Geometria 5° 1 b

25 26COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria

Todo comenzó en EgiptoEl ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas.Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario.Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría.

El Río Nilo La palabra geometría está formada por las raíces

griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo tanto, su significado es "medida de la tierra".Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron -en forma práctica- a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto.

Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas.

El aporte griegoQuienes dieron carácter científico a la

geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones en base a razonamientos.Tales de Mileto (600 a.d.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes.

Euclides (200 a.d.C.) le dio su máximo esplendor a esta corriente científica. Recogió los fundamentos de la geometría y de la matemática griega en su tratado Elementos

Representamos los conceptos

Hay conceptos geométricos que no pueden definirse. Son ideas formadas en nuestra mente a través de la observación del entorno y solamente podemos hacer representaciones concretas de ellas.

Las llamaremos términos primitivos o conceptos primarios y son: espacio, punto, recta y plano.

Espacio Es el conjunto universo de la geometría. En él se

encuentran todos los demás elementos. Dentro de él determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas, esferas, etcétera.

Su símbolo es; E:

PuntoEl punto tiene posición en el espacio. Su

representación más cercana es el orificio que deja un alfiler en una hoja de papel o en un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tiene grosor.

En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayúscula y para reconocerlos usaremos o x.

Por ejemplo:• A se lee punto A, x M se lee punto M.

Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos de rectas.

RectaCurva

Poligonal

MixtaPlano y Recta: Infinitos puntos

La unión de infinitos puntos da origen a los otros dos principios básicos de la geometría: plano y recta.

La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lápiz en un papel. Es

infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.

La identificaremos con el dibujo

Una recta puede tener dirección:

Horizontal:

Como la línea del horizonte.

Vertical:

Como el hilo a plomo. Oblicua:

Cuando es distinta a las dos anteriores.

Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su símbolo. Por ejemplo: AB, se lee recta AB.

También se usa una L ó una R, especialmente en los casos en que deban distinguirse varias rectas.

Veamos:

DE es una recta oblicua

D

EL es una recta vertical

L

Plano

Lo más parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo diferencia con ésta, el hecho que es ilimitado y no tiene grosor.

El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella.

El símbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompañado de, por lo menos, tres puntos.Veamos este ejemplo:

R

R

TF

Este dibujo será una representación del plano ART y lo simbolizaremos P ART.

Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de una laguna, son representaciones de planos.

Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas, y obtener figuras geométricas.

Hay planos horizontales, verticales y oblicuos.Cuando en una superficie no quedan rectas

totalmente incluidas en ella, decimos que es curva. Una representación de esto sería una bandera flameando.

Relacionemos lo estudiado

Tras conocer las ideas geométricas, las relacionaremos, para determinar aspectos que son muy importantes de analizar.

Puntos y rectas:

a) Vamos a determinar un punto del espacio. ¿Cuántas rectas pueden pasar por él? o ¿a cuántas rectas pertenece ese punto?

S5GE31B“El nuevo símbolo de una buena educación….” S5GE31B“ el nuevo símbolo de una buen educación…”

I BIMESTRE:I BIMESTRE:

ORIGEN YORIGEN Y DESARROLLODESARROLLO


Como las rectas no tienen grosor, obtenemos un dato fundamental de la geometría: "por un punto del espacio pasan infinitas rectas".

Determinemos un punto del plano y dibujemos rectas que pasen por él. Recordemos que la línea que hacemos es una representación, porque la recta no tiene grosor. Hemos obtenido este dibujo.

La conclusión es la misma: "Por un punto del plano pasan infinitas rectas".

b) Ahora elegiremos dos puntos del espacio. ¿Cuántas rectas unen a esos dos puntos? Recordemos que ni puntos ni rectas tienen grosor.

A B

Conclusión

"Dos puntos del espacio determinan una sola recta".

Lo mismo sucede en el plano: "Dos puntos del plano determinan una sola recta"

p

j

t

c) Veamos qué pasa con puntos que pertenecen a una recta del espacio o del plano.Observa este ejemplo:

A

C

B

F r o n t e r a

• Un punto que pertenece a una recta forma subconjuntos en ella. Si el punto elegido, llamado origen, queda como frontera de los subconjuntos, es decir que C no pertenece a ninguno de ellos, estamos diciendo que se obtienen dos semirrectas que simbolizamos así:

En nuestro ejemplo quedan CA y CB. C para el punto frontera y para el otro punto, queutilizamos para nombrarlas.Ahora, otro ejemplo:

QO

P

Si el punto elegido, origen, es tomado en cuenta para ambos subconjuntos, es decir que pertenece a ambos, es común, hablaremos de dos rayos. Su símbolo es en el dibujo serían DP y DQ (por eso denominamos rayos a los del Sol. Sabemos que el origen es el astro, pero no donde termina su luz).

