Método general de flexibilidad
Aplicación a celosías planas
1
Punto de partida
Energía complementaria. Propiedades uniformes:
2
*
2b
N LU T LN
E AT LL
EA
Teorema de Crotti- Engesser:
2º Teorema de Engesser
*
1,ii
Ui n
P
* *b
b
U U
*
0 jj
UN
N
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
2
1. Fase previa
1. Clasificar la celosía: hiperestática
b+r > 2n h=(b+r)-2n
2. Elegir h incógnitas hiperestáticas Xj Pueden ser:
Reacciones exteriores Xj = Ri
Esfuerzos interiores en las barras Xj =Ni
Punto crítico. Heurístico. No hay un método universal
No dependen del sistema de cargas exteriores
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
3
1. Fase previa. Ejemplo
1. Hallar h b=10 r=4 n=6 h=(10+4)-2*6=2
2. Elegir 2 incógnitas hiperestáticas X1 =RBY X2 =NBF
Vale cualquier esfuerzo de EFCB.
Valen las reacciones verticales. No valen NDE NDA
Todas las barras igual E A
P
L L
FED
AB C
L
FED
A B C
P
L=400 cm P=10000 kg
E=2 106 kg/cm2 A=10 cm2
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
2. Superposición de 1+ h casos isostáticos
1. Eliminar las h incógnitas hiperestáticas:
si Xj están bien elegidas se obtiene una celosía isostática
y estable
2. Superposición de 1+h casos, todos ellos isostáticos
Caso 0: sólo las fuerzas exteriores
Esfuerzos N0
Casos 1 a h: sólo valor unidad de la incógnita Xj
Esfuerzos Nj
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas4
0
1,
ji i j i
j h
N N X NEsfuerzo real
FED
A B C
0
0 00
P/2P/2
P/√
2
-P/√2
0
P P
FED
A B C
0
0 01
1/21/2
-1/√
2
-1/√2
0
1
0
5
Ejemplo. Esfuerzos en los 1+h casos isostáticos
Siempre es posible: son isostáticos.
Si no se puede: la incógnita X está mal elegida
Puede ser celosía simple, compuesta o compleja
FED
A B C
0
0 00
P/2P/2
P/√
2
-P/√2
0
P P
FED
A B C
0
0 01
1/21/2
-1/√
2
-1/√2
0
1
0 FED
A B C
0
0
1
1
-1/√2
-1/√
2
-1/√
2
-1/√2
1
0
0
0
1 2
0
1,
ji i j i
j h
N N X N
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
6
3. Condiciones de compatibilidad. Planteamiento
* *
0ii i
U U
X R
* *
0j j
U U
X N
Xj es una reacción en un punto fijo:
Xj es un esfuerzo interior:
*
0 1,j
Uj h
XSiempre es del tipo:
Nota: se estudiará más adelante el caso de que haya una
deformación conocida en la dirección de la reacción
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
7
3. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (I)
*
0i ii i i
i ij j j
U N NN
X X X
2
*
2
i i
i ii
NU N
0
1,
ji i j i
j h
N N X N
jii
j
NN
X
0j ji i i i i
i i
N N N Sustituyendo Ni
*
0 1,j
Uj h
Xh ecuaciones de
compatibilidad
No es útil así.
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
3. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (II)
8
0
1,
0 1,k j ji i k i i i i
i k h i
N X N N N j h
Reordenando S
0
1,
1,j k j jk i i i i i i i i
k h i i i
X N N N N N j h
1,
1,k jk jk h
X f D j h
Sistema de h ecuaciones con h incógnitas Xj
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
3. Condiciones de compatibilidad. Aplicación
9
Matriz de coeficientes de flexibilidad f
(h x h) simétrica
Definida positiva si las Xj están bien elegidas (linealmente independientes)
j kjk i i i
i
f N N
0 j jj i i i i i
i i
D N N N
Coeficiente de flexibilidad
cruzado entre Xj y Xk
Término de carga para Xj
1,k jk jk
X f D j h f X D
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
Significado físico de los coeficientes fjk (1)
10
j k
FED
A B C
Xj=1
Dk
Nj
j
FED
A B C
Xk=1
Djk
Nk
j j kk i i i kj
i
N N f
Real Virtual
Calculamos jk Planteamos un caso virtual
j Vk i i i
i
N N
Caso real: es el caso jjN N
V kN NCaso virtual: es el caso k
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
11
Significado físico de los coeficientes fjk (2)
j k
FED
A B C
Xj=1
Nj
fjj
fkj
FED
A B C
Xk=1
fjk
Nk
fkk
jk kjf
fkj = Deformación en la dirección de Xk, en el caso j
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
12
Significado físico de los coeficientes Dj (1)
j
FED
A B C
Xj=1
Nj
0 0 j jj i i i i i j
i i
N N N D
Esfuerzos reales: los del caso 0
Planteamos un caso virtual
Real Virtual
0
0
0 00
P/2P/2
P/√
2
-P/√2
0
P P
Dj
0
0N NV jN N
Calculamos0j
0 V Vj i i i i i
i i
N N N
Esfuerzos virtuales: los del caso j
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
13
Significado físico de los coeficientes Dj (2)
0 0 j jj i i i i i j
i i
N N N D
Dj = Deformación en dirección de Xj, en el caso 0, con signo (-)
0
0
0 00
P/2P/2
P/√
2
-P/√2
0
P P
-Dj
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
14
Significado físico de las ecuaciones de compatibilidad
Deformación total en la
dirección de Xj = 0.
