REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN SAN FELIPE
LICENCIADO JULIO BARRETO 1 MATEMÁTICA IV
TEMA II
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN
ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES (SIGLOS XVII Y XVIII)
Las ecuaciones diferenciales se originan en los principios del cálculo, con Isaac Newton y Gottfried
Wilheln Leibnitz en el siglo XVII. Newton clasificó las ecuaciones de primer orden de acuerdo con
las formas ),(),( yfdx
dyxf
dx
dy y ., yxf
dx
dy En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecua-
ción:
2
2
1yydy
Descubrió el método de separación de variables, así como procedimientos para resolver las ecuacio-
nes homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales de primer orden. A Newton y Leibnitz, si-
guieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y Daniel. Con ayuda del cálculo formularon y resolvie-
ron las ecuaciones diferenciales de muchos problemas de mecánica. Entre ellos el de la braquistócro-
ma que conduce a las ecuaciones no lineal de primer orden .2
cyay
En aquel tiempo, pasar de la ecuación 2
1
322
3
ayb
ay a la forma diferencial y, entonces,
afirmar que las integrales en ambos lados de la ecuación debían ser iguales, excepto por una constan-
te, constituyó ciertamente un avance trascendental. Así por ejemplo, mientras Johann sabía que
)1(1 paxddxax pp no era para p = -1 no sabía que )(ln xdxdx . Sin embargo, pudo
demostrar que la ecuación ,ax
y
dx
dy que podemos resolver escribiéndola como ,
x
dx
y
dya tiene
la solución .cx
ya
A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati, matemático italiano, consideró
ecuaciones de la forma 0,, yyyf .
Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de problemas de la mecánica y su desarrollo de
métodos de solución para estos problemas matemáticos. También, mediante un cambio adecuado de
variables, redujo ecuaciones de segundo orden a ecuaciones de primer orden; Creó el concepto de fac-
tor integrante; en 1739 dio un tratamiento general a las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
con coeficientes constantes; contribuyó al método de las soluciones en series de potencias y dio un
procedimiento numérico para resolver las ecuaciones diferenciales. Posteriormente en el siglo XVIII,
los grandes matemáticos franceses Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) y Pierre-Simon Laplace
(1749-1827) hicieron importantes aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias
y, además, dieron por primera vez un tratamiento a las ecuaciones diferenciales parciales.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN CORTE III
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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES: CASO
HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
0)()()( tcytybtya
Para resolverla, se deben hallar las soluciones de la ecuación característica:
02 cba
De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, se obtienen tres casos:
CASO 1: 21 , raíces reales y distintas. La solución de la EDO es:
tt eCeCty 21
21)(
CASO 2: 21 , raíces reales e iguales. La solución de la EDO es:
tt teCeCty
21)(
CASO 3: ii 21 , , raíces complejas conjugadas. La solución de la EDO es:
tt eCeCty 21
21)( (Solución compleja)
teCteCty tt sencos)( 21 (Solución real)
Vemos que en cada uno de estos casos existe un espacio de soluciones, resultante de la combinación
lineal de dos funciones. El conjunto de estas dos funciones se conoce como base de soluciones de la
EDO homogénea.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES: CASO NO
HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
)()()()( tftcytybtya
Para resolverla, se debe hallar primero la solución de la ecuación homogénea asociada:
0)()()( tcytybtya
Y la solución es de la forma: )(*)()( tytyty c ,
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN CORTE III
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Donde yc es la solución de la homogénea asociada, y y* es una solución particular del problema no
homogéneo que se obtiene a partir de un método adecuado (ver más abajo).