Las semirrectas y los rayos son infinitos hacia un extremo (el que lleva flecha); el otro extremo está limitado por un punto. Si en una recta determinamos dos puntos, se forma un subconjunto muy importante: el trazo, llamado también segmento. Por ejemplo:

M J

El trazo se identifica con el símbolo . En nuestro caso se formó MJ.

El trazo es el único elemento lineal que se puede medir, porque no es infinito; está limitado en sus dos extremos.

En resumen, de una recta ubicada en el espacio o en el plano, hemos obtenido tres clases de subconjuntos: semirrectas, rayos y trazos.

PRACTICA DE CLASEPRACTICA DE CLASE

01.

A B C D

24AD = , 15AC = ,

17BD =

Hallar BC

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

02.

A B C D

FE

E y F puntos medios de AB y CD

Hallar EF, si: 80BDAC =+

a) 18 b) 15 c) 20d) 30 e) N.a.

03.

M A O B

“O” Punto medio de AB

Calcular OM si:

22

m81MB.MA4

AB=+

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 27

04.

P Q R S

Si: 20QSPR =+ y 6QR =

Hallar: PS

a) 7 b) 9 c) 13d) 14 e) 10

05.

A B C D

“B” Punto medio de AC calcular AB .

Si: 3

AC

4

BD= y 22AD =

a) 5 b) 10 c) 6d) 3 e) 9

06.

P A B C D

Si: PB5PD2PC7 += , calcular

AC

21AB5AD2 =+

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07.

A B C D

M y N. Puntos medios de AC y BD

Hallar: MN si 10AB = y

5CD =

a) 10 b) 8 c) 7,5d) 5 e) 6

08.

A B C D

Si: ADAC7 = y

42AB6BD =−Hallar BC

a) 7 b) 4 c) 5d) 14 e) 6

09.

A B C D

Si: AB2BC = y CD es 8 cm mayor

que AC . Hallar CD , 45AD =

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

10.



A B C D E F

Si: 3

BFEFAD == . Hallar: BE

Además: 24DFCEBDAC =+++

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

11.A B C D E F

Si: 70DFCEBDAC =+++ y

AF9

5BE =

Hallar BE

a) 15 b) 20 c) 25d) 50 e) N.a.

12.A B C D E F G H

Hallar AH si:

83FHDHBHEFBDCEAEABAC =++++++++

a) 66 b) 33 c) 11d) 12 e) 11,5

13.A B C D E F G H

Si: 2

AHCB = y

56EGCE

FHDHEHEFBDCEAEABAC

=+

+++++++++

Hallar AH .

a) 30 b) 28 c) 32d) 16 e) N.a.

14.A B C D E F

Tal que: 26DFCEBDAC =+++ .

Hallar: AF

Si: AF8

5BE =

a) 13 b) 16 c) 24d) 39 e) 20

15.

A M B N

Hallar AB , si BN

AN

MB

AH= y

5

1

AN

1

AM

1 =+

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

16.

A B C D

la media geométrica de AB y CD es

2

BC2

y 18

1

BD

1

AC

1 =+ . Hallar BC

a) 6 b) 8 c) 4d) 5 e) N.a.

17.

A B C D

Si: AD.BC2CD.AB = y

3

1

AB

2

AB

1 =+ . Hallar AC

a) 9 b) 8 c) 67d) 6 e) N.a.

18.

A B C D

Si: (2x - 3) ( AB ) ( CD ) =

BC.AD y

AB

13Z5

AB

14xx3

AC

2y3 −+−=+

Hallar: x, y , z

a) 1, 2, 3 b) 4, 3, 2 c) 5, 2, 4

d) 4, 3, 5 e) N.a.

19.

A B C D

Si: CD.BC8AD.AB = y

ABACCD

π=

β+

α. Hallar: α, β y π

a) 1, 4, 2 c) 1, 2, 4 c) 1, 4, 3d) 3, 1, 4 e) 3, 1, 2

20.

