Cap 5 numeros

Moisés Villena Muñoz Números

91

5

5.1 CLASIFICACIÓN 5.2 NÚMEROS REALES

• PROPIEDADES • OPERACIONES • EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Nuestra primera incursión con las Matemáticas es quizás cuando interaccionamos con los números. Si queremos contar, mencionar nuestra edad, nuestro peso, la cantidad de dinero que poseemos,..., necesariamente debemos recurrir a los números. Pero para estudios más formales, debemos definirlos, clasificarlos, estudiar sus propiedades…


92

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Clasifique a los números • Aplique las propiedades de las operaciones usuales, suma y producto, con números reales. • Defina operación binaria. • Aplique las propiedades de las operaciones binarias para determinar si una operación dada es binaria o no. • Aplique en ejemplos dados las propiedades conmutativas, asociativas, existencia del elemento idéntico,

existencia del elemento inverso. • Construya ejemplos de operaciones binarias. • Simplifique expresiones numéricas y algebraicas, aplicando las leyes de los exponentes, radicales, producto

notable, factorización.

5.1 CLASIFICACIÓN

La clasificación de los números la observamos en el siguiente cuadro:

−+

−+

−+

−

aginarios

IesIrracional

iosFraccionar

Znegativos

CeroINNaturalesPositivos

ZEnteros

QRacionalesIRales

CCOMPLEJOS

Im

:

:

0:::

:

::Re

:

Se podría decir que el conjunto universo de los números, es el de los

números complejos C . Todo número complejo tiene la forma:

bia + Es decir, se compone de dos partes:

1. Parte real “ a ” 2. Parte imaginaria “ b ”

Si 0=a tenemos a los números imaginarios. Si 0=b tenemos a los números reales.

5.2 NUMEROS REALES: IR

Los números reales están clasificados en dos grandes grupos:

1. Los números Racionales: Q .

2. Los números Irracionales: I .


93

5.2.1 NÚMEROS RACIONALES. Q

Los números racionales son todos aquellos que pueden ser

expresados como una fracción qp , donde Zqp ∈∧ .

Por tanto a este conjunto pertenecen:

Los ENTEROS )(Z . Estos números no tienen parte decimal, por ejemplo:

...36

510

242 ====

Los números que tienen una cantidad finita de decimales, por ejemplo:

10311.3 =

10052323.5 =

Los números que tienen una cantidad infinita de decimales periódicos, por ejemplo:

...131313.3=a ...42535353.2=b

Para estos últimos números surge una pregunta ¿CUÁL ES LA FRACCIÓN

CORRESPONDIENTE?.

Para lo cual, tenemos la siguiente regla:

REGLA PARA CONVERTIR UN DECIMAL PERIÓDICO EN FRACCIÓN.

1. Identificar el primer período. 2. Encontrar dos números. Uno, cuyo punto

decimal aparezca después del primer período y el otro, cuyo punto decimal aparezca

antes del primer período.


94

3. Restar estos números. Observe que el número resultante es un entero.

4. Encontrar el número.

Bien, apliquemos la regla para convertir los dos últimos números anteriores en sus respectivas fracciones:

Ejemplo 1

Para el número

...131313.3=a los números a restar serían: 000000.31099

...131313.3...131313.313100

==−=

aaa

por lo tanto 99

310=a

Ejemplo 2

Para el número

...53535342.2=b los números a restar serían:

00000.240119900...535353.242100...535353.2425310000

==−=

bb

b por lo tanto

990024011

=b

Finalmente hallemos la fracción equivalente para este otro número racional.

Ejemplo 3

Si

...5125125120.3=c los números a restar serían: ...000000.304829990...512512.3010...512512.3051210000

==−=

ccc

por

lo tanto 9990

30482=c ¿SE PUEDE SIMPLIFICAR? ¿CÓMO QUEDARÍA?

Si dividimos el numerador para el denominador de la fracción se

obtiene el número en forma decimal.

Ejercicios Propuestos 5.1


95

1. Obtenga la fracción equivalente, de ser posible, para los siguientes números: a) 02.2 b) 0101010101.0 c) 14161616.3


96

5.2.2 NÚMEROS IRRACIONALES I

Son aquellos números que no pueden ser convertidos en fracción. Tienen una cantidad infinita de decimales no periódicos.

Existen infinita cantidad de números irracionales, pero los típicos, usados frecuentemente, son:

...718281.2=e ...1415926.3=π ...41421356.12 = etc.

PREGUNTA: Los números 2π ,

22 , 2e ¿SON RACIONALES O IRRACIONALES? ¿POR QUÉ?

5.2.3 REPRESENTACIÓN

Los números reales se pueden representar sobre la RECTA

NUMÉRICA.

Se hace referencia a los enteros, pero esto no quiere decir que, a los otros números reales no se los pueda ubicar sobre la recta numérica, es cuestión de observarlos como decimales.

Ejercicio Propuesto 5.2 Ubique en la recta numérica los siguientes números: a) 14.3

b) 54

c) 67

d) 1.2−

e) 43−

f) 49−

5.2.4 RELACIÓN DE ORDEN

En la recta numérica, al ubicar un número cualquiera; los números que quedan a la izquierda serán menores que este número y los que quedan a la derecha serán mayores que este número.


97

Esquemáticamente sería:

Se puede decir que nm > ó lo que es lo mismo que mn < .

Además, todos los números que están a la izquierda de m son menores que éste, y los que están a la derecha son mayores.

