MatemáticasGlosario 9-12
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
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SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
+ Adición = Igualh Altura → Implica∠ Ángulo ∞ Infinito
F(x) Antiderivada de f(x) ∫ f (x ) Integral, de f(x)A Área ∩ Intersección
l Arista, lado limx→ a
❑ Limite cuando x tiene de a a
b Base limx→ a+¿ ❑¿
¿ Limite cuando x tiene de a a por la derecha
r Coeficiente de correlación lineal limx→ a−¿❑¿
¿ Limite cuando x tiene de a a por la izquierda
C Combinación log10 Logaritmo base 10A , A Complemento de A ln Logaritmo natural∘ Composición de funciones ± Mas ‘ menos
C Conjunto de números complejos A−1 Matriz inversa
Z Conjunto de números enteros (a bc d ) Matriz 2 x 2
Z−¿¿ Conjunto de números enteros negativos Adj( A) Matriz Adjunta
Z+¿ ¿ Conjunto de números enteros positivos AT Matriz Traspuesta
N Conjunto de números naturales I n Matriz unidadQ Conjunto de números racionales MCD Máximo común divisorR Conjunto de números reales ≥ Mayor o igual … ∅ Conjunto vacío ¿ Mayor que…k Constante x Media aritmética
cos x Coseno M e Medianacot x Cotangente ≤ Menor o igual que…
f´, ddx Derivada, respecto a x ¿ Menor que…
s Desviación estándar mcm Mínimo común múltiploDM Desviación media M o Modadet Determinante ‖z‖,‖v‖ Módulodx Diferencial de x × Multiplicación ó productod Distancia n n-ésimo≠ Distinto ∄ No existe
Dom Dominio ⊄ No incluido en…
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a ij Elemento de una matriz ∉ No pertenece a …∃ Existe e Número e! Factorial π Número pi
f(x) Función ∀ Para cualquierf−1(x) Función inversa ∥ Paralela a
≡ Idéntico m PendienteP Permutaciones Α α Alpha
P(x) Polinomio en x Β β BetaP Probabilidad del suceso A Γ γ Gama
P( A∨B) Probabilidad condicionada Δ δ DeltaP(x, y, z) Punto en el espacio Ε ε EpsilonP(x, y) Punto en el plano Ζ ζ Zeta
❑√ x Raíz Cuadrada Η η Etan√ x Raíz enésina Θ θ ThetaAB Rayo Ι ι OitaAB Recta Κ κ Kappa- Resta Λ λ Lambda
sec (x) Secante Μ μ MuAB Segmento Ν ν Nu
sin (x) Seno Ξ ξ Xi⟺ Si y sólo si Ο ο Omicron+ Suma Π π PiSn Suma de n términos Ρ ρ RhoΣ Sumatoria Σ σ ς SigmaS Superficie Τ τ TauSb Superficie de la base Υ υ UpsilonSl Superficie lateral Φ φ Phi
tan (x) Tangente Χ χ Chi% Tanto por ciento Ψ ψ Psian Término n-ésimo Ω ω Omegai Unidad imaginaria ≈ semejante∪ Unión de conjuntos ¿ congruente|x| Valor absolutoVR Variacionesv VectorV Volumen
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FÓRMULAS
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Formulario BINOMIO DE NEWTON
Forma abreviada del Binomio de Newton
( x+ y )2=x2+2 xy+ y2 ( x− y )2=x2−2 xy+ y2
( x+ y )3=x3+3 x2 y+3 x y2+ y3 ( x− y )3=x3−3 x2 y+3 x y2− y3
( x+ y )4=x4+4 x3 y+6 x2 y2+4 x y3+ y4
( x− y )4=x4−4 x3 y+6 x2 y2−4 x y3+ y4
( x+ y )n=xn+n xn−1 y+n (n−1 )
2 !xn−2 y2+…+nx yn−1+ yn
( x− y )n=xn−n xn−1 y+ n (n−1 )2!
xn−2 y2−…± nx yn−1∓ y n
COMBINATORIA
Combinatoria con repetición
CRm, n=(m+n−1 ) !n ! (m−1 )!
