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VI SIMPOSIO DE
MATEMÁTICAS Y
EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
V CONGRESO
INTERNACIONAL DE
MATEMATICA ASISTIDA
POR COMPUTADOR
UAN11 al 13 de Febrero del 2016
SEDE DE FEDERMAN BOGOTÁ, D.C.
Análisis Matemático: hasta
el Infinito y más allá
Dr. Juan E. Nápoles V.UNNE-FaCENA
UTN-FRRE
ARGENTINA
La consideración de OBJETOS
ABSTRACTOS, DISCONTINUIDADES,
FRACTURAS, SALTOS…
La vinculación con EXTENSIONES,
GENERALIZACIONES Y
REFINAMIENTOS DE ESTOS
CONCEPTOS…
La aplicación de los mismos a
contenidos EXTRAMATEMÁTICOS…
¿HACEN FALTA?
• Dominio cognitivo
• Dominio intrapersonal
• Dominio interpersonal
NUESTROS VIEJOS AMIGOS
LOS NUMEROS
NATURALES
3 < 5 < 7 < 9 < 11 < ... < 3.2 < 5.2 < ... <
3.22 < 5.22 < ... < 23 < 22 <2 <1
Teorema. Si una función continua f:RR
tiene un punto periódico con período k,
entonces también tiene un punto con
período n, para cada k<n (en el S-orden).
No es difícil probar que tal relación cumple con laspropiedades reflexiva y transitiva, y por tanto, elconjunto N con esta relación representa un conjuntoordenado.
LAS FUNCIONES REALES
de variable real claro …ah
http://preciodolarbluehoy.com/
http://econserialcronico.blogspot.com.ar/2012_06_01_archive.html
SISTEMAS DINÁMICOS
CONTINUOS Y DISCRETOS
INTRODUCCIÓN AL CAOS
fn(x)=f(fn-1(x))
O(x)={x,f1(x),f2(x), ...,fn(x), ...}
¿Cómo crear un sistema dinámico en Matemática?
Si f es continua, ella genera una transformación T, continua,de la recta en sí misma.
Las propiedades de T, quedan definidas en la estructura delconjunto de sus puntos fijos.
a es fijo, si Ta=a,
a es fijo de orden k, si Tka=a, Tjaa, 1≤j<k
Los puntos, a, Ta, T2a, …, Tk-1a ciclo de orden k (órbita periódica, de período k).
¿Puede esperarse que f tenga otros puntos
con períodos m para km?
¿Puede tenerse alguna relación entre los
períodos, que implique su existencia?
En 1975, Tien-Yien Li y James A. Yorke
3 < 5 < 7 < 9 < 11 < ... < 3.2 < 5.2 < ... <
3.22 < 5.22 < ... < 23 < 22 <2 <1
Teorema. Si una función continua f:RR
tiene un punto periódico con período k,
entonces también tiene un punto con
período n, para cada k<n (en el S-orden).
Término acuñado por Mandelbrot en
1975 por la fusión (?) de las palabras
fractus (romper) y fracture (fractura),
dando una función doble
(sustantivo/adjetivo) a su creación.
¿QUÉ ES UN FRACTAL?
Un fractal es un conjunto de puntos,
cuya dimensión no necesariamente es
entera, es decir, puede tener dimensión
fraccionaria y puede ser caracterizado
por las siguientes propiedades:
Infinitud o nulidad.
Autosimilitud.
Compleja estructura a cualquier
escala.
,)(inf)(1)(
k
p
kXd
p XdextXi
Sea p un número real no negativo arbitrario, 0p<
y dado >0, definamos
Cuando 0, el númerop
Tiende de manera monótona creciente a un
determinado límite (finito o infinito) que depende
de p, y que sirve para definir la dimensión de
conjunto, debido a que el límite toma un valor
finito y no nulo, a lo sumo, para un valor de p.
Los fractales matemáticos,
Los fractales naturales (árboles,
montañas, nubes, etc.), y
Los fractales humanos.
El Conjunto Mandelbrot M, consiste de
todos aquellos valores (complejos) de c
cuyas órbitas de 0 bajo z2 + c, no
escapan al infinito
El Mundo Mandelbrot
El conjunto de
Mandelbrot es,
como dijo James
Gleick, “el objeto
más complejo de
las Matemáticas”
Árboles, foto del autor
Helechos, foto del autor
Imagen de la página de Paul Bourke http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/selfsimilar/
Patrones de autosemejanza en una hoja, foto del autor
Formas fractales vegetales, foto del autor
Formas fractales vegetales, foto del autor
Formas fractales vegetales, foto del autor
Formas fractales animales, foto del autor
Formas fractales inanimadas, foto del autor
Formas fractales inanimadas, foto del autor
La Curva de Von Koch aparece en la Naturaleza…
¿Cómo son los anillos de Saturno?
