Ac result 2005_analisis_matematicav2

INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTODE LA EDUCACIÓN SUPERIOR

ICFES

SUBDIRECCIÓN ACADÉMICAGRUPO DE EVALUACIÓN DE

LA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA

CONVENIO ICFES - UNIVERSIDAD NACIONALÁREA DE MATEMÁTICAS

ANÁLISIS DE RESULTADOS 2005

Myriam Acevedo C., Reinaldo Montañez P.y Crecencio Huertas C.

(Universidad Nacional de Colombia)María Cristina Pérez

(Profesora pensionadaSecretaría de Educación Distrital)

Grace J. Vesga Bravo(ICFES)

ANÁLISIS DE RESULTADOS 2005Matemática

Grupo de Evaluación de la Educación Superior - ICFESClaudia Lucia Sáenz Blanco

Grupo de Evaluación de la Educación Básica y Media - ICFESGrace Judith Vesga Bravo

©©©©©ISSN: 1909-3993

Diseño y diagramación:Secretaría General, Grupo de Procesos Editoriales - ICFES

Pre-prensa digital, impresión y terminados:Secretaría General, Grupo de Procesos Editoriales - ICFES

Carmen Inés Bernal de RodríguezAsesora Dirección General -ICFES

Impreso en Colombia en junio de 2006

INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DEINSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DEINSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DEINSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DEINSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DELA EDUCACIÓN SUPERIORLA EDUCACIÓN SUPERIORLA EDUCACIÓN SUPERIORLA EDUCACIÓN SUPERIORLA EDUCACIÓN SUPERIOR

Director GeneralDirector GeneralDirector GeneralDirector GeneralDirector GeneralMARGARITA MARÍA PEÑA BORRERO

Secretario GeneralSecretario GeneralSecretario GeneralSecretario GeneralSecretario GeneralGENISBERTO LÓPEZ CONDE

Subdirector de LogísticaSubdirector de LogísticaSubdirector de LogísticaSubdirector de LogísticaSubdirector de LogísticaFRANCISCO ERNESTO REYES JIMÉNEZ

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ALVARO URIBE VÉLEZPresidente de la RepúblicaPresidente de la RepúblicaPresidente de la RepúblicaPresidente de la RepúblicaPresidente de la República

FRANCISCO SANTOS CALDERÓNVicepresidente de la RepúblicaVicepresidente de la RepúblicaVicepresidente de la RepúblicaVicepresidente de la RepúblicaVicepresidente de la República

CECILIA MARÍA VÉLEZ WHITEMinistra de Educación NacionalMinistra de Educación NacionalMinistra de Educación NacionalMinistra de Educación NacionalMinistra de Educación Nacional

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ANÁLISIS DE RESULTADOS DELAS PRUEBAS DE ESTADO

Introducción

En este documento se presentan los resultados del área de matemá-tica en las aplicaciones de la prueba de estado realizadas en mayo yoctubre de 2005. En primer lugar se hace un análisis de los resul-tados nacionales estableciendo comparaciones entre los dos calen-darios evaluados y haciendo referencia a los resultados del año2004. A continuación se incluye el análisis de algunas preguntasde cada uno de los componentes que conforman la prueba, buscan-do aportar elementos que le permitan a los docentes reorientar oenriquecer sus prácticas pedagógicas. En la parte final del capítu-lo se describen referentes sobre las perspectivas de la evaluación enel área y los cambios que se han empezado a implementar en lasaplicaciones del 2006, se cierra con algunas conclusiones y reco-mendaciones.

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1 Resultados nacionales, contrastes entre doscalendarios

Antes de presentar los resultados nacionales se describe el objetode evaluación de la prueba.

1.11.11.11.11.1 Objeto de evaluaciónObjeto de evaluaciónObjeto de evaluaciónObjeto de evaluaciónObjeto de evaluación

Es importante recordar que el objeto de evaluación de esta pruebaes la competencia matemática. En los referentes teóricos se ha plan-teado que un sujeto es competente en matemáticas si puede signifi-car desde las matemáticas que ha logrado construir, es decir, sipuede usar o aplicar en diversidad de situaciones el saber matemá-tico que posee. En este proceso de significación el sujeto hace explí-citas acciones que permiten dar cuenta de su competencia.

Asumiendo esta perspectiva, en las pruebas se propusieron proble-mas que indagaban tanto por el conocimiento matemático que halogrado estructurar el estudiante, como por los procesos que inter-vienen en la construcción de pensamiento matemático. El uso de lamatemática en situaciones significativas se exploró en contextosque permitieran a través de procesos de matematización reconocerlos conceptos y estructuras construidos en la matemática escolar.

Evaluando las competencias matemáticas a través del tipo de pro-blemas antes mencionados, se pretendió, no sólo destacar la impor-tancia de la resolución de problemas sino incidir sobre las prácti-cas y énfasis en el aula, en el sentido de desprender a los estudian-tes (y desde luego a los docentes) de los ejercicios o problemas tipo,propios de la práctica cotidiana y de los textos. Los estudiantes seenfrentaron a situaciones abiertas de no rutina que les exigían:seleccionar diversos caminos o estrategias, determinar posibilidadde más de una solución o ninguna, usar de manera flexible y com-prensiva el conocimiento matemático escolar en contextos, de lavida diaria, de la matemática misma y de otras ciencias.

1.21.21.21.21.2 Resultados en el núcleo comúnResultados en el núcleo comúnResultados en el núcleo comúnResultados en el núcleo comúnResultados en el núcleo común

- - - - - ReferentesReferentesReferentesReferentesReferentes

En el núcleo común de los exámenes de estado del 2005 se conside-raron, como en otras aplicaciones, aspectos del hacer matemático

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escolar en los componentes de conteo, medición, variación yaleatoriedad. Es de aclarar que los aspectos considerados son perti-nentes y adecuados según los documentos curriculares a todos losestudiantes de básica y media. Se incluyeron tanto los procesosespecíficos del pensamiento matemático, como los sistemas pro-pios de la matemática.

En relación con el conteo, se propusieron situaciones de compren-sión del significado de los números, la interpretación de represen-taciones múltiples del mismo número y sus diferentessimbolizaciones, el uso de los números y la habilidad para comuni-car, procesar e interpretar información utilizando números.

En medición, el énfasis se ubicó en la determinación de áreas yvolúmenes a través de descomposición de figuras y cuerpos y en lasolución de problemas que involucran relaciones y propiedadesgeométricas.

Respecto a lo variacional, se indagó por la comprensión del signifi-cado de la variable, la representación de situaciones y patronesnuméricos con tablas, gráficas y ecuaciones, el análisis de diversasrepresentaciones y la aplicación de métodos algebraicos en la solu-ción de problemas

En lo aleatorio, se enfatizó en el manejo de datos, en el uso e inter-pretación de gráficas, en la aplicación de técnicas de conteo (arre-glos, permutaciones y combinaciones) y en nociones básicas de pro-babilidad.

- - - - - Resultados de las PruebasResultados de las PruebasResultados de las PruebasResultados de las PruebasResultados de las Pruebas

El puntaje general de la prueba, da cuenta de la competencia mate-mática de un estudiante, involucrando dos aspectos: las accionesde competencia y los componentes.