Combinatorias ordinarias o sin repetición
Cm,n=m!
n! (m−n )!
Permutaciones con repetición
PRna , b ,c ,…= n!
a !b !c !
Permutaciones ordinarias o sin repetición
Pn=n!
Variaciones con repetición Permutaciones ordinarias o sin repetición
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VRm, n=mn V m, n=
m!(m−n ) !
COMPLEJOS
Número complejo en forma rectangular: a+bi , donde i=√−1Número complejo en forma polar: rα, (r , α)Conjugado de un número complejo: a+bi→ a−biOpuesto de un número complejo: a+bi→−a−bi
Operaciones en forma rectangular
Suma: (a+bi )=(c+di )=( a+c )+(b+d ) iDiferencia: (a+bi )−(c+di )=( a−c )+(b−d ) iProducto: (a+bi ) (c+di )=ac+adi+cbi+bd i2=ac+adi+cbi−bd ¿ (ac−bd )+ (ad+cb ) i , donde i2=−1
Potencia: (a+bi)n=∑k=0
n
(nk)an−1bk
¿ (a+b ) (a+b )⋯ (a+b ) , noveces
Operaciones en forma polar
División: rα
pβ=R γ , donde R= r
p, y γ=β−α
Potencia: (r α )n=R ,donde R=rn y γ=nαProducto: rα pβ=R , donde R=rp y γ=α+ β
Transformación de un número complejo
Forma rectangulara forma polar
Forma polara forma rectangular
Módulo: m=√a2+b2 Parte real: a=r cosα
Argumento: tan α=ba Parte imaginaria: b=rsin α
CÓNICAS
Elipse: x2
a2 + y2
b2 =1; (x−x0)
2
a2 +( y− y0)
2
b2 =1
Hipérbola: x2
a2 −y2
b2 =1;(x−x0)
2
a2 −( y− y0)
2
b2 =1
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Circunferencia:Ecuación general: x2+ y2+ Ax+By+C=0Ecuación canónica: x2+ y2=R2
Ecuación con centro C (a ,b) y radio R, ¿
CUADRÁTICA
Las soluciones de p ( x )=a x2+bx+c, para a≠ 0, es x=−b±√b2−4ac2a
Si b2−4 ac>0, entonces p(x) tiene dos soluciones reales diferentes.Si b2−4 ac=0, entonces p(x) tiene una solución única.Si b2−4 ac<0, entonces p(x) tiene dos soluciones complejas, no reales.
DERIVADAS
Función Derivaday= f ( x ) y ´= lim
h →0
f ( x+h )−f (x )h
y=a, a es una constante y ´=0
y=n√ f y '= f '
n⋅n√( f )n−1.
y= f⋅g y '=f '⋅g+g'⋅f .
y= fg
y '= f '⋅g−g'⋅fg2 .
y=a⋅xn y '=n⋅a⋅xn-1 .y=( f )n y '=n⋅( f )n−1⋅f ' .
y=ln ( x ) y '= 1x
.
y=ln ( f ) y '= f '
f.
y= loga (x ) y '=1x⋅loga( e ).
y= loga ( f ) y '= f '
f⋅log a(e ) .
y=ax y '=ax⋅ln( a) .y=af y '= f '⋅a f⋅ln(a ).y=ex
y '=e x .
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Función Derivaday=e f y '=f '⋅e f .y=sen x y '=cos x .y=sen ( f ) y '=f '⋅cos ( f ) .
y=senn ( f ) y '=n⋅senn−1 ( f )⋅f '⋅cos (f ) .y=cos x y '=−senx .y=cos ( f ) y '=− f '⋅sen ( f ) .
y=cosn ( f ) y '=−n⋅cosn−1 ( f )⋅f '⋅sen ( f ) .
y=tan x y '=sec2 x= 1cos2 x
=1+tg2 x .
y=tan ( f ) y '= f ´sec2 f = f '
cos2 ( f )= f '⋅[1+tg2 ( f ) ] .
