Autor: M. F. Med. Eduardo Montero

Editado por: Ing. Naval Rosa Cano B.

Componentes del movimiento

vsenv

vv

y

x

cos

tvyy

tvxx

y

x

0

0

Si la pelota que se mueve en diagonal en la figura (a) tiene una velocidad

constante de 0.50 m/s en un ángulo de 37º relativo al eje x, calcule qué

distancia recorrerá en 3.0 s utilizando los componentes x y y de su movimiento.

Para un movimiento en un plano con aceleración constante cuyos componentes

son ax y ay, tendríamos:

tavv

tavv

tatvyy

tatvxx

yyy

xxx

yy

xx

0

0

0

0

2

21

0

2

21

0

Suponga que una pelota tiene una

velocidad inicial de 1.50 m/s sobre el

eje x y que, a partir de t0 = 0, recibe

una aceleración de 2.80 m/s2 en la

dirección y. (a) ¿Dónde está la pelota

3.00 s después de t0? (b) ¿Qué

velocidad tiene la pelota en ese

momento?

Suponga que la pelota también recibió

una aceleración de 1.00 m/s2 en la

dirección +x a partir de t0. ¿En que

posición estaría la pelota 3.00 s

después de t0 en este caso?

El movimiento parabólico es el de un objeto que se arroja al aire en

un ángulo determinado.

El movimiento parabólico es la composición de dos movimientos:

•Uniforme a lo largo del eje X.

•Uniformemente variado a lo largo del eje vertical Y.

ejemplo

En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una

velocidad inicial v0, haciendo un ángulo con la horizontal, las

componentes de la velocidad inicial son:

senvv

cosvv

00y

00x

Las ecuaciones del movimiento se obtienen fácilmente teniendo en

cuenta que el movimiento resultante es la composición de dos

movimientos.

tvxvva xxxx 000

210 0 0 2

2 2

0 0

( ) ( )

2( )( )

y y y y

y y

a g v v g t y y v t g t

v v g y y

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e

y, obtenemos la ecuación de la trayectoria:

2

22

o

0 xcosv2

gxtanyy

que tiene la forma y = ax2 + bx + c, lo que representa una parábola.

Obtenemos la altura máxima, cuando la componente vertical de la

velocidad vy es cero; el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna

al suelo y = 0.

Suponga que un golfista golpea una pelota en el “tee” impartiéndole una

velocidad inicial de 30.0 m/s con un ángulo de 35º respecto a la horizontal,

como se muestra en la figura. (a) ¿Qué altura máxima alcanza la pelota?

(b) ¿Qué alcance tiene?

¿Cómo cambiarían los valores de altura máxima y alcance si la pelota se

hubiera golpeado igual en la superficie de la Luna?

Una joven parada en un puente lanza una piedra con una velocidad inicial de 12

m/s en un ángulo de 45º bajo la horizontal, en un intento por golpear una tabla

que flota en el río. Si la piedra se lanza desde una altura de 20 m sobre el río y

llega al mismo cuando la tabla está a 13 m del puente, ¿golpeará la tabla?

Consideremos dos pelotas, ambas lanzadas con la misma rapidez inicial v0,

pero una con un ángulo de 45º arriba de la horizontal y la otra con un ángulo

de 45º debajo de la horizontal. Al llegar al suelo, ¿cuál llega con mayor

rapidez?

ALCANCE

Para cierta v0, el alcance es máximo cuando el ángulo de

lanzamiento es de 45º. Con un ángulo mayor o menor, si la velocidad

inicial es la misma, el alcance será menor.

Lo anterior es válido si se desprecia la resistencia del aire. En

situaciones reales, como cuando se lanza o golpea fuertemente una

pelota u otro objeto, ese factor podría tener un efecto importante. La

resistencia del aire reduce la rapidez del proyectil, y por tanto el

alcance.

Un jugador de hockey lanza un tiro en una práctica cuando está 15.0 m

directamente frente a la red. La red tiene 1.20 m de altura y el disco se golpea

inicialmente con un ángulo de 5.00º sobre el hielo, con una rapidez de 35.0 m/s.

Determine si el disco entra en la red o no. Si lo hace, determine si el disco está

en ascenso o en descenso cuando cruza el plano frontal de la red.

¿A qué distancia de la red comenzó a descender el disco?

PROYECCIONES HORIZONTALES

Es un caso especial del movimiento parabólico, donde el proyectil es

lanzado desde el punto de altura máxima.

En este caso, la velocidad inicial sólo tiene componente a lo largo del

eje X, es decir vx0 = v0 y vy0 = 0.

Suponga que la pelota de la figura se proyecta desde una altura de 25.0 m sobre

el suelo y se le imprime una velocidad horizontal de 8.25 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo

tarda la pelota en llegar al suelo? (b) ¿A qué distancia del edificio toca el suelo

la pelota?

2

21

0y0 gttvyy 2

21 )8.9(025 t

t = 2.26 stvx 0x

x = 18.6 m

Un acróbata en motocicleta se lanza del borde de un risco. Justo en el

borde, su velocidad es horizontal con magnitud de 9.0 m/s. Obtenga la

posición, distancia desde el borde y velocidad de la motocicleta después

de 0.50 s.

Un bateador golpea una pelota de beisbol de modo que esta sale del

bate a una rapidez v0=37.0 m/s con un ángulo a0=53.1°, en un

lugar donde g=9.80 m/s2.

a) Calcule la posición de la pelota y la magnitud y dirección de su

velocidad cuando t=2.00 s.

b) Determine cuando la pelota alcanza el punto mas alto y su altura h en

ese punto.

c) Obtenga el alcance horizontal R, es decir, la distancia horizontal

desde el punto de partida hasta donde la pelota cae al suelo.

2. Suponga que una pelota se proyecta desde una altura de 20.0 m

sobre el suelo y se le imprime una velocidad horizontal de 5 m/s.

(a)¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo?

(b)¿A qué distancia del edificio toca el suelo la pelota?

1. Un jugador de hokey golpea un disco de modo que esta sale del bate

a una rapidez v0=20.0 m/s con un ángulo 45

a) Calcule la posición del disco cuando t=2.00 s.

b) Determine cuando la pelota alcanza el punto mas alto y su altura h en

ese punto.

c) Calcule la magnitud y dirección de su velocidad cuando t=3.00 s.

d) Obtenga el alcance máximo.

LECCIÓN

3. Una joven parada en un puente lanza una piedra con una velocidad

inicial de 10 m/s en un ángulo de 45º sobre la horizontal, en un intento

por golpear una tabla que flota en el río. Si la piedra se lanza desde

una altura de 20 m sobre el río y llega al mismo cuando la tabla está a

10 m del puente, ¿golpeará la tabla?