República Bolivariana De VenezuelaMinisterio Del Poder Popular Para La EducaciónInstituto Universitario Politécnico“Santiago Mariño”Maturín – Edo – Monagas

Autor: Ronald MedranoCI: 19.858.73

Facilitador (a):Morelia Moreno

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valoresque pueden representarse como resultado de un experimento si éste sellevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en elfuturo, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva,puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futurosconsiderando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

La distribución de probabilidad de unavariable aleatoria discreta se presentacomo la lista de los distintos valores xique puede tomar la variable aleatoria X,junto con sus probabilidades asociadasf(xi) = P(X = xi), esto es, el conjunto deparejas {xi, f(xi)}.

La función de probabilidad debe satisfacer las siguientes propiedades:

1) f(xi) ³ 0.2) S f(xi) = 1

Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidaddeberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.

El área definida bajo la función de densidad de probabilidaddeberá ser de 1.

La función de los valores numéricos de x la representamospor f(x), g(x), r(x), etc. y la probabilidad de que la variablealeatoria X tome el valor x con P(X = x ).

Sean x1, x2, ..., xn (espacio muestral de X), los valores paralos cuales X tiene probabilidad y sean p1, p2 ,..., pn lasprobabilidades correspondientes. Entonces P(X = x1) = p1.Bajo este criterio podemos decir que:

Si

a f(xi) se le llama función de probabilidad.

𝒇 𝒙𝒊 = 𝒑𝟏 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑿 = 𝒙𝒊𝟎 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑿 ≠ 𝒙𝒊

𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 (𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … )

Las distribuciones de variable discreta másrelevantes son:

Distribución Binomial o BernoulliDistribución HipergeométricoDistribución Poisson

Las distribución binomial parte de la distribución de Bernoulli:

La distribución de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez unexperimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito ofracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0

La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número "n" deveces el experimento de Bernoulli, siendo cada ensayo independientedel anterior. La variable puede tomar valores entre:

0: si todos los experimentos han sido fracaso

n: si todos los experimentos han sido éxitos

n =es el número de pruebas.

k =es el número de éxitos.

p =es la probabilidad de éxito.

K! =es la probabilidad de fracaso.

𝒇 𝒙 = 𝒌 =𝒏!

𝒌! 𝒏 − 𝒌 !∗ 𝒑𝒌(𝟏 − 𝐩)𝒏−𝒌

En estadística la Distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta con tres parámetros discretos N, d y n cuya función de probabilidad es:

𝑯 𝒙,𝑵 = 𝑷 𝑿 = 𝒙 =

𝑵𝟏

𝒙𝑵 − 𝑵𝟏

𝒏 − 𝒙𝑵𝒏

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución dePoisson expresa la probabilidad de un número k de eventosocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con unatasa media conocida, y son independientes del tiempo desdeel último evento.

Su formula se expresa:

𝑷 𝑿 = 𝒙 =𝒆−𝝀𝝀𝒙

𝒙!

e =es el base del logaritmo naturalx!= es el factorial de xx = es el número de ocurrencias de un eventoλ = es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado

Para que una variable recuento siga una distribución dePoisson deben cumplirse variascondiciones:

1. En un intervalo muy pequeño (p. e. de un milisegundo) la probabilidad de que ocurra un evento es proporcional al tamaño del intervalo.

2. La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es tan reducida que, a efectos prácticos, se puede considerar nula.

3. El número de ocurrencias en un intervalo pequeño no depende de lo que ocurra en cualquier otro intervalo pequeño que no se solape con aquél.

Las distribución binomial parte de la distribución de Bernoulli:

La distribución de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez unexperimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito ofracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0

La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número "n" deveces el experimento de Bernoulli, siendo cada ensayo independientedel anterior. La variable puede tomar valores entre:

0: si todos los experimentos han sido fracaso

n: si todos los experimentos han sido éxitos

Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que responder si o no.

Suponiendo que a las personas que se le aplica no saben la respuesta

correcta de las preguntas, en consecuencia, contestan al azar, hallar:

a. Probabilidad de obtener cinco acierto

b. Probabilidad de obtener algún acierto

Es una distribución binominal, la persona solo puede acertar o fallar la

pregunta. Los parámetros van a estar dados por:

P(X)= 0,5 Suceso X (éxito)= acertar la pregunta

n = 10 La cantidad que se repite el experimento

a. Probabilidad de obtener cinco acierto

p = 0,5

n = 10

k = 5 𝒇 𝒙 = 𝒌 =𝒏!