A B C D

Si: )AD()QC(KCD.AB = y

AC

7

AB

K

AD

1 =+

Hallar: (K + 1)2

a) 29 b) 49 c) 7d) 64 e) 36

21.A A 1 A2 A3 A n-1 An

Si:

K2AA......AAAAAA n2n42312 =+++ −

Además: 1KAA 1n1 −=− Hallar

nAN

a) 13

K− b) 1

2

K+ c) K + 1

d) 2K – 1 e) K - 1


25 26

ÁNGULOÁNGULO

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria

I. OPERACIONES DE ÁNGULOS

1. SumaA

C

B

D

0α β

θ

∧∧∧θ+β+α=∠AOD

2. Resta

A

αB

C0

α−β=∠∧

BOC

II. PROPIEDADES

1. Las bisectrices de los ángulos adyacentes forman un ángulo de 90°

A

B

Cα α β

β0

°=β+α∧∧

90

2. Las bisectrices de dos ángulos complementarios forman un ángulo de 45°

A

α

B

C0

αββ

°=β+α∧∧

45

III. ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS Y PERPENDICULARES

M

β

σ

N

L

P

M // N y L // P

a)

∧∧β=σ

M

β P

M // L y N // P

b)α

N

L

∧∧β=α

M

β P

M // N y L // P

c)

α

N

L

°=β+α∧∧

180

β

d) α

∧∧β=α

e)

α

β

∧∧β=α

f)

β

α

°=β+α∧∧

180

COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO ( C )COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO ( C )

α−°=α 90C )(

SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO S(SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO S(αα))

α−°=α 180S )(

Ejm:

• C50 = ....................• S60 = ....................• S(α + β) = ...............• C2x = ....................• SSα = ...................• CCα = ..................


01. Si, S : Suplemento y C : ComplementoCalcular: T = SSCSSCS100°

a) 100° b) 80° c) 10°d) Absurdo e) 90°

02. Si: C : Complemento S : Suplemento

Además:

SCα + SSCC2α + SSSCCC3α + SSSSCCCC4α = 200°Calcular: “ α° ”

a) 2° b) 8° c) 10°d) 15° e) 20°

03. Un ángulo es tal que la suma del complemento y del suplemento es igual al triple del ángulo. Hallar el valor del ángulo..

a) 45° b) 46° c) 54°d) 36° e) N.a.

04. El suplemento del complemento de un ángulo “x” es igual al doble del complemento “x”. Hallar “x”.

a) 45° b) 30° c) 60°d) 90° e) 0°

05. De qué ángulo debe restarse los 2/3 de su complemento para obtener 52°

a) 25° b) 38° c) 72°d) 54° e) 67,2°



06. Si un ángulo se le resta su complemento resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar la medida del ángulo.

a) 135° b) 70° c) 80°d) 60° e) 90°

07. Si la medida de uno de dos ángulos complementarios se le disminuye 18° para agregándosele a la medida del otro, la medida de éste ultimo ángulo resulta ser ocho veces lo que queda de la medida del primero. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos?

a) 88° b) 62° c) 72°d) 28° e) 75°

08. Hallar el menor de dos triángulos suplementarios sabiendo que al disminuir 20° a uno de ellos para agregárselo a la medida del otro, este nuevo ángulo resulta ser cinco veces lo que queda del primero.

a) 40 b) 50° c) 60°d) 30° e) 55°

09. La diferencia de las medidas de dos ángulos

consecutivos BOA∩ y COB

∩ es 60°.

Calcular m ∠ DOB. Si: →OD bisectriz del

ángulo AOC.

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) 50°

10. Se tiene los ángulos consecutivos BOA∩ y

COB∩ , si: COA

∩ y COB∩ son

suplementarios y BOA∩ = 80°. Hallar el

COA∩

a) 50° b) 120° c) 130°d) 180° e) 90°

11. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD sabiendo que m ∠ BOC = 40° y m ∠ AOD = 100°.

a) 10° b) 20° c) 30°

d) 50° e) 70°12. Alrededor de un punto “O”, se trazan los rayos

coplanares →OA , →

OB , →OC , →

OD y

→OE determinandose 5 ángulos consecutivos,

tal que el 2do. Ángulo es el doble del 1ro y la tercera parte del 5to, el 3ro es 10° menos que la suma de los 2 primeros ángulos y el 4to excede en 20° a la suma de los 3 primeros. Halle el mayor ángulo.