Ejercicios Propuestos 5.3 1. Si IR=Re el conjunto de los números Reales; Q es el conjunto de los números Racionales; I es el

conjunto de números irracionales; Z es el conjunto de los números enteros, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA: a) IIIR =∩ b) IRIZQ =∪∪ )( c) φ=∩ IQ d) ZIIR =− e) QQZI =∪∩ )(

2. Si se consideran los siguientes conjuntos de números:

N : Naturales IR : Reales Z : Enteros I : Irracionales Q : Racionales Una de las siguientes proposiciones es INCORRECTA, identifíquela. a) IRQN ⊆∪ )( b) IRQI =∩ c) QZ ⊆ d) ZN ⊆ e) )( IQN ∪⊆

3. Identifique ¿cuál de las proposiciones es FALSA?:

a) φ=∩ IQ b) QNQ =∪ c) IRIN C =∩ )( d) IRIQIR ∩=− e) QNQ =−

4. Dados N = números naturales, Z = números enteros, Q = números racionales, I = números irracionales y IR = números reales, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA:

a) IRN ⊂ b) φ=∩ IQ c) IRIN ⊂∪ )( d) )( IQIR ∪= e) IRIZN ⊂⊂⊂

5. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:

a) 24 −= siempre que π−2 es un número racional.

b) 35

105 =

+ ó ( ) 215 −− es un número negativo.

c) El número ee)2( es racional.

d) Si 1 es irracional, entonces 413 −=− . e) Una de las proposiciones anteriores es falsa.


98

5.2.5 OPERACIONES

Los números reales pueden ser operados, dando a lugar a otros números reales. Existen las operaciones convencionales como son la ADICIÓN y la MULTIPLICACIÓN (RESTA Y DIVISIÓN)

5.2.5.1 ADICIÓN

Sean a y b números reales, entonces la adición o suma de estos números se la denota como ba + y cumple con las siguientes PROPIEDADES:

1. abba +=+ , CONMUTATIVA 2. cbacba ++=++ )()( , ASOCIATIVA 3. aa =+ 0 , donde 0 es llamado “IDÉNTICO ADITIVO” 4. 0)( =−+ aa , donde a− es llamado “INVERSO ADITIVO DE

a ”

La operación RESTA ba − se la considera como una suma de a con el inverso aditivo de b , es decir: ( )ba −+ .

5.2.5.2 MULTIPLICACIÓN

Sean a y b números reales, entonces la multiplicación de estos números se la denota como ba ⋅ y cumple con las siguientes PROPIEDADES:

1. abba ⋅=⋅ ; CONMUTATIVA 2. cbacba ⋅⋅=⋅⋅ )()( ; ASOCIATIVA 3. aa =⋅1 donde 1es llamado “IDÉNTICO MULTIPLICATIVO”

4. 1)1( =⋅a

a donde a1 es llamado “INVERSO MULTIPLICATIVO DE a ” ( 0≠a )

La operación DIVISIÓN ba ÷ se la considera como una multiplicación de a con el inverso multiplicativo de b , es decir:

⋅

ba 1 , donde 0≠b .

NOTA: La división entre cero no se define.


99

5.2.5.3 OPERACIONES BINARIAS Además de las operaciones anteriores, se pueden definir otras,

ya no convencionales, sobre los números reales o sobre cualquier otro conjunto.

Sea S un conjunto cualquiera y sea SbSa ∈∧∈ . Suponga que se define la operación

“∗”. Esta operación será BINARIA si y sólo si al par ( )ba, le asignamos un único elemento de S , es decir el resultado de ( )ba ∗ debe ser un

elemento de S . Simbólicamente:

( ) babaSSS∗

×∗

,:""

Ejemplo 1 Sea el conjunto IRS = y “ ∗ ” una operación definida de la siguiente manera:

baba 2+=∗ . Es decir que si 2=a y 3=b , entonces ( ) 832232 =+=∗ en otro caso, si 3−=a y 4=b , entonces ( ) ( ) 542343 =+−=∗− . En fin, se podría establecer la correspondencia para cualesquiera dos elementos de S ,

no necesariamente diferentes. Se puede observar que el resultado será siempre un número real, por tanto ésta es una operación binaria.

Ejemplo 2

En cambio , si tomamos al conjunto += IRS y “ ∗ ” la operación definida de la siguiente manera: baba 2−=∗ .

NO ES BINARIA, porque si 2=a y 4=b entonces +∉−=−=∗ R6)4(2242

Aunque no lo hemos mencionado, porque no era necesario, pero en el conjunto de las proposiciones, las operaciones lógicas de disyunción y conjunción son ejemplos de operaciones binarias.

También lo serían las operaciones de Unión e Intersección sobre el Conjunto de todos los conjuntos.

Una operación Binaria podría cumplir con las

siguientes propiedades:


100

1. CONMUTATIVA si, [ ]abbaSbSa ∗=∗∈∀∈∀ ,

2. ASOCIATIVA si, ( ) ( )[ ]cbacbaScSbSa ∗∗=∗∗∈∀∈∀∈∀ ,,

3. PROPIEDAD DEL NEUTRO si, [ ]anaSaSn =∗∈∀∈∃ , , n es llamado el elemento

neutro, idéntico o nulo. 4. PROPIEDAD DEL INVERSO si

[ ]nIaSISa =∗∈∃∈∀ , , I es llamado el inverso de

a . Ejemplo 3

La operación binaria baba 2+=∗ definida sobre IRS = . 1. NO ES CONMUTATIVA, porque baabab ∗≠+=∗ 2

2. TAMPOCO ES ASOCIATIVA, porque ( ) ( )

cbacbacba22

2++=∗+=∗∗

es diferente a ( ) ( )

( )cbacba

cbacba

4222

2

++=++=

+∗=∗∗

3. EL NEUTRO sería: ???????

4. El INVERSO sería: ???????

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.

Ejercicio Resuelto 1

Si “ ∗ ” es una operación binaria definida sobre Z de la manera abbaba 222 −+=∗ , identifique ¿cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?:

a) ( ) 6352 =∗∗ b) La operación “∗ ” es asociativa c) 010 =∗ d) La operación “∗ ” es conmutativa e) 6252 ∗≥∗

SOLUCIÓN:

a) Calculemos

( ) ( )( )( )( )

( )( )36

39239

39352252352

22

22

=−+=

∗=∗−+=∗∗

más no 6 , por tanto esta opción es FALSA.


