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Para la clase de Cálculo Vectorial
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BASES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTESCaacutelculo Vectorial
2013-1
RECORDANDOhellip
Un escalar es una cantidad cuya especificacioacuten en cualquier sistema de coordenadas requiere solamente de un nuacutemero
Un vector es una cantidad cuya especificacioacuten requiere de tres nuacutemeros (en el caso de R3) sus componentes son respecto a alguna base
Una base es un espacio tridimensional (en el caso de R3 )a cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes entre si
Si tomamos como base de nuestro espacio tridimensional a e1e2e3 ortogonales entre si en vez de ellos se acostumbra utilizar ijk en vez de la base antes mencionada Por lo que un vector lo podemos expresar como
a=a1j+a2j+a3k
BASES RECIPROCAS
Bases reciprocas
Consideremos A un vector arbitrario que se puede expandir con respecto a tres vectores no coplanarese1e2e3 que ni son ortogonales ni unitatios Entonces la expansion en coeficientes A1A2A3 puede ecribirsecomo
A=A1e1+A2e2+A3e3
El problema se reduce a hacer la proyeccioacuten de A sobre los ejes de un sistema coordenado y resolver el sistema resultante de tres ecuaciones escalares para las incognitas A1A2A3 Esto se resuelve directamente mediante el meacutetodo de bases reciprocas
Dos bases e1e2e3 y e1e2e3 se dicen reciprocas si satisfacen la siguiente condicioacuten
Cada vector de una base es perpendicular a dos vectores de otra base
Si construimos los paralelipedos generados por las dos bases cuyos voluacutemenes son |V|= e1 (e2 x e3) y |Vrsquo|= e1 (e2xe3) entonces las caras cuyos voluacutemenes de cada paraleliacutepedoson perpendiculares al borde del otro Puesto que la relacioacuten antes mencionada implica la magnitud de cada vector de una base es igual al reciproco de la altura paralela del paralelepiacutepedo generado por la base reciacuteproca
Para construir expliacutecitamente las bases reciprocas e1e2e3
correspondientes a una base dada e1e2e3 procedamos como sigue el vector e1 debe ser perpendicular a los vectores e2 y e3 Por ello
e1=m(e2 x e3)
donde m es un escalar que se puede determinar por la condicioacuten e1e
1=1
Entonces podemos encontrar los coeficientes
incoacutegnitas A1 A2 A3 siempre y cuando la base
e1e2e3 sea la reciproca correspondiente a la base
e1e2e3 Por ello
COMPONENTES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES DE UN VECTOR
Al estudiar las bases reciprocas encontramos que el
mismo vector puede ser expandido como
Con respecto a una de las bases e1e2e3 y
Con respecto a la base reciproca e1e2e3 Los
nuacutemeros Ai Se llaman componentes
contravariantes de A y los nuacutemeros Ai se llaman
componentes covariantes de A
En el caacutelculo tensorial es usual denotar al conjunto
de vectores base como el cual lo diferencia de
la base Con esta notacioacuten la relacioacuten de
reciprocidad anterior seriacutea
Donde es la delta de Kronecker
RELACIOacuteN ENTRE COMPONENTES
COVARIANTES Y CONTRAVARIANTES
Tomemos el producto escalar con ei y el producto escalar con
ei entonces obtenemos
Si introducimos la notacion
Podemos escribir la notacioacuten en forma
Estas formulas expresan las componentes
covariantes del vector A en teacuterminos de sus
componentes contravariantes y viceversa
Como el nombre lo sugiere las cantidades
covariantes se piensan para movimiento o
transformaciones hacia adelante mientras que las
cantidades contravariantes se transforman hacia
atraacutes Por lo cual depende de si uno estaacute usando
cualquier fondo fijo mdash de hecho eso cambia el
punto de vista
EN RESUMENhellip
Los vectores base covariantes de su sistema reciacuteproco son
Note que incluso si ei y ei no son ortonormales esto sigue siendo vaacutelido por definicioacuten de mutuamente ortonormal
Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto punto de v con los vectores base contravariantes
De igual manera las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
RECORDANDOhellip
Un escalar es una cantidad cuya especificacioacuten en cualquier sistema de coordenadas requiere solamente de un nuacutemero
Un vector es una cantidad cuya especificacioacuten requiere de tres nuacutemeros (en el caso de R3) sus componentes son respecto a alguna base
