MINEDUC- EXPERIMENTAL. JALAPA

20 de abril de 2015 Autor: Élfego Alarcón

Segunda unidad, física fundamental

Matemática básica para la física

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Segunda unidad, física fundamental

Matemática básica para la física

TEMA: SOLUCION DE PROBLEMAS CON APLICACIÓN DE LAS COORDENADAS CARTESIANAS

“Introducción al movimiento de los cuerpos”.

El plano cartesiano el cual se define como dos rectas perpendiculares entre sí está formado por cuatro cuadrantes los que se leen cuadrante I se ubica en los puntos cardinales nor-este, cuadrante II se ubica en el nor-oeste, cuadrante III en el Sur-oeste y el cuadrante IV se ubica en el Sur-oeste. Partiendo de aquí podemos colocar cuerpos que se desplazan en el plano de dos dimensiones, otro elemento importante en la solución de este tipo de problemas es la escala utilizada se define la escala a el valor arbitrario que se le asigna a cada centímetro, por ejemplo si utilizamos una escala de 1: 20km entenderemos que cada centímetro tiene un valor de 20 km ya sea que se dirija al norte, al sur o a cualquier punto cardinal. Otro elemento importante en este tipo de problemas es la utilización de la

ecuación de la distancia entre dos puntos � � ���� ��� � ��� �� 2 . Es importante aclarar que los problemas de desplazamiento en el plano cada recorrido tiene un punto de salida y un punto de finalización, cuando mencionamos las coordenadas cartesiana siempre se asigna un valor en “x” y otro en “y” de tal manera que cuando se dice las coordenadas (5,6) son cinco espacios para “x” y seis para “y” ósea 5 al este y 6 al norte, para entenderlo mejor veamos el siguiente ejemplo:

Un vehículo sale del km 50 al sur de la ciudad si tenemos una escala de 1:25km, significa que contamos 2 centímetros al sur porque 25+25 = 50km luego el vehículo se dirige 125km al este contamos 5 cm a la derecha, posteriormente el vehículo se dirige al norte y recorre 100km entonces contamos 4 cm. Si preguntamos ¿Cuántas millas han recorrido el vehículo en la ciudad? Lo resolvemos de la siguiente manera

Solución:

Del punto1 al punto 2 = 125km

Del punto 2 al punto 3 =100km

Total de recorrido = 225km

225 ��

*

��.�����

= ���

.��� =139.83 Mi

La física, la más fundamental de las ciencias físicas, tiene como objetos de estudio los principios básicos del universo. Es el cimiento sobre el cual se basan las otras ciencias – astronómicas, biología, química y geología -. La belleza de la física subyace en la simplicidad de las teorías físicas básicas y en la forma en la que solo un pequeño número de conceptos esenciales, ecuaciones y suposiciones pueden alterar y expandir la visión del mundo en contorno.

Toda la física puede dividirse en cinco áreas principales:

1. Mecánica clásica, la cual concierne al movimiento simple de los objetos que son grandes en comparación con átomos y se mueven con rapidez mucho mejor que la de la luz.

2. Relatividad, que es una teoría que describe a los objetos que se mueven en cualquier rapidez, incluso con rapidez que se acerca a la de la luz.

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3. Termodinámica, la cual trata del calor, trabajo, temperatura y del comportamiento estadístico de un gran número de partículas.

4. Electromagnetismo, relacionado con la electricidad, magnetismo y campos electromagnéticos.

5. Mecánica quántica, una colección de teorías relacionadas con el comportamiento de la materia a niveles tanto micro como microscópicos.

Movimiento. La mecánica trata las relaciones entre fuerza, materia y movimiento; nos disponemos a analizar los métodos matemáticos que describen el movimiento. Esta parte de la mecánica recibe el nombre de cinemática.

