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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADECUACIONES DIFERENCIALES

Actividad # 10ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y ORDEN SUPERIOR

TutorVICTORIA GUITIERREZ

Estudiante

PAWEL CAMILO RESTREPO TORRES COD. 14106534FABIAN ADOLFO GARCIA RIVERA COD.13744854ANDRES GILBERTO OROZCO COD. 13854103NESTOR SERRANO COD. 00000000

Grupo 100412_28

Campus Virtual - UNAD –Abril 2014

Ecuaciones Diferenciales - Grupo 281

CONTENIDO

Página

INTRODUCCION..................................................................................................................................3

OBJETIVOS..........................................................................................................................................4

EJERCICIOS PROPUESTOS...................................................................................................................5

CONCLUSIONES................................................................................................................................19

BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................................20


INTRODUCCION

Las ecuaciones diferenciales se utilizan como una herramienta para darle solución a diversos problemas principalmente en la rama de ingenieras, siendo así un instrumento teórico y a su vez una herramienta práctica para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, de ahí se deriva su importancia para los ingenieros de cualquier disciplina. Es así que para la solución de ecuaciones diferenciales se necesita un previo conocimiento en cálculo integral, diferencial, derivación entre otras. El curso virtual ecuaciones diferenciales en su tercera unidad abarca los temas relacionados con las ecuaciones diferenciales de segundo orden u orden superior, tiene como fin que el estudiante se apropie de conceptos básicos de series matemáticas, reconocer la diferencia entre aplicaciones de las series de potencias para E.D de primer orden y orden superior, funciones y series especiales entre otras; aplicando dichos temas para la resolución de ecuaciones. Objetivo del presente trabajo, el cual es de carácter grupal y la estrategia a utilizar es la solución de problemas.


OBJETIVOS

Evaluar e implementar la teoría vista durante el desarrollo del Módulo.

Abordar los temáticas de la segunda unidad del curso a través del desarrollo de ejercicios

Desarrollar habilidades inter-personales para lograr un desempeño alto en equipo colaborativo.

Establecer y defender posiciones con evidencia y argumento sólido

Volver el razonamiento más flexible en el procesamiento de información y al enfrentarse a las obligaciones adquiridas en un trabajo colaborativo.


EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Resuelva la ecuación diferencial utilizando la ecuación de Bernoulli.dydx

+ 1xy=x3 y3

y (x)x

+dy (x)dx

=x3 y ( x)3

Divide ambos lados por −12

y (x )3

−2dy ( x )dx

y (x )3−

2

xy ( x )2=−2 x

3

Dejar

v ( x )= 1

y (x )2

Queda

dv (x)dx

=−2

dy ( x )dx

y ( x )3

dv (x)dx

−2v ( x )x

=−2x3

μ ( x )=e∫−2xdx= 1

x2

Multiplicar ambos lados μ ( x )

dv ( x)dxx2 −

2v ( x )x3 =−2x

Sustituye

−2

x3 =ddx ( 1

x2 );


dv ( x)dxx2 + d

dx ( 1x2 )v ( x )=−2 x

Aplicar la regla del producto inversa gdfdx

+ f dgdx

= ddx

( f g ) a la izquierda

ddx ( v ( x )

x2 )=−2x

Integrar ambos lados con respecto a X:

∫ ddx ( v ( x )

x2 )dx=∫−2xdx

Evaluación de integrales

v (x )x2 =−x2+c1 , dondec1es unaarbitrariaconstante .

Divide ambos lados por μ ( x )= 1

x2

v ( x )=x2 (−x2+c1 )

Resolver por y ( x )en v ( x )= 1

y ( x )2:

y ( x )= −1

√−x4+c1 x2

2. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes y resuélvalas.

a. y ' '+ y '+ y=0 Ecuación diferencial lineal homogénea

Resuelva como una ecuación lineal homogénea

dy (x)dx

+d2 y (x )d x2 + y ( x )=0

Suponga una solución que será proporcional a e λx por algún λ constante

Sustituir y ( x )=eλx en la ecuación diferencial


d2

d x2(eλ x )+ d

dx(eλx )+e λx=0

Sustituir d2

d x2(eλx )=λ2 eλx y

ddx

(e λx)=λe λx:

λ2e λx+ λeλx+eλx=0

Factorizare λx

(λ2+ λ+1 )eλx=0

Puesto e λx≠0 que para cualquier finito λ , los ceros deben provenir del polinomio:

λ2+ λ+1=0

Resolver para λ

λ=−12

+ ι√32

o−12− ι√3

2

Las raíces λ=−12±ι √3

2 da y 1 ( x )=c1 e (−1

2+ ι√3

2 ) x , y 2 ( x )=c2 e(−12

− ι√32 ) x como

soluciones, cuando c1y c2son constantes arbitrarias.

