ .
lím lím 3 3
0n
n
n
n n= ⎛
⎝⎞⎠ =
Como se tiene:3 3n
n
n
n n= ⎛
⎝⎞⎠
lím3n
nn
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 29
30MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
31SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
30MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
|19Obtener
Procediendo como en el ejercicio anterior,
y como
se tendrá:
|20Calcular
Es un límite de la forma simbólica 1∞, ya que
lím lím lím( )n nn n
n n n n+ − = + −
+ +=
+ +=1
1
1
1
10
lím n
n
n n+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ −111
límn nn n
e
nn2
223 1
3
2 12+ −
− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−
lím lím
lím
nn
n nn n
nn
nn n
n n nn n n
2 2
2
2
2
3 2
3 2
12
3 13
11
24 4
3
4 4 4 42 2 6
42
2
− + −− +
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − ⋅ −− +
=
= − − +− +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= =
lím límn n
n ne
nn
nn
n nn b
2
2
3 13
22 2
2
12
12
3 13
1+ −− +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=− − + −
− +−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
lím n nn n
nn
2
2
3 13
2 12+ −
− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 30
30MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
31SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
31SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Por tanto,
Calculando por separado el límite que figura en el exponente
El límite pedido es e0 = 1.
|21Calcular
donde a es un número positivo cualquiera.
Formemos la sucesión:
de donde:
Tomando límites en ambos miembros —como el límite de una constante esella misma— se tendrá:
y tomando logaritmos neperianos:
lím un = ln ao sea:
lím ln n a an( )− =1
au
ne en
nun
unn
n= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = =⋅lím 1+ lím lím
au
nn
n
= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1
n a unn( )− =1
lím n an( )− 1
lím lím1
n +1
lím1
n +1lím
1
1
11
11
1 10
n n
nn n
n
n
n
n n
n n
+ −+ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−
+ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=−
+ − = =
lím lím
1nn
en n
n nn
n+⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=+ −
+ −+ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
11
11
11
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 31
32MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
33SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
32MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
|22Obtener
Se trata de un límite indeterminado de la forma 1∞, luego
y como:
Así pues, se tendrá que
donde se ha tenido en cuenta el resultado del problema anterior y que
alogaA = A
|23Calcular
Similar al anterior; se trata de un límite de la forma simbólica 1∞, ya que
Por tanto, recordando que si lím an = 1 y lím bn = ∞
lím abn
n = elím bn(an–1)
lím lím líma b cn n n= = = 1
líma b cn n n n
+ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟3
3
lím lím ln ln a be e e ab
n n n
n a n b a b abn n+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= = = =− + − +
2
2
1 1[ ( ) ( )] ln
22
1 2
1 1 1 1
na b
n a b
n a b n a n b
n nn n
n n n n
+ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + − =
= − + − = − + −
( )
( ) ( ) ( )
lím lím a b
en n n
n a bn n
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=+ −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
2
22
21
lím a bn n n
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
2
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 32
32MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
33SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
33SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Se tendrá
[I]
Para mayor comodidad, calculamos el límite (del exponente, claro está) porseparado
Por tanto, sustituyendo en [I]
puesto que, como se ha visto en el ejercicio anterior
alogaA = A
|24Calcular, siendo h > 0;
Aplicando el criterio de Stolz
lím límA
B
A A
B Bn
n
n n
n n
=−−
−
−
1
1
lím
1 +12ln
+ + +
+
13
1L
nn h( )
lím lna b ce abc
n n n n
abc+ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= =3
3
lím 3 lím 3
lím
lím ln ln ln ln
na b c
na b c
n a b c
n a n b c a b c abc
n n n n n n
n n n
n n n
+ + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + + − =
= − + − + − =
= − + − + − = + + =
31
33
1 1 1
1 1 1
[( ) ( ) ( )]
[ ) ( ) ( )] ( )
lím líma b c
en n n n
n a b cn n n+ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=+ + −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
3
33
31
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 33
34MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
35SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
34MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
ya que ln (n + h) es divergente,
Calculando
y como ln e = I, resulta que el límite buscado es la unidad.
|25Calcular
Como el límite buscado se puede escribir
se aprecia inmediatamente que es de la forma simbólica ∞0. Tomando logaritmosneperianos en
se obtiene
o bien
ln lím3ln2
An
n=
ln lím lím3
2lnA n
nnn= =ln( )
32
A n n= lím3
2
lím lím( límn n nn n n32 31
23
2= =)
lím nn 32
lím 1+1 lím
n he e
n nn h
+ −⎛⎝
⎞⎠ = =+ −
1
11
lím1+
12
ln lnlím
1
ln
límln
lím
ln
lím
ln
+ + + − + + + +−
⎛⎝
⎞⎠
+ − + −= +
+ −
=
= ++ −
=+
+ −⎛⎝
⎞⎠
=+
+ −⎛⎝
⎞⎠
13
11
12
13
11
11
1
1
1
1
1
11
1
L Ln n
n h n hn
n hn h
nn h
n hn h
n h n h
n n
( ) ( )
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 34
34MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
35SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
35SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Como se trata del límite de una función logarítmica entre una función poten-cial, se ha visto que su límite es cero; luego
ln A = 0 → A = eo = 1
que es el límite buscado.
|26Obtener
Se trata de un límite de la forma simbólica 00; tomando logaritmos neperianos en
resulta
Como en el ejercicio anterior, se trata del cociente de una función logarítmi-ca dividida por una potencial, cuyo límite es cero.