Las siguientes son consideraciones que fundamentan dicho estudio: 1. El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posición. 2. En el movimiento real de un cuerpo extenso, los distintos puntos del mismo se mueven

siguiendo trayectorias diferentes, pero consideraremos en principio una descripción del movimiento en función de un punto simple (partícula1).

3. Tal modelo es adecuado siempre y cuando no exista rotación ni complicaciones similares, o cuando el cuerpo es suficientemente pequeño como para poder ser considerado como un punto respecto al sistema de referencia.

4. El movimiento más sencillo que puede describirse es el de un punto en línea recta, la cual haremos coincidir con un eje de coordenadas.

2.2 Desplazamiento, velocidad y aceleración Para comprender como se mueven los objetos cuando actúan en ellos fuerzas y momentos de

rotación externos no equilibrados, es importante configurar exactas imágenes físicas y matemáticas del desplazamiento, la velocidad y la aceleración, comprender las relaciones entre estas tres cantidades.

En el proceso se imaginará un sistema que comprende tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares y un pequeño cuerpo en movimiento, que en el curso del tiempo, describe alguna clase de trayectoria en el espacio de coordenadas.

El principio, no se tendrá interés en las fuerzas que provoca este movimiento, ni en la relación entre estas causas físicas y la trayectoria resultante.

En vez de ello, se supondrá que se conoce una ecuación de movimiento que puede resolverse para dar información explícita en todo momento acerca de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula.

Sólo se considerarán los aspectos geométricos del movimiento, cuyo estudio se llama cinemática.

Inicialmente se supone que, de alguna manera, la partícula objeto del estudio está limitada a moverse sólo a lo largo del eje “x” y de “y”.

Cuando se habla del movimiento entonces debemos de conocer los conceptos de desplazamiento, recorrido y trayectoria2

Descripción del movimiento El siguiente recurso entrega la información necesaria para que comiences a conocer todo acerca del movimiento, conceptos básicos utilizados en física y su definición. Contiene ilustraciones.

1 Investigación estudiantil 2 Investigación estudiantil

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Descripción del movimiento

Para referirse a los movimientos con la rigurosidad que exige la física, es imprescindible manejar muy bien ciertos conceptos. Algunos de ellos, como trayectoria, desplazamiento, velocidad y aceleración, son útiles para describir los movimientos;

Posición, tiempo y velocidad

El concepto central de la cinemática es el movimiento, que consiste en un cambio de posición respecto de un sistema de referencia. Es importante destacar en este concepto, que para describir y estudiar el movimiento de un cuerpo, no basta con decir que “cambia de lugar” o “se mueve” sino que siempre debe explicitase respecto de “que” mueve. Esto de gran relevancia parta la cinemática, puesto que el movimiento, al igual que el reposo, es un fenómeno relativo. En otras palabras, depende en gran medida del observador. Por ejemplo. Si observamos un árbol plantado en el centro de una plaza… ¿se mueve? Si observamos desde la Tierra, podemos asegurar que el árbol no cambia de posición respecto de la plaza y está por lo tanto en reposo. Sin embargo, para un observador situado fuera del planeta, por ejemplo en la Luna, la Tierra se mueve (rotando y trasladándose en torno al Sol) y en dicho movimiento arrastra a todos los cuerpos que se encuentran sobre ella. Por lo tanto, para este segundo observador el árbol si está en movimiento.

El sistema de referencia, es un marco o un sistema de coordenadas respecto del cual describimos las posiciones y el movimiento de un cuerpo. El sistema de referencia, tal como veremos más adelante, es totalmente arbitrario. Es decir, depende del observador.