En las gráficas 1 y 2 se muestran los promedios y desviaciones enla prueba, al nivel nacional, desde el año 2000.

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Gráfica 1. Promedio 2000 a 2005

Gráfica 2. Desviación 2000 a 2005

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El promedio de puntajes en la primera aplicación (Mayo de 2005)fue de 45 puntos con una desviación estándar de 9 puntos, y en lasegunda (Octubre de 2005) el promedio fue 44 puntos y la desvia-ción estándar de 9. En cada aplicación, el promedio es aún muybajo y la desviación estándar alta, esto último muestra una impor-tante dispersión de los grupos, se supone que una práctica pedagó-gica enriquecedora debe promover desarrollos significativos de unnúcleo más amplio de la población.

En contraste con los datos anteriores en la primera aplicación del2004 el promedio fue de 42 puntos y la desviación de 7, mientrasen la segunda el promedio fue de 41 y la desviación de 6. Se apreciaen consecuencia un aumento en el promedio del 2005 en las dosaplicaciones, pero también un aumento muy significativo de la des-viación, hecho preocupante pues cada vez la población se muestramás dispersa. A pesar del aumento en los promedios, es posible quealgunos datos extremos aumentan el promedio, perosustancialmente no se aprecia un mejoramiento en el nivel de des-empeño.

Estos resultados pueden estar asociados a una insuficiente apro-piación de los referentes curriculares (Lineamientos-Estándaresbásicos), aún no se tienen en cuenta de manera significativa lasorientaciones y nuevas perspectivas de la educación matemática.En consecuencia, la evaluación externa a pesar de ser coherentecon las orientaciones curriculares resulta en contravía del procesoescolar.

El rango de puntaje determina tres categorías: Bajo (menor o igualque 30 puntos), Medio (de 31 a 70 puntos) y Alto (mayor o igualque 70 puntos).

En la gráfica 3 se muestra el porcentaje de estudiantes que quedóubicado en cada categoría.

En la primera aplicación (Mayo de 2005) aproximadamente un 5%de la población se ubicó en el rango bajo y en la segunda aplicación(Octubre de 2005) aproximadamente un 4%. Un puntaje en esterango evidencia que solamente se logran abordar situaciones ruti-narias que exigen analizar información puntual y establecer es-trategias directas que se caracterizan por tener una sola relación,operación o algoritmo para su resolución.

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Con respecto al rango medio, en la primera aplicación aproximada-mente el 94% de la población se ubicó en este rango y en la segundaaproximadamente el 96%. Las personas que obtienen puntajes al-tos en este rango abordan algunos aspectos básicos de la matemá-tica escolar en contextos de no rutina que les exigen relacionar yorganizar información, utilizan diferentes formas de representa-ción y hacen traducciones entre ellas.

En ambas aplicaciones, menos del 1% se ubicó en el rango alto. Tansólo este porcentaje de las personas evaluadas muestran, a travésde sus desempeños, capacidad de aplicar los elementos básicos dela matemática escolar en contextos diversos y no rutinarios, rela-cionar información, reconocer condiciones y hacer inferencias ygeneralizaciones, esto es, involucran conceptualizaciones más for-males.

Gráfica 3. Porcentaje de estudiantes por categoría

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1.31.31.31.31.3 Resultados en profundizaciónResultados en profundizaciónResultados en profundizaciónResultados en profundizaciónResultados en profundización

La profundización plantea situaciones que le exigen al estudianteuna apropiación más significativa de los conceptos y estructurasmatemáticas y una mejor aproximación al lenguaje formal y a lasdiferentes formas de representación. Se da prelación a los contex-tos matemáticos. En esta parte de la prueba no se indaga por cono-cimientos de un primer semestre universitario, sino por la apro-piación significativa de los conceptos y estructuras de la matemáti-ca escolar propuestos en los lineamientos y estándares básicos decompetencia. En el 2005 se hizo un énfasis especial en la geome-tría, incluyendo elementos primarios de geometría analítica y tri-gonometría.

Los resultados de la prueba de profundización no son numéricos.Según los desempeños, los estudiantes se ubican en tres grados, (I,II y III). Los estudiantes que no presentan los elementos asociadosal primero de los grados, son ubicados en un llamado grado básico.

Las personas que se ubican en el primer grado demuestran domi-nio del conocimiento matemático requerido en situaciones proble-ma que le exigen establecer equivalencias entre expresiones en lasque se realizan transformaciones de las variables involucradas enla situación, dando cuenta de su validez en la modelación matemá-tica que se logra, teniendo en cuenta tanto las representacionesgráficas, como las expresiones simbólicas trabajadas (intervalos devariación, representaciones en el plano cartesiano, generalizacio-nes aritméticas y algebraicas).

Las personas que se ubican en el segundo grado demuestran domi-nio del conocimiento matemático requerido en situaciones proble-ma que les exigen estudiar expresiones y ecuaciones algebraicas.Igualmente analizan las relaciones de dependencia entre variables,bien sea desde la representación gráfica o simbólica, para identifi-car tipos de funciones, realizar inferencias a partir del cambio decondiciones. Resuelven además, problemas geométricos interpre-tando y usando propiedades y relaciones.

Y las personas que se ubican en el tercer grado demuestran domi-nio del conocimiento matemático requerido en situaciones proble-ma que les exigen analizar gráficas de funciones en el plano carte-siano estudiando variación y tendencias. Analizan problemas devariación en contextos geométricos. Plantean y resuelven proble-

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mas de arreglos condicionados e interpretan la probabilidad comouna razón.

En la gráfica 4 se muestra el porcentaje de estudiantes que quedóubicado en por grado.

Gráfica 4. Porcentaje de estudiantes en cada grado

Se esperaría que por ser la componente de profundización, unaelección libre del estudiante, los resultados mostraran niveles su-periores, sin embargo en la primera aplicación del 2005 aproxima-damente un 21% de la población se ubica en el grado básico y en lasegunda aplicación aproximadamente un 20%, es decir no pudie-ron abordar las situaciones propuestas en la prueba. El 57% de lapoblación de mayo quedó ubicado en el grado I y de la de octubre el58%, es decir cerca del 80% de las respectivas poblaciones no alcan-zan grados superiores en profundización.

El grado II fue alcanzado por cerca del 21% en las dos aplicacionesy el III por menos del 1% (0.73% y 0.91%). Es posible que hayanincidido los contextos seleccionados o los dominios considerados,se dió una mayor importancia al dominio geométrico que tradicio-nalmente se deja de lado en la práctica de aula.

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1.41.41.41.41.4 Resultados por competenciasResultados por competenciasResultados por competenciasResultados por competenciasResultados por competencias

A continuación se describe cada una de las competencias evaluadasy los resultados obtenidos en el 2005.

