TRIGONOMETRÍA DEL
CÍRCULO
Otra unidad de medida para ángulos: RADIANES
Usamos grados para medir ángulos cuando aplicamos trigonometría a los problemas del mundo real. Por ejemplo, en topografía, construcción, y navegación, el grado es la unidad de medida aceptada.
1
Otra unidad de medida para ángulos: RADIANES Cuando estudiamos las
funciones trigonométricas dentro de un círculo, colocamos el círculo sobre un plano cartesiano y trabajamos con un ángulo central.
El ángulo central tiene un lado sobre el eje de x y un lado terminal que comienza en el centro del círculo e interseca la circunferencia del círculo.
En el círculo podemos medir los ángulos en grados o radianes.
1
Un radián
• El ángulo central de un
círculo mide un radián si
el arco interceptado por
el ángulo tiene la misma
longitud que el radio.
¿Cuánto radianes hay en un círculo?
• Hay 360 grados en un
círculo. ¿Cuántos
radianes hay?
• Hay un poco más de
6 radianes en un
círculo
• De hecho, hay
exactamente 2
radianes en un
círculo.
• (Aprox. 6.28 rad.)
RADIANES
Si Rad es la medida de un ángulo en radianes y Grad la medida en grados, entonces la proporción
Grad
Rad
180
nos permite cambiar entre radianes y grados.
entonces 3602 Si
180
Convertir entre radianes y grados
ángulo en radianes
ángulo en grados
1
30
/3
120
Grad
Rad
180
Grad
1
180
180Grad
ángulo en radianes
ángulo en grados
1 57.3
30
/3
120
Vamos a completar la tabla:
))((Grad 1801
357Grad .
Convertir… (cont.)
Grad
Rad
180
30
Rad
180
Rad18030
ángulo en radianes
ángulo en grados
1 57.3
30
/3
120
5206
.Rad
ángulo en radianes
ángulo en grados
1 57.3
/6 30
/3
120 Rad180
30
Convertit… cont
Grad
Rad
180
Grad
3 180
3180Grad
60 Grad
ángulo en radianes
ángulo en grados
1 57.3
/6 30
/3
120
ángulo en radianes
ángulo en grados
1 57.3
/6 30
/3 60
120
3
180Grad
RADIANES
Grad
Rad
180
120
180
rad
3
2 rad
rad 180
120
ángulo en radianes
ángulo en grados
1 57.3
/6 30
/3 60
120
ángulo en radianes
ángulo en grados
1 57.3
/6 30
/3 60
2/3 120
PRACTICA: Convertir la medida de radianes a grado o grado a radianes.
Grad
Rad
180
20 1502
2
3300 5
Un círculo con
centro en el origen
de un sistema de
coordenadas
rectangulares y
con radio igual a 1
se llama un
círculo unitario.
Si el punto P(x,y)
pertenece al
círculo unitario, y
el segmento OP
es un radio,
entonces OP
intercepta el
círculo formando
el arco S y un
ángulo central que
llamaremos 𝜃.
En el círculo unitario definimos
• sin(ϴ) como la distancia vertical desde P hasta el eje de x.
sin(ϴ) = y
• Similarmente, definimos cos(ϴ) como la distancia horizontal desde el origen hasta la coordenada en x del punto P.
cos(ϴ) = x
Arco s
• Si el círculo NO es unitario, entonces NO es de radio 1.
• En este caso, se determina el seno y el coseno del ángulo central utilizando el triángulo recto imaginario que se forma y las razones que estudiamos para el triángulo recto.
Radio = 3
Dentro del círculo de radio r , las razones trigonométricas se
determinan
x
y
)cos(
)sin()tan(
y
x
)sin(
)cos()cot(
x
r
)cos()sec(
1
y
r
)sin()csc(
1
r
y)sin(
r
x)cos(
𝒙, 𝒚
Un ángulo central se
forma con el punto (2.25,
2.25) que está sobre la
circunferencia de un
círculo de radio=3.
Determine de forma
exacta, las 6 razones
trigonométricas.
Ejemplo:
(2.25, 2.25)
Solución:
Un ángulo central se
forma con el punto (2.25,
2.25) que está sobre la
circunferencia de un
círculo de radio=3.
Determine de forma
exacta, las 6 razones
trigonométricas.
Ejemplo: (cont.)
(2.25, 2.25)
Solución:
EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una círculo
unitario. Encuentre los valores de las razones trigonométricas
del ángulo central que se muestra.
5
4,
5
3P
Sabemos que: •el radio es 1
•x=
•y=
•Por lo tanto,
5
4)sin(
x
y
5
3
5
4
5
3)cos(
3
4)tan(
x
y
EJEMPLO 2 (cont.)
5
4,
5
3P
Las relaciones recíprocas son:
4
5)csc(
x
y
3
5)sec(
4
3)cot(
y
x
2
2)sin(
r
y
2
2)cos(
r
x
2,2P
12
2)tan(
x
y
Ejemplo 3: Dado un círculo con radio igual a 2,
y el punto P, hallar los valores exactos de las 6
razones trigonométricos.
Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2,
y el punto P, hallar los valores de las 6 razones
trigonométricos.
2
2)csc(
y
r
2
2)sec(
x
r
12
2)cot(
y
x
2,2P
Práctica
• Hallar los valores de forma exacta las 6 razones
trigonométricas en los siguientes círculos.
13
12
,13
5P
8,15P
Radio = 1 Radio = 17
Soluciones
• Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los
siguientes círculos.
13
12
,13
5P
Radio = 1
8,15P
Radio = 17
13
5cos
13
12sin
5
12tan
5
13sec
12
13csc
12
5cot
17
15cos
17
8sin
15
8tan
15
17sec
8
17csc
8
15cot
Relaciones en el círculo
En un círculo de radio r,
•𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 o lo que es igual,
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
•𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑠𝑖𝑛2(𝜃) = 1
Ejemplo
• Si θ es un ángulo en
posición estándar en un
sistema de coordenadas
rectangulares y si
P(–15, 8) está en el lado
terminal de θ, determinar
el valor de θ y los valores
de las seis funciones
trigonométricas de θ.
Solución (cont)
• Aplicando la definición de las funciones trigonométricas
para x = –15, y = 8, primeramente debemos determinar r.
Cont.
Ejemplo
• Determine los valores de las
seis funciones
trigonométricas de θ
Aplicamos las definiciones
trigonométricas con
x = 4, y = -1,
P(4, -1)
r = 𝑥2 + 𝑦2 = 16 + 1 = 17
P(4, -1)
Solución (cont.)
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =𝒚
𝒓=
−𝟏
𝟏𝟕
𝐭𝐚𝒏 𝜽 =𝒚
𝒙=
−𝟏
𝟒
𝐬𝐞𝒄 𝜽 =𝒓
𝒙=
𝟏𝟕
𝟒
P (4, -1)
cos θ =x
r=
4
17
csc 𝜃 =𝑟
𝑦=
17
−1= − 17
co𝑡 𝜃 =𝑥
𝑦=
4
−1= −4
=−𝟒 𝟏𝟕
𝟏𝟕 =
− 𝟏𝟕
𝟏𝟕
Signos
• La siguiente tabla muestra los signos de las
funciones trigonométricas en cada cuadrante:
Ejemplo
•Si sin θ = ⅗ y tan θ < 0, use identidades
para hallar las otros valores
trigonométricos.
•Solución De los signos, concluimos
que el ángulo está en el cuadrante II.
•Usando la relación sin2 θ + cos2 θ = 1 y
el hecho de que el coseno es negativo
en el segundo cuadrante podemos
determinar que:
Solución (cont.)