Auténticas ecuaciones de
compatibilidad de
deformaciones
k jk jk
X f D kjk jf 0
j jD
0 0kk j j
k
X 0totalj
j k
FED
A B C
Xj=1
Nj
fjj
fkj
FED
A B C
Xk=1
fjk
Nk
fkk
FED
A B C
0
0 00
P/2P/2
P/√
2
-P/√2
0
P P
Dj
0
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
15
Resumen general
+=
+*
0 1,j
Uj h
X
jX
0
1,
ji i j i
j h
N N X N
1,j h
P
T
-Dj
Xj
P
T
1
fjj
fkj
Caso 0 Caso j
1,k jk jk
X f D j h
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
16
Unidades (Celosías)
Coeficientes de flexibilidad fjk
1j FN
F
Esfuerzos casos j=1,h. Adimensional
Esfuerzos caso 0: fuerza0N F
(1) (1)j kjk
L Lf N N
F F
Término de “carga” Dj : deformación
0 ( ) (1)jj
LD N N F L
F
1( ) (1)j jjD N TL N T T L L
Esfuerzos en las barras por cada unidad de
fuerza aplicada en la incógnita hiperestática
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
17
Ejemplo. Condiciones de compatibilidad (1)
1 1 411
1 2 412
2 2 422
2.9142 / 0.5820 10 cm/kg
2.0607 / 0.4121 10 cm/kg
4.8284 / 0.9657 10 cm/kg
i i ii
i i ii
i i ii
f N N L EA
f N N L EA
f N N L EA
FED
A B C
0
0 01
1/21/2
-1/√
2
-1/√2
0
1
0 FED
A B C
0
0
1
1
-1/√2
-1/√
2
-1/√
2
-1/√2
1
0
0
1 2
L=400 cm P=10000 kg E=2 106 kg/cm2 A=10 cm2
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
18
Ejemplo. Condiciones de compatibilidad (2)
0 11
0 22
0.5 / 0.1cm
2.0607 / 0.4121cm
i i ii
i i ii
D N N PL EA
D N N PL EA
FED
A B C
0
0 01
1/21/2
-1/√
2
-1/√2
0
1
0FED
A B C
0
0
1
1
-1/√2
-1/√
2
-1/√
2
-1/√2
1
0
0
12
FED
A B C
0
0 00
P/2P/2
P/√
2
-P/√2
0
P P0
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
19
Ejemplo. Esfuerzos finales
1 21864.8 kg 5063.6 kgBY BFX R X N
0 1 21864.8 5063.6i i i iN N N N
0
0
-35
81
23525932
5752
-3326
5063
6419 10000
-17
16
1865
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
f X f X D
f X f X D
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
20
Ejemplo. Reacciones
1865 5932
10000
4067
10000
Cálculo por estática del conjunto.
RBY = 1865 ya conocida.
Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas
Deformaciones impuestas en los apoyos
PFED
AB C
DC=2 cm
Deformaciones en los apoyos en celosías. Método de flexibilidad 21
j jX R
N=0
DC=2 cm
Elegir como incógnita hiperestática X a la reacción
en la dirección de la deformación impuesta
• Siempre se puede si la reacción es hiperestática
• Si no se puede (la reacción es isostática): la deformación
impuesta en el apoyo no produce esfuerzos en la estructura
Deformaciones impuestas en los apoyos
2
*
2
i i
i ii
NU N
Deformaciones en los apoyos en celosías. Método de flexibilidad 22
*i i
i i i Cji ij j j
U N NN
X X Xjii
j
NN
X
* *
Cjj j
U U
X R
Ecuación de compatibilidad: deformación conocida en
el apoyo. Teorema de Crotti-Engesser:
Mismo desarrollo
que para apoyos
sin deformación
Deformaciones en los apoyos en celosías. Método de flexibilidad 23
Deformaciones impuestas en los apoyos
0
1,
k j ji i k i i i i Cj
i k h i
N X N N N
Reordenando S
0
1,
j k j jk i i i Cj i i i i i
k h i i i
X N N N N N
1,k jk Cj j
k h
X f DEcuación de
compatibilidad para la
deformación conocida
j ji i i i i Cj
i i
N N N
Método general de flexibilidad
Aplicación a pórticos planos
Punto de partida
Energía complementaria en una barra plana:
Teorema de Crotti- Engesser:
2º Teorema de F. Engesser:
*
1,ii
Ui n
P
* *b
b
U U
*
0 , ,j
j
UX N Q M
X
2 2*
2 2b m g
N MU dx dx N T dx M Tdx
1 1
EA EIToda la estructura:
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos1
1. Fase previa
1. Clasificar el pórtico: hiperestático
6b+r > 3n+3b+c h=(6b+r)-(3n+3b+c)
2. Elegir h incógnitas hiperestáticas Xj Pueden ser:
Reacciones exteriores (fuerzas o momentos)
Xj = Ri Xj =Mi
Esfuerzos interiores en las barras (fuerzas o momentos)
Xj =Ni Xj =Qi Xj =Mi
Punto crítico. Heurístico. No hay un método universal
Xj no dependen del sistema de cargas exteriores
El pórtico obtenido al eliminar las Xj debe ser isostático
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos2
Incógnitas hiperestáticas en pórticos
N
M
Q
N
M
Q
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos3
Fase previa. Ejemplo
1. Hallar h b=3 r=5 n=4 c=0
h=(6*3+5)-(3*3+3*4+0)=2
2. Elegir 2 incógnitas hiperestáticas
Varias posibilidades: X1 =RDX X2 =MB
Todas las barras HEB 400L=1000 cm H=500 cm q=4 kg/cm
E=2.1 106 kg/cm2 A=198 cm2 I=57680 cm4
q
A
B C
D
L
H
RDX
MB
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos4
2. Superposición de 1+ h casos isostáticos
1. Eliminar las h incógnitas hiperestáticas:
si Xj están bien elegidas se obtiene un pórtico isostático
y estable
2. Superposición de 1+h casos, todos ellos isostáticos
Caso 0: sólo las fuerzas exteriores
Esfuerzos
Casos 1 a h: sólo valor unidad de la incógnita Xj
Esfuerzos
Siempre se pueden calcular, si la X está bien elegida
0
1,
jj
j h
N N X N
Esfuerzos reales
0 0 0N Q M
j j jN Q M
0
1,
( ) ( ) ( )jj
j h
M x M x X M x
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos5
Valores unidad de las incógnitas X
1
1
1
1
1
1
q1
q2
D2
D1
1
11
M M
Q
Q
M
N N
M
N N
Q
Q
D1 D2
1
1
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos6
3. Esfuerzos en los 1+h casos isostáticos. Ejemplo
N=0
-qL/2 -qL/2qL
2/8
q
A
B C
D
N=-1
H/L -H/L
H
H
H
1A
BC
D
N=0
1/L-1/L
11
1
1
X2=MB=1
A
B C
D
1 2
0
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos7
Ejemplo. Caso 0
N=0
-qL/2-qL/2
qL2/8
q
A
B C
D
qL/2qL/2
0 0
qL/2
-qL/2
-qL/2
0
0
0
0 /2BCDB DYM R qL
0 0BCDX XF B
0 /2BCDY YF B qL
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos8
Ejemplo. Caso 1
N=-1
H/L-H/L
H
H
H
1A
B C
D
H/L
11
H/L
H/L
-H/L
H
1
H/L
-H/L
1
-1-H/LH
1
0 1BCDB DYM R L H
0 1BCDX XF B
0BCDY Y DYF B R
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos9
Ejemplo. Caso 2
N=0
-1/L
1 A
B C
D
-1/L
0
0