Una base es un espacio tridimensional (en el caso de R3 )a cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes entre si
Si tomamos como base de nuestro espacio tridimensional a e1e2e3 ortogonales entre si en vez de ellos se acostumbra utilizar ijk en vez de la base antes mencionada Por lo que un vector lo podemos expresar como
a=a1j+a2j+a3k
BASES RECIPROCAS
Bases reciprocas
Consideremos A un vector arbitrario que se puede expandir con respecto a tres vectores no coplanarese1e2e3 que ni son ortogonales ni unitatios Entonces la expansion en coeficientes A1A2A3 puede ecribirsecomo
A=A1e1+A2e2+A3e3
El problema se reduce a hacer la proyeccioacuten de A sobre los ejes de un sistema coordenado y resolver el sistema resultante de tres ecuaciones escalares para las incognitas A1A2A3 Esto se resuelve directamente mediante el meacutetodo de bases reciprocas
Dos bases e1e2e3 y e1e2e3 se dicen reciprocas si satisfacen la siguiente condicioacuten
Cada vector de una base es perpendicular a dos vectores de otra base
Si construimos los paralelipedos generados por las dos bases cuyos voluacutemenes son |V|= e1 (e2 x e3) y |Vrsquo|= e1 (e2xe3) entonces las caras cuyos voluacutemenes de cada paraleliacutepedoson perpendiculares al borde del otro Puesto que la relacioacuten antes mencionada implica la magnitud de cada vector de una base es igual al reciproco de la altura paralela del paralelepiacutepedo generado por la base reciacuteproca
Para construir expliacutecitamente las bases reciprocas e1e2e3
correspondientes a una base dada e1e2e3 procedamos como sigue el vector e1 debe ser perpendicular a los vectores e2 y e3 Por ello
e1=m(e2 x e3)
donde m es un escalar que se puede determinar por la condicioacuten e1e
1=1
Entonces podemos encontrar los coeficientes
incoacutegnitas A1 A2 A3 siempre y cuando la base
e1e2e3 sea la reciproca correspondiente a la base
e1e2e3 Por ello
COMPONENTES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES DE UN VECTOR
Al estudiar las bases reciprocas encontramos que el
mismo vector puede ser expandido como
Con respecto a una de las bases e1e2e3 y
Con respecto a la base reciproca e1e2e3 Los
nuacutemeros Ai Se llaman componentes
contravariantes de A y los nuacutemeros Ai se llaman
componentes covariantes de A
En el caacutelculo tensorial es usual denotar al conjunto
de vectores base como el cual lo diferencia de
la base Con esta notacioacuten la relacioacuten de
reciprocidad anterior seriacutea
Donde es la delta de Kronecker
RELACIOacuteN ENTRE COMPONENTES
COVARIANTES Y CONTRAVARIANTES
Tomemos el producto escalar con ei y el producto escalar con
ei entonces obtenemos
Si introducimos la notacion
Podemos escribir la notacioacuten en forma
Estas formulas expresan las componentes
covariantes del vector A en teacuterminos de sus
componentes contravariantes y viceversa
Como el nombre lo sugiere las cantidades
covariantes se piensan para movimiento o
transformaciones hacia adelante mientras que las
cantidades contravariantes se transforman hacia
atraacutes Por lo cual depende de si uno estaacute usando
cualquier fondo fijo mdash de hecho eso cambia el
punto de vista
EN RESUMENhellip
Los vectores base covariantes de su sistema reciacuteproco son
Note que incluso si ei y ei no son ortonormales esto sigue siendo vaacutelido por definicioacuten de mutuamente ortonormal
Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto punto de v con los vectores base contravariantes
De igual manera las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
BASES RECIPROCAS
Bases reciprocas
Consideremos A un vector arbitrario que se puede expandir con respecto a tres vectores no coplanarese1e2e3 que ni son ortogonales ni unitatios Entonces la expansion en coeficientes A1A2A3 puede ecribirsecomo
A=A1e1+A2e2+A3e3
El problema se reduce a hacer la proyeccioacuten de A sobre los ejes de un sistema coordenado y resolver el sistema resultante de tres ecuaciones escalares para las incognitas A1A2A3 Esto se resuelve directamente mediante el meacutetodo de bases reciprocas
Dos bases e1e2e3 y e1e2e3 se dicen reciprocas si satisfacen la siguiente condicioacuten
Cada vector de una base es perpendicular a dos vectores de otra base
