Cap2

Capítulo 2. Cinemática de la Partícula

2.1 Conceptos Básicos

Partícula o Punto Material

Además del movimiento de traslación, los cuerpos pueden efectuar movimientos de rotación y de vibra-ción. Cuando se analiza el movimiento de traslación exclusivamente, resulta conveniente introducir el concepto de partícula, asumiendo que el cuerpo se comportan como un punto, con toda su masa concen-trada en él.

Siempre que sólo interese analizar el movimiento de traslación, se puede asumir, en una primera aproxi-mación, que el cuerpo en cuestión se comporta como una partícula. De esta forma se centra la atención en la traslación, y se deja de tomar en cuenta las posibles rotaciones y vibraciones, que siempre pueden ser analizadas posteriormente. La aproximación será más cercana a la realidad mientras mayores sean las distancias involucradas en comparación con las dimensiones del objeto en cuestión.

Vector de posición

El movimiento es relativo. Cuando se menciona que un cuerpo se mueve, hay que especificar con rela-ción a qué se está moviendo. Usualmente se toma la Tierra como sistema de referencia, pero la Tierra también se mueve alrededor del Sol, y éste, junto con todo el sistema solar, alrededor del centro de la ga-laxia y con relación a otras galaxias, etc.

La posición de una partícula respecto a cualquier sistema de referencia se especifica mediante el vector de posición . Conociendo (x,y,z) se conoce exactamente la posición de la partícula. En lo que sigue sólo se analizaran problemas en 1 y 2 dimensiones (recta y plano), por lo que la representación del vector de posición será en el plano xy:

Trayectoria y Desplazamiento Cuando la partícula varía su posición con el transcurso del tiempo, la cur-va imaginaria que se obtiene al unir las posiciones sucesivas que va ocu-pando la partícula se denomina trayectoria de la misma. En este caso el vector de posición será función del tiempo, lo que se designa por

. Como , también se cumplirá que x = x(t) ; y = y(t).

Supongamos que en un instante t1, medido con reloj, la partícula se en-cuentra en la posición P1, con vector de posición . Y que en un instante

posterior se encuentra en P2, asociado a . Se define el des-plazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo t = t2 – t1

como = - (ver figura). Se ve fácilmente que, efectiva-

mente, = + .

2.2 Velocidad y Rapidez

Velocidad

Si la partícula ha realizado un desplazamiento en el intervalo de tiempo t, es posible definir su veloci-dad media por la expresión

Dr. Arnaldo González Arias, Dpto. Física Aplicada,UH [email protected] parte I, Cap.2, pag. 1

P

k ji

r

P

y

j

i x

r

P1

P2

r

1r

2r

mailto:[email protected]

Como t es un escalar siempre positivo, la velocidad media siempre tiene la misma dirección y sentido que el desplazamiento . La velocidad instantánea (o simplemente, la velocidad) se define como el lí-mite para cuando t 0:

Cuando t tiende a cero, el vector desplazamiento también tiende a cero, y cada vez la cuerda se acerca más a la tangente a la curva (ver figura). Como la velocidad tiene la misma dirección que , también su dirección se acercará cada vez más a la tangente a la curva. En el límite, cuando t = 0, la dirección de la velocidad coincide con la tangente a la trayecto-ria. Es decir, la velocidad instantánea de la partícula siempre es tangente a la trayectoria. En coordenadas cartesianas en dos dimensiones, donde , derivando con respecto al tiempo se obtiene

donde vx y vy son las componentes de la velocidad a lo largo de los ejes coordenados: vx = dx/dt, vy = dy/dt.

Rapidez

Considere un segmento cualquiera de trayectoria recorrida entre los puntos P1 y P2, y sea la longitud de ese intervalo. Si la longitud se recorre en el intervalo t = t2 – t1, la rapidez de la partícula se define por la expresión

rapidez =

De la figura se ve que y r no son iguales sino que, a lo más, r. Sin embargo, a medida que el intervalo t se hace menor y el punto P2 se acerca a P1, el valor de r y el de irán siendo cada vez más similares. En el límite para t 0 el punto P1 y el P2 prácticamente coinciden, y es posible sustituir uno por el otro. En ese caso d = dr, y queda entonces

= =

Por tanto, la rapidez de la partícula no es más que el módulo de su velocidad. Resumiendo:

= .