Por tanto,
ln A = 0 ; A = e0 = 1
esto es, el límite pedido es la unidad.
|27Sea la sucesión
se pide demostrar que es monótona creciente.
La sucesión es monótona creciente, puesto que
u1 < u2
dado que 2 < +2 2 .
u u u1 2 32 2 2 2 2 2= = + = + +; ; ...
ln lím ln lím1
ln límln
An n n
nn
n=
−⋅
+⎛⎝
⎞⎠ =
−− + = − +
−1
3 11
2 1 3 12 1
2 13 1
[ ( )]( )
An
n=+
⎛⎝
⎞⎠
−lím
12 1
13 1
lím1
2 1
13 1
nn
+⎛⎝
⎞⎠
−
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36MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
37SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
36MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
Sumando 2 en los dos miembros de u1 < u2 y extrayendo raíz cuadrada:
o sea:u2 < u3
Repitiendo el proceso
o sea:u3 < u4
Por tanto
u1 < u2 < u3 < u4 < … < un–1 < un < …
la sucesión es monótona creciente.
|28Demostrar que la sucesión del ejercicio anterior está acotada superiormente.
Veamos que un < 2.
En efecto:
Sumando 2 en los dos miembros:
2 + u1 < 4
y extrayendo raíz cuadrada (véase problema anterior),
Repitiendo el proceso
En general, un–1 < 2, de donde
Luego la sucesión está acotada superiormente.
2 4 21+ = < =−u un n
2 4 2 22 2 3+ < + = <u u u;
2 21 2+ = <u u
u1 2 2= <
2 22 3+ < +u u
2 21 2+ < +u u
Observemos que 2 + =−u un n1 .
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 36
36MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
37SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
37SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
NOTA. Al haber probado que la sucesión es monótona creciente y que está aco-tada superiormente, queda probada la existencia del límite de dicha sucesión.
Si se tratara de una sucesión monótona decreciente se debería probar que estáacotada inferiormente.
|29Obtener el límite de la sucesión del ejercicio 27.
Elevando al cuadrado los dos miembros de
se obtiene
o sea:
un2 = 2 + un–1
Designando por x a lím un y como lím un–1 = x (puesto que el límite es único),se tendrá:
x2 = 2 + x; x2 – x – 2 = 0
ecuación que proporciona
x1 = 2 x2 = – 1 (solución extraña introducida al elevar al cuadrado)
Luego: lím un = 2.
|30En una sucesión cada término es la semisuma de los dos anteriores. Si u1 = ay u2 = b, se pide lím un.
Del enunciado se desprende:
u uu
u uu
u uu
u uu
u uun n
nn n
1 23
2 34
3 45
4 32
3 2
2 2 2
2 2
+=
+=
+=
⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+
=+
=− −−
− −
; ; ;
; nnn n
n
u uu−
− −+=1
2 1
2;
un2 2 2 2 2= + + + +L
un = + + + +2 2 2 2L
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 37
38MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
39SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
38MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
que podemos escribir:
u1 + u2 = 2u3
u2 + u3 = 2u4
u3 + u4 = 2u5
………………
un–4 + un–3 = 2un–2
un–3 + un–2 = 2un–1
un–2 + un–1 = 2un
Sumando miembro a miembro y simplificando:
u1 + 2u2 = un–1 + 2un
pero como u1 = a y u2 = b;
a + 2b = un–1 + 2un
Pasando al límite, si designamos lím un = x, también lím un–1 = x, luego
que es el límite pedido.
|31Calcular
En los casos en que aparecen factoriales, suele ser muy útil la aplicación de lafórmula de Stirling
que pone de manifiesto que ambos infinitos son equivalentes y, por tanto, que n!puede ser sustituido en productos o cocientes, por la expresión de Stirling. Ennuestro problema, se tendrá:
lím2
1πn n e
n
n n n⋅ ⋅ =−
!
límnn
n !
a b x x
xa b
+ = +
= +2 2
23
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 38
38MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
39SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
39SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
|32Calcular
|33Calcular
Para obtener este límite, observemos que
ya que y quen
nn
n hh2 21
1+
>+
>, ,
un
nn
nn
nn
nn
n
nn
nn
nn n
n =+
++
++
+ ++
>+
+
++
++
++
2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
2 3
L
L
lím
nn
nn
nn n2 2 21 2+
++
+ ++
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
L
lím lím
lím
n nn
n n n e
n n e
n n n en n e
n n
n n
n n
n
n n n
n n
22
24 2
2
24 2
21
2 2 2
2 2
2
2
2 2 2
2 2
( )!( !)
( )( )
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
= =
−
−
−
−
ππ
ππ
ππ π
Como2
se tendrá :n
nn
n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ( )!( !)
