Ecuaciones

Chapter 1

Ecuaciones

1.1 Ecuaciones

lineales

Forma general de una ecuacion lineal

ax− b = 0 Solucion ⇒ x =−b

a

donde a, b ∈ R y ademas a 6= 0.Observaciones:

i) Si a = 0 y b 6= 0, la ecuacion notiene solucion.

ii) Si a = 0 y b = 0, la ecuacion tieneinfinitas soluciones.

Al resolver una ecuacion lineal el obje-tivo es llevarla a la forma general me-diante las herramientas algebraicas yaconocidas.

Ejemplo: Resolver la siguienteecuacion lineal

2x

3− x + 2

4=

x+ 3

6

Ecuaciones equivalentes

Son aquellas ecuaciones que tienen lamisma o mismas soluciones(mismo con-junto solucion).

Ejemplo: Verificar si las siguientesecuaciones son equivalentes

2x

3− x+ 2

4=

x+ 3

62x

3− x+ 3

5=

4x+ 3

15

Ejercicios:

1.Halle el valor de x en la siguienteecuacion

x

2− 1

√7 +

√2=

1√3 +

√2+

4√7 +

√3

(a) 10 (b) 11 (c) 12

(d) 13 (e) 14

Sugerencia: Racionalize el miembroderecho.

2.Halle el valor de x en la siguienteecuacion.

x− a

ab− x− b

ac=

x− c

bc

ademas se cumple que abc 6= 0.

(a) abc (b) a+ b+ c

(c)a2 + b2

c2(d)

b2

a+ b− c

(e)a2

a+ b− c

1

2 ACADEMIA NOSTRADAMUS

Sugerencia: Multiplique por abc enambos miembros.

3.Halle el conjunto solucion de la sigui-ente ecuacion

x+n+x− 2n

3+x− 3n

5=

23x− 4n

15−2n

donde (n 6= 0)

(a) n (b) 2n (c) 4

(d) 5 (e) N.A.

Sugerencia: Recuerde las observa-ciones.

4.Halle el valor de x

1

4

{

1

3

[

1

2(x− 4)− 3

]

− 2

}

− 1 = 0

(a) 43 (b) 44 (c) 45

(d) 46 (e) 47

Sugerencia: Despeje 1 a la derecha.

Valor absoluto

El valor absoluto de un numero reala ∈ R, denotado por |a|, es pordefinicion:

|a| ={

a, si a ≥ 0 o

−a, si a < 0

Ejemplos:

|3| = 3

| − 3| = 3

|0| = 0

| −√5| =

√5

Ecuaciones con valor absoluto

Ejemplo 1: Resuelva la siguienteecuacion

|3x+ 5| = 4

Ejemplo 2: Resuelva

|2x+ 3| = x+ 1

Propiedad 1: Sean f(x) y g(x) fun-ciones no nulas, la ecuacion

|f(x)| = |g(x)|

tiene por ecuaciones equivalentes:

f(x) = g(x) o f(x) = −g(x)

Ejemplo: Resuelva

|2x− 3| = |x+ 1|

Ejercicios: Resuelva las siguientesecuaciones:

1. |x− 1| = x.

2. |6x− 7| = 3.

3. |3x+ 1| = 2x+ 7.

4. |3x+ 2| = |5x− 3|.

5.|x + 1|2x− 1

= 7, x 6= 1/2.

Ecuaciones de 2do. Grado

ALVARO NAUPAY 3

Forma general de una ecuacion de2do. grado

ax2 + bx+ c = 0

donde a, b, c ∈ R y a 6= 0Observacion: Las ecuaciones de

2do. grado siempre tienen dos solu-ciones, estas pueden ser iguales o difer-entes.

Ejemplos:

1.Resuelva la siguiente ecuacion

x2 − 9 = 0

2.Resuelva la siguiente ecuacion

25x2 − 16 = 0

3.Resuelva la siguiente ecuacion uti-lizando el metodo de completacion decuadrados

x2 + 6x− 7 = 0

4.Resuelva las siguientes ecuaciones porel metodo de completacion de cuadra-dos

i) x2 − 8x− 9 = 0

ii) 2x2 − 4x− 8 = 0

iii) 3x2 − 12x− 9 = 0

Metodo de factorizacion

Si la forma general de una ecuacion de2do. grado podemos expresarla de lasiguiente manera

(x−m)(x− n) = 0

donde m, n ∈ R, entonces las solucionesson

x1 = m o x2 = n

Ejemplo 1: Resuelva

x2 + x− 6 = 0

Ejemplo 2: Resuelva

x2 − 25 = 0

Ejercicios: Resuelva por aspa simplelas siguientes ecuaciones

1. x2 + x− 2 = 0.

2. x2 − 10x+ 21 = 0.