EJEMPLOS:
1. Resuelva 065 yyy
Solución: L a ecuación auxiliar es: ,0652 luego, aplicamos la resolvente de la ecuación
cuadrática: Con 5,1 ba y :6c
2
15
2
15
2
24255
12
614552
Luego, las raíces reales son distintas:
32
6
2
151
y 2
2
4
2
151
Entonces, la solución es:
tt eCeCty 2
2
3
11)(
2. Resuelva 044 yyy
Solución: L a ecuación auxiliar es: ,0442 luego, aplicamos la resolvente de la ecuación
cuadrática: Con 4,1 ba y :4c
22
4
2
04
2
04
2
16164
12
414442
Luego, las raíces reales son iguales:
21 y 21
Es decir,
2
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN CORTE III
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Entonces, la solución es:
tt teCeCty 2
2
2
1)(
3. Resuelva 074 yyy
Solución: L a ecuación auxiliar es: ,0742 luego, aplicamos la resolvente de la ecuación
cuadrática: Con 4,1 ba y :7c
i
iii32
2
322
2
324
2
344
2
1344
2
1124
2
124
2
28164
12
714442
Luego:
i321 y i321
Es decir,
La parte real es 2 y la parte imaginaria es .3
Entonces, la solución es:
xsenCxCey x 33cos 21
2
EJERCICIOS: Resuelva
a) 0245 yyy
b) 08118 yyy
c) 0 yyy
d) Generalice en caso de las ecuaciones diferenciales lineales.
e) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. 0542
2
3
3
dx
dy
dx
yd
dx
yd
2. 04 yy
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SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A COEFI-
CIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Este método se aplica cuando la función f(t) es una combinación lineal de productos (finitos) de fun-
ciones tales que derivadas den el mismo tipo de función. Son ellas:
polinomios en t
función exponencial eht
combinaciones lineales de cos(t) y sen(t).
Para resolverla, se usa una función de prueba que es una combinación lineal del mismo tipo de fun-
ciones, cuyos coeficientes se determinarán reemplazándola en la EDO.
El caso más general es: )sen()()cos()()( ttqttpetf ht
Donde h, 0 y p(t), q(t) polinomios de grado n. La función de prueba general es:
)sen()()cos()()(* 121121 ttltllttktkkety n
n
n
n
ht ,
Donde k, l son los coeficientes a determinar. Si h + i es raíz de la homogénea asociada (lo que ocu-
rre cuando esta función de prueba es solución del problema homogéneo), y*(t) debe multiplicarse por
t.
SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A COEFI-
CIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS
Es un método más general, y válido aun cuando los coeficientes de la EDO no sean constantes, sino
funciones. En este caso la solución particular toma la forma:
2211* yvyvy
Donde v1 y v2 se obtienen del sistema:
a
tfyvyv
yvyv
)(
0
2211
2211
Donde y1 y y2 son las funciones de la base de soluciones de la EDO homogénea asociada. Estas fun-
ciones deben ser linealmente independientes, para lo cual deben cumplir con la condición:
021
21
yy
yyW
Esto es, su determinante Wronskiano no debe ser idénticamente nulo.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN CORTE III
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PROBLEMAS RESUELTOS
1.) VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS. La posición y la aceleración, en función del tiempo, de
una masa puntual moviéndose unidimensionalmente, vienen relacionadas por la ecuación diferencial
0tg)()( ttatx (unidades mks)
Determinar la ecuación del movimiento (posición en función del tiempo) de la partícula si la misma
parte del origen con una velocidad de 3 m/s.
SOLUCIÓN: Expresando la aceleración como la derivada segunda de la posición y reordenando la
ecuación tenemos:
ttxtx tg)()(
Hallemos primero la solución de la ecuación homogénea asociada. Es ésta:
0)()( txtx
La ecuación característica es:
tCtCxi c sencos01 21
2
Ahora debemos hallar una solución particular del problema no homogéneo. Vemos que, por el tipo de
función excitación, deberemos usar En vista de la base de soluciones del problema homogéneo halla-
das, será: tvtvx sencos* 21
Hallemos ahora v1 y v2:
ttvttv
tvttv
t
tttvtv
tvtvt
t
sencoscossen
0sensencos
cos
sentgcossen
0sencos
2
21
2
21
cospor abajoy senpor arriba ndomultiplica
21
21
Si ahora sumamos las dos ecuaciones de este último sistema tendremos.