a) 130° b) 120° c) 50°d) 160° e) 40°

13. Dados los rayos consecutivos →OA , →

OB ,

→OC , →

OD , →OE y →

OF . Calcular m

∠ COB sabiendo que los ángulos DOA∩ ,

EOB∩ y FOC

∩ tienen igual medida y

que el ángulo FOA∩ mide 114° y la mitad d

la medida del ángulo formado por el rayo

DOA∩ y la bisectriz del ángulo formado por

el rayo →OE y la bisectriz del ángulo

DOC∩ es 16°.

a) 10° b) 15° c) 20°d) 25° e) 30°

14. Se tiene dos ángulos consecutivos, BOA∩ ,

COB∩ y DOC

∩ . Halle la medida del

ángulo BOD, si m ∠ AOC = 110°, además las

bisectrices de los ángulos BOA∩ y

DOC∩ son perpendiculares.

a) 70° b) 60° c) 40°d) 30° e) 75°

15. Del gráfico, hallar la suma de los valores de “y” cuando “x” toma su mínimo y máximo valor entero.

2x - y

x + y

y - x

a) 88° b) 120° c) 96°d) 85 e) N.a.

16. La diferencia de dos ángulos consecutivos AoC y BoC es 20° que ángulos forman la bisectriz del ángulo AoC con el lado ]OB.

a) 15° b) 16° c) 17°d) 18° e) N.a.

17. Se tienen las semirectas OA , OB y

OC . Calcular el ángulo formado por las

bisectrices de los ángulos AoC y AoB sabiendo que estos se diferencian en 20°.

a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) N.a.

18. Se tiene 3 ángulos consecutivos AOB, BOC y

COD. Se trazan las bisectrices OM de AoB

y ON de COD. Si COA∧ = 80° y

NOM∧ =100°. Hallar DOB

∧ .

a) 100° b) 80° c) 180°d) 120° e) 60°

19. Se tienen los ángulos consecutivos BOA∧ y

COB∧ siendo:

COB∧ = BOA

∧ = 36

OX es la bisectriz de BOA∧

OY es la bisectriz de COB∧

OZ es la bisectriz de YOX∧

Calcular ZOB∧

a) 9° b) 15° c) 18°d) 20° e) 27°

20. Si el triple de un ángulo se le disminuye 2/7 de su complemento; nos da el doble de dicho ángulo. Calcularlo.

a) 20° b) 30° c) 40°d) 50° e) N.a.

21. Calcular dos ángulos cuya suma es igual a 164° y que el suplemento de uno de ellos es igual al complemento del otro.

a) 100° y 64° b) 127° y 34°c) 120° y 44° d) 150° y 14°e) N.a.

22. Si el suplemento del complemento del complemento del suplemento de un ángulo es igual a 18°. Calcular el complemento del suplemento del suplemento del complemento de dicho ángulo.

a) 9° b) 18° c) 36°d) 72° e) N.a.

23. En la figura mostrada a // b. Hallar “x”.

a

b18°

x°

44°

32°

a) 25° b) 30° c) 64°d) 31° e) N.a.

24. Siendo m // n determinar el valor de “α”

m

n

2α

α

3α

36°

25. Sea p // q y °=θ+α∧∧

164

Hallar “β”



pα β

θ

q

26. Siendo 321 L//L//L y el triángulo ABC

es equilátero. Hallar “x”

30°A

B

C

t

L 1

L 2

L 3

27. Hallar “x”

40°

140°

x

a) 60° b) 70° c) 80°d) 50° e) N.a.

Definición: .......................................................

............................................................................

............................................................................

B

ACb

c a

θ2

θ2 θ3

α2

α3

α1

Elementos:Lados : ...............................................

Vértices : ...............................................

Perímetro (2p) : ...............................................

Angulos interiores : ...............................................

Angulos exteriores : ...............................................

Suma de ángulos interiores : ...................................

Suma de ángulos exteriores : ..................................