101

Entonces es FALSO que: a) ∆∗Ο∗Π=∆∗Ο∗Π )()( b) El neutro de la operación es Π c) ∆=Ο∗Ο∗Π )( d) Ο=∆∗Ο∗Π )( e) La operación es conmutativa

b) Para que la operación sea asociativa debe cumplir ( ) ( )cbacba ∗∗=∗∗ , entonces hallemos

( ) ( )( ) ( )cabbacabba

cabbacba

222

2222222

22

−+−+−+=

∗−+=∗∗

y ( ) ( )

( ) ( )bccbabccba

bccbacba

222

2222222

22

−+−−++=

−+∗=∗∗

los dos resultados anteriores son obviamente diferentes, por tanto esta opción también es FALSA.

c) ( )( ) 11021010 22 =−+=∗ mas no 0 como se indica, por tanto esta opción también FALSA

d) Para que la operación sea conmutativa debe cumplir que abba ∗=∗ , entonces

como abbaba 222 −+=∗ y como baabab 222 −+=∗ la operación si es conmutativa, por tanto esta es la opción VERDADERA .

e) Es FALSA ¿POR QUÉ?

Ejercicio Resuelto 2 Sea { }ΠΟ∆= ,,S un conjunto sobre el que se define una operación binaria “∗ ” representada en el siguiente cuadro: SOLUCIÓN: Analicemos cada opción:

a) De acuerdo al cuadro ( ) ( ) Π=Π∗Π=∆∗Ο∗Π y como ( ) ( ) Π=∆∗Ο=∆∗Ο∗Π , por lo tanto esta opción es VERDADERA.

b) De acuerdo al cuadro observamos que operando cada elemento del conjunto S con Π se obtiene los mismos elementos, por tanto este es el neutro, el idéntico o el nulo de la operación. Esta opción también es VERDADERA.

c) ( ) ( ) ∆=∆∗Π=Ο∗Ο∗Π Esta opción también es VERDADERA.

d) ( ) ( ) Π=Π∗Π=∆∗Ο∗Π que es diferente de Ο , por tanto esta es la opción FALSA.

e) Es VERDADERA ¿POR QUÉ?


1. Sea la siguiente operación: ZZZ →×:* , tal que yxyx += 2* Entonces es VERDAD que: a) ∗ no es una operación binaria. b) )20(12)01( ∗∗=∗∗ c) La operación es conmutativa. d) La operación es asociativa. e) 00)12( =∗∗

2. Sea { }cbaS ,,= ; sobre este conjunto se define la operación binaria " ∆ " por medio de la tabla:

∆ a b c a b a a b b c b c a b c

Identificar cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA: a) caa =∆ )( b) La operación binaria “ ∆ ” es conmutativa c) [ ]acbaa ∆∆=∆ )()( d) [ ]ccbbb ∆∆=∆ )()( e) [ ] )()()( bccaba ∆≠∆∆∆

∗ ∆ Ο Π ∆ Ο Π ∆ Ο Π ∆ Ο Π ∆ Ο Π


102


103

5.2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Los números reales pueden operarse para dar lugar a otros números. Combinando las operaciones para diversos números puede ser necesario expresarlas para luego obtener su resultado.

Ejemplo 1

341

54

31

+−

−

Sin embargo en ocasiones pueden aparecer además letras y no sólo números. Estamos ante la presencia de una EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

Debemos precisar que una expresión algebraica simple está compuesta por:

Término

LiteralParteeCoeficient

bca 323

Existen expresiones algebraicas compuestas por:

Sólo un término, se llaman MONOMIOS.

Dos términos, se llaman BINOMIOS.

Tres términos, se llaman TRINOMIOS.

Más de un término ó también n términos, se llaman POLINOMIOS.


104

5.2.6.1 FRACCIONES

Ya hemos definido a los números fraccionarios, ahora puntualicemos definiciones sobre las fracciones algebraicas.

Una fracción está compuesta por: rDenominadoNumerador

BA→

5.2.6.1.1 Operaciones

Usted puede realizar las siguientes operaciones con las fracciones:

1. SUMA: BD

CBADDC

BA +

=+

2. MULTIPLICACIÓN: BDAC

DC

BA

=

3. DIVISIÓN: BCAD

CD

BA

DCBA

=

=

No olvide que la división entre cero no está definida.

Con estas operaciones, en ocasiones es necesario reducir una expresión algebraica a la mínima expresión.

Ejemplo 1

Si IRx∈ ( )0=∧¬ x ( )1=∧¬ x , la siguiente expresión algebraica:

x11

11

11

11

−−

−−

se REDUCE a: a) ( )1−xx b) ( ) xx /1− c) x d) x/1 e) ( )x11+

SOLUCIÓN: el objetivo es reducir la expresión dada a la más simple posible, para lo cual deberá ir realizándose las operaciones desde la más interna hasta la externa:


105

xx

xx

xxxx

xx

xx

x111

1111

11

11

11

1111

11

11

11

11

111

11

11

11

11

11

11

−=−=

−+−=

−−

−−=

−−−

−−=

−−

−−=

−−

−−=

−−

−−

Por tanto la RESPUESTA es la opción “b”.


1. Si se simplifica la expresión

21

1

1

x

xx

x−

+

se obtiene:

a) 1 b) x c) x1 d)

21

x e) 2xx −

2. Al simplificar la expresión algebraica:

1

1

+−

+−

vu

ww

vu

uu

se obtiene:

a)wu b)

uv c )

vu d)

wv e) 1

3. Al SIMPLIFICAR:

12

22

12

+−

−

+−+

−

xxx

xx

x

se obtiene: a) 58 +x b) x4 c) 15 −x d) 23 +x e) 1−x

4. Al SIMPLIFICAR la expresión: 1

111

111

1

+

++

−++

−

++

+++

abaab

aba

abaab

aba

se obtiene: a) )1()(

++

abba b) a c) ba − d)

a1 e) 1

5. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica:

xx

xx

xx

−−

+

+−

−−+

11

11

11

11

, se obtiene:

a) 1 b) x+1 c) x−1 d) 2− e) 2

6. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( ) ( )x

xx

x

x

x−

−+

÷−

−1111

1 Se obtiene:

( )( )( )( )

( )( )

( )( ) 2)2

12)

212)

122)

212)

−−−

−++−

+−

xex

xxd

xxxc

xxxb

xxxa


106

5.2.6.2 EXPONENTES

Existen expresiones algebraicas que poseen exponentes:

vecesn

n aaaaa .....= donde ≡a base y ≡n exponente

Entonces para simplificar estas expresiones habrá que hacer uso de las leyes de los exponentes, es decir:

1. mnmn aaa +=.

