Tema ii ecuciones diferenciales de segundo orden matematica iv uts

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

EXTENSIÓN SAN FELIPE

LICENCIADO JULIO BARRETO 1 MATEMÁTICA IV

TEMA II

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN

ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES (SIGLOS XVII Y XVIII)

Las ecuaciones diferenciales se originan en los principios del cálculo, con Isaac Newton y Gottfried

Wilheln Leibnitz en el siglo XVII. Newton clasificó las ecuaciones de primer orden de acuerdo con

las formas ),(),( yfdx

dyxf

dx

dy y ., yxf

dx

dy En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecua-

ción:

2

2

1yydy

Descubrió el método de separación de variables, así como procedimientos para resolver las ecuacio-

nes homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales de primer orden. A Newton y Leibnitz, si-

guieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y Daniel. Con ayuda del cálculo formularon y resolvie-

ron las ecuaciones diferenciales de muchos problemas de mecánica. Entre ellos el de la braquistócro-

ma que conduce a las ecuaciones no lineal de primer orden .2

cyay

En aquel tiempo, pasar de la ecuación 2

1

322

3

ayb

ay a la forma diferencial y, entonces,

afirmar que las integrales en ambos lados de la ecuación debían ser iguales, excepto por una constan-

te, constituyó ciertamente un avance trascendental. Así por ejemplo, mientras Johann sabía que

)1(1 paxddxax pp no era para p = -1 no sabía que )(ln xdxdx . Sin embargo, pudo

demostrar que la ecuación ,ax

y

dx

dy que podemos resolver escribiéndola como ,

x

dx

y

dya tiene

la solución .cx

ya

A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati, matemático italiano, consideró

ecuaciones de la forma 0,, yyyf .

Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de problemas de la mecánica y su desarrollo de

métodos de solución para estos problemas matemáticos. También, mediante un cambio adecuado de

variables, redujo ecuaciones de segundo orden a ecuaciones de primer orden; Creó el concepto de fac-

tor integrante; en 1739 dio un tratamiento general a las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias

con coeficientes constantes; contribuyó al método de las soluciones en series de potencias y dio un

procedimiento numérico para resolver las ecuaciones diferenciales. Posteriormente en el siglo XVIII,

los grandes matemáticos franceses Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) y Pierre-Simon Laplace

(1749-1827) hicieron importantes aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias

y, además, dieron por primera vez un tratamiento a las ecuaciones diferenciales parciales.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN CORTE III


SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES: CASO

HOMOGÉNEO

La forma general de esta ecuación es:

0)()()( tcytybtya

Para resolverla, se deben hallar las soluciones de la ecuación característica:

02 cba

De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, se obtienen tres casos:

CASO 1: 21 , raíces reales y distintas. La solución de la EDO es:

tt eCeCty 21

21)(

CASO 2: 21 , raíces reales e iguales. La solución de la EDO es:

tt teCeCty

21)(

CASO 3: ii 21 , , raíces complejas conjugadas. La solución de la EDO es:

tt eCeCty 21

21)( (Solución compleja)

teCteCty tt sencos)( 21 (Solución real)

Vemos que en cada uno de estos casos existe un espacio de soluciones, resultante de la combinación

lineal de dos funciones. El conjunto de estas dos funciones se conoce como base de soluciones de la

EDO homogénea.

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES: CASO NO

HOMOGÉNEO

La forma general de esta ecuación es:

)()()()( tftcytybtya

Para resolverla, se debe hallar primero la solución de la ecuación homogénea asociada:

0)()()( tcytybtya

Y la solución es de la forma: )(*)()( tytyty c ,



Donde yc es la solución de la homogénea asociada, y y* es una solución particular del problema no

homogéneo que se obtiene a partir de un método adecuado (ver más abajo).

EJEMPLOS:

1. Resuelva 065 yyy

Solución: L a ecuación auxiliar es: ,0652 luego, aplicamos la resolvente de la ecuación

cuadrática: Con 5,1 ba y :6c

2

15

2

15

2

24255

12

614552

Luego, las raíces reales son distintas:

32

6

2

151

y 2

2

4

2

151

Entonces, la solución es:

tt eCeCty 2

2

3

11)(

2. Resuelva 044 yyy



22

4

2

04

2

04

2

16164

12

414442

Luego, las raíces reales son iguales:

21 y 21

Es decir,

2




tt teCeCty 2

2

2

1)(

3. Resuelva 074 yyy



i

iii32

2

322

2

324

2

344

2

1344

2

1124

2

124

2

28164

12

714442

Luego:

i321 y i321

Es decir,

La parte real es 2 y la parte imaginaria es .3


xsenCxCey x 33cos 21

2

EJERCICIOS: Resuelva

a) 0245 yyy

b) 08118 yyy

c) 0 yyy

d) Generalice en caso de las ecuaciones diferenciales lineales.

e) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. 0542

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

2. 04 yy



SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A COEFI-

CIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

Este método se aplica cuando la función f(t) es una combinación lineal de productos (finitos) de fun-

ciones tales que derivadas den el mismo tipo de función. Son ellas:

polinomios en t

función exponencial eht

combinaciones lineales de cos(t) y sen(t).

