Elementos de conjuntos

Unidad 2Fundamentos de

probabilidad

Instituto Tecnológico Superior del Sur

del estado de Yucatán (ITSSY)

ESTADÍSTICA IDr. Arturo A. Alvarado Segura

• 2

Estadística I

Arturo Antonio Alvarado Segura

• Teoría de conjuntos

• Técnicas de conteo

• Probabilidad de un evento-definición y enfoques

• Eventos mutuamente excluyentes

• Eventos independientes

• Probabilidad condicional

• Teorema de Bayes

• Esperanza matemática

Temas de la unidad 2

U2 Fundamentos

de probabilidad

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Estadística I


Definición 1. El conjunto que carece de elementos se conoce como el conjunto vacío y se denota con el símbolo . Una forma equivalente de representar el conjunto vacío es escribiendo unas llaves sin elementos, { }.

Definición 2. Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es también un elemento de B. Esto se representa así, A B. Si B contiene al menos un elemento que no está en A, se dice que A es un subconjunto propio de B

DEFINICIONES DE CONJUNTOS









U2 Fundamentos

de probabilidad

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Estadística I


Definición 3. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera; se dice que A y B son iguales si A B y B A.

Definición 4. El conjunto que contiene todos los conjuntos bajo consideración en un determinado estudio, se conoce como el conjunto universal y se representa por medio del símbolo . En los fundamentos de probabilidad, el símbolo es reemplazado por la letra S, que representa el espacio muestral. El espacio muestral es el conjunto que contiene todos los posibles resultados al realizar un experimento.









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Estadística I


Definición 5. El complemento de un conjunto A, denotado por Ac, es el conjunto que contiene todos aquellos elementos del conjunto universal, excepto los que pertenecen a A. Simbólicamente:

Ac = {x|xA}

Definición 6. La unión de dos conjuntos A y B, denotado por AB, es el conjunto de los elementos que pertenecen ya sea a A ó a B (o a ambos*). En símbolos:

AB = {x|xA ó xB}









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Estadística I


Definición 7. La intersección de dos conjuntos A y B, denotado por A B, es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B. Usando símbolos:

A B = {x|xA y xB}

Definición 8. Dos conjuntos A y B cualesquiera son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío, esto es, si no tienen algún elemento común.









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Estadística I


PROPIEDADES DE CONJUNTOS Proposición 1. El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro conjunto.

Explicación: Sabemos que A es un subconjunto de B si es que cada elemento de A también es elemento de B. Esto es, para que A sea subconjunto de B, debemos asegurarnos que ningún elemento de A no esté en B. Así, puesto que el conjunto vacío carece de elementos, entonces es imposible encontrarle elementos que no estén en cualquier otro conjunto, digamos A. Por tanto, el conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto.

Proposición 2. El conjunto vacío es único. Explicación: Esta propiedad puede explicarse a partir de la prop 1. Sea A el conjunto vacío 1 y sea B el conjunto vacío 2, de la prop 1 deducimos que A es subconjunto de B y que también B es subconjunto de A; de la definición3, esto nos lleva a concluir que A y B son iguales, es decir el conjunto vacío 1 es igual al conjunto vacío 2. Entonces sólo hay un único conjunto vacío.









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Estadística I


Proposición 3. El complemento del Ø es Ω. El complemento de Ω es Ø.

Proposición 4. El complemento de Ac es A. Proposición 5. Para cualquier conjunto A se cumple que A Ac = Ω y A ∩ Ac = Ø. Proposición 6. A – B = A – (A ∩ B)

Proposición 7. (Propiedad asociativa para la unión)

(A U B) U C = A U (B U C) Proposición 8. (Propiedad asociativa para la intersección)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)









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Estadística I

Arturo Antonio Alvarado Segura Proposición 9 (Propiedad distributiva).

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) Proposición 10 (Propiedad distributiva).