2. mnm

na

aa −=

3. ( )nnn abba =

4. n

n

n

ba

ba

=

5. ( ) nmmn aa =

5.2.6.2.1 Radicales (Exponentes Fraccionarios)

Los exponentes fraccionarios, son no otra cosa que los radicales.

nn aa =1

donde 0≥a cuando n es par.

Entonces: ( )mnn mnm

aaa ==

La utilidad de esto último observamos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Queremos calcular 3 535

88 = , entonces es mejor observarlo como ( ) 3228 553 == .

Bien, analicemos los siguientes ejercicios.

Además considere que:

1. 11 −= aa

y

2. 10 =a


107


Si )0( =¬∧∈ aIRa , entonces la expresión:

3

1

3 2

213 2

6

6 5

32

2−

−

+

a

a

aa

a

a

aa

es equivalente a: a) 4 b) a

2 c)a

8 d) a4 e) a2

SOLUCIÓN: Aplicando leyes de los exponentes, tenemos:

[ ][ ]4

22

2

2

2

22

1

11

33

66

66

31

32

67

61

65

61

31

32

21

32

61

65

32

21

31

3 2

213 2

6

6 5

32

==

+=

+=

+=

+=

+

−

−−

−−

−

−

−

−

−

−

aa

aaa

aaa

a

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

aa

a

a

aa

a

a

aa

Por tanto la RESPUESTA es la opción “a”.


La expresión: mmm

mmmm

323

3

23

1098

6125274

es equivalente a: a) mmm 32 532 b) m2 c) 1 d) m3 e) m5 SOLUCIÓN: Descomponiendo las bases en sus factores primos y aplicando las leyes de los exponentes, tenemos:

( )( )

1532532

253232532

2532

32532

1098

6125274

334

334

333

2232

326

33

23332

323

3

23

=

=

=

×

×=

mmm

mmm

mmmm

mmmmm

mmm

mmmm

mmm

mmmm

Por tanto la RESPUESTA es la opción “c”. Ejercicio Resuelto 3

La expresión: 3

75273216

83285

3−

+

−

Se reduce a: a)8

1− b)8

15− c) 82− d) 8

1 e)8

15

SOLUCIÓN:


108

33533

2642628

332539

2161624328

332539

2161624328

37527

32168328

5

3

5

3

5

3

5

3

−+

−=

−+

−=

×−×+

×

×−=

−+

−

815

281

221

2321

332

26422

3

35

53

−=

−=

−

=

−

=

−+

=

Por lo tanto la respuesta es la opción “b”.


1. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica:

31

53

31

211

3

27

−

−−

ba

ba

se obtiene: a) 3

ba b) ab3 c) 3b d) 23ba e) 1−b

2. La siguiente expresión: 1−m m abab

es EQUIVALENTE a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )111 )1)))) −−− mmm mmm m abeab

dabcabbaba

3. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión: 33 2

3 232

nmnm

nmnmnm se obtiene:

a) 6

5

32

n

m b) 65

41

nm− c) 4

34

1nm

− d)6

54

11

nm e) 6

54

3 −nm

4. Al RESOLVER la siguiente expresión algebraica: 63

334

2

22 27319

21

z

yx

z

yx+

se obtiene:

46

83

3653

65

3653

653

65

xyzz

xyzz

xyzz

xyzz

xyzz

a) b) c)

d) e)


109

5. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica: ( )0331

11

111

11

11−−

−

−−

−−−

−−

−−++

−

++

−

+ yxxyxy

yxyx

se obtiene:

a) )(

1yx +

b) )(

1yx +

− c) 1)( 1 ++ −yx d) 1 e) 1−

6. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica

1

21

31

3 3

16

27

−

−

−−

ab

baba se obtiene:

a) ba32 b)

ba

32 c)

ba

23 d)

ab

23 e)

ba

23

7. Al SIMPLIFICAR la expresión 2

2152

212

1

1 +

+

−−

−−

+−

−

−x

xx

xxx

, se obtiene:

a) 1+x

x b)1+

−x

x c) 1−x d)x+2

1 e)x−1

1

8. Si se SIMPLIFICA la expresión algebraica:2

−+

−

++

babaab

babbaa se obtiene:

a) 0 b) 1− c) 4 d) 1 e) 4−

9. Si se SIMPLIFICA la expresión:baba

++ −− 11

y el resultado se lo multiplica con la expresión

)24(25 aabaab +−+ , entonces el resultado final es: a) a1 b) ab c) 1 d) ba + e) ab2

10. La expresión: ( )333

2

1624222

52

1

+

−

−

se REDUCE a:

a) 272 b) 9

4 c) 272− d) 9

4− e) 91

Para otros tipos de expresiones algebraicas es necesario emplear el producto notable y la factorización.

5.2.6.3 PRODUCTO NOTABLE

Al realizar la multiplicación de ciertas expresiones típicas y observar sus resultados singulares nos lleva a proponer lo siguiente:

1. ( )( )

( ) abxbax

abaxbxxbxax

+++=

+++=++2

2

Si ab = tenemos ( )( ) ( ) 222 2 aaxxaxaxax ++=+=++ Observe también que ( ) 222 2 aaxxax +−=−


110

Si ab −= tenemos ( )( ) 22 axaxax −=−+

2. Otros productos notables a considerar son:

( ) 32233 33 axaaxxax −+−=−

( ) 32233 33 axaaxxax +++=+

5.2.6.4 FACTORIZACIÓN En el proceso de simplificar una expresión algebraica, reducirla a la

mínima expresión, es necesario expresarla en factores.

La factorización es el proceso contrario del producto notable.

5.2.6.4.1 Factor Común Cuando existe un factor común en todos los términos de la

expresión.

Ejemplo

( )

( )( )22

22222322232

36

36661866

aabbcabc

cbaacbbaacbbabcacbacab

++=

++=++

5.2.6.4.2 Diferencia de Cuadrados Del producto notable, tenemos que:

( )( )bababa +−=− 22

Ejemplo 1

)3)(3()9( 2 −+=− xxx

Ejemplo 2

)2)(2)(4(5

)4)(4(5

)16(5805

22

2222

4444

yxyxyx

yxyx

yxyx

−++=

−+=

−=−


111

Ejemplo 3

)8)(8()8( 2 −+=− xxx

Ejemplo 4

( ) ( )55)5( −+=− xxx

5.2.6.4.3 Diferencia y Suma de Cubos

DIFERENCIA ( ) ( )2233 )( babababa ++−=−

SUMA ( ) ( )2233 )( babababa +−+=+

Demuestre que es verdad lo anterior.