Clasificación de los Triángulos:

I. De acuerdo a sus lados

T. Escaleno T. Isósceles T. Equilátero

α α

60º

60º 60º

II. De acuerdo a sus ángulos

T. Acutángulo T. Rectángulo T. Obtusángulo

LINEAS NOTABLES

1. Ceviana:

CevianasCD;AM;BD

CevacentroC

→

→

B

A C

P M

D

C

2. Mediana:

MedianasCQ;BM;AN

BaricentroG

→

→

B

A C

Q N

M

G

∼

∼

3. Bisectriz:

erioresinttricessecBiBMyPC,AD

IncentroI

→

→

B

A C

P D

M

I

α α

ββ

θθ


TRIÁNGULOSTRIÁNGULOS


4. Altura:

AlturasBHyPC,AQ

OrtocentroH

→

→

B

A C

P Q

H

H

A

Q

5. Mediatriz:

sMediatriceOQyON,OM

roCircuncentO

→

→

B

A C

QM

P

O

∼

∼

EXISTENCIA DE UN TRIANGULO

Si: a > b > cB

A Cb

c a

b - c < a < b + c

a - c < b < a + c

a - b < c < a + b

Propiedades

aº bº

xº

aº cº

bº

xº

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1. Lado - Angulo - Lado (L - A - L)

θ θ

≅

2. Angulo - Lado - Angulo (A - L - A)

α

≅

º θº αº θº

3. Lado - Lado - Lado (L - L - L)

≅


01. Hallar x

x

60°

a) 30° b) 60° c) 70°d) 75° e) 80°

02. En la figura, hallar “x”

x

120°

a) 60° b) 80° c) 100°d) 90° e) 120°

03. En la figura, calcular “x”

α α

x

50°

α

θθ

a) 100° b) 180° c) 150°d) 120° e) 90°


x

80°

3α6 θα 2θ

a) 25° b) 40° c) 45°d) 50° e) 60°

05. En la figura, calcular “x”, si el triángulo ABC es equilátero.

x°

A

α

α

B

C

a) 50° b) 40° c) 75°d) 55° e) 60°

06. Cuánto mide el menor ángulo de un

triángulo escaleno, si con los otros dos

forman una progresión aritmética de razón

2.

a) 60° b) 56° c) 58°d) 59° e) 61°

07. En la figura: AB = BD = CD. Calcular: y - x

x°y°

110°A

B

C

D

a) 1° b) 2° c) 3°d) 4° e) 5°


x αθθ3 α3

40°

a) 80° b) 110° c) 75°d) 85° e) 95°

09. En la figura, calcular: x +y + z


xº = aº + bº

xº = aº + bº+ cº


x zy

aaa

ccc

b bb

a) 100° b) 135° c) 270°d) 300° e) 540°

10. Si AB = CD. Calcular “x”

D

3α2α

7αα

x

a) 9° b) 10° c) 12°d) 15° e) 18°

11. 3PQ,L // L 21 = . Calcular “x”

x PQ

L1

L2

a) 6 b) 9 c) 7d) 8 e) 5

12. En un triángulo rectángulo ABC m B = 90°) se∡ traza BH altura y AR bisectriz interior. Si AB = 9 y AH = 7. Calcular la distancia de “R” a BH.

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 1

13. En un triángulo ABC se traza la altura BH, en ella se ubica el punto “E” tal que: m∠ EAH = m∠ CBH y BH = HC. Calcular la m∠ ECH.

a) 45 b) 30 c) 60d) 37 e) 53

14. En el gráfico mostrado mostrar EF, si: AB = BC, AE = 4m y CF = 7m

A

B

C

E F

a) 7 m b) 10 m c) 11 md) 12 m e) 15 m

15. Según el gráfico. Calcular x, si AB=BC y EM=AE+CF

A

B

C

E F

x°

M

a) 45 b) 60 c) 53d) 30 e) 37

16. Si: EH + DM = 24. Calcular AC.

A

B

C

DE

H M

a) 12 b) 18 c) 24d) 28 e) 20

17. En la región interior de un triángulo equilátero se ubica un punto “P” tal que m APB = 90, y la∢

región exterior relativa a AC se ubica el

punto “M” tal que el triángulo APM es equilátero. Calcular la m∠ PMC.a) 15 b) 30 c) 22,5d) 60 e) 45