y=tan n (f ) y '=n⋅tgn−1 ( f )⋅ f '
cos2 ( f ).
y=cot gx y '= −1sen2 x
=−( 1+cot g2 x) ..
y=cot g ( f ) y '= − f '
sen2 ( f ) .
y=cot gn (f ) y '=−n⋅cot gn−1 ( f )⋅ f '
sen2 (f ).
y=sec x y '=sec x⋅tgx .y=sec (f ) y '= f '⋅sec ( f )⋅tg ( f ) .y=csc x y '=−cos ecx⋅cot gx .y=csc ( f ) y '=−f '⋅cosec (f )⋅cot g ( f ) .
y=arcsenx y '= 1√1−x2
.
y=arcsen (f ) y '= f '
√1−( f )2 .
y=arccos x y '= −1√1−x2
.
y=arccos ( f ) y '= −f '
√1−( f )2.
y=arctan x y '= 11+ x2
.
y=arctan ( f ) y '= f '
1+ (f )2 .
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Función Derivada
y=arc cot gx y '= −11+ x2
.
y=arc cot g (f ) y '= −f '
1+ (f )2.
y=arc sec x y '= 1|x|⋅√ x2−1
.
y=arc sec ( f ) y '= f '
|f|⋅√ ( f )2−1.
y=arc csc x y '= −1|x|⋅√ x2−1
.
y=arc csc ( f ) y '= − f '
|f|⋅√ ( f )2−1.
ESTADÍSTICA
Estadística unidimensional
Medidas de tendencia central
Media aritmética: x=x1n1+x2n2+⋯ xn nn
n1+n2+⋯+nn=∑ x i ni
Nx=∑ x i f
Mediana: M e=Li+c
N2
−N i−1
ni
Moda: M o=Li+c dd−¿+d+¿¿¿
Medidas de dispersión
Rango: V M−V m , dondeV M es el valor mayor yV mes el valor menor
Desviación media: DM=∑|xi−x|ni
N
Varianza: s2=∑ ( x i−x )2
N o s2=∑ ni x i
2
N− (x )2
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Desviación estándar: s=√∑ ( x i−x )2
N o s=√∑ ni xi
2
N− (x )2
Coeficiente de variación de Pearson: CV = sx
100
Estadística bidimensional
Coeficiente de correlación: r=sw
sx−sy
Covarianza: sxy=∑ ni ( xi−x ) ( y i− y )
N o Sxy=
∑ ni xi y i
N−x y
Recta de regresión: y− y=a ( x−x ) , dondea=Sxy
Sx2
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Distribución binomial
Función densidad: f ( x )=(nk ) pk qn−k
Función de distribución: F (k )=∑k=0
k
(nk ) pk qn−k
Distribución normal
Función de densidad: f ( x i )=1
s√2πe
−12 ( x i−x
s )
Tipificación: N ( x , s ) → N (1 , 0 ) : Z=x i−z
s
Intervalos normales:[ x−s , x+s ] → p=0.682
[ x−2 s , x+2 s ] → p=0.954[ x−3 s , x+3 s ] → p=0.997
FIGURAS DEL PLANO
Figura Definición Fórmulas Ilustracióncírculo Área o superficie
plana contenida dentro de una circunferencia.
Diámetro: d=2rPerímetro: P=2 πrÁrea: A=π r2
circunferencia Curva plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes de otro, el centro, situado en el mismo plano.
Diámetro: d=2rLongitud: L=2 πr
corona circular Figura plana formada por la región del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas
Área: A=π ( R2−r2 )
cuadrado Cuadrilátero regular formada por cuatro lados de igual longitud y por cuatro ángulos rectos.
Angulo central: β=90 °Angulo interior: α=90 °Perímetro: P=4 lÁrea: A=l2
Suma de los ángulos interiores: Sn=360°
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Figura Definición Fórmulas Ilustracióndecágono Polígono que tiene
diez lados y diez ángulos
Angulo central: β=36 °Angulo interior: α=144 °Perímetro: P=5 alÁrea: A=10lSuma de los ángulos interiores: Sn=1440°
dodecágonoPolígono que tiene doce ángulos y doce lados
Ángulo central: β=30 °Ángulo interior: α=150 °Perímetro: P=6a lÁrea: A=12lSuma de los ángulos interiores: Sn=1800°
heptágonoPolígono de siete ángulos y siete lados.