Dado que en esta sección estudiaremos movimientos rectilíneos, nuestro sistema de referencia será el eje de coordenadas cartesianas X, tal como se describe e ilustra a continuación:

Para describir el movimiento hay dos conceptos básicos a partir de los cuales se construyen todos los demás. Ellos son: posición (x) y tiempo (t). La posición corresponde a la distancia a que se encuentra el móvil de un punto cualquiera de la recta que denominaremos origen (0) y que podemos medir en unidades como el metro (m) o el kilómetro (km). El tiempo es lo que marca un reloj o cronómetro y que podemos medir en unidades como el segundo (s) o la hora (h). No es muy común observar objetos que se muevan en forma uniforme. Una persona caminando o un automóvil que transita por la calle, por ejemplo, por lo general cambian su velocidad con mucha frecuencia, y solo la mantienen constante por lapsos muy breves. Sin embargo, hay algunos fenómenos naturales y circunstancias particulares que bien pueden ser consideradas como movimientos uniformes. En efecto, el sonido viaja en el aire a una velocidad de unos 340 m/s, si el aire es homogéneo (igual temperatura, presión y sin que exista viento), y en el vacío, la luz viaja a una velocidad de casi 300.000 km/s. También un tren puede mantener una velocidad constante durante algunos minutos. Sabiendo todo esto, ya estás en condiciones de resolver problemas como los siguientes:

Ejemplo 1. Si desde que vemos un rayo en una tormenta hasta que oímos el trueno transcurren 3 segundos, aproximadamente ¿a qué distancia de donde estamos se produjo el rayo?

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Ejemplo 2 . Si la distancia del Sol a la Tierra es de 150.000.000 de km, ¿cuánto tiempo tarda la luz en viajar desde él hasta nosotros?

La luz viaja por el vacío del espacio a razón de 300.000 km/s. Se tiene que el tiempo que demora en

llegar a la Tierra debe ser: ; es decir, , lo que corresponde a Dt = 500 s. Si dividimos por 60, sabremos que el retraso con que vemos el Sol es de 8,3 minutos. Ejemplo 3. Un tren viaja uniformemente y en línea recta con una velocidad de 72 km/h. Si su longitud total es de 100 metros, ¿cuánto tiempo tarda en pasar frente a nosotros? se tiene que este tiempo se determina mediante la siguiente relación:

; es decir, = 5 s.

Es importante notar que 72 km/h corresponden a

72. = 20 m/s.

O simplemente 72 Km/h=72:3, 6[m/s]=20[m/s]

Cuando un movimiento no es uniforme, la representación gráfica de la posición en función del tiempo es de gran utilidad. A este tipo de gráfico lo denominamos itinerario, y debes saber construirlos y extraer información de ellos para poder, por ejemplo, responder preguntas como las siguientes: Ejemplo 4. Un automóvil viaja en línea recta de modo que su posición (x) respecto de un punto (origen) está descrita por el gráfico siguiente:

a) ¿Aproximadamente dónde está el vehículo en el instante t = 20 s?

Una lectura directa del gráfico nos hace ver que la respuesta es x ˜ 80 m.

b) ¿Aproximadamente en qué instante o instantes el vehículo estuvo situado a 200 m del origen?

Esto ocurre según el gráfico en dos instantes. Aproximadamente en t ˜ 1,5 s y también en t ˜ 6 s.

c) ¿Qué desplazamiento realiza en los 24 s descritos en el gráfico?

Como el desplazamiento es Dx = xf - xi, y xi = 150 m y xf = 0 m, tenemos que Dx = – 150 m. d) ¿Qué camino recorrió en los 24 s representados en el gráfico?

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Es importante notar que si la velocidad aumenta, entonces la aceleración es positiva; si disminuye, será negativa; y si se mantiene constante, la aceleración será cero.

La velocidad también se puede expresar por medio de un gráfico. Al igual que los gráficos itinerarios, debes saber construirlos y extraer información de ellos. Veamos un ejemplo de esto último. Ejemplo 2 . Un ciclista se mueve en línea recta, de tal forma que el valor de su velocidad cambia de acuerdo a como muestra el gráfico siguiente:

a) ¿Aproximadamente qué velocidad tiene el ciclista en el instante t = 2 s? La lectura directa del gráfico indica que esta velocidad es de unos 17,5 m/s. b) ¿Qué aceleración posee en t = 3,2 s? También se ve directamente en el gráfico que entre t = 3 y t = 4 s la velocidad del ciclista se mantuvo constante (20 m/s), lo que significa que su aceleración durante ese tiempo fue nula.

