Sistemas y Circuitos 2© Francisco J. González, UC3M 2010
3.1 Elementos en Circuitos
Elementos de circuitos• Dos terminales
• Potencia (instantánea)
+
−
( )v t
( )i t
Dispositivo(R, L,C)
(Generador)
Si p(t)>0, el dispositivo consume
Si p(t)<0, el dispositivo genera
3 A+
−
5 V ( ) 15 Wp t =
+
−
3 A
5 V ( ) 15 Wp t = −
+
−3 A−
-5 V ( ) 15 Wp t = −
Consume Genera Genera
Tanto la tensión como la corriente son variables que tienen signo.
( ) ( ) ( )p t v t i t=+
−
( )v t
( )i t
Dispositivo(R, L,C)
(Generador)
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Signo en voltajes
¿Por qué un voltaje puede ser negativo?• Los voltímetros miden la diferencia de voltaje entre dos terminales.
− Si conectamos la pinza roja a un terminal y la negra a otra tendremos un determinado valor de voltaje.
− Si cambiamos de terminal las pinzas, observaremos que el voltaje ha cambiado de signo.
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Activos• Generadores ideales: mantienen su valor nominal
independientemente de lo que haya conectado a sus terminales− Tensión
− Corriente
3.1 Elementos en Circuitos
( )v t +
−
( )i t
+
−
5 V
2 A
5 A
2 A
Permitido No Permitido
+
−SV
Tanto la tensión como la corriente son variables que tienen signo.
constante
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Activos• Generadores dependientes:
− su valor nominal depende de otra magnitud en el circuito• Generadores de tensión dependientes de
• Generadores de corriente dependientes de
3.1 Elementos en Circuitos
( ) [V]xv tα +
−
( ) [A]si tβ
Tensión
( ) [V]yi tρ +
−
( ) [A]rv tμTensión
Corriente
Corriente
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3.1 Elementos en Circuitos
Pasivos• Relaciones tensión-corriente en
− Resistencias (ley de Ohm)
Tanto la tensión como la corriente son variables que tienen signo.
R
+
−
( )v t( )i t
( ) ( )v t Ri t=
R
+
−
R
+
−
5 V0.5 A10 Ω 10 Ω
0.5 A−5 V
+
−
5 V−0.5 A
10 Ω
10 Ω+
−
5 V0.5 A
( )( ) v ti tR
=
Sistemas y Circuitos 7© Francisco J. González, UC3M 20100 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000( )p t
Pasivos• Resistencias (ley de Ohm)
− Potencia
p(t)>0, » resistencias siempre consumen
3.1 Elementos en Circuitos
R
+
−
( )v t( )i t
( ) ( )v t Ri t=
( ) 220 2 sin(2 50 ) Vv t tπ= 10R = Ω
( )( ) 22 2 sin(2 50 ) Av ti t tR
π= =
22( )( ) ( ) ( ) ( ) [W]v tp t v t i t i t R
R= = =
Consume
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
( )v t
( )i t
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3.1 Elementos en Circuitos
Pasivos• Relaciones tensión-corriente en
− Bobinas
− Condensadores
( )( ) dv ti t Cdt
=
+
−
( )v t( )i t
C
+
−
( )v t( )i t ( )( ) di tv t L
dt=
L
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3.1 Elementos en Circuitos
Circuitos• Nodos (nudos), ramas, lazos y mallas
L2
L1
R2
R1
C4
C3
C2
C1
L3
+
−( )v t
Rama
Nodo
Malla
Lazo
Nodo esencial: punto donde se conectan tres o más elementos
Rama esencial:une dos nodos esenciales
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3.2 Resolución mediante Lemas Kirchhoff
Resolución de circuitos• Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en
cada nodoLey de Corrientes de Kirchhoff (LCK)• “La suma algebraica de todas las corrientes en un nodo es 0 A”
ai bidici
0a b c di i i i− − − = Corrientes entrantes (+)Corrientes de salida (-)
0a b c di i i i− + + + = Corrientes entrantes (-)Corrientes de salida (+)
a b c di i i i= + +Suma Corrientes entrantes = Suma Corrientes de salida
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3.2 Resolución mediante Lemas KirchhoffResolución de circuitos• Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en
cada nodoLey de Corrientes de Kirchhoff (LCK)• “La suma algebraica de todas las corrientes en un nodo es 0 A”
bI 12A16A−1A
12 16 1 0bI − + − = Corrientes entrantes (+)Corrientes de salida (-)
12 16 1 0bI− + − + = Corrientes entrantes (-)Corrientes de salida (+)
1 12 16bI = + −Suma Corrientes entrantes = Suma Corrientes de salida
¿ ?bI
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3.2 Resolución mediante Lemas Kirchhoff
Resolución de circuitos• Obtener los valores de la corriente en cada rama y/o del voltaje en
cada nodoLey de Voltajes (Tensiones) de Kirchhoff (LVK)• “La suma algebraica de todas las tensiones en un lazo es 0 V”
− El sentido en el que se recorre el lazo es arbitrario.