1/L
1/L
1/L
0
-1/L
1/L
01
1/L
0
1/L
1
00
1
0
2
0 1 0BCDB DYM R L
0 1BCDX XF B
0 1/BCDY Y DYF B R L
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos10
4. Condiciones de compatibilidad. Planteamiento
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos11
* *
0ii i
U U
X R
*
0j
U
X
Xj es una reacción en un punto fijo:
Xj es un esfuerzo interior:
*
0 1,j
Uj h
XSiempre es del tipo:
Nota: más adelante se verá el caso de que haya una
deformación no nula en la dirección de la reacción
4. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (I)
j
j
NN
X
Sustituyendo N, M
*
0 1,j
Uj h
Xh ecuaciones de
compatibilidad
No nos sirve así
0m gj j j j
N M N MN dx M dx T dx T dx
X X X X
0j j j jm gN N dx M M dx T N dx TM dx
( )( )j
j
M xM x
X
Buscamos Xj
0 jjN N X N 0 j
jM M X M
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos12
4. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (II)
Reordenando S e
Sistema de h ecuaciones
con h incógnitas Xj
0 0
0
k j k jk k
k k
j jm g
N X N N dx M X M M dx
T N dx T M dx
0 0
j k j kk
k
j j j jm g
N N dx M M dx X
N N dx M M dx T N dx T M dx
1,jk k jk
f X D j h
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos13
4. Condiciones de compatibilidad. Aplicación
Coeficiente de flexibilidad
cruzado entre Xj y Xk
Término de carga para Xj
1,k jk jk
X f D j h
Matriz de coeficientes de flexibilidad f
(h x h) simétrica
Definida positiva si las Xj están bien elegidas (linealmente independientes)
f X D
0 0j j j jj m gD N N dx M M dx T N dx T M dx
j k j kjkf N N dx M M dx
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos14
5. Deformaciones impuestas en los apoyos (1)
Deformación impuesta conocida Dc :
Elegir como incógnita hiperestática Xj la reacción en la
dirección de la deformación impuesta
j CjX R
Siempre se puede elegir.
Si no se puede: la reacción es isostática,
y la deformación impuesta en su
dirección no produce esfuerzos.
DC X1
X2
DC
A C
0A CYM R
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos15
5. Deformaciones impuestas en los apoyos (2)
k jk j Ck
X f D
Condición de compatibilidad asociada a la deformación conocida
* *
Cj Cj
U U
X R
Mismo desarrollo. Se obtiene:
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos16
Resumen general
+=
+*
0 1,j
Uj h
X
jX
0
1,
jj
j h
N N X N
1,j h
Xj
P
T
q
Caso 0 Caso j
0
1,
( ) ( ) ( )jj
j h
M x M x X M x
P
T
q
-Dj Xj=1
fkj
1,k jk j
k
X f D j h
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos17
Unidades
Esfuerzos en los casos j=1,h.
, 1
11
j j
j j
j j
N M
F FLX N Q X F L
F FF FL
X M X FLFL L FL
Incógnitas hiperestáticas Xj:
,j jX N Q X F
j jX M X FL
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos18
Unidades. Coeficientes de flexibilidad fjk
,
11
1, 1
1 1 1
j kk k
jk
k kj kkjk
k
jj j jk jk
jj j jk jk
X N Q X Mf N N dxX F X FLL
f N NNF N
LL
X N Q X F N f fF F
X M X FL N f fL F FL
Cálculo a partir de N j k j kjkf N N dx M M dx
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos19
Unidades. Coeficientes de flexibilidad fjk
2
,
11
1,
1 11
j kk k
jk
k kj kk kjk
jj j jk jk
jj j jk jk
X N Q X Mf M M dxX F X FL
f M M LM L MFL
LX N Q X F M L f f
F F
X M X FL M f fF FL
Cálculo a partir de M j k j kjkf N N dx M M dx
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos20
Unidades. Coeficientes D
, 1
11
jj j j
jj j j
X N Q X F N D L
X M X FL N DL
Cálculo a partir de N
,
1 1
jj j j
jj j j
X N Q X F M L D L
X M X FL M D
Cálculo a partir de M
0 1j j jjD N N dx F N L N L
F
0
2
1j j jjD M M dx FL M L M
FL
0 0 ...j jjD N N dx M M dx
Cálculo a partir de los otros términos: idemMétodo de flexibilidad. Aplicación a pórticos21
Significado físico de los coeficientes fjk (1)
j k
Esfuerzos reales en el caso j:
Esfuerzos virtuales en la dirección k.
