Tema 3: Electrostática enpresencia de conductorespresencia de conductores
Antonio González Fernández
ánde
z Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
nzál
ez F
erná
P t 3/7
Anto
nio
Gon Parte 3/7
Coeficientes de capacidad
© 2
010,
A
p
¿Puede aplicarse algún tipo de superposición l bl d l t i l?
La solución del problema del
al problema del potencial?
La solución del problema del potencial sí puede escribirse como suma de soluciones 3
ρ1 31
El problema general consiste en resolver
222
ánde
z
consiste en resolver
Solución:2
0
nzál
ez F
erná
suponiendo Vk en cada superficie conductora Sk
combinación linealde soluciones base
00 k k
kV
Anto
nio
Gon
20
0
r
2 0
1k
kS
r
rGarantizado por el teorema de
© 2
010,
A
0
0 0 jS r2
1
0 ,k
kj
S
S j k
r
rel teorema de unicidad
Cálculo de la carga almacenada en un d tconductor
A menudo sólo se desea conocerA menudo sólo se desea conocer la carga de cada conductor
Se halla aplicando la ley deSe halla aplicando la ley de Gauss a una superficie que envuelva a cada uno
ánde
z
0 ·di iSQ E S
envuelva a cada uno
nzál
ez F
erná iS
En esta expresión, el campo
Anto
nio
Gon
En esta expresión, el campo eléctrico E es el total, suma del que produce cada conductor,
á
© 2
010,
A más el debido a ρ3
Cálculo de la carga a partir de la bi ió d f icombinación de funciones
Sustituyendo la solución del potencial queda
0 ·i iSQ d E S0 ·i iSQ d S0 0 ·i k k iSQ V d
S 0 0 0· ·i i k k iS S
Q d V d S S 0i i k ikQ Q V C
Sustituyendo la solución del potencial queda
0i i ik kQ Q C V iS0 i
i iS0 0i
i k k iSk
i iS S
k
k
d
k
ánde
z
Qi0: es la carga
0 0 0·di
i iSQ S
Cik es la carga que habría en el
0 ·di
ik k iSC S
nzál
ez F
erná
i0inducida por la carga de volumen
conductor i, cuando el k está a potencial unidad y el resto a tierra
Anto
nio
Gon
Los C son los coeficientesde capacidad (si i = k)
© 2
010,
A Los Cik son los coeficientes…
4de inducción (si i ≠ k)
Coeficientes de capacidad e inducción: i d d bá ipropiedades básicas
Q Q VC E f t i i l 0 · Q Q VC
1 10 11 12 1 1NQ Q C C C V
0 ·di
ik k iSC SEn forma matricial
1 10 11 12 1 1
2 20 21 22 2 2·
N
N
Q QQ Q C C C V
La matriz es simétrica
ánde
z 0 1 2N N N N NN NQ Q C C C V
ik kiC C
nzál
ez F
erná
Se miden en C/V = F(aradios) Se usan más los μF, nF y pF
L fi i t C i d di t d l lt j
Anto
nio
Gon Los coeficientes Cik son independientes de los voltajes
aplicados: dependen solo de la geometría de los conductores
© 2
010,
A
5Pueden calcularse suponiendo unos Vk arbitrarios
Aplicación de los coeficientes de id d l d l d tcapacidad al caso de un solo conductor
La carga vale:
1 11 1Q C VQ C VSÓLO VÁLIDA
PARA UN SOLO CONDUCTOR
La carga vale:
CONDUCTOR
el campo vaSi V > 0
ánde
z Q > 0 C= Q/V > 0el campo va hacia afuera
nzál
ez F
erná
Un solo conductor a
C se conoce como capacidad del conductor
Anto
nio
Gon
Un solo conductor, a tensión V, sin carga de volumen (ρ=0)