3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0L C L Cv t v t v t v t+ + − = Subidas tensión (+)Bajadas tensión (-)
Suma caídas tensión = Suma subidas de tensión
L2
L1
R2
C4
C2
C1
L3
+
−2 ( )Cv t
+
−
3( )Lv t
−
2 ( )Lv t+
+
−1( )Cv t
Subidas tensión (+)Bajadas tensión (-)3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0L C L Cv t v t v t v t− − − + =
1 3 2 2( ) ( ) ( ) ( )C L C Lv t v t v t v t= + +
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3.3 Circuitos resistivos
Resistencia equivalente• Serie:
− Ley de Tensiones de KirchhoffReq
1 21
N
eq N kk
R R R R R=
= + + + =∑
+ −
R2 RNR1 R3I
I
+ −+ + −−− +1 1V IR= 2 2V IR= 3V NV
( )1 21
N
k N eqk
V I R R R IR=
= + + + =∑
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3.3 Circuitos resistivos
Resistencia equivalente• Paralelo: Ley de Corrientes de Kirchhoff
− Paralelo de dos resistencias
Req
1 2 1
1 11 1 1 1eq N
N k k
R
R R R R=
= =+ + + ∑
R2R1 Req 1 2
1 2
1 2
11 1eq
R RRR R
R R
= =++
+
−
+
−V V
1 2
1 1 1
N eq
VVR R R R
⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
R2R1 R3 RN
I I
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3.3 Circuitos resistivos
Circuito divisor de tensión
R2
R1
+
−
V
+
−
2V
2
1 2
1RR R
⎛ ⎞≤⎜ ⎟+⎝ ⎠
22 2
1 2 1 2
RVV R VR R R R
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
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R2R1
3.3 Circuitos resistivos
Circuito divisor de corriente
I1 2I I I+ =
2
1 2
1RR R
⎛ ⎞≤⎜ ⎟+⎝ ⎠
1I 2I1 1 2 2I R I R=
11 1
2
RI I IR
+ =
21
1 2
RI IR R
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
1
1 2
1RR R
⎛ ⎞≤⎜ ⎟+⎝ ⎠
12
1 2
RI IR R
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
Sistemas y Circuitos 17© Francisco J. González, UC3M 2010
3.4 Resolución de circuitos
Método de las tensiones en nodos
R2 R4
R1 R3
+
−
( )v t( )i t
2. Elegir nodo de referencia (su voltaje relativo es 0 V)Generalmente, se elige aquel al que se conectan más ramas
1. Marcar y etiquetar los nodos esencialesa b
c
3. Definir voltajes en nodos respecto al nodo de referencia
av bv
+
4. Aplicar Ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo
+
−−Datos: ( ), ( ), 1, 2, 3, 4v t i t R R R R
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3.4 Resolución de circuitos
Método de las tensiones en nodos
R2 R4
R1 R3
+
−
VI
a b
c
4. Aplicar Ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo
av bv
++
−−
R2
R1 R3a
av
+
−
bv
+
−
V
+
−
3i
2i1i
1 2 3 0i i i− + =Nodo a:
11
aV viR−
= 22
aviR
= 33
b av viR−
=
1 2 3 3 1
1 1 1 1a b
Vv vR R R R R
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 ecuación, 2 incógnitas
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3.4 Resolución de circuitos
Método de las tensiones en nodos
R2 R4
R1 R3
+
−
VI
a b
c
4. Aplicar Ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo
av bv
++
−−
R4
R3 b
bv
+
−
av
+
−
I
4i3i
3 4 0I i i− − =Nodo b:
33
b av viR−
= 44
bviR
=
3 3 4
1 1 1a bv v I
R R R⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 ecuación, 2 incógnitas
Sistemas y Circuitos 20© Francisco J. González, UC3M 2010
3.4 Resolución de circuitos
Método de las tensiones en nodos
R2 R4
R1 R3
+
−
VI
a b
c
5. Resolver ecuacionesNº Ecuaciones = Nº nodos esenciales -1
av bv
++
−−
3 3 4
1 1 1a bv v I
R R R⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2 3 3 1
1 1 1 1a b
Vv vR R R R R
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Si conocemos va y vbconoceremos todas las tensiones y corrientes en el circuito
Sistemas y Circuitos 21© Francisco J. González, UC3M 2010
3.4 Resolución de circuitos
Método de las corrientes en mallas
R2 R4
R1 R3
+
−
( )v t( )i t
Datos: ( ), ( ), 1, 2, 3, 4v t i t R R R R
1. Marcar y etiquetar las mallas
Malla a Malla b Malla c
2. Definir corrientes de mallaSe elige arbitrariamente el sentido en el que circulan
3. Aplicar Ley de tensiones de Kirchhoff en cada malla
4. Resolver ecuaciones
Nº Ecuaciones = Nº Mallas
aI bI cI
Sistemas y Circuitos 22© Francisco J. González, UC3M 2010
3.4 Resolución de circuitos
Método de las corrientes en mallas
R2 R4
R1 R3
+
−
VI
3. Aplicar Ley de tensiones de Kirchhoff en cada malla
Datos: ( ), ( ), 1, 2, 3, 4v t i t R R R R
Malla a Malla b Malla c
aI bI cI
Malla a: ( )1 2 0a a bV I R I I R− + + − =
Malla b: ( ) ( )2 3 4 0b a b b cI I R I R I I R− + + − =
cMalla c: I I= −
1 2 2( )a bI R R I R V+ − =
( )2 2 3 4 4a bI R I R R R IR− + + + = −
2 ecuaciones, 2 incógnitas
4. Resolver ecuaciones
3 ecuaciones, 3 incógnitas
Sistemas y Circuitos 23© Francisco J. González, UC3M 2010
Transformación de generadores :• Procedimiento por el cual una fuente de tensión en serie con una
resistencia se transforma en un generador de corriente en paralelo con un resistencia.