,2
2
límn n
nn2
22
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
límnn
ee
n ! = =−1 1
Pero lím 2 1πnn =
lím = lím límnn
n n en
n n en
n n n nn n! 2 22 1π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅− −
(n
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40MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
41SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
40MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
Luego el límite de la sucesión anterior —que constantemente está compren-dida entre dos sucesiones que tienen el mismo límite— será 1, límite común deambas sucesiones.
|34Calcular
La sucesión dada está constantemente comprendida entre
y
y como
lím un = lím υn = 2
el límite pedido será también 2.
vn n n n n n
nn n
n =+
++
+ ++
= ⋅+
1
2
1
2
1
22
1
22 2 2 2L
un n n
nn
n =+
++
+ ++
= ⋅+
1
1
1
1
1
12
1
12 2 2 2L
lím1
n n n n2 2 21
1
2
1
2++
++ +
+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥L
lím lím límv nn
n nn
n nn = ⋅+
=+
=2
2
2 1
lím lím límu nn
nn
nn = ⋅+
=+
=2
2
21 11
ya que Peron
n nn
n hh n2 2+
>+
<, .
vn
n nn
n nn
n nn
n nn
n
nn
nn
nn n
n =+
++
++
+ ++
>+
+
++
++
+ ++
2 2 2 2 2
2 2 2
1
2 3
L
L
(2n
(2n
(n
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40MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
41SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
41SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
|35Estudiar la convergencia de la serie:
Apliquemos el criterio de D’Alambert a nuestro problema; para ello, empe-zamos por formar un–1, escribiendo n–1 en lugar de n en un;
Hallamos la razón y simplificamos:
y calcularemos el límite:
Como el límite es 0 < 1, la serie es, con seguridad, convergente, esto es, lasuma de sus infinitos términos será un número finito.
Compruébese que se obtiene el mismo resultado mediante el criterio deCauchy, ya que
lím límunn
nn
n= =20
!
límu
u nn
n−= =
1
20
u
un
nn
n
n
n
n−
−=
−
=1
1
2
21
2!
( )!
unn
n
−
−=
−1
121( )!
unn
n
= 2!
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42MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
43SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
42MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
|36Carácter de la serie de término general
Aplicando el criterio de Cauchy:
puesto que el grado del numerador es inferior al del denominador.
Como lím la serie es convergente.
|37Carácter de la serie de término general
Aplicando el criterio de D’Alambert:
puesto que
Pero
ya que el grado del numerador es inferior al del denominador. Como aplicando elcriterio de D’Alambert, se ha obtenido
la serie es convergente.
límu
un
n−=
1
0
lím límn
n n nn
n n n
2
2
2
3 2
12 2
12 2
0+
− + ⋅= +
− +=
( )
( )!!
( )( )
nn
nn n n
− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
=1 1 2 3 11 2 3 1
1L
L
lím lím lím(
límu
u
nn
nn
n nn n n
nn n n
n
n−=
+
− +−
= + −− +
= +− + ⋅1
2
2
2
2
2
2
1
1 11
1 12 2
12 2
!( )
( )!
)( )!( ) ! ( )
un
nn = +2 1!
unn = 0,
lím lím lím(
un
n nn
n nnn
n
nn= −
+ += −
+ +=( )
( ))
( )1
11
10
2
2 3
2
2 3
un
n nn
n
n= −+ +
( )( )
11
2
2 3
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42MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
43SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
43SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
|38Estudiar la convergencia de
Aplicando el criterio de Cauchy:
Luego la serie es convergente.Obténgase análogo resultado por aplicación del criterio de D’Alambert.
|39Estudiar la convergencia de la serie de término general
Apliquemos el criterio de D’Alambert
Nos encontramos así, pues, en el caso dudoso. Para precisar, en estos casos, sila serie es o no convergente, se acostumbra aplicar el llamado criterio de Raabe-Duhamel, que dice:
En nuestro problema, la aplicación del criterio de Raabe proporciona:
Luego la serie es convergente.
lím lím
lím lím
nu
un
nn n
nn
n nn n
n n
n
n
1 12 1
2 12 1
22 1
2 1
12
2
2
2
2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −+ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
= ⋅ ++ +
= ++ +
= >
+
lím nu
uLn
n
1 1−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=+
lím lím lím lím lím(u
un
n
u
un
n
nn
n
n
n
n− −=
−
=
−
= − =1
2
21
2
2
2
2
1
11
1
11
11
( )
( )
)
unn = 1
2
ya que lím nn = 1.
lím lím límun n
nn
nn
n
= = = <2 2
12
1
un
n n=2
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 43
44MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
45SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
44MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
|40Estudiar si es convergente la serie
Apliquemos el criterio de D’Alambert:
Caso dudoso, apliquemos el criterio de Raabe:
luego la serie es convergente.
|41Carácter de la serie de término general:
La serie es convergente, como deberá comprobar el lector, por aplicación su-cesiva de los criterios de D’Alambert y de Raabe; el último límite que se debe ob-tener vale 2.
unnn = + 1
3
lím lím
lím lím
nu
un
nn n
nn
n nn n
n n
n
n
1 12 3
2 32 3
2 32 3
2 1
12
2
2
2
2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −+ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
= −+ −
= −+ −
= >
−
lím lím lím límu
u
nn n n
nn n n
nn n
nn n
n
n−= + + +
−+ +
=− +
=+ −
=1
2 2
21 2 3
11 2
1 3 2 31( )( )( )
( )( )( )( )
un
n n nn =+ + +( )( )( )1 2 3
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 44
44MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
45SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
45SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
|42Carácter de la serie de término general:
Directamente se aprecia que la serie es divergente, ya que no verifica la con-dición necesaria —pero no suficiente— de convergencia, que era: lím un = 0, yaque, en nuestro caso:
|43Obtener el carácter de la serie de término general
siendo h un número natural.