Ángulo central:
β=360 °7
=51.43 °
Ángulo interior:
α=900 °7
=128.57 °
Perímetro: P=7 al2
Área: A=7 lSuma de los ángulos interiores: Sn=900 °
hexágono Polígono de seis ángulos y seis lados
Ángulo central: β=60 °Ángulo interior: α=120 °Perímetro: P=3 alÁrea: A=6 lSuma de los ángulos interiores: Sn=720°
octágonoPolígono de ocho ángulos y ocho lados
Ángulo central: β=45°Ángulo interior: α=135 °Perímetro: P=4alÁrea: A=8 lSuma de los ángulos interiores: Sn=1080°
Pentágono Polígono de cinco ángulos y cinco lados.
Ángulo central: β=72 °Ángulo interior: α=108 °
Perímetro: P=5 al2
Área: A=5lSuma de los ángulos interiores: Sn=540°
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Figura Definición Fórmulas Ilustración
Polígono regular
Polígono cuyos ángulos y lados tienen la misma medida
Ángulo central:
β=360 °n
=51.43 °
Ángulo interior:
α=180 (n−2 ) °
nPerímetro: P=nl
Radio: r=√a2+ l2
4Suma de los ángulos interiores: Sn=180° (n−2 )
Rectángulo Que tiene ángulos rectos.
Paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos.
Perímetro: P=2 (a+b )Área: A=ab
Rombo Paralelogramo que tiene los lados iguales y dos de sus ángulos mayores que los otros dos.
Perímetro: P=4aÁrea: A=ah
Romboide Cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos entre si.
Perímetro: P=2 (a+b )Área: A=ab
Sector circular Porción de círculo comprendida entre un arco y los dos radios que pasan por sus extremidades.
Área: A=π r2 a360
(a es grados)
A=α r2
2 (α en radianes)
Trapecio Cuadrilátero irregular que tiene paralelos solamente dos de sus lados.
Perímetro: P=a=B+b+c
Área: A=( B+b )h
2
triángulo Polígono de tres lados.
Perímetro: P=a+b+c
Área: A=b h2
A=√ p ( p−a ) ( p−b )(p−c )
13
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Figura Definición Fórmulas Ilustración
A=12
absenC
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FIGURAS DEL ESPACIO
Figura Definición Fórmulas Ilustración
Cilindro Cuerpo limitado por una superficie cilíndrica cerrada y dos planos que la cortan.
Área lateral: Al=2πr hÁrea de base:
Ab=π r 2
Área total: At=2πr (h+r )Volumen: V=π r2 h
cono recto Cuerpo de revolución que se obtiene de la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos (el que determina el eje).
Área lateral: Al=πrgÁrea de base: Ab=π r 2
Área total: At=πrg+π r2
At=πr (g+r )Volumen:
V=13
π r2
Figura Definición Fórmulas Ilustración
cono truncado
Parte de un cono comprendida entre la base y otro plano que corta todas sus generatrices.
Área lateral: Al=πg (R+r )
Área de base: Ab=π R2+π r2
Área total: At=πg ( R+r )+π R2+π r2
At=π [g ( R+r )+R2 ]
Volumen:
V=13
π−hR−r
( R3−r3 )
V=π h ( R2+Rh+h2 )
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cubo o hexaedro
Sólido regular limitado por seis cuadrados iguales.
Radio: R=l √32
Apotema: a= l2
Área: A=6 l2
Volumen: V=l3
Figura Definición Fórmulas Ilustracióncuña esférica
Parte de un esfera limitada por su superficie y por dos semicírculos máximos que comparten el miso diámetro.