Si construimos los paralelipedos generados por las dos bases cuyos voluacutemenes son |V|= e1 (e2 x e3) y |Vrsquo|= e1 (e2xe3) entonces las caras cuyos voluacutemenes de cada paraleliacutepedoson perpendiculares al borde del otro Puesto que la relacioacuten antes mencionada implica la magnitud de cada vector de una base es igual al reciproco de la altura paralela del paralelepiacutepedo generado por la base reciacuteproca
Para construir expliacutecitamente las bases reciprocas e1e2e3
correspondientes a una base dada e1e2e3 procedamos como sigue el vector e1 debe ser perpendicular a los vectores e2 y e3 Por ello
e1=m(e2 x e3)
donde m es un escalar que se puede determinar por la condicioacuten e1e
1=1
Entonces podemos encontrar los coeficientes
incoacutegnitas A1 A2 A3 siempre y cuando la base
e1e2e3 sea la reciproca correspondiente a la base
e1e2e3 Por ello
COMPONENTES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES DE UN VECTOR
Al estudiar las bases reciprocas encontramos que el
mismo vector puede ser expandido como
Con respecto a una de las bases e1e2e3 y
Con respecto a la base reciproca e1e2e3 Los
nuacutemeros Ai Se llaman componentes
contravariantes de A y los nuacutemeros Ai se llaman
componentes covariantes de A
En el caacutelculo tensorial es usual denotar al conjunto
de vectores base como el cual lo diferencia de
la base Con esta notacioacuten la relacioacuten de
reciprocidad anterior seriacutea
Donde es la delta de Kronecker
RELACIOacuteN ENTRE COMPONENTES
COVARIANTES Y CONTRAVARIANTES
Tomemos el producto escalar con ei y el producto escalar con
ei entonces obtenemos
Si introducimos la notacion
Podemos escribir la notacioacuten en forma
Estas formulas expresan las componentes
covariantes del vector A en teacuterminos de sus
componentes contravariantes y viceversa
Como el nombre lo sugiere las cantidades
covariantes se piensan para movimiento o
transformaciones hacia adelante mientras que las
cantidades contravariantes se transforman hacia
atraacutes Por lo cual depende de si uno estaacute usando
cualquier fondo fijo mdash de hecho eso cambia el
punto de vista
EN RESUMENhellip
Los vectores base covariantes de su sistema reciacuteproco son
Note que incluso si ei y ei no son ortonormales esto sigue siendo vaacutelido por definicioacuten de mutuamente ortonormal
Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto punto de v con los vectores base contravariantes
De igual manera las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
Cada vector de una base es perpendicular a dos vectores de otra base
Si construimos los paralelipedos generados por las dos bases cuyos voluacutemenes son |V|= e1 (e2 x e3) y |Vrsquo|= e1 (e2xe3) entonces las caras cuyos voluacutemenes de cada paraleliacutepedoson perpendiculares al borde del otro Puesto que la relacioacuten antes mencionada implica la magnitud de cada vector de una base es igual al reciproco de la altura paralela del paralelepiacutepedo generado por la base reciacuteproca
Para construir expliacutecitamente las bases reciprocas e1e2e3
correspondientes a una base dada e1e2e3 procedamos como sigue el vector e1 debe ser perpendicular a los vectores e2 y e3 Por ello
e1=m(e2 x e3)
donde m es un escalar que se puede determinar por la condicioacuten e1e
1=1
Entonces podemos encontrar los coeficientes
incoacutegnitas A1 A2 A3 siempre y cuando la base
e1e2e3 sea la reciproca correspondiente a la base
e1e2e3 Por ello
COMPONENTES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES DE UN VECTOR
Al estudiar las bases reciprocas encontramos que el
mismo vector puede ser expandido como
Con respecto a una de las bases e1e2e3 y
Con respecto a la base reciproca e1e2e3 Los
nuacutemeros Ai Se llaman componentes
contravariantes de A y los nuacutemeros Ai se llaman
componentes covariantes de A
En el caacutelculo tensorial es usual denotar al conjunto
de vectores base como el cual lo diferencia de
la base Con esta notacioacuten la relacioacuten de
reciprocidad anterior seriacutea
Donde es la delta de Kronecker
RELACIOacuteN ENTRE COMPONENTES
COVARIANTES Y CONTRAVARIANTES
Tomemos el producto escalar con ei y el producto escalar con
ei entonces obtenemos
Si introducimos la notacion
Podemos escribir la notacioacuten en forma
Estas formulas expresan las componentes
covariantes del vector A en teacuterminos de sus
componentes contravariantes y viceversa
Como el nombre lo sugiere las cantidades
covariantes se piensan para movimiento o
transformaciones hacia adelante mientras que las