tttvt
tt
t
t
tvtttvtvtv
tgsec logsencos
1cos
cos
cos1
cos
sen0sensencoscossen
1
tablas
2
2
1
3
1
ecuación primera
laen emplazandoRe
22
Con las funciones v1 y v2 así obtenidas podemos escribir:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN CORTE III
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ttttttttttvtvx costgseclogsencoscostgseclogsensencos* 21
Con lo cual la solución general del problema no homogéneo es:
ttttCtCxxx c costgseclogsencos* 21
Las condiciones iniciales indican que cuando t es 0, x = 0 y v = 3. De esta manera, podemos escribir:
2310sen0tg0seclog10cos0sen)0()0(
00cos0tg0seclog0sen0cos)0(
2221
121
CCCCxv
CCCx
Con estos valores de la constante tenemos, finalmente: ttttx costgseclogsen2
Que es la solución al problema de valores iniciales planteado.
2.) COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resolver el problema de valores iniciales:
0)0()0(
cos)(2)(2)(
xx
tetxtxtx t
SOLUCIÓN: Primero resolvemos la ecuación homogénea asociada. La ecuación característica será:
teCteCxi tt
c sencos12
21422022 21
22
Ahora nos toca hallar la solución particular del problema no homogéneo. Vemos que la función exci-
tación es un producto de una exponencial por un coseno, por lo cual podemos intentar hallar la solu-
ción particular por el método de los coeficientes indeterminados. La función excitación es e-tcost, de
modo que normalmente propondríamos como función de prueba una combinación lineal de senos y
cosenos, Ae-tcost + Be
-tcost. Sin embargo, en este caso particular ésta sería una solución del problema
homogéneo, por lo cual debemos multiplicarla por la variable t. Obtenemos así:
tBtetBetBetAtetAetAe
tBtetBte
tBetBtetBtetBetBetBetAte
tAtetAetAtetAtetAetAetAetx
tBtetBtetBetAtetAtetAetx
tBtetAtetx
tttttt
tt
ttttttt
ttttttt
tttttt
tt
cos2cos2sen2sen2sen2cos2
sencos
coscossensencossencos
sensensencoscossencos)(
cossensensencoscos)(
sencos)(
Con estas expresiones podemos reemplazar en la EDO del enunciado y obtener:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN CORTE III
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21
excitaciónfunción
lacon igualando
,0coscos2sen2sen2
cos2cos2sen2sen2sen2cos2cos2
cos2cos2sen2sen2sen2cos222
BAtetBetAetBte
tAtetBtetBtetBetAtetAtetAe
tBtetBetBetAtetAetAexxx
tttt
ttttttt
tttttt
De modo que una solución particular al problema no homogéneo será:
tteteCteCtxtxtxttetx ttt
c
t sensencos)(*)()(sen)(*21
2121
Queda como ejercicio para el lector deducir a partir de las condiciones iniciales que las constantes de-
ben ser nulas y obtener que ttetx t sen)(21 .
Como se ve, este método puede requerir derivaciones algo complicadas.
3.) SISTEMA MASA-RESORTE. Un sistema masa-resorte está caracterizado por los siguientes va-
lores: masa m = 0,2; constante del resorte k = 80; constante de amortiguamiento h = 2. Si se aplica
una excitación F(t) = 2cos30t, obtener el estado estacionario de la respuesta, expresándolo en la forma
x(t) = Acos(t - ).