No debe confundirse con la capacidad de un condensador
© 2
010,
A
Se mide en faradios, aunque es siempre muy pequeña
capacidad de un condensador
6
Cálculo de la capacidad de una esfera d tconductora
Sea una esfera metálica aSea una esfera metálica a potencial V0. No hay más carga ni más conductores en el sistema
ánde
z Potencial0 ( )V r R
Campo( )r R
0
nzál
ez F
erná 0
0
( )
( )V R r Rr
02
( )
( )rV R r Rr
Eu
Anto
nio
Gon
CapacidadCargaPara la Tierra (RT = 6370 km)
© 2
010,
A
704QC R
V 0 0 0·d 4
SQ RV E S
T vale C = 0.71mF
Coeficientes de capacidad en un i t d d d tsistema de dos conductores
En ausencia de densidad deEn ausencia de densidad de carga de volumen queda
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
Q C V C VQ C V C V
12 21C C
ánde
z
2 21 1 22 2
á á
nzál
ez F
erná Si hay más de un conductor
V = 0 NO implica Q = 0Si hay más de un conductor Q = 0 NO implica V = 0
Anto
nio
Gon
1 12 2 0Q C V 12 21 0C VV
C Si V1=0 Si Q1=0
© 2
010,
A 11C
8
Coeficientes de capacidad en un sistema de d d t i d ddos conductores: propiedades
Si V1=V0 > 0 y V2=0Si V1 V0 > 0 y V2 0
El campo va del 1 al 21
2
11 0 1·d 0
SQ E S C11 > 0
1
ánde
z
En el mismo caso2
nzál
ez F
erná
22 0 2·d 0
SQ E S
1
Anto
nio
Gon
L fi i di l C
C21 = C12 < 0
L fi i di l
© 2
010,
A
9
Los coeficientes diagonales C11y C22 son siempre positivos
Los coeficientes no diagonales C12 y C21 son negativos
Conductores en influencia total: d fi i ió i d ddefinición y propiedades
Cuando todas las líneas delCuando todas las líneas del conductor 1 van a parar al 2, sea cual sea el voltaje, se dice que el 1 está en influencia total con el 2
Ocurre cuando el 1 está dentro del
ánde
z
Ocurre cuando el 1 está dentro del 2 y no hay nada más en el hueco
Si V V V 0 seEn este caso, el
nzál
ez F
ernáSi V1 = V, V2 = 0, se
cumple que Q2 = –Q1C21 = –C11
conductor 2 actúa como una Jaula de Faraday:
Anto
nio
Gon No es recíproco.
No se cumple que C22 = – C12( l 2 á i fl i
El exterior de 2 no percibe
El hueco no percibe el
© 2
010,
A
10
(el 2 no está en influencia total con el 1)
el huecopexterior de 2
Procedimiento de cálculo de los fi i t d id dcoeficientes de capacidad
Para hallar los Cik de un sistema ikhay dos caminos:
1) Suponer Vk = V0 V = 0 (j ≠ k)1) Suponer Vk V0, Vj 0 (j ≠ k)
1 1 0kQ C V Se repite para k=1,…N
ánde
z
Permite hallar las columnas de C, 1 a 1
2 2 0kQ C V
nzál
ez F
erná
0N NkQ C V Más fácil Más largo2) Suponer Vk ≠ 0 (k)
Q C V C V
Anto
nio
Gon Permite hallar todo C a la vez,
identificando cada coeficiente
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
Q C V C VQ C V C V
© 2
010,
A
111 1 2 2N N NQ C V C V
Más difícilMás rápido
Coeficientes de capacidad para dos f é t i 1ª lesferas concéntricas: 1ª columna
Si V1 = V0, V2=0 La superficie S1 solo 1 0, 2
4 b
p 1contiene la carga de la esfera interior
1
01 0 1 1 0
4·dS
abQ Vb a