Si se desea calcular la longitud recorrida a lo largo de la trayectoria, despejando en la expresión ante-rior se obtiene d = vdt, por tanto,

=

2.3 Aceleración


P1 r P2

v

r

r


Sean y las velocidades de una partícula en los instantes t1 y t2, respectivamente. La aceleración me-dia de la partícula en ese intervalo de tiempo se define por la expresión

y se comprueba fácilmente que el vector am, paralelo al vector v, está dirigido siempre hacia la parte cóncava de la trayecto-ria (ver figura). La aceleración (instantánea) se define como el límite de la aceleración media cuando el intervalo t tiende a cero:

Cuando la velocidad se expresa en función de sus componentes, , aplicando la definición

anterior, se obtiene

.

ax = dvx/dt, ay = dvy/dt.

Componentes Normal y Tangencial de la Aceleración

Hasta el momento se ha utilizado para establecer la posición de la partícula un sistema de referencia liga-do a tierra. Consideremos ahora otro sistema de referencia: un sistema de referencia ligado a la partícu-la, de manera que se mueve junto con ella a lo largo de la trayectoria.

Los ejes coordenados de este sistema de referencia se toman de forma que uno de ellos es tangente a la trayectoria en cada instante, y el otro es perpendicular a esa tangente. Se introducen, además, el vector unitario tangente (tau) y el vector unitario normal , éste último dirigido hacia

la parte cóncava de la curva. El vector se puede expresar en función de la velocidad de la partícula, que también es tangente a la trayectoria, como

Expresando la aceleración en función de :

=

=

El primer término, dv/dt, es la variación de la rapidez a lo largo de la curva, y tiene la dirección del vector tangente. Se denomina aceleración tangencial: at = dv/dt . Para analizar el significado de , consi-

deremos que, como es un vector unitario, entonces el producto escalar de él consigo mismo es igual a la unidad:

.

La derivada del producto escalar de vectores sigue las mismas reglas que las derivadas de las funciones

reales. Derivando respecto al tiempo se obtiene , lo que de acuerdo a las propiedades anali-

zadas del producto escalar, significa que los vectores y son perpendiculares entre sí. Significa


-

t1,

t2,

1v

2v

ma

v

2v

1v


que el vector tiene la dirección del vector unitario normal , y por tanto es posible escribir

= | | .Es decir, hasta el momento hemos logrado expresar la aceleración de la siguiente forma:

=

Falta por investigar el significado de | | . Si pasamos a la definición de derivada, entonces tendre-mos

Para calcular T/t consideremos la figura siguiente:

El triángulo formado por los dos radios y el segmento de cuerda de valor vmt es se-mejante al triángulo formado por los vecto-

res , y , por ser isósceles con án-

gulo común entre los lados iguales. Que el ángulo es el mismo en ambos casos se ve fácilmente considerando que los vectores unitarios son perpendiculares a los corres-pondientes radios de la circunferencia. Cuando dos ángulos agudos tienen sus la-dos correspondientes perpendiculares en-tre sí, son iguales.

Analizando entonces la proporcionalidad entre lados homólogos de triángulos semejantes, se cumplirá que

Considerando ahora un intervalo t tendiendo a cero, la velocidad media vm tenderá al valor de la veloci-dad instantánea en un punto, y el cociente T/t se convertirá en la derivada dT/dt. Es decir,

dT/dt = v/R

que es la expresión que deseábamos encontrar. Sustituyendo en la formula de la página anterior, se lle-ga a:

=

donde el término v2/R es la componente normal de la aceleración, o simplemente, aceleración normal. En resumen, cuando nos referimos a un sistema de referencia que se mueve junto con la partícula a lo largo de la trayectoria, es posible expresar la aceleración por la expresión

at = dv/dtan = v2/R

Notar que an es siempre positiva, mientras que at puede ser positiva o negativa, según sea que la partícula vaya aumentando o reduciendo su


ta a T

n na a N

a

To

R

T vmt

T

T

oT


velocidad a lo largo de la trayectoria. El vector aceleración siempre estará dirigido hacia la parte cóncava de la curva. Su dirección puede obtenerse a partir de las componentes; tan = an/at .

2. 4 Caso en que ā = 0: Movimiento Rectilíneo Uniforme

A continuación se estudian algunos casos particulares de movimiento, comenzando por el más sencillo posible.

Si = 0, entonces necesariamente = constante. Si

la velocidad es constante (módulo, dirección, sentido) el mo-vimiento tiene que ser a lo largo de una recta. Y en ese ca-so resulta conveniente escoger el eje x de forma que coinci-da con la dirección del movimiento. El vector de posición de la partícula tendrá la forma .