Aplicando el criterio de D’Alambert
resultado al que se llega después de simplificar, sucesivamente, por (n – 1)! y por n.
En el límite obtenido, como h es un número finito, el grado del numerador esinferior al del denominador, luego:
Por tanto, la serie es convergente.
límu
un
n
+ =1 0
lím lím límu
u
nn
nn
nn
n
n
h
h
h
h−
−=
−−
=−1
1
11
1!
( )( )!
( )
unnn
h
=!
lím lím( + )( + )( +
límun
n n nn
n n nn = =+ + +
= ≠3 3
3 21 2 3 6 11 61 0
)
un
n n nn =+ + +
3
1 2 3( )( )( )
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 45
46MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
47SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
46MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
|44Estudiar el carácter de
Aplicando el criterio de D’Alambert:
|45Carácter de la serie
donde a es número real.
Aplicando el criterio de D’Alambert:
Si a > e, la serie es convergente; si a < e la serie es divergente, y si a = e, es-tamos en el caso dudoso.
Para resolver este caso de indeterminación se aplica el criterio logarítmico:
donde ln representa logaritmo neperiano.
lím
ln
ln
convergente
divergente
11
1
u
nL
L
Ln =
><
⎧⎨⎩
lím lím lím lím u
u
na n
na n
na n
nn a
ea
n
n
n
n
n
n
n
n
n
−−
−
−
−
−
=−
−
=−
=−
⎛⎝
⎞⎠ ⋅ =
11
1
1
1
1
11
1 11!
( )( )!
( )
un
a nn
n
n=⋅ !
Como lím la serie es convergente.u
u en
n
+ = <1 11,
lím lím lím(
lím
u
ulím
nn
nn
n nn
nn
nn n e
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
−−
− −
−
− −
= −−
= − = − =
= −⎛⎝
⎞⎠ = −⎛
⎝⎞⎠ =
11
1 1
1
1 1
11
1 1
11
1 1
!
( )!( )
( ) )
unnn n= !
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 46
46MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
47SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
47SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Por tanto, hay que calcular el límite:
Recordando (fórmula de Stirling) que
resulta:
luego si a = e, la serie es divergente.
|46Carácter de la serie, cuyos primeros términos son:
Es inmediato observar que se trata de una serie alternada, cuyo término ge-neral es:
Como:
se trata de una serie convergente, puesto que |un| era monótona decreciente.
lím lím ( 1) lím+| |( )
un
nn
n nnn= − ⋅
+=
+ +=1
2 21 2 10
un
nnn= − ⋅
++( )
( )1
11
2
u u u u1 2 2 2 3 2 4 2
12
23
34
45
= = − = = −; ; ; ; L
límln
ln lím
ln ln
límln ln
ln
e n n enn
nn
nn
n n n
n
⋅ ⋅ ⋅
= = + = ⋅ =
−22 1
22 1
21
12
ππ π( )
n n n en n!� 2π ⋅ ⋅ −
límln
ln
e nnn
n
n
⋅ !
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 47
48MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
49SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
48MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
|47Carácter de la serie, cuyos primeros términos son:
Se trata de una serie alternada, que será convergente si su término generaltiende a cero.
Se aprecia que la sucesión formada por los numeradores (en valor absoluto)es una progresión aritmética de primer término 2 y razón 3; luego
an = a1 + (n – 1)d = 2 + (n – 1) · 3 = 2 + 3n – 3 = 3n – 1
Los denominadores forman una progresión aritmética de primer término 7 yrazón 4; luego
bn = b1 + (n – 1)d = 7 + (n – 1) · 4 = 4n + 3
Por tanto, el término general de la serie es
Como
esto es, el límite del término general no es cero, la serie es divergente.
|48Por comparación con una serie geométrica, verificar que la serie
es convergente.
En algunas ocasiones es útil aplicar el llamado criterio de comparación:
Si la serie de término general un es tal que un ≤ υn (un ≥ υn), siendo υn el tér-mino general de una serie convergente (divergente), la serie un es convergente (di-vergente).
NOTA. Las desigualdades indicadas basta que se verifiquen a partir de un ciertotérmino.
unn = 1
!
lím un = ≠34
0
unnn = −
+3 14 3
27
511
815
1119
1423
1727
− + − + − +L
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 48
48MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
49SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
49SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Si comparamos n! con 2n, se tiene:
1! < 21; 2! < 22; 3! < 23
Pero, a partir de aquí:
4! > 24; 5! > 25; …
y, en general, n! > 2n y, por tanto, a partir del cuarto término:
Pero como la serie de término general 1/2n es geométrica, de razón un medio,es, por tanto, convergente, y como la serie de término general 1/n! (a partir delcuarto término) se mantiene inferior a ella, será también convergente.
|49Por comparación con la serie armónica, comprobar que la serie de términogeneral
es divergente.