SOLUCIÓN: El cuerpo se mueve bajo la acción de 3 fuerzas: F, la del resorte y la del amortiguador. La
del resorte es proporcional y de signo contrario al desplazamiento, mientras que la de amortiguación
es proporcional y de signo contrario a la velocidad. En otras palabras:
i
oramortiguadresortei hvkxFhvkxFFFFF )()(
Por otro lado, y según la segunda ley de Newton, esta sumatoria debe ser igual a la masa por la acele-
ración. Si además tenemos en cuenta que la velocidad y la aceleración son la derivada primera y se-
gunda de la posición, tendremos:
txxxFkxxhxmFkxhvmamahvkxF 30cos28022,0
datos
Esta última es una EDO de 2º orden a coeficientes constantes, no homogénea. Para resolverla, prime-
ro encaramos el problema homogéneo. Planteando la ecuación característica y resolviendo tenemos:
teCteCxi tt
c 375sen375cos37554,0
802,0422 5
2
5
1
2
Ahora buscaremos una solución particular del problema no homogéneo. Vemos que la función excita-
ción es cosenoidal, y por ende usaremos como función de prueba una combinación lineal de senos y
cosenos.
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ttxB
A
BA
BA
ttFtBAtBAtB
tAtBtAtBtAxxx
tBtAx
tBtAx
tBtAx
30sen30cos*010060
260100
30cos2)(30sen)10060(30cos)60100(30sen80
30cos8030cos6030sen6030sen18030cos180*80*2*2,0
30sen90030cos900*
30cos3030sen30*
30sen30cos*
3403
3405
3403
3405
De modo que la solución general del problema no homogéneo será:
ttteCteCxxx tt
c 30sen30cos375sen375cos*3403
34055
2
5
1
En el estado estacionario, para tiempos muy grandes, los dos primeros términos tienden a 0 y pode-
mos escribir:
ttx 30sen30cos3403
3405
est
La manera normal de expresar un movimiento oscilatorio de este tipo es de la forma x(t) = Acos(t -
). Si aplicamos la identidad trigonométrica del coseno de una suma, tendremos:
01716,06,2cos
6,2tgtg
sen
cos
30
30sen30cossensencoscos)cos(
3405
531
53
2a. lacon 3a. la m.a.m. dividiendo
3403
3405
3403
3405
caso nuestroen
A
A
A
tttAtAtA
De modo que finalmente podemos escribir:
xest = 0,01716cos(30t - 2,6)
Nótese que A, la amplitud del movimiento, es siempre un valor positivo. Por eso elegimos un tal que
su coseno fuera negativo, de modo que al despejar A nos diera un número positivo.
4.) CIRCUITO ELÉCTRICO. Hallar la corriente que circula en un circuito serie RLC, sabiendo que
R = 120 , L = 10 H, C = 10-3
F si la fuerza electromotriz viene dada por E(t) = 17sen2t V, y si la in-
tensidad cumple las condiciones i(0) = 0, 201)0( i . Hallar asimismo la corriente en estado estacio-
nario.
SOLUCIÓN: La intensidad es la derivada de la carga eléctrica Q. Genéricamente se puede escribir para
un circuito RLC:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN CORTE III
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tQt
Q
t
QtEQ
Ct
QR
t
QL 2sen17100012010)(
12
2
problema nuestroen
2
2
Ésta es una típica ecuación de 2º orden a coeficientes constantes. Hallamos primero la solución gene-
ral del problema homogéneo y luego le sumamos una solución particular del problema no homogé-
neo. Para lo primero planteamos:
teCteCQi tt
c 8sen8cos8620
1000104120120 6
2
6
1
2
Para la solución particular del problema no homogéneo, podemos usar una función de prueba:
ttQB
A
BA
BAt
tBAtBAtBtA
tBtAtBtAQQQ
tBtAQ
tBtAQ
tBtAQ
2cos2sen*0960240
172409602sen17
2cos)960240(2sen)240960(2cos10002sen1000
2sen2402cos2402cos402sen40*1000*120*10
2cos42sen4*
2sen22cos2*
2cos2sen*
2401
601
2401
601
problema esteen
De modo que la solución general del problema no homogéneo es:
ttteCteCQQQ tt
c 2cos2sen8sen8cos*2401
6016
2
6
1
Introduciendo las condiciones iniciales es:
301
21301
21
1201
30166
2
66
1
860)0(86)0(
2sen2cos)8cos88sen6()8sen88cos6(
CCiCCQ
ttteteCteteCQ tttt
Similarmente,
151
21201
601
21
601
151666
6
2
6666
1
9618)0(9618)0(
2cos2sen)8sen648cos488cos48
8sen36()8cos648sen488sen488cos36(
CCiCCQ
tttetete
teCteteteteCQ
ttt
ttttt
Reuniendo los dos últimos resultados, podemos escribir:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN CORTE III
LICENCIADO JULIO BARRETO 11 MATEMÁTICA IV
13507
1
36001
2
151
21
301
21
9618
86
C
C
CC
CC
De modo que la corriente que circula por el circuito vendrá dada por:
ttteteQQQ tt
c 2cos2sen8sen8cos*2401
6016
360016
13507
La corriente en estado estacionario vendrá dada por los dos últimos términos de esta expresión.