Área:
A=4 π r2α360°
si αen grados
A=2r 2 α si αen radianesVolumen:
V= π r3 α270 °
si αen grados
V=2 r3 α3
si αen radianes
dodecaedro Sólido de doce caras. Aquel cuyas caras son pentágonos regulares.
Radio: R= l √62√3−√5
Apotema: a= l√25+11√5√40
Área: A=3l2 √25+√10√5
Volumen: V=5 l3
6√7+3√5
√2icosaedro
Sólido limitado por 20 caras. Aquel cuyas caras son todos triángulos equiláteros iguales.
Radio: R=l √10+2√54
Apotema: a= l2=√ 7+3√5
6Área: A=3l2 √25+√10√5Área: V=5 l2 √3
Volumen:V=5 l3
6 √ 7+3√52
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octaedro Poliedro de ocho caras o planos.
Radio: R=√22
l
Apotema: a=√66
l
Área: A=2l √3
Volumen:V=√23
l3
ortoedro Paralelepípedo cuyas caras forman ángulos diedros rectos.
Área: A=2 ( ab+bc+ac )
Volumen: V=abc
pirámide Sólido que tiene por base un polígono cualquiera y cuyas caras, tantas en número como los lados de aquel, son triángulos que se juntan en un solo punto, llamado vértice.
Área lateral: Al=n( ap ) l
2, n es el
numero de lados de la base
Área total: At=n(ap+ab ) l
2
Volumen: V=13
Abase h
Figura Definición Fórmulas Ilustraciónprisma Cuerpo limitado por
dos polígonos planos, paralelos e iguales que se llaman bases, y por tantos paralelogramos cuantos lados tenga cada base. Si estas son triángulos, el prisma se llama triangular; si pentágonos, pentagonal, etc.
Área lateral: Al=nal, n es el numero de lados de la base
Área total: At=nl ¿ Volumen: V=nl ab a
tetraedro Sólido determinado por cuatro planos o caras.regular. Aquel cuyas caras son triángulos equiláteros.
Radio: R= l
2√ 23
Apotema: a= l2√6
Área: A=a2 √3
Volumen:V= l3 √212
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MatemáticasGlosario 9-12
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Ángulo plano-plano cos α=|nπ ∙ nω||nπ|∙|nω|
Ángulo recta-recta tan α= m'
1+m ∙m'
cos α=|u∙ v||u|∙|v|
Ángulo vector-vectorcos α= u∙ v
|u|∙|v|
Distancia punto-punto dist (P1 , P2)=√ ( x2−x1 )2+( y2− y1 )2
dist ¿
Distancia punto-plano dist ( P ,π )=|a x0+b y0+c|
√a2+b2
dist ( P ,π )=|a x0+b y0+c z0+d|
√a2+b2+c2
Punto medio de un segmento M=( x0−x1
2,
y0− y1
2 )( x0−x1
2,
y0− y1
2,
z0−z1
2 )Ecuación de una recta en el espacio
Ecuación continuax−x0
v x,
y− y0
v y,z−z0
v z
Ecuaciones paramétricasx=x0+λ vx
y= y0+ λ v y
z=z0+λ vz
Ecuación vectorial ( x , y , z )=x0+ y0+z0+ λ(vx , , v y , v z)
Ecuación de una recta en el plano
Ecuación canónicaxl+ y
p=1
Ecuaciones continuas
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MatemáticasGlosario 9-12
x−x0
v x=
y− y0
v y
Ecuación explícita y=ax+b
Ecuación implícita Ax+By+C=0
Ecuaciones paramétricas{ x=x0+λ ( x1−x0 )
y= y0+λ ( y1− y0 )
o
{x=x0+λ vx
y= y0+λ v y
Ecuación punto-pendiente y− y0=m ( x−x0 )
Ecuación del plano (en el espacio)Ecuación implícita A ( x−x0 )+B ( y− y0 )+C ( z−z0 )
|ux vx x−x0
u y v y y− y0
uz vz z−z0|=0
Ecuaciones paramétricas { x=x0+ λ ux+μ v x
y= y0+λ u y+μ v y
z=z0+λ uz+μ vz
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MatemáticasGlosario 9-12
INTEGRALES
∫ adx=a∫dx=ax+C .