Desde su descubrimiento por Galileo se pensó
que era un único anillo…
Con la evolución de los telescopios se probó que había
muchos…
…y que se distribuían como el Conjunto de Cantor…
Definición 1. La función V(x) se llama de signoconstante (de signo positivo o de signo negativo)en H, si V(x)0 (o V(x)0) para xH.
Definición 2. La función V(x) se llama definidapositiva (negativa) en H, si V(x)>0 (V(x)<0) parax0 y V(0)=0, o sea, la función V(x) solo se anula enel origen. Las funciones definida positiva y definidanegativa se llaman funciones de signo definido.
“Общая задача об устойчивостидвижения” (1892)
x’=g(t,x), (1)
donde g(t,0)=0, es continua y satisface una ciertaL-condición en una región D del plano.
Definición 3. La función
gVgradt
Vxtg
x
V
t
xtVxtV
n
i
,),(),(
),(1
'
)1(
,
se llama derivada de la función V(t,x) con
respecto al (a lo largo de las soluciones del)
sistema (1).
figura 1
f(x)=x3+cx, cR
UN ESBOZO DE LA TEORÍA DE
LAS CATÁSTROFES
En reconocimiento a
sus trabajos en
Topología, recibió en
1958 la Medalla
Fields
"Prefiero el campo de la matemática en el que no se
sabe muy bien qué se hace, en el que las fronteras son
móviles y abiertas, y en el que hay una zona del
conocimiento en la que aún se puede experimentar
maravillas".
Nombre F(x,a)
Pliegue x3/3 + ax A2
Cúspide ±x4/4 + ax2/2 + bx A
Cola de milano x5/5 + ax3/3 + bx2/2 + cx A4
Mariposa ±x6/6 + ax4/4 + bx3/3 + cx2/2 + dx A±5
x7 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f A6
Ombligo x2y - y3 + ay2 + bx + cy D-4
Elíptico
Ombligo x2y + y3 + ay2 + bx + cy D4
Hiperbólico
Ombligo x2y + y4 + ax2 + by2 + cx + dy D5
Parabólico x2y + y5 + ay3 + by2 + cx2 + dx + ey D6
x2y - y5 + ay3 + by2 + cx2 + dx + ey D-6
x3 ± y4 + axy2 + by2 + cxy + dx + ey ±5
Sin título. Serie de las catástrofes. Salvador Dalí, 1983
Cabeza de noble
español fascinado
por el modelos de
catástrofe de cola
de golondrina y dos
medios chelos.
Salvador Dalí, 1983
El rapto topológico de Europa. Homenaje a René Thom.
Salvador Dalí, 1983
El rapto de
Europa.
Tiziano,
1559-62
“No es posible encontrar una noción más estética que la reciente Teoría de
las Catástrofes de René Thom, que se aplica tanto a la geometría del
ombligo parabólico como a la deriva de los continentes".
Salvador Dalí
¿Está usted de acuerdo con el ingreso de España en el Mercado Común?
“Me parece una paradoja. Es Europa la que tiene que ingresar en España.
«¡Hay que españolizar a Europa!», como certeramente dejó dicho
Unamuno frente a las tesis germanistas de Ortega y Gasset.
¿Con qué fundamento?
¡Con un fundamento poco menos que geológico! Desde hace muchos años
(y la cosa sigue sucediéndome), siempre que contemplo el mapa de
Europa mi dedo índice se lanza instintivamente y se fija en un punto
concreto entre las ciudades de Salles y Narbona. Partiendo de esta
experiencia reveladora, siempre he afirmado que las fuerzas tectónicas
que sostuvieron a Europa, cuando se produjo la disgregación de los
continentes, actuaron en esa concreta zona. Muchos lo tomaron a broma
hasta que Thom, uno de los grandes matemáticos contemporáneos, ha
venido a darme la razón situando el lugar exacto en Perpignan”.
ÉPOCA - 29/04/1985
El rapto topológico de Europa. Homenaje a René Thom.
Salvador Dalí, 1983
A la pregunta de un periodista de “Le Figaro”, ¿Por
qué tanto interés por la ciencia?
“Porque los artistas casi no me interesan. Creo que
los artistas deberían tener nociones científicas paracaminar sobre otro terreno, que es el de la unidad”.
EL CALCULO FRACCIONARIO
“La Tierra es la cuna de la
Humanidad, pero no podemos vivir para siempre en la cuna”.
Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky (Rusia/URSS,
1857-1935), pionero de la cosmonáutica soviética.
Muchas Gracias¡¡¡¡¡¡