E S
011
4 abC
ánde
z
La superficie exterior contiene la carga de las dos esferas1 1abV
11Cb a
nzál
ez F
erná las dos esferas
21 2 0 1 2·d 0
SQ Q E S
0
1
1 1
0
abV a r bb a r b
r b
Anto
nio
Gon
02 1 0
4 abQ Q Vb a
0
2 rabV a r b
b a r
uE
© 2
010,
A
12
1 1
b a r
r b
E
00
21 114 abC Cb a
Influencia total
Coeficientes de capacidad para dos f é t i 2ª lesferas concéntricas: 2ª columna
Si V2 = V0, V1=0 La superficie S1 solo 2 0, 1 p 1contiene la carga de la esfera interior
4 b
L fi i t i
1
01 0 2 1 0
4·dS
abQ Vb a
E S
ánde
z
La superficie exterior contiene la carga de las dos esferas0 1 1abV a r b
nzál
ez F
erná
2
0
b a a r
V b r br
21 2 0 2 2 0 0·d 4
SQ Q bV E S
Anto
nio
Gon
02 0 0 0
44 abQ bV Vb a
r
0
2 rabV a r b
b a r
u
E
012 21
4 abC Cb a
© 2
010,
A
13
2 2
02 r
V b r br
E
u2
022 12
4 bC Cb a
No hay Influencia total
Coeficientes de capacidad para dos f é t iesferas concéntricas: resumen
Resulta la matriz Simétrica
04 a ab C
Elementos diagonales positivos
b a a b
CElementos no diagonales negativos
ánde
z
El 1 está en influencia total con el 2
En un caso general Si lo que se conoce son las cargas pueden
nzál
ez F
erná
1 Q Q
En un caso general las cargas en cada conductor serán
Si lo que se conoce son las cargas pueden calcularse los potenciales despejando
1V QCM t i i l
Anto
nio
Gon
01 1 2
4 baQ V Vb a
1 21
0
14
Q QVa b
Q Q
conductor serán
11 11 a b
C
1·V QCMatricial:
© 2
010,
A
02 2 1
4 bQ bV aVb a
1 22
04Q QV
b
14
04 1 1b b
C
Propiedades de los sistemas de N d tconductores
En un problema general, en p g ,ausencia de carga de volumen tenemos las relaciones matriciales
Q C C C V
·Q VC 1·V QC
ánde
z
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2·
N
N
Q C C C VQ C C C V
nzál
ez F
erná
1 2N N N NN NQ C C C V
Simétrica: Cik = Cki
Elementos diagonales
Anto
nio
Gon Elementos diagonales
positivos: Cii > 0
Elementos no diagonales
Cik = 0 cuando i y kestán apantallados por
Ej.:C14 = 0
© 2
010,
A
15
Elementos no diagonales negativos o nulos: Cik ≤ 0 (i≠k)
p pun tercer conductor
14C24 = 0
Ejemplo: sistema de 4 conductores é igenérico
Calculando la matriz aproximadaCalculando la matriz aproximada por el método de elementos finitos (con un error inferior al 1%)
0
9.086 9.090 0.000 0.0009.088 15.945 1.565 1.752
C
C
ánde
z
0 0.000 1.549 3.669 1.3160.000 1.759 1.336 4.067
C
C
Cii > 0
nzál
ez F
erná
C0 es una cantidad que depende de la escala y de ε0
El conductor 1 está en influencia total con el 2:
Cik ≤ 0 (i≠k)
Anto
nio
Gon El conductor 1 está en influencia total con el 2:
C CNo puede haber líneas que vayan del 1 al 3 o al 4 Por
Análogamente, C13 = 0, C14 = 0 ya que no hay líneas del
© 2
010,
A
16
C11 = –C12 vayan del 1 al 3 o al 4. Por tanto C31 = 0, C41 = 0.
0, ya que no hay líneas del 3 al 1, o del 4 al 1.
Sevilla diciembre de 2010
ánde
z
Sevilla, diciembre de 2010
nzál
ez F
erná
Anto
nio
Gon
© 2
010,
A
17