Competencia interpretativa:Competencia interpretativa:Competencia interpretativa:Competencia interpretativa:Competencia interpretativa: Se refiere a las posibilidades del estu-diante para lograr identificar y dar sentido matemático a proble-mas que surgen de una situación. Esta interpretación exige al es-tudiante identificar lo matematizable que se infiere de la situa-ción problema en términos del conocimiento matemático, haciendoevidentes el uso con sentido del lenguaje matemático, el significa-do y uso de diferentes formas de representación, la identificación ycomprensión matemática de diversas situaciones en contextosalgebraicos, numéricos, variacionales, geométricos, estadísticos,probabilísticos. En la gráfica 5 se muestran los resultados de lacompetencia interpretativa en sus tres niveles

Gráfica 5. Competencia interpretativa

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En la primera aplicación de esta competencia aproximadamenteun 17% se ubicó en el nivel bajo, el 82% en el medio y el 1% en elalto. Mientras que en la segunda aplicación respectivamente el34%, 64% y 2%. En los dos primeros niveles de esta competencia elestudiante está en capacidad de resolver problemas que requierentraducciones y/o identificación de simbología propia del lenguajematemático para modelar situaciones, la diferencia estará en el tipode problemas, en el primero serán de rutina y en el segundo de norutina. En el último nivel son capaces de abordar situaciones pro-blema no rutinarias y las modelan por medio de expresiones mate-máticas, requieren para ello distintas interpretaciones y re-inter-pretaciones de los datos, relaciones, expresiones, afirmaciones quese presentan en la situación de manera explícita o implícita.

Competencia argumentativa: Competencia argumentativa: Competencia argumentativa: Competencia argumentativa: Competencia argumentativa: Se refiere a las razones, justificacio-nes, o los por qué, que el estudiante manifiesta ante un problema yque son dadas como parte de un razonamiento matemático, hacien-do evidentes relaciones de necesidad y suficiencia, conexiones oencadenamientos que le exigen la situación problema planteada yque se validan desde lo matemático; es decir, el estudiante da cuen-ta (a través de la selección de las opciones de respuesta que hansido diseñadas por el evaluador) de razones que permiten justificarel planteamiento de una solución o una estrategia particular desdelas relaciones o conexiones validadas en la matemática. En la grá-fica 6 se muestran los resultados de la competencia argumentativaen sus tres niveles

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Respecto a esa competencia en la aplicación de mayo: 29% se ubicóen bajo, 69% en medio y 2% en alto y en la de octubre 30% en bajo,68% en medio y 2% en alto. Las personas que se ubican en un pri-mer nivel de esta competencia enfrentan con éxito situaciones queexigen argumentos fundamentados en casos particulares; los ar-gumentos refieren afirmaciones expuestas en la situación, quebuscan ratificarse o contradecirse. Las personas que acceden a unsegundo nivel pueden abordar situaciones problema que impliquenel reconocimiento de estrategias, explicaciones y justificaciones,que pueden considerarse usuales, con las cuales puede ser modela-da y explicada una situación. Estas justificaciones, explicaciones oestrategias permiten realizar una comprobación directa desde lainformación ofrecida en la situación. Y finalmente, las personasque logran un tercer nivel pueden abordar con éxito problemasque implican el establecimiento de condiciones de suficiencia y ne-cesidad para elaborar argumentos; estos argumentos – no se con-sideran usuales – pueden ser justificaciones en lenguaje natural.

Competencia propositiva: Competencia propositiva: Competencia propositiva: Competencia propositiva: Competencia propositiva: Se refiere a las acciones que el estudian-te manifiesta en cuanto a la generación de hipótesis, el estableci-

Gráfica 6. Competencia argumentativa

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miento de conjeturas, y las deducciones posibles y válidas, desdela matemática, ante las situaciones propuestas. La proposición exi-ge al estudiante poner en uso varios aspectos del conocimientomatemático que subyacen a la situación misma, teniendo en cuen-ta las diferentes decisiones que el estudiante aborde como perti-nentes frente a la resolución de un problema en y desde lo matemá-tico, permitiendo así llegar a una solución. (De nuevo, las propues-tas están explícitas en las opciones de respuesta, y el estudiantedecide cuál es pertinente)..... En la gráfica 7 se muestran los resulta-dos de la competencia propositiva en sus tres niveles

Gráfica 7. Competencia propositiva

En las dos aplicaciones de esta competencia se ubicaron aproxima-damente en el primer nivel el 30%, en el segundo el 68% y en eltercero el 2%. El estudiante que se ubica en un primer nivel de estacompetencia, puede enfrentar con éxito situaciones en las que seexige proponer lo que sucedería en una situación dada, si algunasde sus condiciones iniciales fueran modificadas de determinadamanera (naturalmente apoyado en las opciones que se proponen encada pregunta). En un segundo nivel puede abordar situaciones

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problema que implican el reconocimiento de predicciones relativasal comportamiento de una situación dada (incluso proponiendocondiciones o modificando las iniciales); estas predicciones puedenser encontradas a partir del descubrimiento de patrones o genera-lizaciones. Y en un tercer nivel puede abordar situaciones proble-ma que implican una reorganización de la situación.

2 Análisis de preguntas

A continuación se presenta un análisis de algunas de las pregun-tas propuestas en las aplicaciones de mayo y octubre de 2005 con elfin de dar a conocer su intención, su exigencia, nivel de dificultad,estrategia de solución, así como el comportamiento de la poblaciónfrente a ellas. Se incluyen preguntas tanto del núcleo común comode profundización en los diferentes componentes. Para cada pre-gunta se incluyen los porcentajes de individuos que seleccionaroncada opción; en los valores presentados no se reportan los porcen-tajes, comúnmente bajos, para la ausencia de respuesta y para aque-llos que marcaron más de una posibilidad de respuesta.

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Ejemplo 1. Conteo, núcleo común.Ejemplo 1. Conteo, núcleo común.Ejemplo 1. Conteo, núcleo común.Ejemplo 1. Conteo, núcleo común.Ejemplo 1. Conteo, núcleo común.

El ítem indaga por el reconocimiento y uso de patrones aritméti-cos, en este caso reconocer la regularidad de la sucesión sugeridagráficamente 25; 37,5; 43,75. Exige del estudiante identificar el

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porcentaje de ratones enfermos al cabo de la cuarta y quinta horasy con esta información decidir acerca de la validez de cada una delas opciones. La regularidad se puede descubrir efectuando las di-ferencias entre porcentajes de ratones enfermos (12,5 y 6,5), cadaaumento es la mitad del anterior, y esto sugiere que en la cuartahora el porcentaje de ratones enfermos es 43,75 + 3,125 = 46.875,número que coincide con la diferencia entre 50 y 3,125. La clave esentonces B.

La dificultad de este ítem radica no solamente en la complejidad dedescribir un patrón, sino también en el uso de números decimalesy en la interpretación de la negación. El bajo porcentaje de estu-diantes que seleccionaron la clave puede estar relacionado con ladificultad inherente a la situación e incluso con la forma en que sepresentan las opciones, pues algunos estudiantes posiblemente iden-tificaron la regularidad pero no lograron interpretar la razón porla cual la propuesta de gráfica no es correcta, en las demás opcio-nes los porcentajes de respuesta son muy similares lo que sugierela posibilidad de haber sido escogidas al azar.

Ejemplo 2. Conteo, núcleo común.Ejemplo 2. Conteo, núcleo común.Ejemplo 2. Conteo, núcleo común.Ejemplo 2. Conteo, núcleo común.Ejemplo 2. Conteo, núcleo común.

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Se esperaba que este ítem tuviera una dificultad media, pero esfactible que como usualmente se dan las coordenadas explícitamente,sin requerir lectura en una gráfica e interpretación y transforma-ción de relaciones el enunciado presentó un nivel alto de dificultad.