Real Virtual
Calculamos jk
-1
H/L-H/L
H
H
H
Xj=1
Dk
j
0
1/L-1/L
1
1
V=1
V=1
0 0j V Vk N N dx M M dx
j jN N M M
0 0V k V kN N M M
j k j kkjN N dx M M dx f
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos22
Significado físico de los coeficientes fjk (2)
j k
-1
H/L
-H/L
H
H
H
Xj=1
fkj
fjj
0
1/L-1/L
1
1
1
1fkk
fjk
Xk=1
j j k j kk kjN N dx M M dx f
fkj = Deformación en la dirección de Xk, en el caso j
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos23
Significado físico de los coeficientes Dj (1)
j
Esfuerzos reales: caso 0
Esfuerzos virtuales: caso j
Real
Virtual0 -1
H/L
-H/L
H
H
H
V=1
Mj
Nj
0
-qL/2 -qL/2qL
2/8
q
Dk
0
Dj
0
0 0 0 0 0V V V Vj m gN N dx M M dx T N dx TM dx
0 0N N M M
0 0V j V jN N M M
Calculamos 0j
0 0 0j j j jj m g jN N dx M M dx T N dx TM dx D
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos24
Significado físico de los coeficientes Dj (2)
j
Virtual0 -1
H/L
-H/L
H
H
H
V=1
Mj
Nj
0
-qL/2 -qL/2qL
2/8
q
-Dj
-Dk
0j
Dj = Deformación en dirección de Xj, en el caso 0, con signo (-)
0 0 0j j j jj m g jN N dx M M dx T N dx TM dx D
0j jD
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos25
Significado físico de las ecuaciones de compatibilidad
Deformación total en la
dirección de Xj = 0.
Auténticas ecuaciones de
compatibilidad de
deformaciones
k jk jk
X f Dk
jk jf
0j jD
0 0kk j j
k
X 0totalj
j k
0N=0
-qL/2 -qL/2qL
2/8
q
-Dj
-Dk
-1
H/L
-H/L
H
H
H
Xj=1
fkj
fjj
0
1/L-1/L
1
1
1
1fkk
fjk
Xk=1
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos26
Ejemplo. Condiciones de compatibilidad (1)
1 2
N=-1
H/L -H/L
H
H
H
1
N=0
1/L-1/L
11
1
1
3 2 3
11 2
2 2
3 3
L H LH Hf
EA EAL EI EI
311 1.379 10 cm/kgf
2 2
12 2
2
6 2
H HL Hf
EAL EI EI
22 2
2
3
H L Hf
EAL EI EI
j k j kjkf N N dx M M dx
922 6.8822 10 rad/cm kgf
612 0,3452 10 cm/cm kgf
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos27
Ejemplo. Condiciones de compatibilidad (2)
1
2
0
3
1 0.6880cm24
qL HD
EI
N=0
-qL/2 -qL/2qL
2/8
q
-D1
-D2
N=-1
H/L -H/L
H
H
H
1
N=0
1/L-1/L
11
1
1
33
2 1.376 10 rad24
qLD
EI
0 0j jjD N N dx M M dx
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos28
Ejemplo. Esfuerzos finales.
1
2
556 kg
227814 cm-kg
DX
B
X R
X M
0 1 2556 227814i i i iN N N N
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
f X f X D
f X f X D
0 1 2( ) ( ) 556 ( ) 227814 ( )M x M x M x M x
1 2 2
1 1
50154cm kg 227814cm kg
277968cm kg 277968cm kg
AB BA
CB CD
M HX X M X
M HX M HX
Momentos en las barras (positivo horario)
Momento en el centro del dintel (positivo tracciones abajo)
2
1 2
1 1247108cm kg
8 2 2E
qLM HX X
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos29
Ejemplo. Superposición de esfuerzos en los 1+h casos
N=0
-qL/2 -qL/2qL
2/8
q
A
B C
D
N=-1
H/L -H/L
H
H
H
1A
BC
D
N=0
1/L-1/L
11
1
1
X2=MB=1
A
B C
D
1 2
0
(x 556)
(x 227814)
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos30
Ejemplo. Resultados
N: -556
N:-1950 N: -2050
50154
227814
277968
2050
556
247108
277968227814
Energía acumulada (numéricamente)
Flexión: 202 cm-kg Axial: 5.2 cm-kg
Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos31