Modelo examen tema 2
Además habrá operaciones de fracciones algebraicas del tipo que hemos realizado en clase y que os aparecen en la hoja de ejercicios nº2.
Ejercicio nº 1.-
a) Halla el valor numérico de P(x) 2x3 x2 3x 6 para x 1.
b) ¿Es divisible el polinomio anterior, P(x), entre x 1?
Solución:
a) P(1) 2 1 3 6 0
b) Sí. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P(x) : (x 1) coincide con P(1). En este caso P(1) 0; por tanto, P(x) es divisible entre x 1.
Ejercicio nº 2.-
Descompón en factores los siguientes polinomios:
a) x 5 x 4 2x 3
b) x 3 3x 2
Solución:
a) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación:
x 5 x4 2x3 x 3 x 2 x 2
Por tanto:
x 5 x4 2x3 x 3 x 1 x 2
b) Utilizamos la regla de Ruffini:
1 0 3 2 1 1 1 2
1 1 2 0
1 1 2
1 2 0
x 3 3x 2 x 12 x 2
Ejercicio nº 3.-
Descompón en factores el dividendo y el divisor, y luego simplifica:
Solución:
En el primer paso sacamos factor común y en el segundo paso aplicamos el producto notable
a2 b2 a b a b a la expresión x4 1.
Ejercicio nº 4.-
Opera y simplifica:
Solución:
a) Observamos que tenemos el producto notable a b · a b a2 b2.
Así:
x 2 4x 4 (x 2)2
Luego:
Ejercicio nº 5.-
Una cuadrilla de segadores siega un campo de heno en x horas. Una segunda cuadrilla tarda el doble en segar el mismo campo. Expresa en función de x la parte de campo que siegan las dos cuadrillas en 1 hora.
Solución:
Ambas cuadrillas juntas segarán en 1 hora:
Ejercicio nº 6.-
Escribe un polinomio de cuarto grado que cumpla, en cada caso, las siguientes condiciones:
a No tenga raíces.
b Tenga sólo dos raíces: 2 y 3.
Solución:
a Por ejemplo, P(x 3x4 2.
b Por tener como raíces 2 y 3, el polinomio ha de tener como factores x 2 y x 3. Además, otro factor debe ser un polinomio de grado 2 sin raíces, como por ejemplo x2 1.
Por tanto:
Ejercicio nº 7.-
Opera y simplifica:
Solución:
Otro modelo de examen:
Matemáticas, opción B Opción B Educación Secundaria 4 SOLUCIONES Evaluación: ................................................................................................................................................... Fecha: ..............
Ejercicio nº 1.-
Halla el valor de k para que el polinomio P(x) kx 3 2kx 2 3x 1 sea divisible entre x 1.
Solución:
Para que P(x) sea divisible ente x 1, ha de ser P(1) 0; es decir:
Ejercicio nº 2.-
Factoriza estos polinomios:
a) x 4 2x 3 x 2
b) x 3 4x 2 x 6
Solución:
a) Sacamos factor común y utilizamos que a 2 2ab b 2 a b 2:
x 4 2x 3 x 2 x 2 x 2 2x 1 x 2 x 1 2
b) Utilizamos la regla de Ruffini:
1 4 1 6 2 2 4 6
1 2 3 0
3 3 3
1 1 0
x 3 4x 2 x 6 x 2 x 3 x 1
Ejercicio nº 3.-
Descompón en factores el numerador y el denominador, y luego simplifica.
Solución:
En el primer paso sacamos factor común; en el segundo paso aplicamos la identidad notable
a2 b2 a b a b a la expresión x2 49, y finalmente dividimos numerador y denominador entre el máx.c.d. de ambos, que es x (x 7).
Ejercicio nº 4.-
Calcula y simplifica:
Solución:
a Efectuamos el producto:
Factorizamos para simplificar:
x4 3x2 2x x x3 3x 2
Aplicamos Ruffini para calcular las raíces de la ecuación x3 3x 2 0:
1 0 3 2 1 1 1 2
1 1 2 0
Así:
x4 3x2 2x x x 12 x 2
x2 6x 9 x 32
x2 2x 1 x 12
x2 + 2x x x 2
Por tanto:
Ejercicio nº 5.-
Expresa mediante polinomios el área y el volumen de este cilindro:
Solución:
Volumen ABASE · Altura x2 (x 5 x3 5x2
Área ALATERAL ABASES 2x (x 5 2x2 2x2 10x 2x2 4x2 10x
Ejercicio nº 6.-
Razona por qué x 1, x 1, x 2, x 2 son posibles divisores del polinomio x3 2x2 x 4. ¿Puede serlo también x 3?
Solución:
Que x 1, x 1, x 2, x 2 sean posibles divisores de x3 2x2 x 4 equivale a decir que 1, 1, 2 y 2 son posibles raíces de dicho polinomio, lo cuál es cierto porque los cuatro números son divisores del termino independiente 4.
Por ese mismo motivo, 3 no puede ser raíz entera del polinomio y por tanto x 3 no va a ser divisor suyo.
Ejercicio nº 7.-
Opera y simplifica:
Solución:
Matemáticas, opción B Opción E Educación Secundaria 4 SOLUCIONES Evaluación: ................................................................................................................................................... Fecha: ..............
Ejercicio nº 1.-
Halla el valor de k para que el polinomio P(x) kx 3 2kx 2 3x 1 sea divisible entre
x 1.
Solución:
Para que P(x) sea divisible ente x 1, ha de ser P(1) 0; es decir:
Ejercicio nº 2.-
Descompón en factores los siguientes polinomios:
a) x 5 x 4 2x 3
b) x 3 3x 2
Solución:
a) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación:
x 5 x4 2x3 x 3 x 2 x 2
Por tanto:
x 5 x4 2x3 x 3 x 1 x 2
b) Utilizamos la regla de Ruffini:
1 0 3 2 1 1 1 2
1 1 2 0
1 1 2
1 2 0
x 3 3x 2 x 12 x 2
Ejercicio nº 3.-
Simplifica la siguiente fracción algebraica:
Solución:
Descomponemos factorialmente el numerador y el denominador:
Numerador Sacamos factor común 2 y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de 2º grado:
2x3 10x2 16x 8 2x 3 5x 2 8x 4
1 5 8 4
2 2 6 4
1 3 2 0
Así:
2x3 10x2 16x 8 2 x 2 2 x 1
Denominador Sacamos factor común 4 y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de 2º grado:
4x3 8x2 4x 8 4x3 2x 2 x 2
1 2 1 2 2 2 0 2
1 0 1 0
x 2 1 0 x 2 1 x 1
Así:
4x3 8x2 4x 8 4 x 2 x 1 x 1
Simplificación:
Se obtiene dividiendo numerador y denominador entre el máx.c.d. de ambos, que es
2x 2 x 1.
Ejercicio nº 4.-
Efectúa y simplifica:
Solución:
a) Efectuamos cada paréntesis y luego multiplicamos:
b) Observamos que 4x2 1 2x 1 2x 1.
Luego:
Ejercicio nº 5.-
Traduce al lenguaje algebraico empleando una sola incógnita:
a El área de un rombo cuyas diagonales suman 46 cm.
b Una cantidad x aumentada un 25%.
c El producto de dos números cuya diferencia es 9.
d La diferencia de precio que habría entre alquilar un autobús por 540 € x estudiantes o seis menos.
Solución:
b 1,25x
c Los números son x y 9 x Producto x (9 x 9x x2
Ejercicio nº 6.-
Opera y simplifica:
Solución:
Ejercicio nº 7.-
Expresa algebraicamente mediante un polinomio el área de esta figura:
Solución:
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