Busqueda de una raiz-Metodos numericos

MÉTODOS NUMÉRICOSRaíces de ecuaciones

MÉTODO GRÁFICO

f(x)

x

Visual

xr

MÉTODO GRÁFICO

x f(x)

0 1

0.05 0.90122942

0.1 0.80483742

0.15 0.71070798

0.2 0.61873075

0.25 0.52880078

0.3 0.44081822

0.35 0.35468809

0.4 0.27032005

0.45 0.18762815

0.5 0.10653066

0.55 0.02694981

0.6 -0.05118836

0.65 -0.12795422

0.7 -0.2034147

0.75 -0.27763345

0.8 -0.35067104

0.85 -0.42258507

0.9 -0.49343034

0.95 -0.56325898

1 -0.63212056-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

0.57

xe)x(fx -= -

MÉTODO DE BISECCIÓN

f(x)

x


1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se

garantice que la función tiene raíz.


xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0<)x(f).x(f si




2. El segmento se bisecta, tomando el punto de

bisección xr como aproximación de la raíz buscada.


xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

2

sir

xxx

+=


La fórmula de recurrencia para el método

de bisección es el promedio de los valores

inferior y superior de los extremos del

intervalo:

i sr

x xx

2

+=






3. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la

raíz.


xi xsxi

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

rxx =i







raíz.

4. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de

bisección xr coincide prácticamente con el valor exacto

de la raíz.


xsxi

f(x)

x

f(xs)

f(xr)

2

sir

xxx

+=

xr


Iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xr f(Xr) e(%) e*(%)

1 0 1 1 -0.63212056 0.5 0.10653066 11.84

2 0.5 1 0.10653066 -0.63212056 0.75 -0.27763345 32.24 33.33

3 0.5 0.75 0.10653066 -0.27763345 0.625 -0.08973857 10.2 20.00

4 0.5 0.625 0.10653066 -0.08973857 0.5625 0.00728282 0.82 11.11

5 0.5625 0.625 0.00728282 -0.08973857 0.59375 -0.04149755 4.69 5.26

6 0.5625 0.59375 0.00728282 -0.04149755 0.578125 -0.01717584 1.94 2.70

7 0.5625 0.578125 0.00728282 -0.01717584 0.5703125 -0.00496376 0.56 1.37

8 0.5625 0.5703125 0.00728282 -0.00496376 0.56640625 0.0011552 0.13 0.69

9 0.56640625 0.5703125 0.0011552 -0.00496376 0.56835938 -0.00190536 0.21 0.34

10 0.56640625 0.56835938 0.0011552 -0.00190536 0.56738281 -0.00037535 0.04 0.17

11 0.56640625 0.56738281 0.0011552 -0.00037535 0.56689453 0.00038986 0.04 0.09

12 0.56689453 0.56738281 0.00038986 -0.00037535 0.56713867 7.2379E-06 0 0.04

13 0.56713867 0.56738281 7.2379E-06 -0.00037535 0.56726074 -0.00018406 0.02 0.02

14 0.56713867 0.56726074 7.2379E-06 -0.00018406 0.56719971 -8.8412E-05 0.01 0.01

Decisiones Función Recurrencia Xr = 0.567143

xe)x(fx -= -


0.5

0.75

0.625

0.5625

0.59375

0.578125

0.56640625

0.5703125

0.567143…

0 1

xe)x(fx -= -

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

f(x)

x





xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0<)x(f).x(f si




2. Se traza una recta que une los puntos [xi, f(xi)], [xs,

f(xs)].


xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)




2. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs,

f(xs)).

3. Se obtiene el punto de intersección de esta recta con

el eje de las abscisas: (xr, 0) y se toma xr como

aproximación de la raíz buscada.


xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

s i i sr

i s

x f(x ) x f(x )x

f(x ) f(x )

-=

-

O método de interpolación lineal


La fórmula de recurrencia para el método de la regla

falsa se obtiene de comparar dos triángulos semejantes:

si

r i r s

r s i r i s

r i s i r s i s

r i r s s i i s

r i s s i i s

s i i sr

i s

f(x )f(x )

x x x x

(x x )f(x ) (x x )f(x )

x f(x ) x f(x ) x f(x ) x f(x )

x f(x ) x f(x ) x f(x ) x f(x )

x [f(x ) f(x )] x f(x ) x f(x )

x f(x ) x f(x )x

f(x ) f(x )

=- -

- = -

- = -

- = -

- = -

-=

-





f(xs))


el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como



raíz.

xr


xi xsxs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xs)

rxx =s





f(xs))


el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como



raíz.

5. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de

intersección xr coincide prácticamente con el valor

exacto de la raíz.


xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)



xe)x(fx -= -

iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xr f(Xr) e(%) e*(%)

1 0 1 1 -0.63212056 0.61269984 -0.07081395 8.03

2 0 0.61269984 1 -0.07081395 0.30634992 0.42977907 45.98 100.00

3 0.30634992 0.61269984 0.42977907 -0.07081395 0.45952488 0.17205878 18.98 33.33

4 0.45952488 0.61269984 0.17205878 -0.07081395 0.53611236 0.04890582 5.47 14.29

5 0.53611236 0.61269984 0.04890582 -0.07081395 0.5744061 -0.01136694 1.28 6.67

6 0.53611236 0.5744061 0.04890582 -0.01136694 0.55525923 0.01866424 2.1 3.45

7 0.55525923 0.5744061 0.01866424 -0.01136694 0.56483266 0.0036226 0.41 1.69

8 0.56483266 0.5744061 0.0036226 -0.01136694 0.56961938 -0.00387865 0.44 0.84

9 0.56483266 0.56961938 0.0036226 -0.00387865 0.56722602 -0.00012965 0.01 0.42

10 0.56483266 0.56722602 0.0036226 -0.00012965 0.56602934 0.00174607 0.2 0.21

11 0.56602934 0.56722602 0.00174607 -0.00012965 0.56662768 0.00080811 0.09 0.11

12 0.56662768 0.56722602 0.00080811 -0.00012965 0.56692685 0.0003392 0.04 0.05

13 0.56692685 0.56722602 0.0003392 -0.00012965 0.56707644 0.00010477 0.01 0.03

14 0.56707644 0.56722602 0.00010477 -0.00012965 0.56715123 -1.244E-05 0 0.01


f(x)

x

Caso de convergencia lenta


MODIFICADO

Las funciones con curvatura significativa hacen que el

método de la regla falsa converja muy lentamente.

Esto se debe a que con interpolación lineal, uno de los

valores extremos se queda estancado.

Para tales casos, se ha encontrado un remedio: el

método de la regla falsa modificado, que reduce a la

mitad el valor de la función en el punto extremo que se

repita dos veces, con lo que la convergencia se acelera

significativamente.


MODIFICADOf(x)

x

f(xi)

f(xi)/2

f(xi)/4

PRECAUCIONES EN EL USO

DE MÉTODOS CERRADOS

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0<)x(f).x(f si

3 raíces (o 5, o 7 o …)

hay una raíz

hay un número impar de raíces



xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0<)x(f).x(f si

3 raíces (1 simple y 1 doble)

hay una raíz

hay un número impar de raíces



xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0>)x(f).x(f si

2 raíces (o 4, o 6 o …)

no hay raíz

hay un número par de raíces



xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0>)x(f).x(f si

1 raíz doble

no hay raíz

hay un número par de raíces



Los métodos cerrados siempre convergen,

aunque lentamente.

En la mayoría de los problemas el método de la

regla falsa converge más rápido que el de

bisección.

Conviene utilizar la calculadora graficadora o una

computadora para graficar la función y realizar

los acercamientos necesarios hasta tener

claridad sobre su comportamiento.

MÉTODO DEL PUNTO FIJO

f(x)

x


1. Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x.


f(x)

x

x)x(g)x(f -=



2. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, cuando g(x) = x.


La fórmula de recurrencia para el método del punto fijo se obtiene de

considerar una función que el resultado de sumar la función f con la función

identidad:

g(x) f(x) x

f(x) g(x) x

f(x) 0 g(x) x 0

g(x) x

= +

= -

= - =

=

g(x) f(x) x

f(x) g(x) x

f(x) 0 g(x) x 0

g(x) x

= +

= -

= - =

=


f(x)

xxr

x

g(x)

f(x)



2. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.

3. El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz.


f(x)

xxr

Las funciones x y g(x) se cortan

exactamente en la raíz xr

x

g(x)

f(x)





4. El método consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x0), considerando éste como segunda aproximación de la raíz, x1.


f(x)

xx0 x1

g(x0)

10 x)x(g =





4. El método consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x0), considerando éste como segunda aproximación de la raíz.

5. El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide prácticamente con x.


f(x)

xx0 x3 x2 x1

Requisito para convergencia

1<)x('g


Sólo hay convergencia si la magnitud de la pendiente de

g(x) es menor que la pendiente de la recta f(x) = x.

– La ecuación de recurrencia es:

– Si x* es el verdadero valor de la raíz:

– Y por el teorema del valor medio:

– Si , los errores disminuyen en cada iteración

– Si , los errores crecen en cada iteración

i 1 ix g(x )+

=

* *x g(x )=* *

i 1 ix x g(x ) g(x )+

- = -

* *

i ig(x ) g(x ) (x x )g'( )- = -

*

i 1 i 1

*

i i

x x Eg'( )

x x E+ +

- = =

-

g'(x) 1<

g'(x) 1>


solución monótona

solución oscilante

Convergencia

Divergencia

< 1g'(x)

> 1g'(x)



xe)x(fx -= -

iteración Xi f(Xi) g(Xi) e(%) e*(%)

1 0 1 1 100.00

2 1 -0.63212056 0.36787944 76.32 100.00

3 0.36787944 0.32432119 0.69220063 35.13 171.83

4 0.69220063 -0.19172713 0.5004735 22.05 46.85

5 0.5004735 0.10577003 0.60624354 11.76 38.31

6 0.60624354 -0.06084775 0.54539579 6.89 17.45

7 0.54539579 0.03421655 0.57961234 3.83 11.16

8 0.57961234 -0.01949687 0.56011546 2.20 5.90

9 0.56011546 0.01102765 0.57114312 1.24 3.48

10 0.57114312 -0.00626377 0.56487935 0.71 1.93

11 0.56487935 0.00354938 0.56842873 0.40 1.11

12 0.56842873 -0.00201399 0.56641473 0.23 0.62

13 0.56641473 0.0011419 0.56755664 0.13 0.36

14 0.56755664 -0.00064773 0.56690891 0.07 0.20

15 0.56690891 0.00036732 0.56727623 0.04 0.11

16 0.56727623 -0.00020833 0.5670679 0.02 0.06

17 0.5670679 0.00011815 0.56718605 0.01 0.04

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

f(x)

x


1. Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como

aproximación de la raíz y obtener el valor de la función

por ese punto.


x1

f(x)

x

f(x1)



aproximación de la raíz y obtener el valor de la función

por ese punto.

2. Trazar una recta tangente a la función por ese punto.


x1

f(x)

x

f(x1) f '(x1)

O método de la tangente



aproximación de la raíz.

2. Obtener el valor de la función por ese punto y trazar

una recta tangente a la función por ese punto.

3. El punto de intersección de esta recta con el eje de las

abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación

de la raíz.


x1

f(x)

x

f(x1)

x2

f(x2)

i+1xf'(xi)

= xi -f(xi)


El método de Newton Raphson se puede deducir a partir

de la interpretación geométrica que supone que el punto

donde la tangente cruza al eje x es una interpretación

mejorada de la raíz.

i 1 ii

i 1 i

ii

i 1 i

ii 1 i

i

ii 1 i

i

f(x ) f(x )f '(x )

x x

0 f(x )f '(x )

x x

f(x )x x

f '(x )

f(x )x x

f '(x )

+

+

+

+

+

-=

-

-=

-

- = -

= -


En realidad, el método de Newton Raphson, que supone la

obtención de la raíz de f(x), se obtiene a partir de su desarrollo en

serie de Taylor, la cual se puede escribir:

donde, al despreciar el residuo R2, la serie de Taylor truncada a dos

términos, queda:

Y realizando manipulaciones algebraicas:

i+1 i i i+1 i 2f(x ) = f(x ) + f '(x )(x - x ) + R

i i i+1 i0 = f(x ) + f '(x )(x - x )

ii 1 i

i

f(x )x x

f '(x )+

= -



aproximación de la raíz.

2. Obtener el valor de la función por ese punto y trazar

una recta tangente a la función por ese punto.

3. El punto de intersección de esta recta con el eje de las

abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación

de la raíz.

4. El proceso se repite n veces hasta que el punto de

intersección xn coincide prácticamente con el valor

exacto de la raíz.


x1

f(x)

x

f(x1)

x2

f(x2)

f(x3)

x3


En ocasiones resulta difícil o imposible obtener la primera derivada

de la función. En tal caso, se puede hacer una aproximación

suficientemente buena de su valor en xi, por diferencias finitas hacia

delante:

o por diferencias finitas hacia atrás:

con h = 0.001, por ejemplo.