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Ø









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Estadística I

Arturo Antonio Alvarado Segura EJEMPLOS

(conmutatividad de la Unión de conjuntos)𝐴= ሼnaranjas,toronjas,mandarinasሽ 𝐵= ሼ� � � � � � � � a�� ሽ� � � � � � � 𝑆= ሼlas frutasሽ 𝐴∪𝐵= ሼnaranjas,toronjas,mandarinas, � � � � � � � � a�� ሽ� � � � � � � 𝐵∪𝐴= ሼ� � � � � � � � a�� ,naranjas,toronjas,mandarinasሽ 𝐴∪𝐵= 𝐵∪𝐴









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Estadística I


EJEMPLOS NUMÉRICOS Suponer que el conjunto universal S es el conjunto de todos los números enteros y que:

Las siguientes operaciones son válidas:









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Estadística I


EJEMPLOS NUMÉRICOS Suponer que el conjunto universal S es el conjunto de todos los números enteros y que :

Las siguientes operaciones son válidas:

𝐴= ሼ1,2,3,4ሽ,𝐵= ሼ3,4,5,6ሽ 𝑦 𝐶= ሼ4,5,6,7ሽ • Teoría de

conjuntos• Técnicas de

conteo• Probabilidad

de un evento-definición y enfoques






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Estadística I

Arturo Antonio Alvarado Segura EJEMPLOS

• Sea E el evento de que una persona seleccionada al azar en un salón de clases sea estudiante de ingeniería, y sea F el evento de que la persona sea mujer.

• Entonces E ∩ F es el evento de todas las estudiantes mujeres de ingeniería en el salón de clases.

• Sean V = {a, e, i, o, u} y C = {l, r, s, t}; entonces, se deduce que V ∩ C = ϕ.









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Estadística I


Proposición 12 (Segunda ley de De Morgan).

(A ∩ B) c = A c U B c

Se lee así: “el complemento de la intersección de A con B es igual a la unión de los respectivos complementos”. En otras palabras: el complemento de una conjunción es la disyunción de los complementos respectivos.

Proposición 11 (Primera ley de De Morgan).

(A U B) c = A c ∩ B c

Se lee así: “el complemento de la unión de A con B es igual a la intersección de los complementos de los conjuntos involucrados”. Se puede interpretar también como: el complemento de una disyunción es la conjunción de los complementos.

Represente gráficamente las leyes de De Morgan









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Estadística I


AB

C

• Para obtener elementos formales sobre Teoría de conjuntos, lea “Lógica y Teoría de Conjuntos. Libro 1 de la serie Los elementos del lenguaje de la matemática. Editorial trillas. Arturo Fregoso”

DIAGRAMAS DE VENN-EULER Existe una forma gráfica para representar los conjuntos, que nos servirá también para representar probabilidades, conocida como diagramas de Venn, en honor al matemático británico del siglo XIX, John Venn.

El conjunto universal es representado por un rectángulo y los conjuntos se representan con partes de ese rectángulo. Si dos conjuntos son disjuntos, las partes correspondientes de éstos en el rectángulo no se traslaparán.









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Estadística I

Arturo Antonio Alvarado Segura REPRESENTACIONES GRÁFICAS









U2 Fundamentos

de probabilidad

El complemento del conjunto (evento) B

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Estadística I










U2 Fundamentos

de probabilidad ¿Qué representa la gráfica?

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Estadística I










U2 Fundamentos

de probabilidad

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

La unión de conjuntos (eventos)

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Estadística I










U2 Fundamentos

de probabilidad

La unión de los conjuntos A y B

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Estadística I










U2 Fundamentos

de probabilidad

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

La intersección de conjuntos (eventos)

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Estadística I










U2 Fundamentos

de probabilidad

En las siguientes sesiones vamos a revisar algunos conceptos del análisis combinatorio: la regla fundamental de conteo (regla multiplicativa), las combinaciones y las permutaciones.

La teoría de conjuntos como el análisis combinatorio, son de utilidad para el cálculo de probabilidades.

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Estadística I


En contexto

Probabilidad

Estadística Inferencial

Conclusiones sobre la población

con base en el análisis de una

muestraInvestigación

científica, negocios, índices de desarrollo económico, social y

ambiental, procesos de producción, recursos

naturales

Descripción de datos a través

tablas, gráficas y medidas sumarias

Estadística Descriptiva

Estadística

parte aplicada de la

Descripción, resumen, patrones

razonamiento inductivo

razonamiento deductivo

relación entrecon aplicaciones

en

Disciplina de la matemática

Pruebas de hipótesis

Estimación d parámetros

U2 Fundamentos

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Estadística I


Los miembros de la clase pueden escribir sus dudas a [email protected]

Algunas actualizaciones y temas varios podrá seguirlas en

https://twitter.com/AAlvaradoSegura

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de probabilidad

Otras diapositivas (o actualizaciones) del tema se irán subiendo a: http://es.slideshare.net/kaambal

Para ver audiodiapositivas del uso de la estadística, visite https://www.youtube.com/watch?v=2vKEDsWYirU









Education

Elementos de conjuntos