TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO

VER INTRODUCCIÓNVER EXISTENCIA Y

UNICIDAD DE SOLUCIÓN

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INTRODUCCIÓN

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia yunicidad de la solución es de suma importancia pues con seguridad se espera tener una solución debidoa que físicamente de algo de suceder. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es naturalpreguntarse por:

Existencia: ¿existirá una solución al problema?

Unicidad: en caso de que exista solución, ¿será única?

Determinación: en caso de que exista solución, ¿cómo se determina?

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EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIÓN

Para una gran clase de problemas de valor inicial, la existencia y unicidad de una solución puede serdemostrado por el Teorema de Picard-Lindeöt, garantiza una solución única en el intervalo que contienealgunos 𝑡0 si f y sus derivadas parciales 𝜕𝑓/𝜕𝑦son continuas en una región que contiene 𝑡0 𝑒 𝑦0.

Una prueba de Picard-Lindelöt el teorema construye una secuencia de funciones que converge a lasolución de la integral de la ecuación y por lo tanto, la solución del problema de valor inicial. Dichaconstrucción a veces se denomina el método de aproximaciones sucesivas.

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TEOREMA

Sea 𝑅 una región rectangular del plano 𝑥𝑦, definido por 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, que contiene al punto

𝑥0, 𝑦0 . Si 𝑓 𝑥, 𝑦 y la𝜕𝑓

𝜕𝑦son continuas en 𝑓, entonces existe un intervalo y, centrado en 𝑥0 y una

función única, 𝑦 = 𝑓 𝑥 , que satisface el valor inicial expresado por las ecuaciones. El resultado anteriores uno de los teoremas más comunes de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden ya que

es bastante fácil comprobar los criterios de continuidad de 𝑓 𝑥, 𝑦 y la𝜕𝑓

𝜕𝑦.

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CONDICIONES

Se tiene una ecuación diferencial

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0

Existe una solución única para el problema de 𝑉𝐼 𝑥0, 𝑦0Existe una solución única para las ecuaciones si se cumple que:

𝑑𝑓

𝑑𝑦𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 son continuas en un intervalo 𝐼 que contenga al punto 𝑥0, 𝑦0

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EJEMPLO DE LA SOLUCIÓN ÚNICA EN UNA ECUACIÓN DIFERENCIALEJEMPLO:

La ecuación diferencial 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑥𝑦

1

2 = 0 sujeto a (0,0) ¿tiene una solución única?

SOLUCIÓN:

Del problema se despeja la derivada 𝑑𝑦

𝑑𝑥:

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑥𝑦

12 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑦

12

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Analizando las condiciones de la ecuación:𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦

12

Condiciones:

Si se analiza el intervalo de continuidad para x sería: 𝑥 ∈ ℝ

Si se analiza el intervalo de continuidad para y sería: 𝑦 ≥ 0

La región es: 𝑥 ∈ ℝ , 𝑦 ≥ 0

Después, derivando 𝑓 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦12

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑥

1

2𝑦−

12 =

𝑥𝑦−12

2

𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝑥

2𝑦12

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Entonces, se analiza lo siguiente:

𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝑥

2𝑦12

=𝑥

2 𝑦

Condiciones:

Si se analiza el intervalo de continuidad para x sería: 𝑥 ∈ ℝ

Si se analiza el intervalo de continuidad para y sería: 𝑦 > 0

Analizando las dos regiones de continuidad, la región resultante es: 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 > 0, la cual nocontiene a (0,0).

Por lo tanto, el resultado es:

∴ 𝐿𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑎REGRESAR AL CONTENIDO

EJEMPLO DE LA SOLUCIÓN ÚNICA EN UNA ECUACIÓN DIFERENCIALEjemplo:

Determinar la región de un plano 𝑥𝑦 donde la ecuación diferencial es𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑦. ¿Tiene solución única?

SOLUCIÓN:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑦

Entonces:𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥 𝑦

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Así que:𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦

Condiciones:

Si se analiza el intervalo de continuidad para x sería: 𝑥 ≥ 0

Si se analiza el intervalo de continuidad para y sería: 𝑦 ≥ 0

La región es: 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0

Después, derivando 𝑓 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥12𝑦

12

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑥

12

1

2𝑦−

12 = 𝑥

12

1

2𝑦12

=𝑥12

2𝑦12

𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝑥

2 𝑦 REGRESAR AL CONTENIDO

Analizando el resultado de la derivada, se menciona lo siguiente:

𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝑥

2 𝑦

Condiciones:

Si se analiza el intervalo de continuidad para x sería: 𝑥 ≥ 0

Si se analiza el intervalo de continuidad para y sería: 𝑦 > 0

Analizando las dos regiones de continuidad, la región resultante es: 𝑥 ≥ 0, 𝑦 > 0, la cual nocontiene a (0,0).

Se concluye que:

∴ 𝐿𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑎REGRESAR AL CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

D. Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: CENGAGE Learning.

Espinosa Ramos, E. (1996). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Lima.

Jover, I. C. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

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