ANEXO
I.- FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Un conjunto de n funciones {y1(x), y2(x),...,yn(x)} es linealmente independiente (L.I.) en un interva-
lo (a,b) si y sólo si para cualquier x perteneciente al intervalo se cumple que la única combinación li-
neal de las n funciones que da la función nula es la que tiene todos los coeficientes iguales a cero.
En símbolos:
y x y x yn x es L I x a b ci yi xi
nci para i n1 2 1
0 0 12; ; ; . . , : , { , ,... }
II.-WRONSKIANO
Wronskiano de un conjunto de n funciones {y1(x), y2(x),..., yn(x)}, derivables hasta el orden (n-1), es
el determinante de la matriz formada por las funciones y sus (n -1) primeras derivadas
W(y1,....,yn) =
y y y
y y y
y y y
n
n
n nnn
1 2
1 2
11
21 1
' ' '
( ) ( ) ( )
III.- TEOREMA
Si el wronskiano de n funciones es no nulo para todo x perteneciente al intervalo (a,b) entonces las n
funciones son L.I en ( a,b).
En efecto:
Planteemos una combinación lineal nula de las n funciones. Debemos probar que los coeficientes de
tal combinación sólo pueden ser “0”.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN CORTE III
LICENCIADO JULIO BARRETO 12 MATEMÁTICA IV
Para hallar los n coeficientes debemos formar u sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Para ello
derivamos la combinación lineal (n-1) veces:
0
0
0
11
22
1
1
2211
2211
1 = y+ ...+Cy + C yC
= y' +...+C y' + C y'C
= y +...+C y + C yC
) (n-
nn
) (n-)(n-
nn
nn
Éste, para cada valor de x, es un sistema lineal y homogéneo respecto de las incógnitas C1, C2,...,Cn.
El determinante de los coeficientes es, para cada valor de x, el wronskiano de las n funciones, que por
hipótesis es distinto de cero. Por lo tanto el sistema tiene solución única que es la trivial. Es decir, los
Ci son nulos, para cualquier i, y las funciones resultan linealmente independientes.
IV.-ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN.
Responden a la forma:
ao(x).y” + a1(x). y’ + a2(x).y = Q(x) con ai(x) continuas.
Si los ai son constantes, la ecuación se llama ecuación diferencial de segundo orden lineal con co-
eficientes constantes.
Si Q(x) = 0, se dice que es homogénea o con segundo miembro nulo o reducida.
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos eléctricos, al
balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la programación lineal.
Colección de Universitaria. (1). https://www.createspace.com/5230822
Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición. McGraw-Hill, Méxi-
co.
Edminister, J. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios Schaum, McGraw-
Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.
Tom, A. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con apli-
caciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté.
Porteles, A. (2000). Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. UPEL-IPB.
Zill, D. (1983). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Editorial Thomson.
6ta. Ed.