3. x2 − 16 = 0

4. x2 − 7 = 0

Metodo general de resolucion

Supongamos que tenemos la siguienteecuacion general de 2do. grado

ax2 + bx+ c = 0

donde a, b, c ∈ R y a 6= 0, entonces lassoluciones de esta ecuacion son

x1 =−b+

√b2 − 4ac

2ay

x2 =−b−

√b2 − 4ac

2a

la expresion que se repite en ambas solu-ciones, b2−4ac, la llamaremos discrim-

inante y la denotaremos por el sımbolo△, es decir

△ = b2 − 4ac

reescribiendo las soluciones tendriamos

x1 =−b+

√△

2ay

x2 =−b−

√△

2a

Ejemplos: Resolver las siguientesecuaciones


1. x2 − 3x− 4 = 0

2. x2 − 6x+ 9 = 0

3. x2 − 5x+ 1 = 0

4. −2x2 − 3x+ 1 = 0

Propiedades del discriminante

El discriminante nos permite saber lascaracterısticas de las soluciones, sinnecesidad de calcularlas.

a) Si △ > 0 entonces las soluciones sonnumeros reales y diferentes.

b) Si△ = 0 entonces tiene una solucionde multiplicidad dos.

c) Si △ < 0 entonces las raices sonnumeros complejos conjugados.

Ejemplos: Analizar el discriminantede las siguientes ecuaciones

1. 2− 5x2 = 0

2. 2x2 − x+ 5 = 0

3. x2 + x+ 1 = 0

4. 2 + 4x− x2 = 0

5. x2 − 4x− 2 = 0

Relacion entre las raıces y los

coeficiente de la ecuacion

Sea la ecuacion:

ax2 + bx+ c = 0 a 6= 0

se tiene las siguientes relaciones

1. Suma de raıces

x1 + x2 = − b

a

2. Producto de raıces

x1x2 =c

a

3. Suma de las inversas

1

x1

+1

x2

=−b

c

con x1 6= 0 y x2 6= 0

Ejemplo 1: Halle la suma y el pro-ducto de las raıces de la siguienteecuacion

4x2 − 7x− 5 = 0

Ejemplo 2: Si la suma de las inversasde las raıces de la ecuacion cuadratica

mx2 + (2m− 1)x− 7(m− 1) = 0

es 11/35, halle las raıces.

Reconstruccion de la ecuacion

cuadratica a partir de sus raıces

Sean las raıces x1 y x2 de una ecuacioncuadratica, entonces se cumple que

(x− x1)(x− x2) = 0

operando

x2 − xx1 − xx2 + x1x2 = 0

x2 − (x1 + x2)x+ (x1x2) = 0

x2 − Sx+ P = 0

donde

S = x1 + x2 Suma

P = x1x2 Producto

Ejemplo: Halle la ecuacion cuadraticacuyas raıces son 7 y −5

ALVARO NAUPAY 5

Propiedad 2: Si dos ecuacionescuadraticas completas: ax2+ bx+ c = 0y mx2 + nx + p = 0 son equivalentes,entonces se cumple que

a

m=

b

n=

c

p

Ejemplo: Si las siguientes ecuacionescuadraticas son equivalentes

(−2a+ 3)x2 + 9x+ 6 = 0

3x2 + (22− 5b)x− 2 = 0

calcule ab.

Problemas:

1.Determinar la ecuacion de 2do. gradode raıces m y n (m > n) si se sabeque x2 + (m− 1)x−m− 1 = 0, tienesolucion unica(raıces iguales), ademaslas ecuacion x2−(n+1)x+n = 0 tieneuna raız igual a 3.

(a) x2 − 8x+ 15 (b) x2 − 8x+ 5

(c) x2 − 7x+ 15 (d) x2 − 3x+ 1

(e) x2 − x+ 9

2.Determine la suma de los cuadradosde las raıces de al ecuacion

(2k + 2)x2 + (4− 4k)x+ k − 2 = 0

sabiendo que las raıces son recıprocas.

(a) 8/9 (b) 82/9 (c) 28/9

(d) 42/9 (e) 24/9

Nota: Dos raıces son recıprocas cu-ando su producto es uno.

3.Calcule m y n si las ecuaciones:

(2m+ 1)x2 − (3m− 1)x+ 2 = 0

(n+ 2)x2 − (2n+ 1)x− 1 = 0

presentan las mismas soluciones.

(a) m = −9, n = 13/2 (b) 10, 12/5

(c) 2, 2/3 (d) 3/2, 7/8

(e) N.A.

4.Calcule la solucion de la ecuacion

1√

11− 2√x=

3√

7− 2√10

+4

√

8 + 4√3

(a) 30 (b) 5 (c) 20

(d) 13 (e) 10

Sugerencia: Tranformar en radi-cales simples.

5.Si los cuadrados de las 2 raıces realesde la ecuacion: x2 + x+ c = 0 suman9, entonces el valor de c es;

(a) − 5 (b) − 4 (c) 4

(d) 5 (e) − 9

6.El producto de los valores de k, paraque la ecuacion: 3x2+4k(x−1)+2x =0 tenga solucion unica es:

(a) 0 (b) − 1 (c) 1/4

(d) − 1/4 (e) − 4

7.Si x1, x2 son raıces de la ecuacionx2 + px+ q = 0; calcule

(x1 − 1)(x2 − 1)− 1

(a) q − p (b) q + p (c) 1

(d) 0 (e) p

8.Si a y b son las raıces de la ecuacion:x2 − 6x+ c = 0; entonces el valor de:

a2 + b2 + 2c

9


es igual a:

(a) 3 (b) 6 (c) − 6

(d) 4 (e) − 3

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