En la figura, | | = x1; | | = x2 . Como sólo hay una dirección con dos posibles sentidos, se puede adop-tar el convenio de que los vectores que estén dirigidos hacia la derecha se representen con un signo (+), mientras que los dirigidos a la izquierda se representen con un signo (-). De esta forma se puede obviar completamente la representación vectorial, y trabajar sólo con los escalares. Así se obtiene, para la velo-cidad media

vm = x/t

donde x = x2 – x1, t = t2 – t1 (positiva cuando el movimiento es hacia la derecha, negativa en caso con-trario). Como la velocidad es constante, la velocidad instantánea será igual a la velocidad media en todo instante, por tanto:

v = x/t

Esta es la fórmula de la velocidad en el MRU. Tomando t1 = 0 (momento en que se comienza a contar el tiempo) y despejando x en la expresión anterior, se llega a la expresión para el espacio recorrido:

x = vt .

Si se desea expresar como varia la abscisa en función del tiempo, sustituyendo x en la expresión ante-rior, se obtiene

x = xo + vt

donde se ha llamado xo a la posición de la partícula para t = 0. Si se grafica la velocidad en función del tiempo, se obtiene una recta paralela el eje de las t. En cambio, la ecuación de la abscisa en función del tiempo es la ecuación de una recta con intercepto xo y pendiente v. Ejercicio: Analizar como queda el gráfico cuando xo

es negativo y la velocidad también.

Unidades


xo (v = tan )

x

t

1v(t )

2v(t )

r x i

0 x1,t1 x2,t2

2r

1r


En el SI de unidades las longitudes se miden metros (magnitud patrón) y el tiempo en segundos. Por tan-to,

[v] = [L]/[¨t] = m/s[a] = [v]/[t] = m/s2

2.5 Movimiento a lo Largo de una Recta con a 0 (constante). MRUV

Fórmula de la Velocidad en el Mov. Rectilíneo Uniformemente Variado

En este caso la expresión de la aceleración, considerando una sola dimensión queda como a = dv/dt . Considerando la derivada como un cociente de infinitesimales un instante antes de alcanzar el límite, es posible trabajar con los diferenciales como si fueran números reales. Por tanto, despejando en la ecua-ción anterior,

dv = a dt .

La igualdad debe mantenerse cuando se integra a ambos lados de la expresión, considerando que para el instante inicial to la velocidad de la partícula tenía el valor to y que la aceleración es constante y se pue-de sacar fuera de la integral,

Integrando ambas expresiones y haciendo to = 0 por conveniencia (instante en que se comienza a contar el tiempo), se llega a la fórmula de la velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente variado.

v = vo + at (2.5.1)

Note que t siempre es (+), pero v, vo y a pueden ser positivos o negativos, y que aquí se sigue el mismo convenio de signos que en el caso del MRU. El vector que apunte a la derecha (sea ó ) será positivo, y negativo en caso contrario.

Hay cuatro posibilidades que se resumen a continuación:

v amovimiento acelerado a la derecha (v > 0, a >0) movimiento acelerado a la izquierda (v < 0, a < 0) movimiento retardado a la derecha (v > 0, a < 0) movimiento retardado a la izquierda (v < 0, a < 0)

El gráfico de v en función del tiempo proporciona la ecuación de una recta. En el ejemplo se ha representado un movimiento retardado hacia la dere-cha.

Fórmula del Espacio en el MRUV

Para hallar la expresión del espacio recorrido, a partir de la definición de velocidad v = dx/dt es posible despejar dx:

dx = vdt

Integrando a ambos lados del signo de igualdad, y sustituyendo v = vo + at, se obtiene:


vo

(a = tan )

v

t


=

La integración definida de la expresión anterior, considerando to = 0 como se ha hecho anteriormente, conduce a:

x = vot + at2 (2.5.2)

Si se prefiere, es posible expresar la abscisa explícitamente en función del tiempo:

x = xo + vot + at2

Note que estas expresiones proporcionan en realidad la abscisa en un instante determinado, que no es lo mismo que el espacio total recorrido.

Otras fórmulas de Interés en el MRUV

Si se despeja el tiempo en la fórmula de la velocidad (2.5.1), se sustituye en la fórmula del espacio (2.5.2) y se simplifican términos, se llega a

v2 = vo2 + 2ax (2.5.3)

relación que no depende del tiempo y puede ser de utilidad en muchos casos. Si se sustituye la fórmula del espacio (2.5.2) en la expresión de la velocidad media vm = x/t y se simplifican términos, se llega a:

(2.5.4)

Finalmente, como x también puede escribirse como x = vmt, sustituyendo la expresión (4) se llega a

x = t (2.5.5)

Note que las ecuaciones (1) a la (5) se derivaron para el caso particular en que la aceleración es constan-te y a lo largo de una recta. No se pueden aplicar en ningún otro caso.

