1
TRATAMIENTO DE DATOSAJUSTES POR MÍNIMOS CUADRADOS
Antonio J. Barbero
Departamento Física Aplicada
ETS Agrónomos UCLM
APLICACIÓN AL LABORATORIO DE FÍSICA
2
MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
x
y
3
(xi,yi)
y=a+bxyi -a-b xi
N
iii bxayS
1
2)(
CRITERIO: Minimizar SCRITERIO: Minimizar S
0aS
0bS
(Ajuste lineal)
MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal)
4
MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal)
0221 1 1
N
i
N
i
N
iiiii xbaNybxay
a
S
01 1 1
2
1
N
i
N
i
N
ii
N
iiiiiii xbxayxbxayx
b
S
N
ii
N
ii yxbaN
11
N
iii
N
ii
N
ii yxxbxa
11
2
1
5
MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal)
22 xNx
xyNyxb
22
2
xNx
xyxyxa
N
xx
N
yy
222
xy m
22
2
xxN
Nb
22
22
xxN
xa
DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)
Coeficiente de correlación
2222 11y
Nyx
Nx
Nyx
xyr
6
EJEMPLO 1. LEY DE OHM
I (mA) V (mV)15 940 2657 36
109 68124 78156 99183 116267 169329 208371 235430 271566 358638 404681 431797 505
0 200 400 600 8000
100
200
300
400
500
0 200 400 600 8000
100
200
300
400
500
2.02.0 a0005.06333,0 b
999999.0r
(mA) I
(mV) V
IbaV
RIV )0005.06333.0(R
7
10% 20% 30% 40% 50%0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
Diá
me
tro
D (
mm
)
Porcentaje de alargamiento y (%)
10% 20% 30% 40% 50%0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
Diá
me
tro
D (
mm
)
Porcentaje de alargamiento y (%)
mm )003.0551.0( a
%
mm)0010.00113,0( b
98953.0r
EJEMPLO 2. DISMINUCIÓN DIÁMETRO POR TRACCIÓN
ybaD
Muestra de hilo de cobre sometida a tracción. Deformación permanente
y (%) D (mm)10% 0,54120% 0,53030% 0,51340% 0,50550% 0,497
8
10% 20% 30% 40% 50%0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
Diá
me
tro
D (
mm
)
Porcentaje de alargamiento y (%)
EJEMPLO 2. DISMINUCIÓN DIÁMETRO POR TRACCIÓN
mm )003.0551.0( a
%
mm)0010.00113,0( b
98953.0r
9
0 20 40 60 80 100
0
2
4
6
8
10
V (
volts
)
t (s)
0 20 40 60 80 100
0
2
4
6
8
10
V (
volts
)
t (s)
t (s) V (volts)0 8,555 7,1310 5,9620 4,2225 3,5830 3,0035 2,5140 2,1345 1,8050 1,5155 1,2660 1,0765 0,9170 0,7575 0,6280 0,5485 0,4590 0,38
/0
teVV
volts)015.0503.8(0 V
s )08.078.28(
99993.02 r
EJEMPLO 3. DESCARGA DE UN CONDENSADOR
CR
R
C
10
EJEMPLO 3. DESCARGA DE UN CONDENSADORLinealización
t (s) V (volts)0 8,555 7,1310 5,9620 4,2225 3,5830 3,0035 2,5140 2,1345 1,8050 1,5155 1,2660 1,0765 0,9170 0,7575 0,6280 0,5485 0,4590 0,38
/0
teVV tV
V
1
ln0
ln (V/V0)
0,0000-0,1816-0,3609-0,7061-0,8706-1,0473-1,2256-1,3898-1,5581-1,7338-1,9148-2,0783-2,2402-2,4336-2,6240-2,7621-2,9444-3,1135
0 20 40 60 80 100-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
ln(V
/V0)
t (s)
tBAV
V
0ln
1
B
004.0009.0 A
00008.003454.0 B
99996.0r
03454.0
1 s 9519.28
BB
2B
B s 07.0
11
0 20 40 60 80 100
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Data: Condensador_DModel: ExpDec1 Chi^2 = 6.1428E-6R^2 = 0.99993 y0 0 ±0A1 0.99445 ±0.00181t1 28.79799 ±0.08089
V/V
0
t (s)
0 20 40 60 80 100
0,01832
0,04979
0,13534
0,36788
1Data: Condensador_DModel: ExpDec1 Chi^2 = 6.1428E-6R^2 = 0.99993 y0 0 ±0A1 0.99445 ±0.00181t1 28.79799 ±0.08089
ln(V
/V0)
t (s)
EJEMPLO 3. DESCARGA DE UN CONDENSADOR
12
f ’ f
F
F’
EJEMPLO 4. LENTES. FÓRMULA DE GAUSS
s s’
y y’
FORMACIÓN DE IMAGEN. LENTE CONVERGENTE
'1
'11
fss
ECUACIÓN DE GAUSS
ss
yy
m''
Aumento lateral
'
1
fP
(Si f ’ en metros, P en dioptrías)
Potencia lente
13
EJEMPLO 4. LENTES. FÓRMULA DE GAUSS
s (cm) s' (cm)
37,9 72,742,5 59,948,4 51,662,5 44,170,2 40,0
1/s 1/s'
0,026 0,0140,024 0,0170,021 0,0190,016 0,0230,014 0,025
'1
'11
fss
sfs
1
'
1
'
1
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,0300,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,0401
/s'
1/s
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,0300,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,0401
/s'
1/s
0008.00374.0 A
04.089.0 B
99681.0r
sBA
s
1
'
1
'
1
fA
cm 7378,261
' A
f
2'
'A
AA
A
ff
cm 6.0'f
cm )6.07.26(' f
Datos de alumnos
14
Ajustes no lineales
15
Ley de Malus I = I0 cos2
EJEMPLO 5. AJUSTE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
16