∫ xn dx= xn+1
n+1+C , si n≠−1 .
∫ [ f ( x ) ]n f ' (x ) dx= [ f ( x ) ]n+1
n+1+C , si n≠−1 .
∫ f ' ( x )f ( x )
dx= ln [ f ( x ) ]+C .
∫ ex dx=e x+C .∫ e f ( x ) f ' ( x ) dx=ef ( x )+C .
∫ af ( x ) f ' ( x ) dx= af ( x )
ln a+C , si a>0 , a≠1.
∫ sen xdx=−cos x+C .
∫ sen [ f ( x ) ] f ' ( x ) dx=−cos [ f (x ) ]+C .
∫cos xdx=sen x+C .
∫cos [ f ( x ) ] f ' ( x ) dx=sen [ f ( x ) ]+C .
∫ f ' ( x )cos2 [ f ( x ) ]
dx=tan [ f ( x ) ]+C .
∫ f ' (x )sen2 [ f ( x ) ]
dx=−cot g [ f (x ) ]+C .
∫ f ' ( x )
√1−[ f ( x ) ]2dx=arcsen [ f ( x ) ]+C .
∫ −f ' ( x )
√1−[ f ( x ) ]2dx=arccos [ f ( x ) ]+C .
∫ f ' ( x )
1+ [ f ( x ) ]2dx=arctan [ f (x ) ]+C .
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MatemáticasGlosario 9-12
∫ tan x dx=−ln (cos x )+C .
∫cot gxdx= ln (senx )+C .
∫sec2 xdx= tan x+C .
∫csc2 xdx=−cot gx+C .
∫sec x tan x dx=sec x+C .
∫cos ecx cot gxdx=−cosecx+C .
∫sen xcos2 x
dx=sec x+C .
∫cos xsen2 x
dx=−cosecx+C .
∫ f ' ( x ) dx
√ [ f ( x ) ]2−a2= ln [ f ( x )+√ [ f ( x ) ]2−a2 ]+C .
∫ f ' ( x )dx
√ [ f ( x ) ]2+a2=ln [ f ( x )+√[ f (x ) ]2+a2 ]+C .
∫ dxx √x2−1
=arc sec x+C .
∫ f ' ( x )dx
f ( x ) √[ f ( x ) ]2−a2=
1a
arc sec f ( x )a
+C .
∫ −dxx √x2−1
=arccos ecx+C .
LOGARITMOS
log a ( MN )=log a M +log a N
log a( MN )=loga M−loga N
log a M r=r loga M
log a M=¿ log Mlog a
= ln Mln a
¿
21
MatemáticasGlosario 9-12
POTENCIAS
an ∙ am=an+m an
am =an−m
am∙ bm=(a ∙ b )m an
bn =( ab )
n
a−n= 1an ( a
b )−n
=( ba )
n
(an )m=anm a1=a
a0=1 , paraa≠ 0
PROBABILIDAD
Teorema de Laplace: P= casos favorablescasos posibles
Probabilidad de la IntersecciónEventos independientes: p ( A i ∩B )=p ( Ai ) p(B)
Eventos dependientes: P ( A ∩B )=p ( A ) p( BA )
Probabilidad condicionada: p( BA )= p ( A ∩ B )
p (A ), paraP (A )≠ 0
Probabilidad de la unión:Eventos incompatibles: p ( A∪B )=p ( A )+P (B)Eventos compatibles: p ( A∪B )=p ( A )+ p ( B )−p (A ∩B)
Probabilidad del evento contrario: q=1−p, si p y q son las probabilidades de los eventos contrarios.