Aceleración y desplazamiento:

Si un objeto acelera constantemente, aumentando su velocidad, en cada segundo experimentará cada vez mayores desplazamientos. Por ejemplo, supongamos una moto que acelera como lo indica el gráfico siguiente:

También puedes verificar que el desplazamiento Dx corresponde al área achurada del gráfico de velocidades. Supongamos que inicialmente el motociclista estaba en la posición x = 0. Si calculas sus posiciones (con la fórmula [3]) segundo a segundo, verás que ellas corresponden a los valores de la tabla y gráfico siguiente:

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Sistemas de referencia y trayectoria

La trayectoria de un cuerpo, también puede cambiar al cambiar de sistema referencia. Por ejemplo, si en el mismo tren anterior dejamos caer un cuerpo libremente, un observador en el interior del cagón observará un movimiento rectilíneo y totalmente vertical. Sin embargo para el observador situado en Tierra, la piedra no sólo se mueve verticalmente sino que además tiene un movimiento horizontal debido a la velocidad con que el tren se mueve. Este observador percibirá entonces una trayectoria curva (parabólica). Lo mismo ocurre cuando desde un avión que vuela horizontalmente a cierta altura con velocidad constante se deja caer un bulto. Para el tripulante del avión, el bulto cae verticalmente ya que siempre lo percibe debajo de él, mientras que para un observador en Tierra el bulto se mueve parabólicamente, debido a su movimiento vertical combinado con el movimiento horizontal.

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Relatividad del Movimiento Las velocidades son relativas

Cuando medimos una velocidad tomamos como referencia una "posición fija" de algún cuerpo para realizar las medidas. Dicho de otra forma, tomamos como referencia algún cuerpo que se considere en reposo y medimos las velocidades de los demás relativas a él o referidas a él.

En nuestro caso usamos la Tierra (o algo ligado a ella) como referencia, para lo cual suponemos que está en reposo. Así decimos que la velocidad es medida relativa a la Tierra o tomando la Tierra como referencia .

Debido al carácter relativo de la velocidad, un objeto puede aparentar tener un movimiento para un observador y otro movimiento diferente para otro observador, dependiendo de cómo se muevan los observadores uno con respecto a otro.

Veamos un ejemplo sencillo. Supón que dos personas van en un autobús, una delante y otra detrás, por una carretera recta.

Nosotros, que queremos medir la velocidad, nos situamos en la carretera, hacemos dos marcas separadas 50 m y observamos que el autobús tarda 5 s en recorrer esa distancia.

Según nuestros cálculos, la persona que va sentada delante del autobús se mueve con una velocidad de 50 m / 5 s = 10 m/s, relativa a nosotros (o a la Tierra).

El pasajero que va sentado detrás del autobús observa que durante ese tiempo, la persona de delante no se ha movido con respecto a él, es decir que mide una velocidad de 0 m / 5 s = 0 m/s, relativa a él (o al autobús).

Entonces, ¿cuál es la velocidad correcta del pasajero?

Simplemente, la velocidad correcta o verdadera de un cuerpo no existe.

Ninguna de estas dos medidas de la velocidad es mejor que la otra. Ambas velocidades son correctas, cada una en su sistema de referencia.

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En el siguiente ejemplo podemos seleccionar cuatro sistemas de referencia y observar las velocidades y los desplazamientos que se producen con respecto a cada uno de ellos. Nuestro sistema tiene una carretera por la que circula un coche y un río por el que navega un barco.

a) Puedes seleccionar el sistema de referencia moviendo el ratón por las diferentes zonas. b) Puedes detener la animación pulsando con el ratón en cualquier sitio.

