Probabilidad Compuesta

Probabilidad CondicionadaEs aquella que se calcula cuando se ha incorporado información adicional a las condiciones iniciales. La probabilidad de ocurrencia de un suceso B, condicionada por la ocurrencia del suceso A, o probabilidad a posteriori, se denota P(B/A), y su valor se determina por la expresión:

 Donde:

P(A∩B): Probabilidad de ocurrencia simultanea de los sucesos A y BP(A): Probabilidad a priori

EJEMPLO 1Determine el valor de la probabilidad de obtener un 2, sabiendo que ha salido un número par al lanzar un dado al aire.

SOLUCIÓN:Primero se definen los sucesos:

Suceso P: salga un número par.          P = {2,4,6}Suceso D: salga el número dos.          D = {2}Suceso (P∩D): salga un número par y sea el dos.      (P∩D) = {2}Luego, se calculan los valores de las probabilidades de ocurrencia

  Finalmente, se calcula la probabilidad condicionada:

 EJEMPLO 2En cierta habitación de hospital la probabilidad de que un paciente sea ingresado con problemas de presión arterial es de de 0,7; la probabilidad de que ingrese con problemas renales es 0,5 y la de que ingrese con ambos problemas es de 0,3. Hallar:

1. La probabilidad de que un paciente que ha sido ingresado con problemas de presión arterial, padezca también de problemas renales.

2. La probabilidad de que un paciente que ha sido ingresado con problemas renales, presente problemas de presión arterial.

SOLUCIÓN:Se definen los sucesos:

Suceso P: paciente que ingresa con problemas de presión arterial

Suceso R: paciente que ingresa con problemas renales

 a. La probabilidad de que un paciente con problemas de presión arterial también tenga problemas renales será:

 b. La probabilidad de que un paciente que ha sido ingresado con problemas renales, presente problemas de presión arterial será:

 Probabilidad CompuestaSe conoce también como la Regla de multiplicación de probabilidades. La probabilidad de ocurrencia simultánea de dos sucesos “A y B” se denota P(A∩B), y se deriva de la probabilidad condicionada, matemáticamente:

 Si A y B son sucesos independientes, entonces,

 Corolario: Sean A1, A2, A3, … , An sucesos independientes entre sí, entonces,

 EJEMPLO 3Se tiene una caja con tres bolas blancas y dos rojas, si se extraen al azar dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento de la caja, determine la probabilidad de que:

a. Ambas sean blancas.

b. Ambas sean rojas.

c. Sean de diferente color.

Determine los mismos valores de probabilidad si reemplazamos la bola extraída antes de sacar la segunda.

SOLUCIÓN:Se definen los sucesos:

Suceso B: extraer una bola blancaSuceso R: extraer una bola roja Sin reemplazamientoa.1- La probabilidad de extraer ambas bolas blancas será:

 

 Note que los cálculos de los valores de probabilidades se realizan a partir de la fórmula de probabilidad clásica y luego realizamos el producto.

 b.1- La probabilidad de extraer ambas bolas rojas será:

 

 Con reemplazamiento: en este caso se entiende que la extracción de cada bola es independiente de la anterior, esto se debe a que las condiciones no varían. Entonces:a.2- La probabilidad de extraer ambas bolas blancas será:

Note que los cálculos de los valores de probabilidades se realizan a partir de la fórmula de probabilidad clásica y luego realizamos el producto.

b.2- La probabilidad de extraer ambas bolas rojas será:

c.2-  La probabilidad de extraer bolas de diferente color implica que la primera extracción sea una bola blanca y la segunda roja o viceversa, lo cual implica una unión de probabilidades, por lo tanto, tal valor de probabilidad será:

EJEMPLO 4La probabilidad de que una persona obesa tenga también problemas coronarios es de 0,65. Si en una ciudad la probabilidad de que una persona sufra de problemas obesidad es de 58%. Determine el valor de la probabilidad de que una persona tenga problemas coronarios y sea obeso.

SOLUCIÓN:Se definen los sucesos:

Suceso C: persona con problemas coronariosSuceso O: persona con problemas de obesidadSe procede a identificar los datos:

P(C/O)= 0,65P(O)= 0,58Luego, la probabilidad de que una persona sufra de problemas de obesidad y coronarios será:

 EJEMPLO 5

Se lanza dos dados al aire, cual es la probabilidad de que la suma de los dos números que salen sea

a) 8.b) Múltiplo de 3.c) Mayor que 10.

EJERCICIOS:

1. Se lanza un dado, determine el valor de la probabilidad que dicho lanzamiento resulte ser:

a. Un número menor que 3b. Un número imparc. Diferente al número 5d. Número par o impar

2. La siguiente tabla muestra el número de pacientes según el tipo de patología y rango de edades de la sala de emergencias para adultos de un hospital en un fin de semana X.

Edades Traumatismos Partos Heridas

18 a 30 10 15 12

31 a 40 8 8 12

41 a 50 6 4 8

51 a 60 9 0 4

Mayor de 60 2 0 2Si se escoge un paciente al azar cual será la probabilidad de que:

a. Haya sufrido algún traumatismo.b. Tenga entre 18 y 40 años de edad.c. Tenga entre 41 y 50 o haya sufrido alguna herida.

3. En el Hospital Universitario se atendieron 83 personas por emergencias en el último fin de semana; 29 de ellas fueron heridas con armas, 16 fueron víctimas de un accidente automovilístico y 38 ingresaron a emergencias por alguna enfermedad.a. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un herido con

armas?b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar una persona

que no fuera atendida por enfermedad?

4. De los 12 estudiantes que viven en una residencia 5 son mujeres, 8 son del interior del país y de estos 4 son hombres. Se toma un estudiante al azar, encuentre la probabilidad de que sea hombre o provenga del interior del país.

5. Determine el valor de la probabilidad de obtener un 5, sabiendo que han quedado boca arriba las cartas impares de una baraja que tiene los números del 1 al 12.

6. En un colegio la probabilidad de que un alumno tenga problemas con el área de matemáticas es del 70%; la probabilidad de que tenga dificultades con filosofía es del 50% y que tenga problemas en ambas materias es del 30%.

Hallar La probabilidad de que un alumno que presente dificultades en matemáticas, también las tenga en filosofía.

7. Se lanzan 3 dados al aire. ¿cuál es la probabilidad de que en los tres caiga el mismo número?