Se comprueba fácilmente que n > ln(n + 1); por tanto,
Luego los términos de la serie propuesta se mantienen superiores a los de unaserie (la armónica) que es divergente; esto es, la serie propuesta es divergente.
|50Sumar la serie geométrica
Como la razón es un cuarto (cada término se obtiene multiplicando el anteriorpor 1/4) se tendrá:
Sa
r=
−=
−= =
13
114
334
4
S = + + + +3
34
316
364
L
1 11n n
<+ln ( )
unn =
+1
1ln ( )
1 12n n!
<
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50MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
51SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
50MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
|51Hallar la fracción generatriz de la decimal periódica pura 2,45�. Se tiene
Se trata, a partir del segundo sumando, de una serie geométrica de razón1/100. Por tanto:
|52En un cuadrado de un metro de lado se inscribe otro cuadrado, según seaprecia en la figura; en este segundo cuadrado se repite la operación y secontinúa así sucesiva e indefinidamente.
Hallar la suma de las áreas de los infinitos cuadrados.
Observando la figura, se aprecia que el área de cada cuadrado es la mitad dela del cuadrado precedente. Por tanto, la suma de las áreas pedidas será:
puesto que forman una serie geométrica de razón 1/2.
S = + + + + + =−
=112
14
18
1
112
2L metros cuadrados
2 45 2
45100
11
100
24599
25
112711
, = +−
= + = + =
2 45454545 2
45100
45100
45100
451002 3 4, ... = + + + + +L
�
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50MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
51SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
51SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
|53Hallar
Formemos la suma de n términos
Multipliquemos ambos miembros por la razón de la geométrica, o sea 1/2
y restemos esta expresión de la precedente:
En el límite:
de donde S = 2.
NOTA: Para que una serie aritmético-geométrica sea convergente basta que larazón, en valor absoluto, de la serie geométrica sea menor que la unidad.
|54Calcular
Es una serie aritmético-geométrica:
S
nn n= + + + + + +4
373
103
133
3 132 3 4 L
3 131
nn
n
+=
∞
∑
12
12
112
12
01Snn=
−= =+ )(puesto que lím
12
12
14
18
116
12 2 1S
nn n n= + + + + + − +L
12
14
28
316
432
12 2 1S
n nn n n= + + + + + − + +L
S
n nn n n= + + + + + − +−
12
24
38
416
12 21L
nn
n 21−
∞
∑
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 51
52MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
53SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
52MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
1Multiplicando ambos miembros por — < 1.3
De donde, por diferencia, se encuentra:
o bien, pasando al límite
de donde:
|55Sumar la serie (caso de ser convergente) cuyos primeros términos son
Se observa que es el producto término a término de la progresión aritmética
3, 7, 11, 15, 19, …
por la progresión geométrica
cuya razón es 1/2. Por tanto, como la razón de la geométrica es menor que la uni-dad, la serie propuesta es convergente.
Siendo S la suma buscada
S = + + + + +3
274
118
1516
1932
L
12
14
18
116
132
, , , , , K
32
74
118
1516
1932
+ + + + +L
S = ⋅ =32
116
114
23
43
13
113
43
12
116
S = +−
= + =
23
43
33
33
33
33
3 132 3 4 1Sn
n n n= + + + + + − ++L
13
43
73
103
133
3 132 3 4 5 1Sn
n n= + + + + + ++L
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 52
52MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
53SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
53SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
multiplicando por la razón de la geométrica y restando miembro a miembro
y, después de simplificar:
Como la suma
Se tiene
de donde la suma buscada es
S = 7
|56Descomposición de un cociente de polinomios en suma de fracciones sim-ples.
Sean dos polinomios en n, P(n) y Q(n), tales que el grado de P(n) sea menorque el grado de Q(n); si suponemos, además, que todas las raíces de Q(n) son re-ales y distintas, la fracción algebraica dada se puede descomponer:
donde a, b, c, … representan las raíces de Q(n) = 0, y A, B, C, … son númeroscalculables a partir de la igualdad establecida.
Sea descomponer en suma de fracciones simples:
5 73 22
nn n
++ +
P nQ n
An a
Bn b
Cn c
( )( )
=−
+−
+−
+L
12
32
272
S = + =
112
14
18
1
112
112
2+ + + + =−
= =L
12
32
112
14
18
S = + + + + +L
12
32
74
34
118
78
1516
1116
1932
1532
S = + −⎛⎝
⎞⎠ + −⎛
⎝⎞⎠ + −⎛
⎝⎞⎠ + −⎛
⎝⎞⎠ +L
12
34
78
1116
1532
S = + + + +L
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 53
54MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
55SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Como el grado del numerador es inferior al del denominador y, además, lasraíces de n2 + 3n + 2 = 0 son n = –1, n = – 2, reales y distintas, se puede escribir
Suprimiendo denominadores:
5n + 7 = A(n + 2) + B(n + 1)
Para n = – 1 (primera raíz hallada) se tiene:
5 · (– 1) + 7 = A(– 1 + 2) + B(– 1 + 1); 2 = A
y para n = – 2 (la otra raíz hallada)
5 · (– 2) + 7 = A(– 2 + 2) + B(– 2 + 1); – 3 = – B; B = 3
Luego, sustituyendo A y B por sus valores, se tendrá:
que expresa la fracción dada en suma de fracciones simples.
NOTA: El estudio general de la descomposición en suma de fracciones sim-ples, se desarrola con detalle en la teoría de integrales indefinidas. En esta lecciónsólo nos interesa el caso señalado, pues es el único que aplicaremos en los suce-sivos ejercicios.
|57Descomponer en suma de fracciones simples la fracción:
Como el grado del numerador es inferior al del denominador y las raíces deéste son todas distintas: n = – 1, n = – 2, n = – 3, la fracción dada se puede escribir
y suprimiendo denominadores:
n + 5 = A(n + 2)(n + 3) + B(n + 1)(n + 3) + C(n + 1)(n + 2)
nn n n
An
Bn
Cn
++ + +
=+
++
++
51 2 3 1 2 3( )( )( )
nn n n
++ + +
51 2 3( )( )( )
5 71 2
21
32
nn n n n
++ +
=+
++( )( )
5 71 2 1 2n
n nA
nB
n+
+ +=
++
+( )( )
54MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 54
54MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
55SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
para n = – 1; 4 = 2A; A = 2para n = – 2; 3 = – B; B = – 3para n = – 3; 2 = 2C; C = 1
Luego:
|58Calcular
Comprobaremos previamente que la serie de término general
es convergente, lo cual se consigue fácilmente aplicando sucesivamente los cri-terios de D’Alambert y de Raabe.
Entonces, descompuesto su término general en fracciones simples, se tiene(véase ejercicio anterior):
Desarrollando cada uno de estos sumatorios
y sumando miembro a miembro:
nn n nn
++ + +
= + − ==
∞
∑ 51 2 3
22
23
33
231 ( )( )( )
21
22
23
24
25
26
27
32
33
34
35
36
37
11
14
15
16
17
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+= + + + + + +
−+
= − + − + − + − + − +
+= + + + +
=
∞
=
∞
=
∞
∑
∑
∑
L
L
L
nn n n n n nn n n n
++ + +
=+
−+
++=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
∑ ∑ ∑ ∑51 2 3
21
32
131 1 1 1( )( )( )
un
n n nn = ++ + +
51 2 3( )( )( )
nn n nn
++ + +=
∞
∑ 51 2 31( )( )( )
nn n n n n n
++ + +
=+
−+
++
51 2 3
21
32
13( )( )( )
55SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 55
56MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
57SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
ya que los siguientes términos de la suma se anulan (puesto que 2 + (– 3) + 1 = 0)
Luego la suma pedida es 2/3.
|59Calcular
La serie resulta ser divergente, puesto que
Sus términos superan a los de la serie armónica, que sabemos es divergente;luego
Se llega al mismo resultado aplicando sucesivamente los criterios de D’A-lambert y Raabe.
|60Obtener la suma de la serie
Resolviendo la ecuación n3 + 6n2 + 1ln + 6 = 0 se deben obtener n = – 1, n == – 2 y n = – 3; descomponiendo en suma de fracciones simples:
Suprimiendo denominadores
8n + 14 = A(n + 2)(n + 3) + B(n + 1)(n + 3) + C(n + 1)(n + 2)
8 146 11 6
8 141 2 3 1 2 33 2
nn n n
nn n n
An
Bn
Cn
++ + +
= ++ + +
=+
++
++( )( )( )
8 146 11 63 2
0
nn n nn
++ + +=
∞
∑
nn nn
++
= ∞=
∞
∑ 321 ( )
nn n
nn n n n n n n n
++
= ++
++
= ++
>32
22
12
1 12
1( ) ( ) ( ) ( )
nn nn
++=
∞
∑ 321 ( )
24
34
14
025
35
15
0− + = − + =; , etc.
56MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 56
56MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
57SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Para n = – 1: – 8 + 14 = A · 1 · 2 ; A = 3
Para n = – 2: – 16 + 14 = B · (– 1) · 1 ; B = 2
Para n = – 3: – 24 + 14 = C · (– 2) · (– 1) ; C = – 5
Obsérvese que
A + B + C = 3 + 2 + (– 5) = 0
De aquí
Sumando:
que es la suma pedida.
|61Calcular
Comprobada la convergencia de la serie, descomponiendo su término generalen suma de fracciones simples, se debe obtener:
Luego:
11
12
1
1212
22 2n n nnn n−=
−+
−
+=
∞
=
∞
=
∞
∑∑ ∑
11
12
1
12
12n n n−=
−−
+
112
2 nn −=
∞
∑
8 146 11 6
31
32
22
352
1123 2
nn n n
++ + +
= + +⎛⎝
⎞⎠ = + =∑
31
31
32
33
34
22
22
23
24
25
53
53
54
55
56
0
0
0
n
n
n
n
n
n
+= + + + +
+= + + + +
−+
= − + − + − + −
=
∞
=
∞
=
∞
∑
∑
∑
L
L
L
57SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 57
58MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
59SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
y, por tanto,
y sumando:
|62P(n)Descomposición de —— en suma de fracciones más sencillas. (P(n) repre-n!
senta un polinomio en n).