1. Si pulsas con el botón izquierdo, la animación continuará al levantarlo. 2. Si lo haces con el botón derecho, deberás pulsarlo de nuevo para reanudar la animación.

c) Puedes modificar las velocidades arrastrando a izquierda y derecha los extremos de los vectores, cuando la animación está detenida.

d) Puedes ocultar las velocidades y calcular las velocidades medias de cada elemento con los datos que aparecen.

e) Puedes reiniciar y elegir el sistema de referencia con el que desees comenzar pulsando sobre ellos con el botón derecho del ratón, así como elegir las velocidades de los otros tres sistemas con respecto al elegido.

La Posición Si hemos acordado llamar movimiento al cambio de la posición con el tiempo, será necesario establecer un criterio para determinar qué posición ocupa un cuerpo en un instante.

Se trata, de nuevo, de establecer un sistema de referencia adecuado para lo que necesitamos estudiar.

Una dimensión

Imagina que tenemos un cuerpo que se mueve por una recta, es decir que realiza un movimiento en una dimensión. Para determinar su posición sólo necesitamos indicar a qué distancia del origen se encuentra. Observa en el siguiente la posición del cuerpo puede ser positiva o negativa según se encuentre a la derecha o a la izquierda del origen respectivamente.

Como ves resulta muy fácil hacerlo. Con una coordenada podemos conocer la posición de un punto sobre una recta.

Dos dimensiones

Si el cuerpo realiza un movimiento en dos dimensiones, es decir se mueve por un plano, necesitaremos dos coordenadas para determinar la posición que ocupa en un instante dado.

Los dos valores que determinan la posición de un cuerpo en un plano podemos establecerlos utilizando como referencia un sistema de coordenadas cartesianas o un sistema de coordenadas polares.

En el caso de las coordenadas cartesianas se utilizan las distancias a los dos ejes acompañadas de los signos (+) ó (-).

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En la figura de la izquierda aparece representado el punto P (3,2). Para evitar confusiones se tiene el acuerdo de escribir primero la coordenada x y después la coordenada y , separadas por una coma.

El signo negativo para la coordenada x se utiliza si el punto se encuentra a la izquierda del origen y para la coordenada y cuando está por debajo del origen.

Las coordenadas polares utilizan la longitud de la recta que une nuestro punto con el punto de referencia y el ángulo que forma esta recta con la horizontal.

En la figura de la izquierda se representa el punto P (3, 45°), que significa que la distancia OP vale3 y que el ángulo vale 45°

MOVIMIENTO RELATIVO En todo problema de Movimiento relativo (MR) se tiene que identificar tres personajes: uno de ellos es un observador "fijo". Pero nada esta fijo en este universo... o te olvidaste de que la Tierra está en movimiento. El segundo personaje de estas historias (que son siempre la misma) es un espacio, un lugar, un medio, que se mueve con velocidad constante en la Tierra. Este espacio tiene la particularidad de permitir movimientos adentro suyo. Ejemplos típicos son:

1) un río, que se mueve respecto de la Tierra y permite que adentro barcos, lanchas y nadadores hagan la suya;

2) el aire, que al moverse se llama viento y permite que aves, aviones y superhéroes vuelen a su aire (valga la redundancia);

3) un tren, que se mueve en las vías y permite que el cocacolero lo recorra de una punta a la otra vendiendo gaseosas.

Es conveniente (sobre todo) que este espacio móvil lleve adentro un sujeto quieto; por ejemplo: si es un río, un tipo en una balsa; si es el aire, un señor en un globo aerostático; si es un tren,

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una niña sentada. Fíjate que en los tres ejemplos este observador "quieto" tiene la misma velocidad que el espacio móvil que lo contiene: a este lo suelen llamar el observador móvil, se entiende por qué. Es el personaje hecho persona.

El tercer personaje de estas historias es el móvil propiamente dicho, aquel cuya posición o velocidad en el tiempo queremos describir. En nuestros ejemplos podría ser un avión, una lancha, un cocacolero, o lo que sea.

