ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

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DEMOSTRACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE BERNOULLI

Es una ecuación diferencial de primer orden que se puede expresar de la forma:

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦𝑃 𝑥 = 𝑞 𝑥 ∗ 𝑦𝑛

Donde 𝑃 𝑥 y 𝑞 𝑥 son continuas en un intervalo 𝑎, 𝑏 y 𝑛 ∈ ℛ.

Sustituyendo 𝑣 = 𝑦1−𝑛:

𝑑𝑣

𝑑𝑥=𝑑𝑣

𝑑𝑦∗𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 1 − 𝑛 𝑦1−𝑛−1

𝑑𝑦

𝑑𝑥

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𝑑𝑣

𝑑𝑥= 1 − 𝑛 𝑦1−𝑛−1

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 1 − 𝑛 𝑦−𝑛

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑦−𝑛𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

1 − 𝑛∗𝑑𝑣

𝑑𝑥

De la ecuación 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 ∗ 𝑃 𝑥 = 𝑞 𝑥 ∗ 𝑦𝑛

Se multiplicará por 1

𝑦𝑛:

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 ∗ 𝑃 𝑥 = 𝑞 𝑥 ∗ 𝑦𝑛

1

𝑦𝑛

1

𝑦𝑛∗𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑦

𝑦𝑛∗ 𝑃 𝑥 = 𝑞 𝑥 ∗

𝑦𝑛

𝑦𝑛

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1

𝑦𝑛𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑦

𝑦𝑛𝑃 𝑥 = 𝑞 𝑥 ∗

𝑦𝑛

𝑦𝑛

𝑦−𝑛𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦1−𝑛𝑃 𝑥 = 𝑞 𝑥

Remplazando 𝑣 = 𝑦1−𝑛:1

1 − 𝑛

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑣 𝑃 𝑥 = 𝑞 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 1 − 𝑛 𝑣 ∗ 𝑃 𝑥 = 1 − 𝑛 𝑞 𝑥

Entonces:𝑣 = Ω 𝑥

𝑦1−𝑛 = Ω 𝑥

𝑦 = Ω 𝑥11−𝑛

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EJEMPLO COMO ILUSTRACIÓN DEL MÉTODO DE BERNOULLI

EJEMPLO: Resolver𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5𝑦 = −

5

2𝑥𝑦3

SOLUCIÓN:

Se observa que:𝑛 = 3

Entonces, utilizando las fórmulas:𝑣 = 𝑦1−𝑛 = 𝑦1−3 = 𝑦−2

𝑑𝑣

𝑑𝑦= −2𝑦−3

𝑑𝑣

𝑑𝑥=𝑑𝑣

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −2𝑦−3

𝑑𝑦

𝑑𝑥REGRESAR AL CONTENIDO

Remplazando los resultados de las fórmulas en la ecuación diferencial:

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5𝑦 = −

5

2𝑥𝑦3

−2𝑦−3𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5𝑦 = −

5

2𝑥𝑦3

−2𝑦−3𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 10𝑦−2 = 5𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 10𝑣 = 5𝑥

Y las funciones que representan la ecuación diferencial lineal de primer orden:

𝑃 𝑥 = 10 𝑔 𝑥 = 5𝑥

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Esta nueva ecuación diferencial se puede resolver por el método del factor integrante. Utilizandoprimeramente la primera fórmula:

𝑢 𝑥 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 𝑥 = 𝑒10 𝑑𝑥

𝑢 𝑥 = 𝑒10𝑥

Y la segunda fórmula:

𝑣 𝑥 =1

𝑢 𝑥 𝑢 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑣 𝑥 =1

𝑒10𝑥 𝑒10𝑥 ∗ 5𝑥𝑑𝑥

𝑣 𝑥 =5

𝑒10𝑥 𝑥𝑒10𝑥𝑑𝑥

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Resolviendo la integral por el método de integración por partes:

𝑥𝑒10𝑥𝑑𝑥

I L A T E

ℎ = 𝑥 𝑑𝑧 = 𝑒10𝑥 𝑑𝑥𝑑ℎ

𝑑𝑥= 1 𝑑𝑧 = 𝑒10𝑥 𝑑𝑥

𝑑ℎ = 𝑑𝑥 𝑧 =𝑒10𝑥

10

Utilizando la fórmula de integración por partes:

ℎ 𝑑𝑧 = ℎ𝑧 − 𝑧 𝑑ℎ

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Sustituyendo:

𝑥𝑒10𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒10𝑥

10−

𝑒10𝑥

10𝑑𝑥

=𝑥𝑒10𝑥

10−1

10 𝑒10𝑥𝑑𝑥

=𝑥𝑒10𝑥

10−1

10

𝑒10𝑥

10+ 𝐶

=𝑥𝑒10𝑥

10−𝑒10𝑥

100+ 𝐶

Regresando:

𝑣 𝑥 =5

𝑒10𝑥 𝑥𝑒10𝑥𝑑𝑥

𝑣 𝑥 =5

𝑒10𝑥𝑥𝑒10𝑥

10−1

100𝑒10𝑥 + 𝐶 REGRESAR AL

CONTENIDO

𝑣 𝑥 =5

𝑒10𝑥𝑥𝑒10𝑥

10−1

100𝑒10𝑥 + 𝐶

𝑣 𝑥 =5𝑥

10−5

100+𝐶

𝑒10𝑥

𝑣 𝑥 =1

2𝑥 −

1

20+ 𝐶𝑒−10𝑥

Recordando que 𝑣 𝑥 = 𝑦−2:

𝑣 𝑥 =1

2𝑥 −

1

20+ 𝐶𝑒−10𝑥

𝑦−2 =1

2𝑥 −

1

20+ 𝐶𝑒−10𝑥

∴ 𝑦 =1

2𝑥 −

1

20+ 𝐶𝑒−10𝑥

−12

𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑦 =1

12𝑥 −

120+ 𝐶𝑒−10𝑥

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BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

D. Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: CENGAGE Learning.

Espinosa Ramos, E. (1996). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Lima.

Jover, I. C. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

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