Veámoslo con varios ejemplos.
Sea descomponer
Se tendrá:
Sea ahora descomponer
n nn
2 3 1+ +!
2 3 21
3nn n n+ =
−+
! ( )! !
y como resulta, en definitiva:nn n! ( )!
,=−1
1
2 32
3nn
nn n
+ = ⋅ +! ! !
2 3nn+!
11
121
122
12
14
342
2 nn −= + = + =
=
∞
∑
12
1
121
122
123
124
125
121
12
3
12
4
125
2
2
n
n
n
n
−= + + + + +
−
+=
−+
−+ +
=
∞
=
∞
∑
∑
L
L
58MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 58
58MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
59SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Se tendrá:
y la primera fracción se puede escribir:
Se obtiene, en definitiva:
n3
Sea ahora la fracción —.n!
Se tiene:
Análogamente, se debe obtener:
De forma general se procede como se indica en el ejemplo siguiente.
Sea descomponer:
3 10 10 23 2n n nn
− + +!
n n nn n n n n
3 2 31
12
11
1 11
− −+
=−
−−
− ++( )! ( )! ( )! ! ( )!
n nn n n n
2 4 52
1 11
12
+ ++
= +−
++( )! ! ( )! ( )!
nn
nn
nn
n nn n
nn n
nn n
nn n n n n
3 2 2
11 11
1 11
11
12
11
2 32
11
22
32
11
13
3
! ( )! ( )!( )( )
( )! ( )!
( )! ( )! ( )! ( )!
( )! ( )! ( )! ( )! (
=−
= − +−
= − +−
+−
=
= +−
+−
= − +−
+−
=
= −−
+−
+−
=−
+−−
+−21
1)! ( )!n
n nn n n n
2 3 1 12
41
1+ + =−
+−
+! ( )! ( )! !
n nn
nn
nn
nn n n n
( )( )! ( )!
( )! ( )! ( )! ( )!
+ = +−
= − +−
=
= −−
+−
=−
+−
3 31
1 41
11
41
12
41
n nn
n nn n
2 3 1 3 1+ + = + +!
( )! !
59SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 59
60MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
61SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
que se iguala a trantas fracciones como indica el grado del numerador más uno ycuyos denominadores son n!, (n – 1)!, (n – 2)! ... O sea
Suprimiendo denominadores
3n3 – 10n2 + 10n + 2 = a + bn + cn (n – 1) + dn (n – 1)(n – 2)
y desarrollando
3n3 – 10n2 + 10n + 2 = a + bn + cn2 –cn + dn3 – 3dn2 + 2dn
e identificando los coeficientes del mismo grado:
n3: 3 = d ; d = 3n2: –10 = c – 3d ; c = –10 + 9 = –1n: 10 = b – c +2d ; b = 10 – 1 – 6 = 3
2 = aLuego
|63Series del número e.
Es conocido el desarrollo del número
El conocimiento de este desarrollo permite la obtención de las sumas de di-versas series. Sea, por ejemplo,
Desarrollando:
22
213
14
15
1
1 ( )! ! ! ! !n nn += + + + + +⎡
⎣⎢⎤⎦⎥=
∞
∑ L L
221 ( )!nn +=
∞
∑
e
n= + + + + + +1
11
12
13
1! ! ! !
L L
3 10 10 2 2 31
12
33
3 2n n nn n n n n
− + + = + +! ! ( – )!
–( – )! ( – )!
3 10 10 21 2 3
3 2n n nn
an
bn
cn
dn
− + + = + + +! ! ( – )! ( – )! ( – )!
60MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 60
60MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
61SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Nos basta completar el desarrollo, para lo cual
Por tanto:
|64Calcular
Desarrollando y completando:
|65Calcular
Como (véase ejercicio 66)
se tendrá:
n nn n n nn nnn
2
3 333
3 1 12
41
1+ + =−
+−
+=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
∑ ∑∑∑! ( )! ( )! !
n nn n n n
2 3 1 12
41
1+ + =−
+−
+! ( )! ( )! !
12
11
12
13
1
111
12
13
11 1
3( )! ! ! ! !
! ! ! !
n n
ne
n −= + + + + =
= + + + + + − = −
=
∞
∑ L
L
123( )!nn −=
∞
∑
22
1 112
2 51 ( )!n
e en +
= − − − = −=
∞
∑
213
14
15
1
2 111
12
13
14
11
11
12
! ! ! !
! ! ! ! ! ! !
+ + + + +⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=
= + + + + + + + − − −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
L L
L L
n
n
61SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 61
62MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
63SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Desarrollando cada una de las series:
Luego:
|66Obtener
Descomponiendo en suma de fracciones
Suprimiendo denominadores, teniendo en cuenta que
resulta
3n2 – 5n – 1 = A + Bn + Cn(n – 1) = Cn2 + (B – C)n + A
de donde, identificando coeficientes de los términos de igual grado
3 = C ; B – C = – 5 ; A = – 1
o sea
A = – 1 ; B = – 2 y C = 3
nn
nn
nn n
!( )!
!–
( )= − = −12
1y!