La solución general es la suma de las soluciones anteriores

y ( x )= y 1 ( x )+ y 2 ( x )=c1 e (−12

+ ι√32 ) x+c2e (−1

2−ι √3

2 ) xAplicar la identidad de Euler eα+ί β=eα cos(β )+ί eα sin(β )

y ( x )=c1( cos(√32x )

ex/2 +ί sin(√3

2x )

ex/2 )+c2( cos( √32x )

ex /2 −ί sin(√3

2x)

ex /2 )Reagrupar términos

y ( x )=(c¿¿1+c2)cos (√3

2x)

ex /2 +ί (c¿¿1+c2)sin(√3

2x )

ex /2 ¿¿

Redefinir c1+c2 como c1 y ί (c¿¿1+c2)¿como c2 ya que son constantes arbitrarias


y ( x )=c1 cos (√3

2x)

ex /2 +c2 sin(√3

2x)

ex/2

b. y ' '− y '−2 y=0 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

Resolución

Suponga una solución que será proporcional e λx para alguna constante λ.

Sustituir y ( x )= e λxen la ecuación diferencial

d2

d x2(eλx )− d

dx(eλx )−2eλx=0

Sustituir d2

d x2(eλx )= λ2e λx y

ddx

(e λx)=λe λx :

λ2e λx−λeλx−2eλx=0

Factorizar e λx¿¿

Desde e λx≠0 para cualquier λ finita, los ceros deben provenir del polinomio

(λ¿¿2−λ−2)=0¿

Factor

(λ−2)(λ+1)=0

Resolver para λ

λ=−1o λ=2

La raíz λ=−1 da y1 ( x )=¿c1e−x ¿ como una solución, donde c1es una constante arbitraria.

La raíz λ=2 da y2 ( x )=¿c2 e2x ¿ como una solución, donde c2es una constante arbitraria


y ( x )= y1 ( x )+¿ y2( x )=¿

c1

ex+c

2e2x ¿

¿

c. y [3 ]+ y [2]−5 y '+3 y=0 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

Resuelva sobre y los números reales


3 y− πy2160

+ y2+ y3=0

Escribe el polinomio cúbico en el lado izquierdo en forma estándar.

Collect in terms of y

(3− π2160 ) y+ y2+ y3=0

Factoriza el lado izquierdo.

Factor y y los términos constantes de la izquierda

− y (−6480+π−2160 y−2160 y2 )2160

=0

Multiplica ambos lados por una constante para simplificar la ecuación.

Multiplica ambos lados por−2160

y (−6480+π−2160 y−2160 y2 )=0

Se resuelve cada término en el producto separado.

Dividir en dos ecuaciones

y=0ó−6480+π−2160 y−2160 y2=0

Mira la segunda ecuación:

Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.

Divide both sides by −2160 :

y=0ó6480−π

2160+ y+ y2=0

Resolver la ecuación cuadrática completando el cuadrado.

Restar 6480−π

2160 de ambos lados

y=0ó y2+ y= π−64802160

Tome la mitad del coeficiente de y y cuadrar, luego agregarlo a ambos lados.

Añadir 14

a ambos lados:


y=0ó y2+ y+ 14= π−6480

2160+ 1

4

Factoriza el lado izquierdo.

Escribir a mano izquierda como un cuadrado:

y=0ó( y+ 12 )

2

=π−64802160

+ 14

Mostrar la ecuación que no tiene solución.

( y+ 12 )

2

= π−64802160

+ 14

no tiene solución para todo y en la recta real

( y+ 12 )

2

≥0 y ¿π−6480

2160+ 1

4<0 :

Respuesta

y=0

d. y ' '− y=2 Ecuación diferencial lineal No homogénea con coeficientes constantes

Resolver con coeficientes indeterminados

Resolver d2 y (x )d x2 − y (x )=2

La solución general será la suma de la solución complementaria y solución particular.

Encontrar la solución complementaria al resolver d2 y (x )d x2 − y (x )=0

Supongamos una solución será proporcional a e λx para alguna constante λ.

Sustituir y ( x )=eλx=0en la ecuación diferencial

d2

d x2(eλx )−eλx=0

Sustituir d2

d x2(eλx )=λ2 eλx


λ2e λx-e λx=0

Factorizar e λx

(λ¿¿2−1)e λx¿= 0

Desde e λx≠0 para cualquier λ finita, los ceros deben provenir del polinomio:

λ2−1=0

Factor

(λ−1)(λ+1)=0

Resolver para λ

λ=−1ó λ=1

La raíz λ=−1 da y1 ( x )=¿c1e−x ¿ como una solución, donde c1es una constante arbitraria.