EJEMPLO 5. AJUSTE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
0 16110 12520 8730 5440 2845 1750 1055 660 465 770 1475 2280 3390 63
100 94110 130120 158130 190140 207150 214160 205170 179180 147
(º) I (lux)
I = m1 + m2 cos2(+m3)
m1 = (5.6±1.0) lux m2 = (204.9±1.8) lux
m3 = (31.2±0.3) º r = 0.99924
17
0
50
100
150
200
250
0 40 80 120 160
EJEMPLO 5. AJUSTE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
m1 = (5.6±1.0) lux m2 = (204.9±1.8) lux
m3 = (31.2±0.3) º r = 0.99924
1m
2m3m
18
grados R (k) L (lux)0 1,45 145 0,471 53
10 0,267 15615 0,18 30720 0,136 50525 0,112 73630 0,094 109035 0,081 141040 0,073 176045 0,066 211050 0,062 247055 0,058 280060 0,055 312065 0,053 341070 0,051 365075 0,049 385080 0,049 3990
EJEMPLO 6. AJUSTE LOGARÍTMICO DOBLE
CALIBRADO DE UNA LDR
Empleo de la ley de Malus para variar la intensidad incidente
I = I0 cos2
19
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL DE CALIBRADO
Láser polarizado
Polarizador lineal sobre soporte
giratorio
Luxómetro / LDR Óhmetro
1º) Medidas de iluminación de 0º a 90º (luxómetro)
2º) Medidas de resistencia de 90º a 0º (óhmetro)
Ley de Malus I = I0 cos2
20
grados R (k) L (lux)0 1,45 145 0,471 53
10 0,267 15615 0,18 30720 0,136 50525 0,112 73630 0,094 109035 0,081 141040 0,073 176045 0,066 211050 0,062 247055 0,058 280060 0,055 312065 0,053 341070 0,051 365075 0,049 385080 0,049 3990
EJEMPLO 6. AJUSTE LOGARÍTMICO DOBLE
CALIBRADO DE UNA LDR
LR log04.0522.001.056.0log
522.0
log56.0
10
R
L
21
x
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Inte
nsi
da
d r
ela
tiva
Posición sobre la pantalla (mm)
0 24 36 48-12-24
2b
D
20sincII
D
xbb
2
sen2
sin
sinc
EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN
22
EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN
= = 2 = - = -2 = -3 = 3 = 0
= -1.43 = 1.43 = 2.46 = -2.46x
D
b
2
23
AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS DE LOS PUNTOS EXPERIMENTALES:
2
3
321
)sen(
xm
xmmmI x
D
b
2 D
bm
2
3
xm 3
x
1m
2m
xm
3
Medidas tomadas usando un sistema de
desplazamiento y un sensor luminoso
EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN
24
LDRLight Dependent Resistence
Calibrado previo para obtener la iluminación en función de la resistencia óhmica
588.0log84.0
10R
lux
R en k
EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN
25
0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,05,56,06,57,07,58,08,59,09,5
10,0
mm
10,511,011,512,012,513,013,514,014,515,015,516,016,517,017,518,018,519,019,520,020,5
mm
0123456789
1011121314151617181920
v
212223242526272829303132333435363738394041
v
-10,22-9,72-9,22-8,72-8,22-7,72-7,22-6,72-6,22-5,72-5,22-4,72-4,22-3,72-3,22-2,72-2,22-1,72-1,22-0,72-0,22
0,280,781,281,782,282,783,283,784,284,785,285,786,286,787,287,788,288,789,289,7810,28
mmc mmc
1,612,373,776,1410,0615,8823,9934,8848,2665,2484,31105,91129,65153,18176,78199,89220,22239,56253,45263,44266,91
lux
266,91261,73251,84236,63218,94197,69174,97150,32126,37103,5381,8462,7046,4633,2822,8814,969,515,973,632,341,64
lux
5,2204,1703,1702,3801,7801,3611,0680,8570,7080,5930,5100,4460,3960,3590,3300,3070,2900,2760,2670,2610,259
k0,2590,2620,2680,2780,2910,3090,3320,3630,4020,4520,5190,6070,7240,8811,0981,4101,8402,4203,2404,2005,170
k
0 5 10 15 20
0
50
100
150
200
250
300
lux
mm
Centrado
mmc = mm - corrección de centrado
EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN
26
-10 -5 0 5 10
0
50
100
150
200
250
300
lux
mmc
-10 -5 0 5 10
0
50
100
150
200
250
300
lux
mmc
0 5 10 15 20
0
50
100
150
200
250
300
lux
mm
Ajuste polinómico Representación y ajuste
Obtención de la corrección de centrado
EJEMPLO 7. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN
27
Parámetros del ajuste:
m1 = (3.50.5) lux
m2 = (263.40.7) lux
m3 = (0.3380.001) mm-1
D
bm
2
3
32
mDb
= (632.80.1)·10-6 mm
D = (285010) mm 32
mDb
mm 19403.0 (Exceso
decimales)
33
)2()2()2(1)2( m
m
bD
D
bbb
mm 103.1 3
Valor aceptado: mm )0013.01940.0(2 b
EJEMPLO 6. DETERMINACIÓN DE LA ANCHURA DE UNA RENDIJA POR MEDIDAS DE INTENSIDAD EN SU FIGURA DE DIFRACCIÓN
28
FIN DE LA PRESENTACIÓN