cantidades contravariantes se transforman hacia
atraacutes Por lo cual depende de si uno estaacute usando
cualquier fondo fijo mdash de hecho eso cambia el
punto de vista
EN RESUMENhellip
Los vectores base covariantes de su sistema reciacuteproco son
Note que incluso si ei y ei no son ortonormales esto sigue siendo vaacutelido por definicioacuten de mutuamente ortonormal
Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto punto de v con los vectores base contravariantes
De igual manera las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
Entonces podemos encontrar los coeficientes
incoacutegnitas A1 A2 A3 siempre y cuando la base
e1e2e3 sea la reciproca correspondiente a la base
e1e2e3 Por ello
COMPONENTES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES DE UN VECTOR
Al estudiar las bases reciprocas encontramos que el
mismo vector puede ser expandido como
Con respecto a una de las bases e1e2e3 y
Con respecto a la base reciproca e1e2e3 Los
nuacutemeros Ai Se llaman componentes
contravariantes de A y los nuacutemeros Ai se llaman
componentes covariantes de A
En el caacutelculo tensorial es usual denotar al conjunto
de vectores base como el cual lo diferencia de
la base Con esta notacioacuten la relacioacuten de
reciprocidad anterior seriacutea
Donde es la delta de Kronecker
RELACIOacuteN ENTRE COMPONENTES
COVARIANTES Y CONTRAVARIANTES
Tomemos el producto escalar con ei y el producto escalar con
ei entonces obtenemos
Si introducimos la notacion
Podemos escribir la notacioacuten en forma
Estas formulas expresan las componentes
covariantes del vector A en teacuterminos de sus
componentes contravariantes y viceversa
Como el nombre lo sugiere las cantidades
covariantes se piensan para movimiento o
transformaciones hacia adelante mientras que las
cantidades contravariantes se transforman hacia
atraacutes Por lo cual depende de si uno estaacute usando
cualquier fondo fijo mdash de hecho eso cambia el
punto de vista
EN RESUMENhellip
Los vectores base covariantes de su sistema reciacuteproco son
Note que incluso si ei y ei no son ortonormales esto sigue siendo vaacutelido por definicioacuten de mutuamente ortonormal
Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto punto de v con los vectores base contravariantes
De igual manera las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
COMPONENTES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES DE UN VECTOR
Al estudiar las bases reciprocas encontramos que el
mismo vector puede ser expandido como
Con respecto a una de las bases e1e2e3 y
Con respecto a la base reciproca e1e2e3 Los
nuacutemeros Ai Se llaman componentes
contravariantes de A y los nuacutemeros Ai se llaman
componentes covariantes de A
En el caacutelculo tensorial es usual denotar al conjunto
de vectores base como el cual lo diferencia de
la base Con esta notacioacuten la relacioacuten de
reciprocidad anterior seriacutea
Donde es la delta de Kronecker
RELACIOacuteN ENTRE COMPONENTES
COVARIANTES Y CONTRAVARIANTES
Tomemos el producto escalar con ei y el producto escalar con
ei entonces obtenemos
Si introducimos la notacion
Podemos escribir la notacioacuten en forma
Estas formulas expresan las componentes
covariantes del vector A en teacuterminos de sus
componentes contravariantes y viceversa
Como el nombre lo sugiere las cantidades
covariantes se piensan para movimiento o
transformaciones hacia adelante mientras que las
cantidades contravariantes se transforman hacia
atraacutes Por lo cual depende de si uno estaacute usando
cualquier fondo fijo mdash de hecho eso cambia el
punto de vista
EN RESUMENhellip
Los vectores base covariantes de su sistema reciacuteproco son
Note que incluso si ei y ei no son ortonormales esto sigue siendo vaacutelido por definicioacuten de mutuamente ortonormal
Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto punto de v con los vectores base contravariantes
De igual manera las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
En el caacutelculo tensorial es usual denotar al conjunto
de vectores base como el cual lo diferencia de
la base Con esta notacioacuten la relacioacuten de
reciprocidad anterior seriacutea
Donde es la delta de Kronecker
RELACIOacuteN ENTRE COMPONENTES
COVARIANTES Y CONTRAVARIANTES
Tomemos el producto escalar con ei y el producto escalar con