5.2.6.4.4 Trinomios

De acuerdo al producto notable

( )

qpxx

abxbaxbxaxqp

++=

+++=++

2

2)()(

Observamos que todo trinomio de la forma qpxx ++2 puede ser expresado como el producto ( )( )bxax ++ donde: qbaypba =⋅=+

Ejemplo

Factoricemos el trinomio 652 +− xx .

Será cuestión de encontrar dos números que sumados algebraicamente den 5− –5 y multiplicados, 6. Estos números son –3 y –2. Entonces:

( )( )23652 −−=+− xxxx

NOTA: al primer factor le puede asignar el mismo signo del término lineal x , y al segundo factor el resultado de aplicar la ley de los signos, al signo del término lineal con el signo del término independiente.


112

5.2.6.4.4.1 Trinomio General

Un trinomio de forma general qpxmx ++2 puede ser expresado en factores siguiendo el siguiente proceso:

1. Multiplicamos y dividimos para “ m ”

( )

mmqmxpmx

mmqpmxxm

mqpxmxm

++=

++=

++

)()( 2

222

2. Factorizamos el numerador para “ mx ” de la misma forma que el caso anterior.

Ejemplo

)23)(3(

3)23)(93(

318)3(11)3(6113

22

++=/

+/+/=

++=++

xx

xx

xxxx


113


Al SIMPLIFICAR la expresión:

++−

÷

+++

−−−

349

2196

9352

2

22

2

2

xxx

xxx

xxx

se obtiene:

a) 13

+−

xx b) ( )( )

3312

−++

xxx c)

3932

−−+

xxx d)

33

−+

xx e) ( )( )

331

−++

xxx

SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos suceptibles de factorizar.

( )

)3()1)(3(

)3()1(

)21()3)(3(

)3)(3()12)(3(

)1)(3()3)(3(

)21(3

)3)(3(2

)12)(62(2

−++

=

−+

⋅+

++−++−

=

++−+

÷

++

−+

+−

=

xxx

xx

xxx

xxxx

xxxx

xx

xx

xx

De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “e”


Al SIMPLIFICAR la expresión:

+−

−÷

−−

−++

−−

3412

6352

231

2

1

2

2

2

xxx

xxxx

xx se obtiene:

a) x

x 1− b) x1 c) x d)

1−xx e) 1−x

SOLUCIÓN: Primero se expresa como factores los términos factorizables.

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

xx

xxxx

xxx

xxxx

xx

xxx

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

xxx

xx

xxxx

xx

xxx

xxxx

xx

=−−−

•−−

−=

−−−

•

−−−

=

−−−

•

−++−

•+−+

=

−−−

•

+−−+

+−+

=

−−−

+−

−++−+

=

+−

−÷

−−

−++

−=

−

−

−

−

−

1213

3112

1213

1231

1213

12323

213

1213

23123

232

1213.

232

12622

32

3412

6352

231

1

1

12

1

2

1

2

2

2

De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”


114

Por otro lado, tenemos:

( ) ( )( )nnnnnnn bbababaababa +++++−=− −−−− ...342321

( ) ( )( )nnnnnnn bbababaababa −+−+−+=+ −−−− ...342321

Sin embargo, factorizar el binomio de una forma u otra depende del ejercicio que se esté resolviendo.

Ejemplo 1 66 yx − puede ser factorizado como diferencia de cuadrados o como diferencia de cubos o

usando la regla general.

Es decir: 1. ( ) ( ) ( )( )3333232366 yxyxyxyx +−=−=−

2. ( ) ( ) ( )( )422422323266 yyxxyxyxyx ++−=−=−

3. ( )( )5432234566 yxyyxyxyxxyxyx +++++−=−

Ejemplo 2

En cambio, 99 yx − puede ser factorizado sólo de dos formas, como diferencias de cubos o usando la regla general. Es decir:

1. ( ) ( ) ( )( )633633333399 yyxxyxyxyx ++−=−=−

2. ( )( )8762534435267899 yxyyxyxyxyxyxyxxyxyx ++++++++−=−

Ejercicio Resuelto

Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )6699

6336yx

yxyyxx

−−

++ se obtiene :

a) 33 yx − b) 22 yx + c) 33 yx + d) 22 yx − e) yx −

SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos factibles de factorizar.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )33

3333633633

6336

23233333

633666

99

6336

yx

yxyxyyxxyx

yyxx

yxyx

yyxxyxyx

yyxx

+=

+−•++−

++=

−

−

++=−

−

++

De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”


115

Finalmente, para RACIONALIZAR una fracción, expresar la fracción sin radicales en el denominador, puede hacerse lo siguiente:

Ejemplo 1

Si tenemos una fracción simple, como 2

3 , se puede multiplicar numerador y denominador

por 2 es decir 2

2322

23

=• .

Ejemplo 2 Si la fracción presenta en el denominador suma o diferencia de radicales, multiplique tanto al numerador como al denominador por su conjugado (la suma o diferencia de los radicales presentes con

signo contrario). ( ) ( ) 4

535953

53

535353

531

22

+=

−+

=−

+=

+

+•

− conjugado


1. SIMPLIFICANDO la expresión algebraica ( )

+

−+

−

+− −−

−−

−−

−−

11

11

11

1122

yxyx

yxyxxy se obtiene:

a) 22 yx + b) 22 xy − c) xy2 d) 22 yx − e) ( )222 yx +

2. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( ) ( )( )bababa

abbaa

+−−

++− 33122

223 se obtiene:

a) ( )2ba + b) b c) a d) ( )2ba − e) ( )ba −

3. Al SIMPLIFICAR la expresión:

( )( )