Ejemplo: Un tren se mueve a 60 km/h y en el mismo sentido en el que avanza el tren camina un cocacolero vendiendo cocas. El paso del cocacolero es de 2 km/h, según observa una señorita que está sentada en el tren pero que no toma gaseosas (por la dieta). Tú estás subido en un árbol y ves pasar al tren. Como tenés un equipo que mide velocidades con una precisión increíble. No te cabe ninguna duda de que el tren avanza a 60 km/h. También ves avanzar al cocacolero a través de las ventanillas... y le medís la velocidad... ¿cuánto le das? ¡62 km/h!, ¡obvio!

62 km/h = 2 km/h + 60 km/h

Te desafío: suponte que ves al cocacolero pero caminando hacia el furgón del tren, para atrás ¿cuánto medís ahora? Obvio... 58. La relación entre velocidades no sólo vale para movimientos unidireccionales sino para cualquier tipo de velocidades. O sea, se trata de una relación vectorial, y para escribirla correctamente hay que ponerle las flechitas que te indican que se trata de vectores.

Cuando te enfrentes con un problema de MR en el que las velocidades implicadas no son unidireccionales tenés básicamente dos formas de resolverlo. Una es gráficamente, representando la suma vectorial y fijándote si tenés suficientes datos para resolver las incógnitas. Y la otra es analítica3, operando algebraicamente la suma vectorial; para eso vas a tener que descomponer cada uno de los tres vectores implicados en dos direcciones, según un SR que vos elijas. Luego la relación vectorial se transforma en estas dos, que son numéricas, y que podes plantear y resolver.

En x

En y

VMTx = VMRx + VRTx

VMTy = VMRy + VRTy

Reitero, en esas ecuaciones ya estás trabajando con escalares, pero ojo con los signos de esos números, que dependerán del sentido positivo de cada eje.

Acuerdate que para sumar gráficamente dos vectores tenés que dibujar uno a continuación del otro, y no importa el orden. El vector suma será aquel que tenga inicio en el inicio del par, y extremo en el extremo del par. El orden de la suma no importa, fíjate que el resultado es el mismo.

3 Uso de ecuaciones

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Bueno, en No me salen vas a encontrar esta nomenclatura. Decidí elegir estas letras por lo siguiente: M por móvil, T por Tierra y R por río, que es un buen representante de un espacio móvil.

CHISMES IMPORTANTES: 1) La ley de suma de velocidades del movimiento relativo es otra de las proezas de Galileo

Galilei. Y aunque te parezca una necedad resume una cuestión que se halla en los cimientos de una revolución del conocimiento. En época de Galileo todavía se discutía si la Tierra estaba quieta o no. Si se movía (o sea si tenía una velocidad no nula) esa velocidad debía sumarse automáticamente a la velocidad de cualquier móvil que anduviese sobre ella. De no ser así, la Física habría estado en serios problemas. Pero, como casi siempre, Galileo tenía razón, y la Iglesia Católica no.

2) La Ley de suma de velocidades se aparta de la verdad cuando la suma se acerca al valor de la velocidad de la luz. Más se aparta cuanto más se acerca.

PREGUNTAS CAPCIOSAS :

1) En época de Einstein todas las analogías se montaban sobre trenes en movimiento... ¿Qué bicho móvil usaba Galileo?

2) Hablando de Einstein... resulta que el loco descubrió que la ley de suma de velocidades de Galileo (el tema de esta lección) no se cumple estrictamente, y que cuantas más altas sean las velocidades más se aparta de la realidad. ¿Te animas a buscar la ley de suma de velocidades relativista?

Algunos derechos reservados. Se permite su reproducción citando la fuente. Este material es absolutamente gratuito, excepto para mí que me costó bastante armarlo... pero que lo hice con mucho deleite. Última actualización nov-06. Buenos Aires, Argentina.

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