• El comportamiento de ambos circuitos respecto de los terminales a y b es idéntico.
3.5 Transformación de generadores
+
Pendiente -RS
a
b
a
b
SR
SV
SV
SIPR
abv
i
abv
i
S S PV I R=
abv
i
Característica v-i
S PR R=
S
S
VR
Cortocircuito (vab=0)Circuito abierto (i=0)Pendiente -RP
Característica v-iabv
iS PI R
SI
Cortocircuito (vab=0)
Sistemas y Circuitos 24© Francisco J. González, UC3M 2010
3.6 Superposición
Linealidad en circuitos resisitivos
1 1 1i i i′ ′′= +
Anulamos el generador de corriente→ 0 A.⇔ circuito abierto Anulamos el generador de tensión→ 0 V ⇔ cortocircuito
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3.7 Equivalente de Thèvenin
Un circuito lineal conteniendo resistencias y generadores dependientes y/o independientes puede reemplazarse por un generador independiente de tensión en serie con una resistencia• Tensión y resistencia de Thèvenin
a
bLR
Circuito ATHR
THVi a
bLR+
−
Sistemas y Circuitos 26© Francisco J. González, UC3M 2010
3.7 Equivalente de Thèvenin
Un circuito conteniendo resistencias y generadores independientes y/o dependientes puede reemplazarse por un generador independiente de tensión en serie con una resistencia.
Procedimiento1.Calcular la tensión en circuito abierto: Vab = VTH2.Calcular la corriente en cortocircuito: Iab = ISC3.La resistencia deThèvenin es
a
bLR
Circuito ATHR
THV
a
b
+−
OCTH
SC
VRI
=
i
LRSCI
Sistemas y Circuitos 27© Francisco J. González, UC3M 2010
3.7 Equivalente de Norton
Un circuito lineal conteniendo resistencias y generadores dependientes y/o independientes puede reemplazarse por un generador independiente de corriente en paralelo con una resistencia• Corriente y resistencia de Norton
a
bLR
Circuito A
NINR
ia
bLR
Sistemas y Circuitos 28© Francisco J. González, UC3M 2010
3.7 Equivalente de Norton
Un circuito conteniendo resistencias y generadores independientes y/o dependientes puede reemplazarse por un generador independiente de corriente en paralelo con una resistencia.
Procedimiento1.Calcular la corriente en cortocircuito: ISC = IN2.Calcular la tensión en circuito abierto: VAB = IN RN3.La resistencia de Norton es OC
NN
VRI
=
a
bLR
Circuito A
NINR
ia
bLR
Sistemas y Circuitos 29© Francisco J. González, UC3M 2010
3.7 Equivalente Thèvenin
Máxima transferencia de potencia:• ¿Cuánto ha de valer RL para que la potencia que disipe sea
máxima?THR
THVi a
bLR+
−
2
L
THR L
TH L
VP RR R
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
LR
LRP
LR MAXP
,L MAXR0
Sistemas y Circuitos 30© Francisco J. González, UC3M 2010
3.7 Equivalente Thèvenin
Máxima transferencia de potencia:• ¿Cuánto ha de valer RL para que la potencia que disipe sea
máxima?THR
THVi a
bLR+
−
2
L
THR L
TH L
VP RR R
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
LR
LRP
THR
( ) ( )( )
22
4
2LR TH L L TH L
THL TH L
dP R R R R RV
dR R R
⎛ ⎞+ − += ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
i
0LR
L
dPdR
=
( ) ( )20 2 0LRTH L L TH L
L
dPR R R R R
dR= → + − + =i
0LRTH L
L
dPR R
dR= → =
0