( )22

24

2

3

2

22

3

9

3327

93

aa

aa

aaa

aaa

+

−

−+

−

−

−

se obtiene:

a) ( )( )a

aa+−

332

b) 23 3aa − c) ( )( )a

aa++

332

d) 23 3aa + e) 23a

a+

4. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )

12

243

162

2

2

+−

−

+−+

−−−

xxx

xx

xxx

Se obtiene:

a) x b) 12

−−

xx c)

43 cuando 2=x d)

xx

+−

25 e) 2 cuando 1=x


116

5. Al simplificar: ( )[ ]( )

−

+−+

+−

++−

2222

2

1

xa

xaxa

xaaa

xaxxa

se obtiene:

a) xa + b) 1−+ xa c) ( )xa − d) ax − e) ( ) 1−− xa

6. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica

35

15

34

23 2

−+

−

+−−

−

xx

xxxx

se obtiene:

a) 2 b) 10 c)10

1+x d) ( )110 +x e) ( )1+x

7. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: 4

234

1 xxxxx

−

−+− se obtiene:

a) x b) 1+x c) 1+x

x d) 1+

−x

x e) 1−x

x


4224

8

42

ba

bbaa

+

+− se obtiene:

a) ( )22 2ba − b) ( )22 2ba + c) 22 21

ba + d)

( )222 2

1

ba − e)

( )322 2

1

ba −

9. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión:

−

+−−xa

cbbcd

dcb

xxaaxa 2

35

3223 se obtiene:

a) bcd

xacbxa +−

2 b) cbxa

2− c) 3 xa + d) ( )xabcd + e) ( ) 2

1xa +

10. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: 2

2

2

2

2

22

12

11

22

++

+

−

−−

+

aa

aa

baba

se obtiene:

a) a b) b c) ab d) ba e)

ab

11. Al SIMPLIFICAR la expresión

444

55376

23

2

−+−+

−+−−+

yxxyyxyx

yxxyyxyyx

se obtiene:

a) 376

52

23

−+

+

xxxx b) ( )( )1332 −+ xx c) ( )( )

( )51332

2 +

−+

xxxx d) ( )( )

( )51332

2 +

−+

xyxxx e) ( )

3765

2

23

−+

+

xxyxx

12. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( ) ( )( ) ( )2222

333

42228

xaamxmaxmaxmaxam−+−+

++− se obtiene:

a) axm 2+ b) a c) 38a d) 2a e) ( ) 12 −+ axm

13. SIMPLIFICANDO ( )( ) xyxxyxyyxyx

+−

−−22

3223

42 se obtiene:

a)yx

x+

b)yx

y2+

− c)yx

x2

2+

d)yx

y+

−2 e)

yxx−

14. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica 22

3223

462

22

baba

babbaa

++

−−+ se obtiene:


117

a) 2

ba + b)2

ab − c)22ba − d)

22ba + e)

2ba −

15. ¿Cuál de las siguientes igualdades NO es identidad?

a) ( ) ( ) ( )xyyyxxyx 33 223 +++=+

b) ( )( )yxyxyx +−=− 22

c) ( ) ( ) ( )bababa +−=−

d) ( ) ( )2224 2 yxyxyx ++=+

e) ( ) ( )yxyxyx +−=− 222

16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?

a) ( ) ( ) ( )22 244 yxyxyx −+=−++−

b) ( )( )122326 2 +−=−− xxxx

c) ( )( )xxxx −+=−− 4520 2

d) 2

231

91

+=+ xx

e) ( ) ( )( )12233 +++−=−+− yxyxyxyxyx

17. Al SIMPLIFICAR : 3535

3535

−+

++− Se obtiene:

a) 5 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1 18. Indicar ¿cual de las siguientes igualdades es FALSA?

( ) ( ) ( )( )1443)

3213

212

1)

1)

4228)

453

531)

2

2

3 2

3

22

33

−+++=−+++

+=+

+−

−

+=

−

+−

+=+

+=

−

qpqpqpqpe

d

baba

bac

xx

xx

xxb

a

19. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.

a) 0;22211 ≠−+−=−+−

xyxyx

b) 10;11

31

4≠∧≥+=

−+

−− xxx

xxx

c) 00;222≠∧≠+=

+yx

yxyx

d)65

2 54

3 48 >

e) 0;11 ≠=+− xxx

20. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.

a) x

yxy

yxx

yxx

yxy

=

−−

+

−−

+

b) 454 0123

=−+ − xxx , si 4=x


118

c) ( ) 2

322222

2

20=

−

−−

−

d) 242

1

53

1

45

1625 −

−−

−=

yx

yxxy

e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.


3223

22

33

22 yxyxxyyxyx

yxyxyx

−

+−÷

−+

+ se obtiene:

a) 22 yx b) 1 c) yx + d)xy1

e) xy

22. En la expresión algebraica 1

12

325

−

+−−

xxxx . Si se reemplaza a " x " por un número entero mayor que 1

entonces se obtiene como resultado: a) Un número entero positivo. b) Un número fraccionario menor que 1 . c) Un número fraccionario menor que 1− . d) Un número entero negativo. e) El número cero.

Misceláneos

1. Sea el conjunto { }?,,, ∗Ο∆=S . Y la operación binaria “ ⊕ ” en tal que

Entonces es FALSO, que: a) La operación es conmutativa. b) El elemento neutro de la operación es “?” c) ∗⊕∗=Ο⊕∆ d) ( ) Ο=⊕⊕Ο ?? e) ( ) ( )Ο⊕∆⊕∗=Ο⊕∆⊕∗


a) Si RIQ =∩ entonces Z∈2 b) ZQ ⊆ o RN ⊆ c) IN ⊆ y QZ ⊆ d) Si ZN ⊆ entonces RQ ⊆ e) ( ) ( )[ ]ZZNRIQ =∪∧=∪

3. Al SIMPLIFICAR xxxxx

+++−+−−

1111

; se obtiene:

a) 12 +x b) 12 −x c) xx +2 d) xx −2 e)x

x 12 −

⊕ ∆ Ο ∗ ?

∆ ∆ ∗ Ο ∆ Ο ∗ Ο ∆ Ο ∗ Ο ∆ ∗ ∗ ? ∆ Ο ∗ ?