Contexto para los ejemplos 3 y 4.Contexto para los ejemplos 3 y 4.Contexto para los ejemplos 3 y 4.Contexto para los ejemplos 3 y 4.Contexto para los ejemplos 3 y 4.

Para empacar artículos una empresa construye cajas de formacúbica, de cartón, con tapa y de arista x, usando el siguientediseño.

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Ejemplo 3. Medición, núcleo común.Ejemplo 3. Medición, núcleo común.Ejemplo 3. Medición, núcleo común.Ejemplo 3. Medición, núcleo común.Ejemplo 3. Medición, núcleo común.

Esta pregunta indaga por la aplicación del teorema de Pitágoraspara hallar el lado desconocido de la lámina rectangular, el cualpuede determinarse identificando la diagonal de una de las carasdel cubo. Con esta información el estudiante puede solucionar elproblema pues conoce las medidas de los dos lados, sólo debe re-cordar cómo se halla el área de un rectángulo.

La parte operatoria, aparentemente, no presenta mayor dificul-tad, parece que la complejidad radica en que al efectuar los cálcu-

los para hallar el valor de la diagonal ( ) aparece el número

irracional , éste número es interpretado muy frecuentementepor el estudiante como una operación que no se ha efectuado y dehecho descarta como respuesta correcta aquellas en las cualesaparece.

Esta pregunta debería resultar fácil para los estudiantes, la infor-mación está completa, solo requiere aplicar el Teorema dePitágoras, el cual se trabaja ampliamente durante todo elbachillerado, sin embargo como puede observarse en la informa-

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ción anterior solamente el 28% y 26% de los estudiantes respon-dieron correctamente esta pregunta en las aplicaciones de mayoy octubre respectivamente, es decir que se comportó como unapregunta difícil y escasamente la cuarta parte de la población laresponde correctamente. El 35% y el 37% optaron por señalar comoverdadera la opción B que resulta al asignar como medida de ladiagonal 2x ignorando el radical. Es posible que la complejidadde la pregunta esté en que se trata de aplicar el Teorema dePitágoras en el espacio tridimensional y este teorema se trabajausualmente a este nivel para figuras planas.

Ejemplo 4. Medición, núcleo común.Ejemplo 4. Medición, núcleo común.Ejemplo 4. Medición, núcleo común.Ejemplo 4. Medición, núcleo común.Ejemplo 4. Medición, núcleo común.

En esta pregunta se indaga por la relación existente entre la capa-cidad de un cubo y la medida de su arista, específicamente, se inda-ga por cómo se afecta la capacidad cuando el valor de la aristacambia. Aunque está referida al componente métrico porque estáimplicada la noción de capacidad, la pregunta está relacionada conel componente variacional.

Para responderla, el estudiante debe calcular el volumen del nuevocubo (2x)3 y relacionarlo con el volumen del cubo original x3, de estamanera se determina inmediatamente que el nuevo cubo tiene ochoveces la capacidad del cubo original, la relación entre la arista y elvolumen del cobo no es lineal.

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A pesar de lo elemental del razonamiento requerido, esta fue lapregunta de más bajo porcentaje de aciertos en las dos aplicacio-nes. Esto podría sugerir que en el aula de clases, este tipo de análi-sis no es corriente pues la mayoría de la población evaluada consi-dera que la relación entre las dos magnitudes (capacidad y arista)es lineal, el 45% y 47% respectivamente marcaron como correcta laopción A. Es muy probable que quienes eligen como opción correc-ta A, B o C ni siquiera calculan los volúmenes, pues si esto se hacees posible determinar la respuesta correcta, basta que el estudiantesepa calcular el volumen de un cubo, traduzca la expresión verbal«…el doble de la arista…» y luego interprete estos datos.

Ejemplo 5. Variación, núcleo común.Ejemplo 5. Variación, núcleo común.Ejemplo 5. Variación, núcleo común.Ejemplo 5. Variación, núcleo común.Ejemplo 5. Variación, núcleo común.

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Esta pregunta indaga por el significado de la pendiente (en estecaso la velocidad) y por el concepto de promedio en una representa-ción gráfica que relaciona las distancias recorridas y tiempos utili-zados por atletas en un entrenamiento.

Uno de los procedimientos que se puede utilizar para dar solucióna la pregunta, consiste en hallar la velocidad en cada intervalo detiempo (la pendiente de cada segmento) y posteriormente calcularel promedio de estas velocidades teniendo en cuenta, para cada caso,el tiempo transcurrido. Otra forma de llegar a la solución es haceruna lectura directa de la gráfica y aplicar la fórmula

Es una pregunta que resultó fácil para los estudiantes, fue contes-tada correctamente por el 46,5%. Los estudiantes que selecciona-ron la opción C, el 21,5% posiblemente encontraron únicamente lapendiente del primer trayecto (10/20); los que seleccionaron las otrasopciones cometen errores operatorios o desconocen el concepto depromedio.

Contexto para los ejemplos 6 y 7Contexto para los ejemplos 6 y 7Contexto para los ejemplos 6 y 7Contexto para los ejemplos 6 y 7Contexto para los ejemplos 6 y 7

Para probar el efecto que tiene una vacuna aplicada a 516 rato-nes sanos, se realiza un experimento en un laboratorio. El expe-rimento consiste en identificar durante algunas horas la regula-ridad en el porcentaje de ratones que se enferman al ser expues-tos posteriormente al virus que ataca la vacuna. Las siguientesgráficas representan el porcentaje de ratones enfermos al cabode la primera, la segunda y tercera hora de iniciado el experi-mento.

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Este ítem indaga por la interpretación de gráficos, el uso del por-centaje, la descripción cualitativa en situaciones de cambio, la va-riación y la estimación. El estudiante debe interpretar la informa-ción dada en el enunciado para determinar la validez o no de cadauna de las afirmaciones presentadas en las opciones. Como la pre-gunta indaga por lo que “NO es correcto afirmar”, la respuestacorrecta corresponde a la opción que exprese una conclusión falsa,esto puede elevar el nivel de dificultad de la pregunta.

La forma en que se distribuyen los porcentajes de respuesta hacepensar que hay una tendencia de solución al azar. Los estudiantesque no identificaron la clave consideraron que este enunciado eracorrecto, posiblemente confunden el porcentaje de ratones enfer-mos (25%) con el número de ratones enfermos (129) y el número deratones sanos con el porcentaje de ratones sanos (75%), es decir nointerpretan correctamente el porcentaje. Los que seleccionaron lasopciones B, C y D posiblemente ignoran la negación y por tantocualquiera de ellas se considera como clave; también puede ser po-sible que efectúen mal las operaciones y elijan B o D. De otra parte,la elección de la opción C, puede provenir de una mala interpreta-ción gráfica, asumiendo que hay más ratones sanos que enfermos.

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Esta pregunta indaga por estrategias de generalización, descrip-ción de situaciones de variación mediante el uso de expresionesalgebraicas e identificación del término enésimo de una sucesión.

Con los datos del problema se puede construir una tabla que permi-ta reconocer la relación entre el tiempo t y los aumentos, para lue-go construir la expresión algebraica que describa la regularidad.Otra estrategia que el estudiante podría utilizar para responder lapregunta consiste en verificar cada una de las fórmulas dadas enlas opciones de respuesta, una vez que tenga construida la suce-sión de aumentos 25; 12,5,; 6,75; 3,125.