3 5 11 2
2n nn
An
Bn
Cn
− − = +−
+−! ! ( )! ( )!
3 5 12
2
n nnn
− −=
∞
∑!
n nn
e e e en
2
3
3 11 4 8
52
6236
+ + = − + − + − = −=
∞
∑!
( ) ( )
1 13
14
11
11
12
523 n n
e en ! ! ! ! ! !
= + + + + = − − − = −=
∞
∑ L L
4
11
412
13
14 1
11
4 83( )! ! ! ! !n n
e en −
= + + + +⎛⎝
⎞⎠ = − −⎛
⎝⎞⎠ = −
=
∞
∑ L L
12
11
12
11
3( )! ! ! !n ne
n −= + + + + = −
=
∞
∑ L L
62MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 62
62MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
63SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Por tanto
Desarrollando cada suma parcial
Luego la suma será
S = (2 – e) + (2 – 2e) + 3e = 4
|67La serie armónica. Recuérdese que la suma de n términos de la serie armó-nica es
la suma de n términos pares es
y la suma de n términos impares es
Sabiendo esto, obtener:
La serie propuesta es convergente, puesto que es alternada y el límite de sutérmino general es cero.
S
nn= − + − + − + + − +1
12
13
14
15
16
111L ( )
I
nI P H I H Hn n n n n n n= + + + +
−+ = → = −1
13
15
12 1
122 2L ;
P
nP
nHn n n= + + + + = + + + +⎛
⎝⎞⎠ =1
214
16
12
12
112
13
1 12
L L;
H
nn = + + + +112
13
1L
32
3 111
12
32 ( )! ! !n
en −
= + + +⎛⎝
⎞⎠ =
=
∞
∑ L
−−
= − + +⎛⎝
⎞⎠ = − − = −
=
∞
∑ 21
211
12
2 1 2 22 ( )! ! !
[ ]n
e en
L
− = − + +⎛⎝
⎞⎠ = − − +⎛
⎝⎞⎠
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= −=
∞
∑ 1 12
13
111
22 n
e en ! ! ! !
L
3 5 1 1 21
32
2
2 2 2 2
n nn n n nn n n n
− − = − + −−
+−=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
∑ ∑ ∑ ∑! ! ( )! ( )!
63SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 63
64MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
65SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Formando las sumas sucesivas de dos, cuatro, seis... términos, se tiene
S6 = I3 – P3
y, en general, teniendo en cuenta que Hn = ln n + η + εn
Pasando al límite
S = lím S2n = 1n 2
puesto que ε2n y εn son infinitésimos que tienden a cero si n → ∞.
|68Calcular
Formemos las sumas sucesivas:
S9 = I6 – P3
y, en general,
S3n = I2n – Pn
S I P3 4 2113
12
15
17
14
= + − + + − = −
S I P3 2 1113
12
= + − = −
S = + − + + − + + − +1
13
12
15
17
14
19
111
16
L
S I P H H H H H
n n n
n n n n n n n n
n n n n
n n
2 2 2
2 2
2
12
12
2
= − = −⎛⎝
⎞⎠ − = − =
= + + − + + = + − + + =
= −
( ) ( ) ( )ln ln ln 2 + ln + ln
ln 2 +
η ε η ε η ε η ε
ε ε
S I P4 2 2112
13
14
113
12
14
= − + − = +⎛⎝
⎞⎠ − +⎛
⎝⎞⎠ = −
S I P2 1 1112
= − = −
64MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
00_Cap01 10/8/10 09:22 Página 64
64MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
65SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Como (véase ejercicio anterior)
resulta
y pasando al límite
|69Calcular la suma
Se forman las sumas de tres, seis, nueve... términos
S
H H H
9
9 9 3
112
23
14
15
26
17
18
29
112
13
14
15
16
17
18
19
33
36
39
112
13
= + − + + − + + − =
= + + + + + + + + − + +⎛⎝
⎞⎠ =
= − + +⎛⎝
⎞⎠ = −
S
H H H
6
6 6 2
112
23
14
15
26
112
13
14
15
16
33
36
112
= + − + + − = + + + + + − +⎛⎝
⎞⎠ =
= − +⎛⎝
⎞⎠ = −
S H H3 3 1112
23
112
13
33
112
13
1= + − = + + − = + + − = −
S = + − + + − + + − + ⋅⋅⋅112
23
14
15
26
17
18
29
S = − =2 212
232
2ln ln ln
I Pn n n n n2 4 2412
212
12
− = − + − −ln ln ε ε ε
P nn n= + +12
( )ln η ε
I H H n n n
n n
n n n n n
n n
2 4 2 4 2
4 2
12
1 412
12
= − = + + − + + =
= + + − + +
( ) ( )
( )
η ε η ε
η ε η ε
ln 2
ln 4 + ln ln 2 + ln
65SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
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66MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
y en general
S3n = H3n – Hn
La suma pedida se hallará pasando al límite
S = lím S3n = lím (H3n – Hn) = lím [ln 3n + η + ε3n – (ln n + η + εn)] =
= lím (ln 3 + ln n + η + ε3n – ln n – η – εn) =
= lím (ln 3 + ε3n – εn) = ln 3
puesto que lím ε3n y lím εn son cero.
66MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA
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