Para resolverla, se usa una función de prueba que es una combinación lineal del mismo tipo de fun-

ciones, cuyos coeficientes se determinarán reemplazándola en la EDO.

El caso más general es: )sen()()cos()()( ttqttpetf ht

Donde h, 0 y p(t), q(t) polinomios de grado n. La función de prueba general es:

)sen()()cos()()(* 121121 ttltllttktkkety n

n

n

n

ht ,

Donde k, l son los coeficientes a determinar. Si h + i es raíz de la homogénea asociada (lo que ocu-

rre cuando esta función de prueba es solución del problema homogéneo), y*(t) debe multiplicarse por

t.

SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A COEFI-

CIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS

Es un método más general, y válido aun cuando los coeficientes de la EDO no sean constantes, sino

funciones. En este caso la solución particular toma la forma:

2211* yvyvy

Donde v1 y v2 se obtienen del sistema:

a

tfyvyv

yvyv

)(

0

2211

2211

Donde y1 y y2 son las funciones de la base de soluciones de la EDO homogénea asociada. Estas fun-

ciones deben ser linealmente independientes, para lo cual deben cumplir con la condición:

021

21

yy

yyW

Esto es, su determinante Wronskiano no debe ser idénticamente nulo.



PROBLEMAS RESUELTOS

1.) VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS. La posición y la aceleración, en función del tiempo, de

una masa puntual moviéndose unidimensionalmente, vienen relacionadas por la ecuación diferencial

0tg)()( ttatx (unidades mks)

Determinar la ecuación del movimiento (posición en función del tiempo) de la partícula si la misma

parte del origen con una velocidad de 3 m/s.

SOLUCIÓN: Expresando la aceleración como la derivada segunda de la posición y reordenando la

ecuación tenemos:

ttxtx tg)()(

Hallemos primero la solución de la ecuación homogénea asociada. Es ésta:

0)()( txtx

La ecuación característica es:

tCtCxi c sencos01 21

2

Ahora debemos hallar una solución particular del problema no homogéneo. Vemos que, por el tipo de

función excitación, deberemos usar En vista de la base de soluciones del problema homogéneo halla-

das, será: tvtvx sencos* 21

Hallemos ahora v1 y v2:

ttvttv

tvttv

t

tttvtv

tvtvt

t

sencoscossen

0sensencos

cos

sentgcossen

0sencos

2

21

2

21

cospor abajoy senpor arriba ndomultiplica

21

21

Si ahora sumamos las dos ecuaciones de este último sistema tendremos.

tttvt

tt

t

t

tvtttvtvtv

tgsec logsencos

1cos

cos

cos1

cos

sen0sensencoscossen

1

tablas

2

2

1

3

1

ecuación primera

laen emplazandoRe

22

Con las funciones v1 y v2 así obtenidas podemos escribir:



ttttttttttvtvx costgseclogsencoscostgseclogsensencos* 21

Con lo cual la solución general del problema no homogéneo es:

ttttCtCxxx c costgseclogsencos* 21

Las condiciones iniciales indican que cuando t es 0, x = 0 y v = 3. De esta manera, podemos escribir:

2310sen0tg0seclog10cos0sen)0()0(

00cos0tg0seclog0sen0cos)0(

2221

121

CCCCxv

CCCx

Con estos valores de la constante tenemos, finalmente: ttttx costgseclogsen2

Que es la solución al problema de valores iniciales planteado.

2.) COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resolver el problema de valores iniciales:

0)0()0(

cos)(2)(2)(

xx

tetxtxtx t

SOLUCIÓN: Primero resolvemos la ecuación homogénea asociada. La ecuación característica será:

teCteCxi tt

c sencos12

21422022 21

22

Ahora nos toca hallar la solución particular del problema no homogéneo. Vemos que la función exci-

tación es un producto de una exponencial por un coseno, por lo cual podemos intentar hallar la solu-

ción particular por el método de los coeficientes indeterminados. La función excitación es e-tcost, de

modo que normalmente propondríamos como función de prueba una combinación lineal de senos y

cosenos, Ae-tcost + Be

-tcost. Sin embargo, en este caso particular ésta sería una solución del problema

homogéneo, por lo cual debemos multiplicarla por la variable t. Obtenemos así:

tBtetBetBetAtetAetAe

tBtetBte

tBetBtetBtetBetBetBetAte

tAtetAetAtetAtetAetAetAetx

tBtetBtetBetAtetAtetAetx

tBtetAtetx

tttttt

tt

ttttttt

ttttttt

tttttt

tt

cos2cos2sen2sen2sen2cos2

sencos

coscossensencossencos

sensensencoscossencos)(

cossensensencoscos)(

sencos)(

Con estas expresiones podemos reemplazar en la EDO del enunciado y obtener:



21

excitaciónfunción

lacon igualando

,0coscos2sen2sen2

cos2cos2sen2sen2sen2cos2cos2

cos2cos2sen2sen2sen2cos222

BAtetBetAetBte

tAtetBtetBtetBetAtetAtetAe

tBtetBetBetAtetAetAexxx

tttt

ttttttt

tttttt

De modo que una solución particular al problema no homogéneo será:

tteteCteCtxtxtxttetx ttt

c

t sensencos)(*)()(sen)(*21

2121

Queda como ejercicio para el lector deducir a partir de las condiciones iniciales que las constantes de-

ben ser nulas y obtener que ttetx t sen)(21 .

Como se ve, este método puede requerir derivaciones algo complicadas.

3.) SISTEMA MASA-RESORTE. Un sistema masa-resorte está caracterizado por los siguientes va-

lores: masa m = 0,2; constante del resorte k = 80; constante de amortiguamiento h = 2. Si se aplica

una excitación F(t) = 2cos30t, obtener el estado estacionario de la respuesta, expresándolo en la forma

x(t) = Acos(t - ).

SOLUCIÓN: El cuerpo se mueve bajo la acción de 3 fuerzas: F, la del resorte y la del amortiguador. La

del resorte es proporcional y de signo contrario al desplazamiento, mientras que la de amortiguación

es proporcional y de signo contrario a la velocidad. En otras palabras:

i

oramortiguadresortei hvkxFhvkxFFFFF )()(

Por otro lado, y según la segunda ley de Newton, esta sumatoria debe ser igual a la masa por la acele-

ración. Si además tenemos en cuenta que la velocidad y la aceleración son la derivada primera y se-

gunda de la posición, tendremos:

txxxFkxxhxmFkxhvmamahvkxF 30cos28022,0

datos

Esta última es una EDO de 2º orden a coeficientes constantes, no homogénea. Para resolverla, prime-

ro encaramos el problema homogéneo. Planteando la ecuación característica y resolviendo tenemos:

teCteCxi tt

c 375sen375cos37554,0

802,0422 5

2

5

1

2

Ahora buscaremos una solución particular del problema no homogéneo. Vemos que la función excita-

ción es cosenoidal, y por ende usaremos como función de prueba una combinación lineal de senos y

cosenos.



ttxB

A

BA

BA

ttFtBAtBAtB

tAtBtAtBtAxxx

tBtAx

tBtAx

tBtAx

30sen30cos*010060

260100

30cos2)(30sen)10060(30cos)60100(30sen80

30cos8030cos6030sen6030sen18030cos180*80*2*2,0

30sen90030cos900*

30cos3030sen30*

30sen30cos*

3403

3405

3403

3405

De modo que la solución general del problema no homogéneo será:

ttteCteCxxx tt

c 30sen30cos375sen375cos*3403

34055

2

5

1

En el estado estacionario, para tiempos muy grandes, los dos primeros términos tienden a 0 y pode-

mos escribir:

ttx 30sen30cos3403

3405

est

La manera normal de expresar un movimiento oscilatorio de este tipo es de la forma x(t) = Acos(t -

). Si aplicamos la identidad trigonométrica del coseno de una suma, tendremos:

01716,06,2cos

6,2tgtg

sen

cos

30

30sen30cossensencoscos)cos(

3405

531

53

2a. lacon 3a. la m.a.m. dividiendo

3403

3405

3403

3405

caso nuestroen

A

A

A

tttAtAtA

De modo que finalmente podemos escribir:

xest = 0,01716cos(30t - 2,6)

Nótese que A, la amplitud del movimiento, es siempre un valor positivo. Por eso elegimos un tal que

su coseno fuera negativo, de modo que al despejar A nos diera un número positivo.

4.) CIRCUITO ELÉCTRICO. Hallar la corriente que circula en un circuito serie RLC, sabiendo que

R = 120 , L = 10 H, C = 10-3

F si la fuerza electromotriz viene dada por E(t) = 17sen2t V, y si la in-

tensidad cumple las condiciones i(0) = 0, 201)0( i . Hallar asimismo la corriente en estado estacio-

nario.