Los porcentajes de respuesta muestran que el 18,7% se inclinó ha-cia la opción A, que puede estar determinada por el énfasis exclusi-vo en el estudio de fenómenos de tipo lineal. El resto de la poblaciónse distribuyó proporcionalmente entre las otras opciones, usual-mente no se estudian en las aulas modelos no lineales, es por elloque no se diferencian sus propiedades.

Contexto para los ejemplos 8 y 9Contexto para los ejemplos 8 y 9Contexto para los ejemplos 8 y 9Contexto para los ejemplos 8 y 9Contexto para los ejemplos 8 y 9

Federico fue el Ganador de $100.000 en una minilotería, él por uncosto de $1.000 apostó a tres dígitos diferentes y ganó porque losdígitos que seleccionó coincidieron con los sorteados (no importa-ba el orden).

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Ejemplo 8.Ejemplo 8.Ejemplo 8.Ejemplo 8.Ejemplo 8. Aleatorio, núcleo común.Aleatorio, núcleo común.Aleatorio, núcleo común.Aleatorio, núcleo común.Aleatorio, núcleo común.

Al hacer la lectura del contexto y del enunciado del ítem, el estu-diante puede quedar desconcertado, ya que no hay una preguntaque lo conduzca a pensar de manera inmediata en una estrategiade solución del problema, sino que las cuatro opciones se convier-ten en afirmaciones sobre las cuales debe organizar una argumen-tación que lo lleve a decidir sobre su validez o falsedad.

Para encontrar la respuesta correcta, una primera opción que tie-nen los estudiantes es determinar a cuántos tríos de dígitos dife-rentes se puede apostar con los 100.000, esto inmediatamente im-plica que la opción C es falsa, el dinero sólo alcanza para apostarmáximo a 100 tríos diferentes, sin embargo está fue la opción quemás seleccionaron los estudiantes (30%), lo cual muestra que no seentendió la situación planteada o se hizo una mala lectura de lamisma.

La opción A fue seleccionada por el 16%, nuevamente es posibleque se trate de una mala lectura, los estudiantes pueden pensar,sin analizar la situación, que si con $1.000 Federico ganó $100.000,entonces con $100.000 debe ganar mucho más.

Para determinar si la opción válida es B o D, se requiere calcular laprobabilidad de perder, es decir, el complemento de la probabilidadde ganar en esta nueva apuesta, la cual resulta al dividir 100 entre

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el número total de tríos posibles. Los tríos posibles son todas lascombinaciones de tres elementos dentro de una muestra de tamaño10, entonces

probabilidad de ganar

lo que implica de inmediato que la opción correcta es la B, que fueseleccionada por el 25%.

Este ítem además de exigir del estudiante una buena comprensiónlectora, indaga por nociones básicas de conteo: arreglos de mues-tras ordenadas y no ordenadas, nociones de probabilidad y proba-bilidad del complemento. Todas estas nociones, aunque desde hacevarios años deben formar parte del currículo de secundaria, no sontrabajadas sistemáticamente. Se podría afirmar que lo numérico,lo variacional y lo determinístico priman sobre lo aleatorio, a pesarde que los Lineamientos y los estándares proponen el desarrollo deeste pensamiento desde la básica primaria. Es deseable que paraaplicaciones futuras los estudiantes cuenten con herramientas queles permitan abordar estos problemas juiciosamente y no como pro-ducto de una selección completamente al azar.

Ejemplo 9. Aleatorio, núcleo común.Ejemplo 9. Aleatorio, núcleo común.Ejemplo 9. Aleatorio, núcleo común.Ejemplo 9. Aleatorio, núcleo común.Ejemplo 9. Aleatorio, núcleo común.

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Como se anotó anteriormente, el componente aleatorio está relacio-nado con el uso de modelos para predecir posibilidades de ocurren-cia de un evento, así como también con el hecho de hacer conjetu-ras sobre el resultado de un experimento aleatorio mediante el usode la proporcionalidad, se espera que al inducir en el estudiante lasnociones de cómo medir la incertidumbre empiece a comprenderen forma adecuada los métodos estadísticos indispensables en laactualidad para estudiar la realidad social y científica. Este ítem aligual que el anterior busca explorar los conceptos básicos de pro-babilidad, conteo, combinación y permutación, y el uso del concep-to de razón en un contexto aleatorio.

La pregunta plantea una comparación entre la probabilidad de ga-nar la minilotería con las reglas iniciales y con el cambio propues-to. El estudiante debe calcular la probabilidad en cada caso, lo cualse traduce en comparar el número de posibles tríos sin importar elorden y el número de posibles cuartetos ordenados. Así la respues-ta correcta se obtiene al calcular la razón entre las 120 posibilida-des de armar tríos y el número 10 x 9 x 8 x 7 que representa elnúmero de posibilidades de obtener números distintos de cuatrocifras sin que tengan cifras repetidas. Por lo tanto la opción correc-ta es la A, que fue seleccionada sólo por el 14%, la de menor elec-ción. Esta fue una de las preguntas que resultó más difícil en laprueba.

La opción C, resultó más atractiva, el 41% de los estudiantes lamarcaron como correcta, esto puede estar influenciado por la creen-cia de que si antes se seleccionaban tres dígitos y ahora cuatro,entonces la posibilidad de ganar se reduce a la cuarta parte.

Se insiste en la necesidad de abordar en el aula las nociones deconteo, posibilidades y el significado de la fracción como razón,como paso previo a la adquisición de conceptos propios de la teoríade la probabilidad y para mostrar la aplicabilidad de las matemáti-cas en hechos cotidianos y en otras disciplinas.

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Contexto para los ejemplos 10, 11 y 12Contexto para los ejemplos 10, 11 y 12Contexto para los ejemplos 10, 11 y 12Contexto para los ejemplos 10, 11 y 12Contexto para los ejemplos 10, 11 y 12

La siguiente gráfica ilustra el diseño que corresponde a la insta-lación de una torre de comunicación sostenida en el piso por doscables. Los puntos de amarre del cable en el piso tienen unaseparación de 12 metros y los puntos de amarre del cable a latorre la dividen en 3 partes iguales de la misma longitud.

Ejemplo 10. Profundización, medición.Ejemplo 10. Profundización, medición.Ejemplo 10. Profundización, medición.Ejemplo 10. Profundización, medición.Ejemplo 10. Profundización, medición.

Esta pregunta explora el concepto de semejanza de triángulos.Para su solución, basta observar que los dos triángulosinvolucrados en el diseño son semejantes, pues ambos son rectán-gulos y además tienen cada uno un ángulo de 30°. Puesto que losamarres de los cables a la torre la dividen en 3 partes iguales, sededuce que la razón de semejanza entre el triángulo pequeño y eltriángulo grande es de 1 a 2, lo cual significa que cada lado deltriángulo pequeño es la mitad de su homólogo en el triángulo

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grande. Entonces, si llamamos x la base (sobre el piso) del trián-gulo pequeño, 2x corresponde a la base (sobre el piso) del triángu-lo grande, por la condición inicial se tiene que 3x = 12, lo cualimplica que x = 4 y 2x = 8 y por lo tanto la clave es C.