𝒌! 𝒏 − 𝒌 !∗ 𝒑𝒌(𝟏 − 𝐩)𝒏−𝒌

𝑷 𝒙 = 𝟓 =𝟏𝟎!

𝟓! 𝟏𝟎 − 𝟓 !∗ (𝟎, 𝟓)𝟓(𝟏 − 𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟓

𝑷 𝒙 = 𝟓 = 𝟐𝟓𝟐 ∗ (𝟎, 𝟓)𝟓(𝟎, 𝟓)𝟓

𝑷 𝒙 = 𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟔𝟏

b. Probabilidad de obtener algún acierto

𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 − 𝑷(𝒙 = 𝟎)

𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 −𝟏𝟎!

𝟎! 𝟏𝟎 − 𝟎 !∗ (𝟎, 𝟓)𝟎(𝟏 − 𝟎, 𝟓)𝟏𝟎−𝟎

𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗

b. Una caja contiene 10 focos, de los cuales 3 son defectuosos. ¿Cuál es la

probabilidad de que si se toma una muestra aleatoria sin reemplazo

de tamaño 2, se extraiga cuando mucho un foco defectuoso?

Solución.

Se trata de un modelo hipergeométrico

Definamos la variable aleatoria

X: Número de focos defectuosos. Entonces

N = 10, N1 = 3, n = 2 y x = 0, 1.

𝑯 𝒙,𝑵 = 𝑷 𝑿 = 𝒙 =

𝑵𝟏

𝒙𝑵−𝑵𝟏

𝒏 − 𝒙𝑵𝒏

𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 = 𝑷 𝑿 = 𝟎 + 𝑷 𝑿 = 𝟏

𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 =

𝟑𝟎

𝟏𝟎 − 𝟑𝟐 − 𝟎𝟏𝟎𝟐

+

𝟑𝟏

𝟏𝟎 − 𝟑𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝟐

𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 =

𝟑𝟎

𝟕𝟐

𝟏𝟎𝟐

+

𝟑𝟏

𝟕𝟏

𝟏𝟎𝟐

𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 =

𝟑𝟎

𝟕𝟐

+𝟑𝟏

𝟕𝟏

𝟏𝟎𝟐

𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 =𝟐𝟏 + 𝟐𝟏

𝟒𝟓𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟑𝟑

En una gasolinera la llegada de vehículos por día sigue la distribución de

Poisson de parámetro 1.6. Calcúlese la probabilidad de que:

a) Esté comprendido entre dos y tres vehículos

b) Llegue algún vehículo en dos días

Ya el ejercicio nos dice que se trata de una

distribución Poisson y el parámetro es de 1,6

a) Esté comprendido entre dos y tres vehículos

𝝀 = 𝟏, 𝟔𝒙 = 𝟐, 𝟑

𝑷 𝟐 ≥ 𝑿 ≥ 𝟑 = 𝑷 𝑿 = 𝟐 + 𝑷 𝑿 = 𝟑

𝑷 𝟐 ≥ 𝑿 ≥ 𝟑 =𝒆−𝟏,𝟔(𝟏, 𝟔)𝟐

𝟐!+𝒆−𝟏,𝟔(𝟏, 𝟔)𝟑

𝟑!𝑷 𝟐 ≥ 𝑿 ≥ 𝟑 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟖𝟒 + 𝟎, 𝟏𝟑𝟕𝟖

𝑷 𝟐 ≥ 𝑿 ≥ 𝟑 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟔𝟐

𝑷 𝑿 = 𝒙 =𝒆−𝝀𝝀𝒙

𝒙!

b) Llegue algún vehículo en dos díasDebido a que son dos días se debe multiplicar por 2 el parámetro

𝝀 = 𝟏, 𝟔 ∗ 𝟐 = 𝟑, 𝟐𝒙 = 𝟎

𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 − 𝑷(𝒙 = 𝟎)

𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 −𝒆−𝟑,𝟐(𝟑, 𝟐)𝟎

𝟎!𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟎𝟖𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟓𝟗𝟐