Probabilidad total:P (B )=p ( A1 ) p ( BA1 )+p ( A2 ) p( B
A2 )+⋯+ p ( An ) p ( BAn )
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MatemáticasGlosario 9-12
Teorema de Bayes: p( Ai
B )=p ( A i ) ∙ p( B
Ai )p ( A1 ) p( B
A1 )+⋯+ p ( An ) p( BAn )
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MatemáticasGlosario 9-12
RADICALES
n√a ∙ n√b=n√a ∙ b n√an√b
=n√ ab
( n√am )p=
n√amp
n√m√a=nm√a
nk√amk=n√amn√am=a
mn
SUCESIONES
Sucesión aritmética Sucesión aritmética
an=a1+(n−1 ) d an=a1 ∙ rn−1
aq=a p+ (q−p ) d aq=a p∙ rq−r
Pn=√( a1 ∙ an )n
S=an ∙ r−ai
r−1
S=a1rn−1r−1
S=a1+an
2∙ n r=p+1√ b
a
d=b−ap+1
Sucesión geométrica limitada
S=a1
1−r
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MatemáticasGlosario 9-12
TRIGONOMETRÍA
Definiciones
sin θ= opuestohipotenusa
csc θ=hipotenusaopuesto
cosθ= adyacentehipotenusa
secθ=hipotenusaadyacente
tanθ= opuestoadyacent e
cot θ=adyacenteopuesto
sin θ= yr
csc θ= ry
cosθ= xr
secθ= rx
tanθ= yx
cot θ= xy
Razones trigonométricas
0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 °
sin α 012
√22
√32
1 0
cos α 1 √32
√22
12 0 -1
tan α 0 √33
1 √3 ∞ 0
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Identidades
sin θ= 1csc x
sec x ¿ 1cos x
tan x ¿ 1cot x
csc x¿ 1sin x
cos x ¿ 1sec x
cot x= 1tan x
tan x= sin xcos x
cot x= cos xsin x
sin2 x+cos2 x=1 1+ tan2 x=sec2 x 1+cot2 x=csc2 x
Doble ángulo
sin 2u=2sin u cosu
cos2u=cos2 u−sin 2ucos2 u=2cos2u−1cos2u=1−2 sin2u
tan2u= 2 tan u1−tan2 u
Potencia
sin2 u=1−cos2u2
cos2u=1+cos 2u2
tan2u=1−cos2 u1+cos2u
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MatemáticasGlosario 9-12
Producto a suma
sin u sin v=12 [cos (u−v )−cos (u+v ) ]
cosucos v=12 [cos (u−v )+cos (u+v ) ]
sin ucos v=12 [sin (u+v )+sin (u−v ) ]
cosu sin v=12 [sin (u+v )−sin (u−v ) ]
Suma y Diferenciasin (u ± v )=sin u cos v± cosu sin vcos (u± v )=cosucos v∓sin u sin v
tan (u ± v )= tanu ± tan v1∓ tan u tan v
Suma a producto
sin u+sin v=2 sin(u+v2 )cos ( u−v
2 )sin u−sin v=2 cos (u+v
2 )sin( u−v2 )
cosu+cosv=2cos ( u+v2 )cos (u−v
2 )cosu−cos v=−2 sin( u+v
2 )sin( u−v2 )
Ley de Seno
sin Aa
= sin Bb
= sin Cc
Ley de Coseno
a2=b2+c2−2 bc cos Ab2=a2+c2−2 ac cos Bc2=a2+b2−2ab cos C
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MatemáticasGlosario 9-12
VECTORES
Módulo: |v|=√vx2 +v y
2
Argumento: α=arctan ( v y
vx)
Operaciones
Suma: u+ v=(ux ,u y)+ (v x , uy )=(ux+v x , uy+u y)Resta: u−v= (ux , uy )−( v x , v y )=(ux−vx ,u y−v y)Producto de un vector por un escalar: k ∙ v=k ∙ ( vx , v y )= (kv x , k v y )Producto escalar: u ∙ v=(ux ,u y )∙ ( vx ,u y )=(ux ∙ vx )+(uy ∙ v y )
u ∙ v=|u||v|cos α
Producto cruz:u × v=| i j kux u y uz
vx v y vz|, donde i , j , k constituyenlabase
Fuente: Guía Operacional Matemática 9 de Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). Puerto Rico 28