18. En el gráfico mostrado calcular x siendo los triángulos ABC y EFC equiláteros.

x°A

B

CE

F

12°

a) 12 b) 24 c) 36d) 48 e) 30

19. Calcular x si los triángulos AFB y BEC son equiláteros.

x°

A

B

C

E

F

a) 60 b) 90 c) 110d) 120 e) 150

20. En el gráfico mostrado AB =BC. Calcular AN si BM = 4m.

A

B

CN

M

a) 4 2 m b) 4 m c) 3 m

d) 3 2 m e) 5 m

21. Si: BP = 4, PQ = 7 y QC = 4. Calcular AP.

A

B

P

Q

C

a) 15 b) 14 c) 12d) 10 e) 11

22. Los lados de un triángulo escaleno miden 4; 6 y 2x, si: x es un número entero. Calcular “x”.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

23. Calcular “α”, si: a + b = 120

120°

a° b°2 α°

α°

a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 40

24. Calcular θ :

α°

4α°

2θ°

β°3θ°

3β°

a) 10 b) 12 c) 15d) 9 e) 20

25. En un triángulo ABC se prolonga CA hasta

“P” y AB hasta “Q” de modo que AP = AB, BQ = BC, m∠ APB = 24 y m∠ BQC = 32.Calcular la m∠PCQ.

a) 86 b) 88 c) 94d) 96 e) 100

26. En la figura AB > BC y CD > ED. Calcular x, si se sabe que es un número entero.



A

B

C

D

E

64°

66°x°

a) 120 b) 130 c) 110d) 115 e) 125

27. De la figura. Calcular c

ba +

b°

α°α°α°

θ°θ°θ°

a°

c°

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

28. Si x""calcular , 2

AD CA BC ==

A

B

C

D

x°

2 θ

θ°

θ°

a) 100 b) 110 c) 120d) 130 e) 150

29. Calcular el mínimo valor entero de (OA +OC +

OE) si CE yAC toman el mínimo y el máximo valor entero, α es mayor que 90 y θ menor que 90, CD=AB=12; ED= 9, AE=15.

α°

θ°

0

A

B

C

DE

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 41

30. En un triángulo ABC; AB =1, m∠A= 3m∠C. Calcular m∠ C. Si se sabe que: BC es entero.

a) 20 b) 45 c) 22,5d) 30 e) 15

31. En un triángulo ABC, acutángulo AB = 6; BC=8. Calcular la diferencia entre el mayor y menor valor entero de AC.

a) 3 b) 10 c) 6d) 4 e) 5

32. Calcular “x”

A B

C

E

F

x°45°

45°

a) 80 b) 90 c) 45d) 120 e) 72

33. Dado un triángulo ABC, sea “P” un punto de

AC y “Q” un punto exterior relativo al lado

AC de modo que los triángulos ABP y BQC son equiláteros. Calcular la m CAQ.∢

a) 40 b) 45 c) 30d) 60 e) 75

34. Del gráfico mostrado, calcular x:

A

B

C

DE

F G

x°

60°

40°60°

a) 30 b) 20 c) 10d) 45 e) 40

35. Calcular x; si: AB = EC.

60°

20° x°A

B

CE

a) 10 b) 15 c) 20d) 22,5 e) 30

36. En la figura calcular “α” si: AB =EC, AC = DE y

ED // AB .

A

B

C

D

E

4α°

α°

a) 36 b) 30 c) 25d) 20 e) 18

37. En el gráfico mostrado, AB = BC = AC y BP=QC. Calcular x.

A

B

C

Q

Px°

a) 45

b) 30

c) 60

d) 53

e) 75

38. Del gráfico adjunto, la m PBQ. Si:∢ AP=PQ=QC.

α β

β α

x°

A

B

CP Q

a) 45° b) 30° c) 60°d) 37° e) 53°

39. Calcular θ, si: BE = AD.

A

B

CD

E

2θ

θ

a) 23 b) 14 c) 16d) 53 e) 26,5

40. En un cuadrado ABCD, M∈; CD N ,AD ∈ AM=4, CN =3, ,m∠

MBN = 45.Calcular “MN”