Es de anotar que este problema también se puede resolver haciendouso de razones trigonométricas.

Con respecto a los porcentajes de respuesta por opción, nótese quedentro de la población que respondió la pregunta, la clave atrajomayor número de estudiantes que las demás opciones, las cualesse distribuyen de forma equitativa. Sin embargo, desde el comien-zo podría esperarse, por las condiciones del problema, la selecciónde un número mayor que 6, por lo tanto es posible que las opcionesA, B y D, o fueron seleccionadas al azar o bien, si se obtuvieroncomo resultados de algunos cálculos no fueron contrastadas con lasituación inicial del problema.

Ejemplo 11. Profundización, medición.Ejemplo 11. Profundización, medición.Ejemplo 11. Profundización, medición.Ejemplo 11. Profundización, medición.Ejemplo 11. Profundización, medición.

Esta pregunta indaga por el uso de las razones trigonométricas.Para su solución, se requiere tener en cuenta que los amarres delos cables a la torre la dividen en 3 partes iguales, por lo tanto,basta calcular el lado opuesto, “h”, al ángulo de 30º en el triángulopequeño y multiplicar este resultado por 3, haciendo uso de la tan-gente en el triángulo pequeño se tiene que , de donde laaltura, en metros, de la torre es (12 tan 30º) y por lo tanto la clave esD.

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Con respecto a los porcentajes de respuesta por opción, nótese que laclave fue seleccionada por un mayor número de estudiantes que lasdemás opciones. Es importante resaltar que fue una de las pregun-tas con mayor porcentaje de respuestas correctas dentro de la prue-ba de profundización. La opción A corresponde a un error anticipa-do, lo cual significa que con un cálculo adicional se puede llegar a larespuesta. La selección de las opciones B y C podría indicar que nose interpreta el concepto de tangente como una razón.

12. Profundización, medición.12. Profundización, medición.12. Profundización, medición.12. Profundización, medición.12. Profundización, medición.

Esta pregunta indaga nuevamente por el uso de razonestrigonométricas. Para dar solución es conveniente la elaboraciónde un diagrama que ilustre la situación.

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En este caso, los amarres de los cables se encuentran a una alturade (6 tan 30º) metros, haciendo uso del teorema de Pitágoras, se cal-cula la hipotenusa “H1” en uno de los triángulos rectángulos quese han formado:

En el diseño original, también haciendo uso del teorema dePitágoras, se calcula la hipotenusa “H2” en uno de los triángulosrectángulos que se forman, por ejemplo en el pequeño:

Por lo tanto, en el triángulo grande del diseño original, la longituddel cable empleado es 8 sec 30º metros (el doble del anterior). Lo cualimplica que la longitud del cable empleado en este diseño es de12sec 30º metros.

Así, en ambos diseños la cantidad de cable empleado es la misma,de donde la respuesta a la pregunta planteada es la A. La selecciónde las opciones B y C tiene porcentajes muy próximos y podríaindicar que no hay un análisis de las condiciones del problema, ladivisión de la torre en dos partes, atrae la atención a doble o mitad,sin tener realmente en cuenta las razones trigonométricas.

Contexto para los ejemplos 13, 14 y 15Contexto para los ejemplos 13, 14 y 15Contexto para los ejemplos 13, 14 y 15Contexto para los ejemplos 13, 14 y 15Contexto para los ejemplos 13, 14 y 15

Por lo tanto, en el nuevo diseño la longitud del cable empleado esde º30sec12 metros.

Para tratar la arritmia cardiaca (alteración del ritmo cardiaco)de un paciente, se aplica un medicamento al torrente sanguí-neo en forma intra-venosa. La concentración C del medicamen-to después de t horas está dada por la expresión

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Ejemplo 13. Profundización, variación.Ejemplo 13. Profundización, variación.Ejemplo 13. Profundización, variación.Ejemplo 13. Profundización, variación.Ejemplo 13. Profundización, variación.

Este ítem está orientado a indagar por la traducción entre diferen-tes representaciones de una función racional, particularmente elpaso de la expresión algebraica a la representación gráfica. Pararesponder correctamente, el estudiante no requiere elaborar unatabla para luego construir una gráfica, basta que analice tenden-cias y cambios en el comportamiento de la función (C(0)=0, la fun-ción es creciente y rápidamente se hace asintótica a 3,5); debe, des-de luego, reconocer que C(t) no es un modelo lineal y por tanto sugráfica no corresponde a una línea recta.

La complejidad de la pregunta puede estar en este tipo de función,que no siempre es motivo de análisis en el aula, o en la falta deherramientas que permitan caracterizar la función sin remitirse auna tabla de valores que usualmente da una visión incompleta deésta.

La opción correcta fue seleccionada por el 31,3% y las demás opcio-nes se distribuyeron en forma relativamente equitativa, con unapreferencia mayor por la gráfica lineal (opción D), aproximada-mente un 25%, posiblemente ignoran el denominador de la funciónracional y asumen que corresponde a la recta 3,5t. Los que seleccio-nan la opción C asumen la función constante, ignoran la variable o

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efectúan cancelaciones incorrectas y los que se deciden por B reco-nocen el cambio pero no fijan la atención en la imagen de cero.


Este ítem exige dar un valor a la variable dependiente para deter-minar el valor de la independiente, responder la pregunta ¿paraqué valor de t, C(t) = 1.5mg/l?. Para encontrar la respuesta se debe

resolver la ecuación de donde de hora.

La forma en que se presenta la pregunta exige una reversa, puesno se pregunta, como es usual, por el valor de C(t) para un valorespecífico de t, sino que dado C(t) se indaga por el valor de t, eldespeje (transformación de la expresión) se puede constituir en unfactor de complejidad.

El 34% de la población respondió bien la pregunta, un porcentajemuy bajo, si se revisa el procedimiento requerido. Es probable queel manejo de decimales y fracciones incida también en este gradode dificultad. Aproximadamente un 27% seleccionó C, posiblemen-te por transformaciones incorrectas o simplemente por ser el úni-co entero de la lista (es el único universo numérico que se mencio-na usualmente al trabajar con funciones y el que menos dificulta-des presenta para operar). El resto de la población seleccionó A o Dcon menos preferencia para D, posiblemente por complejidadsintáctica (notación de un número mixto).

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Este ítem indaga más específicamente por el análisis global de lafunción racional, con la complejidad de reconocer el enunciado queNO es correcto. El estudiante puede hacer el siguiente análisis:

La opción B es incorrecta porque el rango de la función es el inter-

valo )5.3,0[ . En tres de los casos bastaría sustituir variables, peroen el caso de la clave se requiere estudiar la tendencia y de allídeterminar el rango. Usualmente en el aula no se presenta estetipo de análisis y esto podría hacer que la pregunta resulte difícil,tan sólo el 25,8% respondió correctamente. Las otras opciones sedistribuyeron con porcentajes muy próximos, lo cual podría indi-car una selección más al azar. En este tipo de preguntas también esposible omitir o no interpretar la negación y limitarse a seleccio-nar cualquiera de las opciones correctas.