La raíz λ=1 da y2 ( x )=¿c2 ex ¿ como una solución, donde c2es una constante arbitraria


y ( x )= y1 ( x )+¿ y2( x )=¿

c1

ex+c

2ex ¿¿

Determine la solución particulard2 y (x )d x2 − y (x )=2 por el método de coeficientes

indeterminada

La solución particular para d2 y (x )d x2 − y (x )=2es de la forma

y p ( x )=¿ a1¿

Resolver para la constante desconocida a1

Calcular d2 y p(x )d x2 :

d2 y p(x )d x2 = d2

d x2(a1¿= 0

Substuir la solucion particular y p (x) dentro de la ecuacion diferencial

d2 y p(x )d x2 − y p ( x )=2


−a1=2

Resolver la ecuacion

−a1=2

Sustituir a1dentro y p ( x )=a1

y p ( x )=−2

La solucion general es

y ( x )= yc ( x )+¿ y2( x )=¿

c1

ex+c

2ex−2

¿¿

3. Demostrar que (a) y (b) son linealmente independientes y que son solución de la siguiente ecuación diferencial

(a )=sen3 x (b )= 1

sen2 x

y +tanx {dy} over {dx} -6( {cot} ^ {2} x)y=

Hallamos el WronsKiano de las funciones (a) y (b), primero hallamos sus derivadas:

(a )=sen3 x

(b )=3 sen2 xcosx

(b )= 1

sen2 x=sen−2 x

(b )´=−2 sen−3 xcosx

¿ −2cosx

sen3 x

w=| sen3 x1

sen2 x

3 sen2 xcosx−2cosx

sen3 x|

¿ −2cosxsen3 x

( sen3 x )−3 sen2 xcosxsen2 x

¿−2cosx−3cosx

¿−5cosx


Como da diferente de cero son linealmente independientes.

La solución general de ecuación diferencial es

y=C1 sen3 x+

C2

sen2 x

y ´=3C1 sen2 xcosx

−2C2cosx

sen3 x

y ´=3C1 sen2 xcosx−2C2cosx sen

−3 x

y =3 {C} rsub {1} (2senx cosx cosx+(-senx) s {en} ^ {2} x

−2C2(−senx sen−3 x+cosx (−3 ) sen−4 xcosx)

¿6C1 senx cos2 x−3C1 sen

3 x+2C2 sen−2 x+6C2 sen

−4 xcos2 x

Reemplazamos y , y ´ , y ´ ´ en la ecuación diferencial

y +tanx {dy} over {dx} - 6(c {ot} ^ {2} x)y=

6C1 senxcos2 x−3C1 sen


−4 x cos2 x+¿

senxcosx

(3C1 sen2 xcosx−2C2 sen

−3 xcosx )−6cos2 xsen2 x

(C1 sen3 x+C2 sen

−2 x )=0

6C1 senxcos2 x−3C1 sen


−4 xcos2 x+3C1 sen3 x

−2C2 sen−2 x−6C1 senxcos

2 x−6C2 sen−4 xcos2 x=0

0=0

Queda demostrado que las funciones son solución de la ecuación diferencial

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros.

y ´ ´+ y=tan(x )

m2+1=0

Ecuación auxiliar

m=± iyc=C1 cosx+C2 senx

Función complementaria


Para hallar la solución particular por variación de parámetros,

Utilizamos el wronsKiano

W (cos x1 senx )=| cosx sex−senx cosx|

¿cos2 x+sen2 x=1

W 1=| 0 y2

f ( x ) y ´ 2|=| 0 senx

tanx cosx|W 1=−senx tanx

W 1=−senxsenxcosx

W 1=−sen2 xcosx

W 2=| y1 0y ´ 1 f (x )|=| cosx 0

−senx tanx|W 2=cosx tanx

¿cosx senxcosx

¿ senx

u1´=

w1

w=

−sen2 xcosx

1=−sen2 x

cosx

∫u1´=−∫ sen2 x

cosx

u1=−∫ 1−cos2 xcosx

dx=∫cosxdx−∫ 1cosx

dx

¿ senx+ ln(sen ( x2 )+cos( x2 ))−ln(cos( x2 )−sen ( x2 ))u2´=

w2

w= senx

1

∫u1´=∫ senx


u2=−cosx

La solución particular es:

y p=u1+u2

[senx+ ln (sen( x2 )+cos ( x2 ))−ln(cos ( x2 ))−ln(cos ( x2 )−sen (x2))−cosx

senx+ln [ sen ( x2 )+cos( x2 )cos( x2 )−sen ( x2 ) ]−cosx

La solución general seria

y= yc+ y p

C1cosx+C2 senx+senx−cosx+ln( sen(x2 )+cos ( x2 )

cos ( x2 )−sen( x2 ))