119

4. Si se SIMPLIFICA

12123

12

11

+−

−−

−

aa

, se obtiene:

a) 36

7++

aa b)

7632

+−

−aa c)

732 +a d)

7632

++

aa e) a2

5. Una EXPRESIÓN EQUIVALENTE para 33 43

1+

, es:

a) 7

2129 33 −+ b)7

22129 33 −− c)2

1

21

21

7

129 −

d)7

22129 333 +− e)2

1

21

21

7

129 +

6. Al SIMPLIFICAR xx

x

xxxxxx

−+

⋅−

⋅

−

−−+

+−

33

81

649

8765

2

2

2

2

, se obtiene:

a) 34

22 +−

−

xxx b)

12

−−

−xx c) ( )( )

( )( )xxxx

+−−−

−3182 d)

21

+−

xx e) ( )( )

182−

−−x

xx

7. El RESULTADO de simplificar 642

642

222222

−−−

+++

++++

nnn

nnn, es:

a) 512 b)256 c)260 d)181 e)502

8. Al SIMPLIFICAR la expresión ( )x

xx

xx

xxx

21

1

−−

+

, es:

a) x b) 1−x c) 1−xx d) xx e) 1+xx

9. Sea el conjunto { }3,2,1=S . y sea “ ⊕ ” una operación en S, definida por la siguiente tabla:

Entonces es VERDAD que: a) La operación ⊕ no es binaria. b) La operación es conmutativa. c) ( )[ ] S∉⊕⊕ 132 . d) La operación ⊕ tiene el elemento neutro. e) ( )[ ] 2321 =⊕⊕

10. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:

a) ZIN ∈∧∈ 22

b) O bien Z∈0 o bien IR∈0

c) Si I∈π , entonces Q∉43

d) ( ) ZQ ∈+∨∈ 23...2323.0

e) IQ ∉π

∧∈2

5.0

⊕ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 1 3 1


120

11. Al REDUCIR la expresión: 812

23227210

16.03

−

+−+ se obtiene:

a) 64 23+ b)

223 + c)

323 − d)

2683 + e) 223 +


+−

+

−−+

bababa

aba

baba

22 2

se obtiene:

a) 2bab + b) ( )baabab

−+ 22 c)1 d)0 e) ba +22

13. Al SIMPLIFICAR la expresión nn

ma

nm 122 −+

− se obtiene:

a) 1 b)m-n c) anm

−

11 d) nm

na−

+

11 e) ( )naam +−

14. Al SIMPLIFICAR

xx11

31

1

11

11

3

−+−

+

++

se obtiene:

a) x b)2 c) 2−x d) x− e)x2

15. Sea la expresión 3561177 22 −+− xyyx . Si 32

1−

=x y 32

1+

=y , entonces la expresión

tiene un VALOR numérico igual a: a) 11 b)10 c)9 d)12 e)13

16. Al SIMPLIFICAR la expresión :( )( )

( )( )yxxxxy

xyx

yxyxx

+++÷

−×

−

−−

932749

23

3

3

32

22

2 . Se obtiene:

a) ( )yxx −34 b)yx

x−

34 c)1 d) yx + e) ( )34 3 +xx

17. Sean los conjuntos R = Números Reales Q = Números Racionales I = Números Irracionales Z = Números Enteros N = Números Naturales Entonces una de la siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.

a) ( ) RZN ⊂∩ b) NQR =− c) IZQ ⊆∪ d) RQI =∩ e) ( )NQZ ∩⊆

18. Al SIMPLIFICAR la expresión mnm

mnmn 2

se obtiene:

a) 8 m b) nm8 c)nm8

d)8 3m

n e) 3 m

19. Al SIMPLIFICAR la expresión ( )( )( )( )3

32123

232

−−

−−−

xxxxxxx

se obtiene:

a) ( )( )112 2 ++− xxxx b) ( )12 2 ++ xxx c) ( )22 −xx


121

d) ( )( )1

212 2

+−++

xxxxx e) ( )( )122 2 +++ xxxx


1

4

234

11

1

−

−−

−

−+−xx

xxxx se obtiene:

a) x b)x

x 1+− c)

1

2

+−

xxx d)

1+−

xx e) 1−−x

21. Al SIMPLIFICAR la expresión ( )[ ]1431612

4332 2

234

2

22 −

−+

+++

−+

+−

−

− xxxxx

xxxx

xxx

x se obtiene:

a) 4 b)2 c)1

1−x

d) 12 −x e) 1−x


12123

12

11

+−

−−

−

xx

se obtiene:

a) 2212

++

xx b)

321 x+ c)1 d)

7632

++

xx e) 12 −x


a) ( ) 21

11

1−=

−− x

xx

b) 12 −− = aa aa aa

c) 11

11

1−=

++

+ −− pqqp xx

d) nm

nm

nm

nm

yx

xy

xy

yx

yx

+

+=

−

+

−

+

11

11

e) ( ) ( )( )

832

4104

1200000036.0004.0 −×=

24. Al SIMPLIFICAR

+++

−+

+÷

−+

++

+

+1

11

111

11

11

11

xyxxy

xy

x

xy

y

xy

xyy se obtiene:

a) y b) x c) xy d) xy2 e) yx2

25. Al TRANSFORMAR la expresión ( )xyyx 4−+ se obtiene:

a) 414

1yx − b) yx + c) 4

14

1yx − d) 2

141

yx + e) 41

yx + 26. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA. Identifíquela:

a) yxyx +=+ , 0,0 >> yx

b) 81

xxxx = , 0>x


122

c) 43 5

8116

158

<

d) 57

5222

721

−−−=−−

e) )54)(43(2012 222 axyaxyaaxyyx +−=−+


−

+

++÷

+−

−

14

77777

2221

23

2

2

3

xxxx

xxx se obtiene:

a) 2 b) x2 c) 3 d) 12 −x e)2

12 −x


( ) 012

212

2

2

xyxxy

yxyx

−+

+−

−−

−−− se obtiene:

a) x b) 1 c)[ ]yxx

yx22 +

+ d)

[ ]yxxyx22 +

− e) ( )2xy −


a) I∈π2

∨ N∈0 b) φ∪=− IQR c) Qee∈

2

d) ( ) Q∈π 22 e)Si I∈1 entonces −3 = 1−4

30. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( ) 44

4

494144

712128

89248

+−+

+− se obtiene:

a) 7

1421 + b)27 c)