ei entonces obtenemos
Si introducimos la notacion
Podemos escribir la notacioacuten en forma
Estas formulas expresan las componentes
covariantes del vector A en teacuterminos de sus
componentes contravariantes y viceversa
Como el nombre lo sugiere las cantidades
covariantes se piensan para movimiento o
transformaciones hacia adelante mientras que las
cantidades contravariantes se transforman hacia
atraacutes Por lo cual depende de si uno estaacute usando
cualquier fondo fijo mdash de hecho eso cambia el
punto de vista
EN RESUMENhellip
Los vectores base covariantes de su sistema reciacuteproco son
Note que incluso si ei y ei no son ortonormales esto sigue siendo vaacutelido por definicioacuten de mutuamente ortonormal
Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto punto de v con los vectores base contravariantes
De igual manera las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
RELACIOacuteN ENTRE COMPONENTES
COVARIANTES Y CONTRAVARIANTES
Tomemos el producto escalar con ei y el producto escalar con
ei entonces obtenemos
Si introducimos la notacion
Podemos escribir la notacioacuten en forma
Estas formulas expresan las componentes
covariantes del vector A en teacuterminos de sus
componentes contravariantes y viceversa
Como el nombre lo sugiere las cantidades
covariantes se piensan para movimiento o
transformaciones hacia adelante mientras que las
cantidades contravariantes se transforman hacia
atraacutes Por lo cual depende de si uno estaacute usando
cualquier fondo fijo mdash de hecho eso cambia el
punto de vista
EN RESUMENhellip
Los vectores base covariantes de su sistema reciacuteproco son
Note que incluso si ei y ei no son ortonormales esto sigue siendo vaacutelido por definicioacuten de mutuamente ortonormal
Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto punto de v con los vectores base contravariantes
De igual manera las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
Podemos escribir la notacioacuten en forma
Estas formulas expresan las componentes
covariantes del vector A en teacuterminos de sus
componentes contravariantes y viceversa
Como el nombre lo sugiere las cantidades
covariantes se piensan para movimiento o
transformaciones hacia adelante mientras que las
cantidades contravariantes se transforman hacia
atraacutes Por lo cual depende de si uno estaacute usando
cualquier fondo fijo mdash de hecho eso cambia el
punto de vista
EN RESUMENhellip
Los vectores base covariantes de su sistema reciacuteproco son
Note que incluso si ei y ei no son ortonormales esto sigue siendo vaacutelido por definicioacuten de mutuamente ortonormal
Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto punto de v con los vectores base contravariantes
De igual manera las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
Como el nombre lo sugiere las cantidades
covariantes se piensan para movimiento o
transformaciones hacia adelante mientras que las
cantidades contravariantes se transforman hacia
atraacutes Por lo cual depende de si uno estaacute usando
cualquier fondo fijo mdash de hecho eso cambia el
punto de vista
EN RESUMENhellip
Los vectores base covariantes de su sistema reciacuteproco son
Note que incluso si ei y ei no son ortonormales esto sigue siendo vaacutelido por definicioacuten de mutuamente ortonormal
Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto punto de v con los vectores base contravariantes
De igual manera las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
EN RESUMENhellip
Los vectores base covariantes de su sistema reciacuteproco son
Note que incluso si ei y ei no son ortonormales esto sigue siendo vaacutelido por definicioacuten de mutuamente ortonormal
Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto punto de v con los vectores base contravariantes
De igual manera las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
Entonces v puede ser expresado en dos formas
(reciacuteprocas)
Es decir el vector v es una combinacioacuten liacuteneal de
los vectores base del sistema coordenado
correspondiente
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
Si los vectores base contravariantes
son ortonormales entonces son equivalentes a los
vectores base covariantes asiacute que no hay
necesidad de distinguir entre coordenadas
covariantes y contravariantes y todos los iacutendices
son superiacutendices