a) 4 b) 6 c) 7d) 3 e) 2



TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA

01. Calcular “θ” en un ∆ABC, si al trazar la bisectriz interior AD, AC = AB +DC, m∠B=100, m∠C=θ.

a) 20 b) 30 c) 45d) 60 e) 70

02. Si: AB = AC y ND =2AD. Calcular la m ABD.∢

A

B

CD

N

M

x

45°

a) 8 b) 9 c) 12d) 14 e) 15

03. Calcular “α”, si: 2AB = DC.

Aα

α

B

C

D

2

a) 20 b) 15 c) 22,5d) 18 e) 17,5

04. En el gráfico AB = PC; PH = 3(BP).Calcular “x”

A

B

C

P

H

θ

θ x°

a) 15 b) 53/2 c) 37/2d) 8 e) 16

05. Calcular PQ, si: BH = 12 y BF = 4

A

B

C

F

H P

Q

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

06. En el triángulo ABC; AP = PQ, MC =RM y AB=QC. Calcular “x”.

A

B

CP Q

R

M

75°

x°

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

07. En un triángulo ABC; AB = 2 y BC = 9. Calcular el mayor valor entero de la mediana

BM

a) 4 b) 5 c) 6d) 3 e) 7

08. Calcular m∠ BCD; si: AC = 2BD

A

B

C

D

a) 30 b) 45 c) 60d) 37 e) 53

09. Los lados de un ∆ABC miden: AB = 4, BC= 7 y AC = 9. Calcular la distancia entre los pies de los perpendiculares trazadas desde “C” a las bisectrices interiores de “A” y el exterior de “B”.

a) 0,5 b) 1 c) 1,5d) 2 e) 2,5

10. En el gráfico. Calcular BD, si: CD = 12

A

B

C

D

θ

θ

a) 4 b) 6 c) 6 2d) 8 e) 12

11. Si: m ∠ LBC = m∠ AHD =90, AD = DC; BC = 2BL y BH = 6. Calcular “HD”.

A

B

CD

LH

a) 4 b) 6 c) 6 2d) 4,5 e) 9

12. Dado un ∆ABC, recto en B; la bisectriz interior

del ángulo A y la mediatriz de BC se intersecan en “E”, tal que m∠ ECB = 2(m∠ BCA). Calcular: m ∠ BCA.

a) 12 b) 15 c) 18d) 20 e) 30

13. Si: BM =MC; AB =2DM. Calcular θ.

A

B

C

D

3θ

θ

M

a) 10 b) 12 c) 15d) 18 e) 20

14. En la figura: AE=7 y DC=3. Calcular “AB”.

αα

θθA B

CDE

a) 10 b) 13 c) 14d) 15 e) 17

15. En un triángulo ABC, recto en B se traza la

ceviana BD , m∠ ABD = 2m∠ C; BC=6, “C”

dista 2 cm de BD . ¿Cuánto dista “A” de

BD ?

a) 4 b) 2 c) 6d) 3 e) 1

16. En la región interior de un triangulo ABC, se ubica el punto P, tal que: m∠PAB=m∠PCA. Calcular m∠APC, si m∠ABC=80° y AB=BC

Rpta: ................



17.Según la figura Calcular el valor de x si BQ=BP y m∠QPR=40°

A C

Q

R

B

P

x

Rpta: ................18.En la región exterior y relativo al lado AC de un

triángulo rectángulo ABC recto en B se ubica el punto P, tal que AB=BC=CP. Calcular m∠PAC, si m∠PCA=15°

Rpta: ................

19. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior BM y en el triángulo BMC se traza la bisectriz interior CN. Calcular la m∠CNM, si AB=AM

Rpta: ................

20. De la figura mostrada calcular el valor de x, si β-α=46°

xα

θ θ

β

Rpta: ................

21. En un triángulo ABC, se traza la mediatriz de AC que intersecta a BC en P, tal que AB=PC. Calcular m∠BCA, si m∠BAC=5m∠BCA.

Rpta: ................

22. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) en AB,AC y BC se ubican los puntos M, T y N respectivamente, de modo que AM=TC, AT=NC y m∠ABC=100°. Calcular la m∠MNT

Rpta: ................

23. Según el gráfico calcular el valor de x

30°

x°

A

B

C

P

θ2α

2θα

Rpta: ................

24. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AP, y en el triángulo APB, se traza la ceviana interior PQ, de modo que: AQ=AP=AC y BQ=QP. Calcular m∠BAP, si m∠ACB=84°

Rpta: ................

25. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=6 y BC=8, luego se traza exteriormente el triángulo equilátero APC. Calcular el máximo perímetro entero de la región triangular APC.

Rpta: ................

26. En la figura calcular el valor de x, si AB=AC y AP=PB

A P C

B

Q

x

70°

Rpta: ................

27. Del gráfico mostrado, calcular el valor de x

40°

60°x°

Rpta: ................28. Se tiene un triángulo equilátero ABC; en la región

exterior y relativo al lado AB se ubica el punto P tal que m∠PCA=10°. Calcular m∠PAB, si la mediatriz de PC contiene al punto B.Rpta: ................