5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes indeterminados:

a¿ y} +y= sen ¿

Resolvemos primer la ecuación homogénea asociada:

y} +y= ¿

La ecuación característica de esta ecuación es:

m2+1=0

m2=−1m1,2=±√−1m1,2=∝± βidonde∝=0 y β=1


m1,2=± i

yh=C1 e∝ x cosβx+C2e

∝ x senβx

yh=C1 cosx+C2 senx

Buscamos la solución particular, de la forma Asenx+Bcosx, pero podemos observar que esta ya es una solución de la ecuación homogénea y} +y= ¿, con la regla de multiplicación para este caso, debemos multiplicar por xn donde n es el número de enteros positivos que elimina la duplicación.

y p=Axsenx+Bxcosx

y , p=Asenx+Axcosx+Bcosx−Bxsenx

y}} rsub {p} = Acosx+Acosx-Axsenx-Bsenx-Bxcosx-Bsen ¿¿

Entonces y}} rsub {p} =2Acosx-2bsenx-Axsenx-Bxcos¿¿

Sustituimos en la ecuación original y tenemos que:

y} +y= sen ¿

2 Acosx−2Bsenx−Ax senx−Bxcosx+Axsenx+Bxcosx=senx

2 Acosx−2Bsenx=senx

2 A=0 ,entonces A=0

−2B=1 , entoncesB=−12

Sustituyendo en y p=Axsenx+Bxcosx

y p=−12

xcosx


Tenemos que y ( x )= yh+ y p

y ( x )=C1 cosx+C2 senx−12xcosx

b. y ' ' '+ y ' '=x2+2 x+ex

La solución a la ecuación homogénea viene dada por la Ec. Característica, es decir:

(m3+m2)=0

m2 (m+1 )=0

Como se tienen dos raíces repetidas, se plantea:

yh=(C1+C2 x )e0x+C3 e− x

Es decir:

yh=C1+C2 x+C3 e−x

Ahora se plantea la forma de la ecuación particular:

y p=A x2+Bx+C+Dex

Encontrando las derivadas:

y ' p=2 Ax+B+Dex

y ' ' p=2 A+De x

y ' ' ' p=Dex


Reemplazando en la Ecuación Diferencial, obtenemos:

Dex+2 A+Dex=x2+2x+ex

Por lo que se obtienen las ecuaciones:

Dex=e x

D=12

Además:

A=B=C=0

Entonces, la solución a la ecuación diferencial, viene dada por:

Y T= yh+ y p

yT=C1+C2 x+C3e− x+ 1

2ex

6. Encontrar un operador diferencial que anule a

a. e3x−xex

∝=3∝=1 , n=1

(D−3 ) e3 x , (D−1 ) xex

(D−3 ) (D−1 )(e3x−xex)

b. sen3 x

β=3 (D2 +32 ) sen3 x

(D2+9 ) sen3 x


CONCLUSIONES

Con el desarrollo del presente trabajo, estamos en condiciones de identificar el método o caso que se debe utilizar para dar la solución general a una ecuación diferencial, ya sea de segundo orden u orden superior.

En la resolución del presente trabajo nos apropiamos de los conceptos básicos y terminologías de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y orden superior, aplicando diferentes casos en la resolución de los problemas.

Las ecuaciones diferenciales nos permiten solucionar ejercicios planteados en todos los estudios de ingeniería y otras áreas.

Reconocer los diferentes casos de solución de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

Desarrollando el trabajo colaborativo, podemos como estudiantes unadistas, ir observando los aportes de cada uno de los integrantes del


grupo colaborativo del curso de ecuaciones diferenciales, vamos dando solución a los ejercicios propuestos del trabajo colaborativo No2. Dejándonos como enseñanza, unas pautas para darle solución, a las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes. Este trabajo nos sirvió para entender, las aplicaciones que tienen las ecuaciones diferenciales de segundo orden superior. Dándonos así una idea más clara y concisa comprendiendo los temas vistos de la unidad 2. Obtenemos mayor claridad en los objetivos trazados para el desarrollo de las diferentes asignaturas del crédito de ecuaciones diferenciales.

BIBLIOGRAFIA

Módulo de ecuaciones diferenciales de la UNAD, Gomez N. Ricardo.


Palmira, Valle (2011). 5° Actualización