SOLUCIÓN: La intensidad es la derivada de la carga eléctrica Q. Genéricamente se puede escribir para

un circuito RLC:



tQt

Q

t

QtEQ

Ct

QR

t

QL 2sen17100012010)(

12

2

problema nuestroen

2

2

Ésta es una típica ecuación de 2º orden a coeficientes constantes. Hallamos primero la solución gene-

ral del problema homogéneo y luego le sumamos una solución particular del problema no homogé-

neo. Para lo primero planteamos:

teCteCQi tt

c 8sen8cos8620

1000104120120 6

2

6

1

2

Para la solución particular del problema no homogéneo, podemos usar una función de prueba:

ttQB

A

BA

BAt

tBAtBAtBtA

tBtAtBtAQQQ

tBtAQ

tBtAQ

tBtAQ

2cos2sen*0960240

172409602sen17

2cos)960240(2sen)240960(2cos10002sen1000

2sen2402cos2402cos402sen40*1000*120*10

2cos42sen4*

2sen22cos2*

2cos2sen*

2401

601

2401

601

problema esteen

De modo que la solución general del problema no homogéneo es:

ttteCteCQQQ tt

c 2cos2sen8sen8cos*2401

6016

2

6

1

Introduciendo las condiciones iniciales es:

301

21301

21

1201

30166

2

66

1

860)0(86)0(

2sen2cos)8cos88sen6()8sen88cos6(

CCiCCQ

ttteteCteteCQ tttt

Similarmente,

151

21201

601

21

601

151666

6

2

6666

1

9618)0(9618)0(

2cos2sen)8sen648cos488cos48

8sen36()8cos648sen488sen488cos36(

CCiCCQ

tttetete

teCteteteteCQ

ttt

ttttt

Reuniendo los dos últimos resultados, podemos escribir:



13507

1

36001

2

151

21

301

21

9618

86

C

C

CC

CC

De modo que la corriente que circula por el circuito vendrá dada por:

ttteteQQQ tt

c 2cos2sen8sen8cos*2401

6016

360016

13507

La corriente en estado estacionario vendrá dada por los dos últimos términos de esta expresión.

ANEXO

I.- FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Un conjunto de n funciones {y1(x), y2(x),...,yn(x)} es linealmente independiente (L.I.) en un interva-

lo (a,b) si y sólo si para cualquier x perteneciente al intervalo se cumple que la única combinación li-

neal de las n funciones que da la función nula es la que tiene todos los coeficientes iguales a cero.

En símbolos:

y x y x yn x es L I x a b ci yi xi

nci para i n1 2 1

0 0 12; ; ; . . , : , { , ,... }

II.-WRONSKIANO

Wronskiano de un conjunto de n funciones {y1(x), y2(x),..., yn(x)}, derivables hasta el orden (n-1), es

el determinante de la matriz formada por las funciones y sus (n -1) primeras derivadas

W(y1,....,yn) =

y y y

y y y

y y y

n

n

n nnn

1 2

1 2

11

21 1

' ' '

( ) ( ) ( )

III.- TEOREMA

Si el wronskiano de n funciones es no nulo para todo x perteneciente al intervalo (a,b) entonces las n

funciones son L.I en ( a,b).

En efecto:

Planteemos una combinación lineal nula de las n funciones. Debemos probar que los coeficientes de

tal combinación sólo pueden ser “0”.



Para hallar los n coeficientes debemos formar u sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Para ello

derivamos la combinación lineal (n-1) veces:

0

0

0

11

22

1

1

2211

2211

1 = y+ ...+Cy + C yC

= y' +...+C y' + C y'C

= y +...+C y + C yC

) (n-

nn

) (n-)(n-

nn

nn

Éste, para cada valor de x, es un sistema lineal y homogéneo respecto de las incógnitas C1, C2,...,Cn.

El determinante de los coeficientes es, para cada valor de x, el wronskiano de las n funciones, que por

hipótesis es distinto de cero. Por lo tanto el sistema tiene solución única que es la trivial. Es decir, los

Ci son nulos, para cualquier i, y las funciones resultan linealmente independientes.

IV.-ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN.

Responden a la forma:

ao(x).y” + a1(x). y’ + a2(x).y = Q(x) con ai(x) continuas.

Si los ai son constantes, la ecuación se llama ecuación diferencial de segundo orden lineal con co-

eficientes constantes.

Si Q(x) = 0, se dice que es homogénea o con segundo miembro nulo o reducida.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos eléctricos, al

balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la programación lineal.

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Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición. McGraw-Hill, Méxi-

co.

Edminister, J. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios Schaum, McGraw-

Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.

Tom, A. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con apli-

caciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté.

Porteles, A. (2000). Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. UPEL-IPB.

Zill, D. (1983). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Editorial Thomson.

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Education

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