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3 Perspectiva de la evaluación en matemáticas

La reflexión sobre las perspectivas de la evaluación se soporta endos pilares que consideramos fundamentales: nuevas visiones acercade la educación matemática y cambios en las orientacionescurriculares que ha construido la comunidad de educadores mate-máticos del país y que han sido apropiadas por el MEN.

Las nuevas visiones acerca de la educación matemática relaciona-das con concepciones distintas sobre el carácter de la matemáticaen la escuela, rompen con la mirada diagnóstica y de tipo clasifica-torio de la evaluación y enfatizan en su papel de apoyo y enriqueci-miento del quehacer cotidiano. El paso de una concepción de eva-luación centrada en modelos tecnológicos o experimentales a mo-delos cualitativos está acompañado de importantes constructos acer-ca de las funciones de la evaluación: como elemento de apoyo yorientación de todos los estudiantes, responde a necesidades y de-mandas de los individuos y de la comunidad, se considera comoparte integral del proceso educativo, permite reconocer cambiossurgidos en el proceso, valorar el trabajo escolar y determinar elgrado de apropiación de conceptos y procedimientos, parcialmenteconsolidados.

Precisamente por ser la evaluación parte integral del proceso edu-cativo consideramos que debe ser coherente con las políticascurriculares que están orientando los procesos en las aulas y porello se asumirán en la organización y estructura de las pruebas,los ejes y énfasis que allí se proponen.

3.13.13.13.13.1 Acerca del objeto de evaluaciónAcerca del objeto de evaluaciónAcerca del objeto de evaluaciónAcerca del objeto de evaluaciónAcerca del objeto de evaluación

Retomando elementos de los referentes teóricos y asumiendo nue-vas perspectivas respecto a la naturaleza de la educación matemá-tica y de la evaluación se describe el objeto de evaluación: la compe-tencia matemática en los siguientes términos:

“El uso flexible y comprensivo del conocimiento matemático esco-lar en diversidad de contextos, de la vida diaria, de la matemáticamisma y de otras ciencias. Este uso se manifiesta, entre otros, en lacapacidad del individuo para analizar, razonar, y comunicar ideasefectivamente y para formular, resolver e interpretar problemas”.

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Esta noción, retoma elementos de la propuesta de evaluación en elárea considerada desde el año 2000, comparte aspectos del enfoquede competencias en otras disciplinas, y fundamentalmente, se en-cuentra estrechamente relacionada con la naturaleza propia de lamatemática escolar y con los referentes teóricos que han sido plas-mados en nuestro país en los documentos curriculares,Lineamientos y Estándares de Calidad. Es de resaltar que en estosdocumentos se propone que el énfasis de la matemática escolar de-bería estar en el planteamiento y resolución de problemas en dife-rentes contextos, en la comunicación de ideas, en el uso con signi-ficado del lenguaje matemático, en la construcción e interpreta-ción de diferentes representaciones, en la formulación de hipóte-sis, conjeturas, en la modelación de diferentes situaciones y, engeneral, en el desarrollo del pensamiento matemático.

En las pruebas, aspectos importantes a evaluar son: el significadode los conceptos matemáticos y la práctica significativa, esta últi-ma está referida a la matematización que se caracteriza por la rea-lización de actividades como simbolizar, formular, cuantificar, va-lidar, esquematizar, representar, generalizar, todas ellas encami-nadas a buscar entre las diferentes situaciones problema lo esen-cial desde el punto de vista de la matemática.

En la descripción anterior se pueden identificar realmente compe-tencias específicas en el área de matemáticas íntimamente relacio-nadas con los procesos generales propuestos en los LineamientosCurriculares, esto es, la comunicación, la modelación, el razona-miento, el planteamiento y resolución de problemas y la ejecuciónde procedimientos. Dado que se perciben interrelaciones entre losmencionados procesos generales, se considerarán en el marco de laprueba como competencias específicas centrales, la comunicación,el razonamiento y el planteamiento y resolución de problemas, puesen ellas están inmersos los otros procesos. Estas competencias es-pecíficas no van en contravía de las competencias generales hastaahora evaluadas: interpretar, argumentar y proponer, por el con-trario están inmersas en ellas. Los desempeños explorados a travésde las pruebas darán cuenta de las competencias específicas que sedescriben a continuación:

La competencia comunicativa está referida a la capacidad del estu-diante para: expresar ideas, interpretar, representar, usar diferen-tes tipos de lenguaje, describir relaciones. Relacionar materiales

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físicos y diagramas con ideas matemáticas. Modelar usando len-guaje escrito, oral, concreto, pictórico, gráfico y algebraico. Mani-pular proposiciones y expresiones que contengan símbolos y fór-mulas, utilizar variables y construir argumentaciones orales y es-critas.

El razonamiento está relacionado entre otros con el: dar cuenta delcómo y del porqué de los caminos que se siguen para llegar a con-clusiones. Justificar estrategias y procedimientos puestos en ac-ción en el tratamiento de situaciones problema. Formular hipóte-sis, hacer conjeturas, explorar ejemplos y contraejemplos, probary estructurar argumentos. Generalizar propiedades y relaciones,identificar patrones y expresarlos matemáticamente. Plantear pre-guntas y reconocer y evaluar cadenas de argumentos.

La competencia para plantear y resolver problemas está asociadacon: formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera dela matemática. Traducir la realidad a una estructura matemática.Desarrollar y aplicar diferentes estrategias y justificar la elecciónde métodos e instrumentos para la solución de problemas. Justifi-car la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la soluciónde un problema y lo razonable o no de una respuesta obtenida.Verificar e interpretar resultados a la luz del problema original ygeneralizar soluciones y estrategias para dar solución a nuevassituaciones problema.

3.23.23.23.23.2 Acerca de los componentesAcerca de los componentesAcerca de los componentesAcerca de los componentesAcerca de los componentes

Dado que los Estándares Básicos de Competencia retoman los refe-rentes propuestos por los Lineamientos y según estos es primor-dial relacionar los contenidos del aprendizaje con la experienciacotidiana y con los saberes que circulan en la escuela, entre estos,desde luego, las disciplinas científicas, tendremos en cuenta en laevaluación los mismos aspectos que se proponen para la organiza-ción curricular: los conocimientos básicos, los procesos generalesy el contexto y tomaremos como organizadores los pensamientosque serán los componentes de las pruebas, pero como allí se plan-tea, debe existir una coherencia horizontal y vertical entre losestándares de cada pensamiento, consideramos posible lograrla através de la integración de estos pensamientos en tres ejes: Compo-nente Numérico - Variacional; Componente Geométrico - Métrico yComponente Aleatorio que serán explorados en las pruebas desdelos énfasis que se describen a continuación.

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Componente Numérico – Variacional:Componente Numérico – Variacional:Componente Numérico – Variacional:Componente Numérico – Variacional:Componente Numérico – Variacional:

Está asociado con la comprensión del significado de los números,la interpretación de representaciones múltiples del mismo númeroy sus diferentes simbolizaciones, el uso de los números y operacio-nes en contextos con significado; la estimación de resultados, eldesarrollo de estrategias de solución de problemas.

El desarrollo del pensamiento numérico se evidenciará en la habili-dad para comunicar, procesar e interpretar información utilizan-do números, para resolver y formular problemas comprendiendola relación entre el contexto del problema, la estrategia y el cálculonecesario para darle solución así como la verificación de la perti-nencia de la respuesta.