71421 − d)

727 − e)

321−

31. Sean ba, y c números reales para los cuales se define la expresiónc

bax += , entonces es FALSO, que.

a) bxca −= 22 b) axcb −= 22 c) 222442 axacxcb +−=

d) ( )xbac

21

+= e)

22

cbax +

=

32. Al SIMPLIFICAR la expresión 3 3 323232 bababa se obtiene:

a) 35

910

ba b) 53

109

ba c) 910

25

ba d) 21

31

ba e) 31

21

ba

33. Si se SIMPLIFICA 12

32

31

29

2250

+−

−− se obtendrá:

a) 3 b) 2 c)23 d)

32 e)

21


22

23

22

2

2

323523

yxyxyxx

yxyxxyx

xy

+−

−÷

−+

+ tenemos:


123

a) 2y b) x c)xy d)

xy2

e)2

2

xy


−

+÷

++−

xxpapa

ppp

44

222 2

22 se obtiene:

a) 1 b) 2−p c) 2+p d) pax e)

apx )2( −


( ) ( )( )

( )ppp

ppp

p

323

3

23

1098

6125274

, IRp∈ y MULTIPLICARLA por

3481415 2

+−+

ppp , se obtiene como resultado:

a) p25− b) 34 +p c) ( )21 p+ d) ( )21 p− e) p 37. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:

a) )2()2(6 224422448448 yxyxyxyxyyxx +−−−=+−

b) )56()4(20196 2 −+=−+ xxxx

c)

−

−=+−

31

31

91

322 xxxx

d) ( ) ( )518151318 2 +−=−− aaaa

e) ( )( )22224224 322322984 bababababbaa +−++=++

38. Sea la operación +++ Ζ→Ζ×Ζ:* , tal que: 22* yxyx += , entonces es VERDAD que: a) * no es una operación binaria. b) ( ) 1694*)2*3( = c) La operación no es Conmutativa. d) ( ) 251*2*1 = e) 2)1*1( =


a) ( )( )31

31

91

322 −−=+− xxxx

b) ( )( )56420196 −+=−+ xxxx

c) 10

422422

1 33

3+−

=+

d) 2

1262

85243 −=

−+

e) 2525

3−=

+


−+

−

−

−+

−

−−

−

−−

−−

2

22

2

22

44

11

1111

yyx

xyxyx se obtiene:

a) 2

2222

yyxyx ++ b) 24y c)

2

2222

xyxyx ++−


124

b) 22b e) 2

2222

xyxyx ++


2

21

31

212

1

39

−

−

÷

b

annb

amse obtiene:

a) 21

ma b) m c) 21

a d) ma + e) 67

ma


33

22

11 yxyx

yx

yyxx

−

+÷

−

+−

se obtiene:

a) yx + b) x c) yx − d) 22 yx + e) x−

43. Al SIMPLIFICAR la expresión:

22

2

22

2

61176613

3332

yxyxxyx

aayaxyx

yxx

yxx

+−

−

−−−

+−

−−+

se obtiene:

a) ( )a

yx +−

2 b) ( )a

yx −−

2 c) ( )a

yx2− d) ( )

ayx

2+ e) yx 22 −

44. Al REDUCIR la expresión: 1

2

3

4

−xxxx

se obtiene:

a) 81−x b) 2

1−x c) 8−x d) 41−x e) 8

1x

45. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica:

yxyx

yxy

xyx

yxyx

−−

+−

+−

−+

42

2

se obtiene:

a) 1 b) 2

24x

yxy − c) yx + d) yx − e) ( )

214

xxy −

46. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica )1(11

2

3+−

−

− xxx se obtiene:

a) x

x 1+− b) x c) 1 d)

1+−

xx e) 1−

47. Al simplificar la expresión 1

222222 657

344

232

−

+−

−−

+−

+−

+−

+

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

se obtiene:

a) yxyx

3−− b) ( )( )yxyx

y3−−

c) ( )( )y

yxyx 3−−

d) y

yx − e)y

yx 3−

48. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )( )( )( )

−−

++−

++− yxyxyxyxyxyxyx2222

2233 2 . Se obtiene:

a) 0 b) yx + c) xy d) 1 e) 1−+ yx


125


a) dc

ba= si bcad = ; +∈ IRdb,

b) Si ba = y IRc∈ entonces bcac = ; IRba ∈,

c) nn

ab

ba

=

−

; INnIRba ∈∈ + ,,

d) bd

bcaddc

ba +

=+ ; +∈ IRdb,

e) Si ba > y IRc∈ entonces bcac > ; +∈ IRba,

50. Al RESOLVER

411

11

11

1

211

11

11

11

1

−−

−×

++

++

se obtiene:

a) 1 b)132 c)

213 d)

513 e)

135

51. Al SIMPLIFICAR 22

22

22

22

2

2 22 xyyx

yxyxyxyx

yxyxyxyx

+

+−÷

++

−÷

+

− se obtiene:

a) )(2 yxx − b)( )

( )22

yxyxx

−

+ c)

( ))(2

2

yxxyx−

+ d) ( )2yxx − e)

yxyxy

−+ )(2

52. Al SIMPLIFICAR la expresión ( )2

3223

bababbaa

+

−−+ se obtiene:

a) a b) ba + c) b d)baba

+− e) ba −

53. Si se SIMPLIFICA la expresión ( )

2

22

11

53

20

427

227

−

−−

−

−

yxyx

yxyx se obtiene:

a) 3

23

xy b)

3

3

227

xy c)

3

3

xy d)

3

3

2xy e)

3

327x

y

54. Si se define la operación binaria 22* bababa ++= en el conjunto de los números naturales, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela. a) abba ** = b) 766*4 = c) ( ) 41*11 =+ d) aa ≠0* e) La operación binaria * es asociativa.


33

33

223

2222

yxyxyx

xyyxxyyxx

++

+÷

−

+− se obtiene:

a) ( )yxy − b) 2 c)yx −

2 d)y2 e) ( )yxy −

2

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Cap 5 numeros