Si la función no tiene singularidades en la vecindad de la raíz,

ambas aproximaciones por diferencias funcionan bien.

i ii

f(x ) f(x h)f '(x )

h

- -

i ii

f(x h) f(x )f '(x )

h

+ -


El método de Newton Raphson converge muy

rápidamente, pues el error es proporcional al

cuadrado del error anterior:

– La velocidad de convergencia cuadrática se explica

teóricamente por la expansión en serie de Taylor, con

la expresión:

– El número de cifras significativas de precisión se

duplica aproximadamente en cada iteración

i 1 2E R+

=


Derivada Función Recurrencia Xr = 0.567143

xe)x(fx -= -

iteración Xi f(Xi) f'(Xi) e(%) e*(%)

1 0 1 -2 100.00

2 0.5 0.10653066 -1.60653066 11.84 100.00

3 0.566311003 0.00130451 -1.567615513 0.15 11.71

4 0.567143165 1.9648E-07 -1.567143362 0.00 0.15

5 0.56714329 4.4409E-15 -1.56714329 0.00 0.00


f(x)

x

La velocidad de convergencia es muy sensible al valor inicial elegido

lento

rápido


Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.

x

x3 x1

x2x0

f(x)


Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.

xx1x2x0

f(x)

x3x4

MÉTODO DE LA SECANTE

f(x)

x


1. Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los

cuales se evalúan los valores de la función: f(x0) = f(x1)


x0 x1

f(x)

x

f(x0)

f(x1)




2. Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.


x0 x1

f(x)

x

f(x0)

f(x1)





3. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas

(x2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz.


x0 x1

f(x)

x

f(x0)

f(x1)

x2

f(x2)

i i 1 i 1 ii 1

i 1 i

x f(x ) x f(x )x

f(x ) f(x )- -

+

-

-=

-







4. Se reemplazan los subíndices: xi = xi+1, de manera que x1 pasa a

ser x0 y x2 pasa a ser x1.


x0 x1

f(x)

x

f(x0)

f(x1)

x2

f(x2)

x0 x1

f(x0)f(x1)









5. Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0 , x1.


x0

f(x)

x

f(x0)

x1

f(x1)

x2









5. Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0, x1,

obteniendo una segunda aproximación con x2.

6. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección x2

coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

MÉTODO DE LAS SECANTES

x0

f(x)

x

f(x0)

x1

f(x1)

x2

f(x2)


Derivada Función Recurrencia Xr = 0.567143

xe)x(fx -= -

iteración X0 X1 f(X0) f(X1) X2 f(X2) e(%) e*(%)

1 0 0.4 1 0.27032005 0.54818554 0.02981207 3.34

2 0.4 0.54818554 0.27032005 0.02981207 0.56655382 0.00092388 0.1 3.24

3 0.54818554 0.56655382 0.02981207 0.00092388 0.56714126 3.1783E-06 0 0.10

4 0.56655382 0.56714126 0.00092388 3.1783E-06 0.56714329 3.3904E-10 0 0.00

COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOS

ESTIMADOS, POR DIFERENTES MÉTODOS

0.01

0.10

1.00

10.00

100.00

1000.00

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

iteraciones

Err

or

rela

tivo

esti

mad

o p

orc

en

tual

Bisección Regla falsa Punto fijo Newton-Raphson Secante

xe)x(fx -= -

COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOS

ESTIMADOS, POR DIFERENTES MÉTODOS

Los métodos de bisección, de regla falsa y de punto fijo convergen

linealmente al valor verdadero de la raíz.

– El error relativo verdadero es proporcional y menor que el error

correspondiente de la iteración anterior.

– En bisección y regla falsa, la convergencia está garantizada.

– En punto fijo, la convergencia depende de que la pendiente de la

tangente no sobrepase el 1, en positivo o en negativo.

Los métodos de Newton Raphson y de la secante convergen

cuadráticamente al valor verdadero de la raíz.

– El error relativo verdadero es proporcional al cuadrado del error

correspondiente de la iteración anterior.

– Cuando el error relativo en una iteración es menor que 1 (inferior al

100%), la convergencia está garantizada.

– Cuando el error relativo en una iteración es mayor que 1, la divergencia

está garantizada.

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Busqueda de una raiz-Metodos numericos