APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA A VELOCIDADES O RITMOS DE CAMBIO RELACIONADOS TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

EJEMPLO

Aplicar la regla de la cadena para:

𝑥1 = 4 cos 𝑡 𝑦 𝑥2 = 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡𝑦1 = 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑦 𝑦2 = 3 cos 2𝑡

Para 𝑡 = 𝜋

Solución:

Se utiliza la siguiente ecuación:

𝜕𝑠

𝜕𝑡=

𝑑𝑠

𝑑𝑥1

𝑑𝑥1𝑑𝑡

+𝑑𝑠

𝑑𝑥2

𝑑𝑥2𝑑𝑡

+𝑑𝑠

𝑑𝑦1

𝑑𝑦1𝑑𝑡

+𝑑𝑠

𝑑𝑦2

𝑑𝑦2𝑑𝑡

Pero antes se hace lo siguiente. Si 𝑡 = 𝜋:

𝑥1 = 4 cos 𝜋 = 4 −1 = −4𝑥2 = 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝜋 = 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 = 2 0 = 0

𝑦1 = 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝜋 = 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 = 2 0 = 0𝑦2 = 3 cos 2 𝜋 = 3 cos 2𝜋 = 3 1 = 3

La fórmula para la distancia entre objetos es:

𝑠 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2

Y tomando los valores de 𝑥1, 𝑥2, 𝑦1 𝑦 𝑦2 en la fórmula de la distancia:

𝑠 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 = 0 + 4 2 + 3 − 0 2

𝑠 = 4 2 + 3 2 = 16 + 9 = 25

∴ 𝑠 = 5

Y reemplazando el valor de “t” en cada resultado de la derivada:𝑑𝑥1𝑑𝑡 𝑡=𝜋

= −4 𝑠𝑒𝑛 𝜋 = −4 0 = 0

𝑑𝑥2𝑑𝑡 𝑡=𝜋

= 4 cos 2𝜋 = 4 1 = 4

𝑑𝑦1𝑑𝑡 𝑡=𝜋

= 4 cos 2𝜋 = 4 1 = 4

𝑑𝑦2𝑑𝑡 𝑡=𝜋

= −6 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 = −6 0 = 0

Ahora, derivando las cuatro funciones con respecto a “t”:𝑑𝑥1𝑑𝑡

=𝑑

𝑑𝑡4 cos 𝑡 = 4

𝑑

𝑑𝑡cos 𝑡 = −4 𝑠𝑒𝑛 𝑡

𝑑𝑥2𝑑𝑡

=𝑑

𝑑𝑡2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 = 2

𝑑

𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡 = 2 2 cos 2𝑡 = 4 cos 2𝑡

𝑑𝑦1𝑑𝑡

=𝑑

𝑑𝑡2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 = 2

𝑑

𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡 = 2 2 cos 2𝑡 = 4 cos 2𝑡

𝑑𝑦2𝑑𝑡

=𝑑

𝑑𝑡3 cos 2𝑡 = 3

𝑑

𝑑𝑡cos 2𝑡 = 3 −2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 = −6 𝑠𝑒𝑛 2𝑡

Regresando a la fórmula de la distancia:

𝑠 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2

Derivándolo parcialmente con respecto a 𝑥1:𝑑𝑠

𝑑𝑥1=

𝜕

𝜕𝑥1𝑥2 − 𝑥1

2 + 𝑦2 − 𝑦12 =

1

2 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2−2 𝑥2 − 𝑥1

𝑑𝑠

𝑑𝑥1= −

𝑥2 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2

Si 𝑥1 = −4, 𝑥2 = 0, 𝑦1 = 0, 𝑦2 = 3:

𝑑𝑠

𝑑𝑥1= −

0 + 4

2 0 + 4 2 + 3 − 0 2= −

4

16 + 9= −

4

25

𝑑𝑠

𝑑𝑥1= −

4

5

Derivándolo parcialmente con respecto a 𝑥2:

𝑑𝑠

𝑑𝑥2=

𝜕

𝜕𝑥2𝑥2 − 𝑥1

2 + 𝑦2 − 𝑦12 =

1

2 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

22 𝑥2 − 𝑥1

𝑑𝑠

𝑑𝑥2=

𝑥2 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2

Si 𝑥1 = −4, 𝑥2 = 0, 𝑦1 = 0, 𝑦2 = 3:

𝑑𝑠

𝑑𝑥2=

0 + 4

0 + 4 2 + 3 − 0 2=

4

16 + 9=

4

25

𝑑𝑠

𝑑𝑥2=4

5

Derivándolo parcialmente con respecto a 𝑦1:

𝑑𝑠

𝑑𝑦1=

𝜕

𝜕𝑦1𝑥2 − 𝑥1

2 + 𝑦2 − 𝑦12 =

1

2 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2−2 𝑦2 − 𝑦1

𝑑𝑠

𝑑𝑦1= −

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2

Si 𝑥1 = −4, 𝑥2 = 0, 𝑦1 = 0, 𝑦2 = 3:

𝑑𝑠

𝑑𝑦1= −

3 − 0

2 0 + 4 2 + 3 − 0 2= −

3

16 + 9= −

3

25

𝑑𝑠

𝑑𝑦1= −

3

5

Derivándolo parcialmente con respecto a 𝑦2:

𝑑𝑠

𝑑𝑦2=

𝜕

𝜕𝑦2𝑥2 − 𝑥1

2 + 𝑦2 − 𝑦12 =

1

2 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

22 𝑦2 − 𝑦1

𝑑𝑠

𝑑𝑦2=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2

Si 𝑥1 = −4, 𝑥2 = 0, 𝑦1 = 0, 𝑦2 = 3:

𝑑𝑠

𝑑𝑦2=

3 − 0

0 + 4 2 + 3 − 0 2=

3

16 + 9=

3

25

𝑑𝑠

𝑑𝑦2=3

5

Regresando:

𝜕𝑠

𝜕𝑡=

𝑑𝑠

𝑑𝑥1

𝑑𝑥1𝑑𝑡

+𝑑𝑠

𝑑𝑥2

𝑑𝑥2𝑑𝑡

+𝑑𝑠

𝑑𝑦1

𝑑𝑦1𝑑𝑡

+𝑑𝑠

𝑑𝑦2

𝑑𝑦2𝑑𝑡

𝜕𝑠

𝜕𝑡= −

4

50 +

4

54 + −

3

5−2 +

3

50 = 0 +

16

5+6

5+ 0 =

22

5

∴𝜕𝑠

𝜕𝑡=22

5

BIBLIOGRAFÍAS

❖Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

❖Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

❖R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.