En lo que respecta a lo variacional se enfatizará en la comprensióndel significado de variable, la representación de situaciones y pa-trones numéricos con tablas, gráficas y ecuaciones, el análisis dediversas representaciones y la aplicación de métodos algebraicosen la solución de problemas. Se indagará por la descripción, análi-sis y generalización de hechos y propiedades aritméticas, descrip-ción, análisis, identificación y uso de relaciones funcionales, usocon significado del lenguaje algebraico, modelación de situacionescon funciones polinómicas, racionales y exponenciales y traduc-ción entre sus diferentes representaciones.

Componente Geométrico– Métrico:Componente Geométrico– Métrico:Componente Geométrico– Métrico:Componente Geométrico– Métrico:Componente Geométrico– Métrico:

Este componente está asociado con la construcción y descomposi-ción de figuras y sólidos a partir de condiciones dadas, con la apli-cación de transformaciones, con la construcción de objetostridimensionales a partir de representaciones bidimensionales, conla identificación y descripción de figuras y cuerpos generados porcortes rectos y transversales, con el reconocimiento y contrastaciónde propiedades y relaciones geométricas utilizadas en la demostra-ción de teoremas básicos. Está asociado además con la determina-ción de volúmenes y áreas a través de descomposición de figuras ycuerpos, con la generalización de procedimientos para encontraráreas de regiones planas y volúmenes de sólidos, con la solución yformulación de problemas que involucren relaciones y propieda-des de semejanza y con la descripción y modelación de situacionesa través de razones y funciones trigonométricas.

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Componente AleatorioComponente AleatorioComponente AleatorioComponente AleatorioComponente Aleatorio

Hace referencia a la interpretación de datos, al reconocimiento yanálisis de tendencias, al cambio, a las correlaciones, a lasinferencias y al reconocimiento, descripción y análisis de eventosaleatorios. Involucra la exploración, representación, lectura e in-terpretación de datos en contexto; el análisis de diversas formas derepresentación de información numérica, el análisis cualitativo deregularidades, de tendencias, de tipos de crecimiento, y la formula-ción de inferencias y argumentos usando medidas de tendenciacentral y de dispersión.

El componente aleatorio también está asociado con el uso de mode-los para discutir y predecir posibilidades de ocurrencia de un even-to, con la formulación y resolución de problemas que requieren deconceptos básicos de probabilidad y con el cálculo de probabilida-des haciendo uso de técnicas de conteo.

4 Conclusiones y recomendaciones

• En las aplicaciones del 2005 el promedio en el área de matemá-ticas, aumentó 3 puntos con respecto a las aplicaciones del añoanterior, pero también se presentó un aumento muy significa-tivo de la desviación, 2 puntos en la primera y 3 en la segunda,hecho preocupante, pues cada vez la población se muestra másdispersa. Es importante recordar como lo mencionan losLineamientos que “existe un núcleo de conocimientos básicosque debe dominar todo ciudadano”, las prácticas de aula debenir orientadas a consolidar “una matemática para todos”, unapráctica enriquecedora debe promover desarrollos significati-vos de un núcleo amplio de la población. Consideramos que losreferentes curriculares (Lineamientos-Estándares básicos) nohan sido suficientemente apropiados por la comunidad educa-tiva, los énfasis en las aulas van en una dirección que aún noconsidera las orientaciones y nuevas perspectivas de la educa-ción matemática, en consecuencia la evaluación externa a pe-sar de ser coherente con las orientaciones curriculares resultaen contravía del proceso escolar.

• Respecto al núcleo común, en la aplicación de mayo aproxi-madamente el 94% de la población se ubicó en el rango medio

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y en la de octubre aproximadamente el 95% de la población seubicó en éste. De acuerdo a los referentes teóricos, podríamosafirmar que estos porcentajes de la población corresponden aestudiantes que son capaces de desenvolversecompetentemente en ciertos contextos, que consiguen abor-dar algunos aspectos básicos de la matemática escolar y quese enfrentan exitosamente a situaciones que contienen ele-mentos no rutinarios que les exigen relacionar diferente in-formación. Realmente un puntaje de 35, 40 e incluso 50 esmuy bajo y muchos de los elementos o características asocia-das al rango bajo persisten en gran parte de la población. Espertinente fortalecer el trabajo sobre elementos básicos de lamatemática escolar y potenciar a los estudiantes para abor-dar de manera significativa situaciones problema de no ruti-na, para que puedan desenvolverse con propiedad en contex-tos diversos.

• En lo relativo a la profundización, en la primera aplicacióndel 2005 aproximadamente un 21% de la población (11.498)se ubica en el grado básico y en la segunda aplicación aproxi-madamente un 20% de la población (56.951). De los resulta-dos, se podría inferir que la población de este grupo no dispo-ne de herramientas para abordar las situaciones propuestasen la prueba o las situaciones planteadas resultaron de nive-les superiores de complejidad.

El 57% de la población de mayo quedó ubicado en el grado I yde la de octubre el 58%, es decir cerca al 75% de las respecti-vas poblaciones no alcanza grados superiores en esta compo-nente, a pesar de que es una elección libre del estudiante se-gún sus intereses. Es posible que hayan incidido los contex-tos seleccionados o los dominios considerados, se dio unamayor importancia al dominio geométrico que tradicionalmen-te se deja de lado en la práctica de aula y se propusieron lassituaciones en contexto matemático.

• En las componentes de Medida (Geometría) y Aleatoriedad,un número importante de ítems resultó de niveles altos dedificultad (porcentajes bajos de acierto).

En Geometría, por referirse los ítems a temáticas tradiciona-les (Teorema de Pitágoras, semejanza), se esperaban mejoresdesempeños. Se requiere fortalecer esta componente en tópi-

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cos como: el conocimiento del plano y del espacio desde loselementos básicos de la geometría euclidiana ytransformacional; conceptos de perímetro, área, volumen,capacidad, haciendo énfasis en problemas de aplicación querequieran aproximar, estimar, diseccionar, buscar patronesadecuados, es decir abordar problemas de medida significati-vos; aplicaciones tradicionales de la geometría en el dominiométrico y en la modelación así como situaciones problemaligadas a otras componentes (numérico, algebraico yvariacional).

En el caso de la componente de Aleatoriedad, reciente en lasprácticas de aula, es importante orientar la enseñanza de es-tos tópicos a partir de cuatro etapas; la primera que parte dela experimentación o familiarización de fenómenos de tipoaleatorio, la segunda de razonamiento elemental a partir dejuegos que permitan comparar cualitativamente probabilida-des de ciertos sucesos, la tercera que usa las fracciones paradefinir la probabilidad empírica a partir de las frecuenciasrelativas y por último la etapa de formalización donde seconceptualizan las propiedades de la probabilidad como son:la probabilidad del suceso contrario, la regla de Laplace, laprobabilidad condicional, la regla del producto entre otros.

• Con referencia a la componente variacional, los bajos desem-peños en los ítems sugieren que se debe profundizar aún enla modelación de situaciones a través de funciones, tanto enlo relativo a modelos lineales como no lineales, teniendo encuenta el análisis cualitativo de la gráfica, el estudio de lastendencias y el paso entre las diferentes formas de represen-tación de la función.

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