2.6 Caída Libre de los Cuerpos

Resultados Experimentales

Cuando es posible despreciar la resistencia del aire, todos los cuerpos caen verticalmente hacia la tierra con la misma aceleración, de aproximadamente g = 9.8 m/s2. Esto se puede comprobar fácilmente en ex-perimentos de cátedra, donde una pluma y una esfera pequeña de acero caen al unísono en un tubo al que se le ha extraído el aire previamente.

Los ejes de la gráfica adjunta representan la distancia al punto inicial y el tiempo transcurrido desde que se deja caer un objeto cerca de la superficie



terrestre. La gravedad acelera el objeto, que sólo cae unos 20 metros en los primeros dos segundos, pe-ro casi 60 metros en los dos segundos siguientes. También se encuentra en la práctica que g disminuye a medida que aumenta la altura sobre la tierra (se analizará mas adelante) y que, además, varía con la la-titud geográfica:

Lugar g(cm/s2)

La Habana (23o N) 978.2

Washington (47oN) 980.7

Alaska (64o N) 982.2

Como el movimiento de caída libre es con acele-ración constante y a lo largo de una recta, se re-girá por las mismas expresiones que el MRUV. Lo único que varía es el sistema de referencia, que ahora se encuentra vertical (equivale a rotar 90o a la izquierda el sistema de referencia que se utiliza para el movimiento en el eje x. El convenio de signos se mantiene).

Con este convenio de signos, las ecuaciones de la caída libre toman la forma siguiente:

v = vo – gty = vot - gt2

v2 = vo2 – 2gy

Notar que, al igual que el movimiento analizado en el eje x, la variable y representa la abscisa en un ins -tante determinado, y no el espacio recorrido por la partícula. Usualmente el cero del sistema de referen-cia se toma de forma que coincida con la superficie de la tierra, pero es posible colocarlo en cualquier otro lugar.

2.7 Movimiento de Proyectiles

Proyectil

Un proyectil es cualquier objeto que se mueve bajo la acción exclusiva de la gravedad y de la resistencia del aire, después que se le aplica un impulso inicial. En lo sigue no tomaremos en cuenta la resistencia del aire (aproximación válida cuando la distancia a recorrer por el proyectil no es muy grande).

Cuando se analiza la variación de la posición (y = y(x)) se comprueba que cualquier proyectil describe una trayectoria característica (aproximadamente parabólica) representada esquemáticamente en la figu-ra.El movimiento del proyectil se caracteriza por una serie de parámetros:


+

-

a = -g

v+

v-0 v+

v-


: velocidad inicialo : ángulo de lanzamiento o ángulo inicial (note que el ángulo que forma la velocidad con la horizontal va-ría a medida que el proyectil avanza)ym : altura máxima que alcanza el proyectilxh: alcance horizontal (distancia recorrida a lo largo del eje x)tv : tiempo de vuelo (tiempo que el proyectil está en el aire)

Es posible encontrar relaciones entre todas estas magnitudes; por ejemplo, el alcance horizontal como función de la velocidad inicial y el ángulo de disparo. La posición del proyectil quedará determinada com-pletamente en cada instante si se conoce su ley del movimiento, es decir, si se conoce la dependencia

.

Como estamos en un movimiento en dos dimensiones, entonces , donde x = x(t) , y = y(t). Si se conoce el vector de posición en cada instante, entonces se puede conocer también la velocidad en

cada instante, puesto que . Para calcular y(t) y x(t) analicemos la componente del movimiento en

cada eje por separado.

Movimiento en el Eje X

La única aceleración actuando es la de la gravedad, que no tiene componente en el eje x. Por tanto, el movimiento en el eje x es con velocidad constante, a lo largo de una recta. Las expresiones a utilizar son las mismas del Movimiento Rectilíneo y Uniforme, tomando la proyección o componente de la veloci-dad inicial a lo largo del eje x:

vx = vocoso

x = vocosotMovimiento en el Eje Y

La componente de la velocidad inicial en eje y es: voy = voseno . Y se ve fácilmente que las expresiones serán las mismas que las de caída Libre (movimiento en el eje y con aceleración de la gravedad).

vy = voseno – gty = vosenot - gt2

Tiempo de vuelo

Cuando no hay fricción se comprueba fácilmente que el proyectil tarda el mismo intervalo de tiempo en llegar hasta su altura máxima que el que tarda en regresar posteriormente hasta el suelo. Por tanto, es posible escribir

tv = 2t’

donde t’ es el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima. El tiempo t’ se puede calcular considerando que, al alcanzar la altura máxima el proyectil invierte su recorrido en el eje y, y por tanto, en ese instante, vy = 0. De manera que, haciendo vy = 0 en la expresión correspondiente:

0 = voseno –gt’


y

xxho

ov g

v


y como el tiempo de vuelo es el doble de este valor,

Alcance horizontal

Si se sustituye en la expresión de x(t) el tiempo que el proyectil está en el aire (tv), obtendremos su má-ximo alcance. Sustituyendo:

x = vocoso 2

Considerando que 2senocoso = sen(2o), xo = 0, agrupando y simplificando se obtiene:

xh =

Alcance Máximo

Dada una velocidad inicial vo, el ángulo inicial que proporciona el máximo alcance del proyectil se obtiene imponiendo la condición de extremo relativo en la expresión anterior, ya que en ese caso xh depende de o exclusivamente.

Igualando a cero esta expresión (condición de extremo relativo) se obtiene que la derivada será cero si cos(2o) = 0, o lo que es igual, si 2o = /2. De aquí se obtiene

o(máx) = /4 (45o).

que puede comprobarse corresponde a un máximo de la función xh = xh(o).

Ecuación de la trayectoria

Eliminando el tiempo en las expresiones para x y y, haciendo xo = yo = 0, es posible demostrar que la ecuación de la trayectoria sigue una dependencia parabólica (ejercicio).

Un cañón es una pieza que dispara proyectiles por un tubo largo (el cañón propiamente dicho) a alta velocidad y con una trayectoria baja y rasa; el proyectil lleva por lo general una carga que explota al producirse el impacto con el blanco. El ánima (interior) del cañón puede estar acanalada en espiral, en cuyo caso es un ánima rayada, lo que mejora la estabilidad del proyectil en vuelo y hace más precisa su trayectoria. Algunos cañones utilizan una munición capaz de penetrar objetivos blindados.

Gracias a los recientes avances de las computadoras llevadas a bordo y de los instrumentos de localización, los cañones y lanzacohetes modernos se pueden desplazar con autonomía por el campo de batalla, deteniéndose para disparar y trasladándose después con rapidez a una nueva posición de fuego.

Algunos cañones y lanzadores modernos pueden disparar una munición denominada ‘inteligente’: son proyectiles y cargas que pueden localizar y alcanzar blancos fijos o móviles mediante refinados sensores y rastreadores. Ese tipo de munición recibe también el nombre de ‘dispara y olvida’ porque su trayectoria no tiene que ser corregida en vuelo.



2. 8 Movimiento Relativo

Cuando un objeto cae de un móvil (autobús, tren) la descrip-ción del movimiento que proporciona un observador en el mó-vil usualmente difiere de la descripción que ofrece un obser-vador en tierra. Un observador en una de las ventanas del móvil verá que el objeto se aleja de sí en línea recta hacia la tierra, mientras que el observador en tierra verá que sigue al móvil en su movimiento, describiendo una parábola.

Interesa, por tanto, encontrar la relación que hay entre el movimiento visto por ambos observadores. Con este fin, considere una partícula en movimiento y dos sistemas de referencia, uno fijo a tierra (xy) y otro ligado a un móvil (x’y’) que se mueve con velocidad constante respecto al sistema fijo.

Los vectores y ’ son los vectores de posición de la partícula P respecto a cada sistema de referen-cia. El vector ru es el vector de posición del sistema móvil respecto al sistema fijo. Según las reglas de la suma de vectores, . Como la partícula está en movimiento, y el sistema móvil suponemos que se mueve con velocidad constante, los tres vectores están variando continuamente su posición con el transcurso del tiempo.

Derivando en la expresión anterior con respecto al tiempo, se obtiene:

donde:: velocidad de la partícula respecto al sistema fijo’: velocidad de la partícula respecto al sistema móvil: velocidad del sistema móvil respecto al sistema fijo

Se acostumbra representar la expresión anterior despejando :

Ejemplo: Un auto se mueve a 10 m/s. Comienza a llover sin viento, cayendo las gotas con velocidad constante de 5 m/s. ¿Con qué Angulo chocan las gotas de lluvia el parabrisas lateral?

Datos:

Auto (sistema móvil): = 10 m/sLluvia (partícula respecto a tierra): v = 5 m/sLluvia respecto al sistema móvil (v’) ?


observador en el móvil (caída libre)

observador entierra (proyectil)

y’

x’ sistema móvil

x

y sistema fijo

r r '

r

P

auto ()

lluvia (v)

v ' v

v


tan = /v = 10/5 = 2 = arctan(2)

63o con la vertical



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