29. En un triángulo ABC, se traza la altura AL, luego en la región exterior y relativo al lado BC se ubica el punto E de modo que: m∠BEC=90°, m∠LAC=20°, m∠BCE=50° y m∠ABC=40°. Calcular la m∠BLE.

Rpta: ................ 30. Se tiene un triángulo ABC en la cual se traza la

bisectriz interior BD, m∠BAC=2m∠BCA, BC=m y AB=n calcular AD.

Rpta: ................

TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA

01. En la figura mostrada: BP=BA=BC=BQ. Calcular el valor de θ.

A

B

C

P

Q

θ 2θ

3θ

Rpta: ................

02. En un triángulo ABC recto en B se traza la ceviana interior BM tal que: m∠BAC=2(m∠ABM) y AB=MC. Calcular la m∠ABM.Rpta: ................

03. Del gráfico: AB=BC. Calcular el valor de x.

A

B

C

x

2θ

θ

ββ

Rpta: ................

04. En un triángulo rectángulo ABC (m∠B=90°), se traza la ceviana interior AE tal que: BE=a, EC=b; m∠BAE=10°+2α y m∠EAC=30°-3α. Hallar AE.Rpta: ................

05. En un triángulo rectángulo ABC(m∠B=90°) cuya altura mide 6. calcular la longitud del segmento que une los pies de las perpendiculares trazados por H a las bisectrices de los ángulos ABH y HBC.

Rpta: ................


CUADRILÁTECUADRILÁTE



01. En un cuadrado ABCD, M y N son puntos medios de CD y BC respectivamente. Cuanto dista Q de AM, si AQ=30, siendo Q la intersección de AN y BM.

Rpta: ................

02. Según el grafico ABCD es un romboide, AB=5, AD=10 y ED=DC. Calcular la m∠BAE.

A

B C

D

E

53°

X°

Rpta: ................

03. Se tiene el cuadrilátero ABCD, donde m∠BAD=60°, m∠ABC=150°, m∠ADC=30°,

AD= 38 y AB= 3 . Calcular BC.

Rpta: ................

04. Si AD=6, BC=10 y CD=8, AB=4AM.Calcular MN.

A

M

B C

D

N

E

αα

ωω

Rpta: ................

05. Se tiene un trapecio ABCD recto en A y B, BC=4 y AD=7, se traza CH⊥BD, H ∈ BD y m∠BCH=2m∠CDB. Calcule CH

Rpta: ................

06. En la figura mostrada DF= 32 . Calcule DE.

A

B

C

D

EF

3φ

5φ

2αα

β

2φ

2β

Rpta: ................

07. ABCD es un romboide, y PB=1 y BM=MC. Calcular MT

A T

B M C

D

P

φ

φ

Rpta: ................

08. En un paralelogramo ABCD se cumple que AC=AB+CD. Calcular m∠ACB, si la m∠BDA=45°.

Rpta: ................

09. En un paralelogramo ABCD, en la prolongación de AB se ubica el punto F tal que BFCD es un trapecio isósceles, si AF=BC, AB=4. Calcular la distancia de B a AD.

Rpta: ................

10. Calcular AH, si BC//AD, BC=6 y HC=8

A

H

B C

D

α

αα

Rpta: ................

11. En la figura AM=MB, calcular MP, si BP=4 y PC=6

A

M

B P C

D

θθ

Rpta: ................

11. En un paralelogramo se traza la bisectriz exterior CE, E en a prolongación de AD. Calcular el segmento que une los puntos medios de BE y AC, sabiendo que AB=6

Rpta: ................

12. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH, en los lados AB y BC se ubican los puntos Q y P respectivamente tal que AQPH es un rombo y HC=PQ+4. Calcular BQ.

Rpta: ................

13. En el gráfico BO=OD=OP, Calcular el valor de x

A

B

P

C

D

O

x

20°

Rpta: ................

14. En un trapezoide ABCD: AB=2;BC=10 y CD=4, m∠B=143° y m∠C=127°. Hallar AD.

Rpta: ................

15. En la figura. AB=BC; AH=7. Hallar HD.

A H D

C

B

135°

Rpta: ................

16. En un trapecio ABCD. BC//AD. Se traza la altura CH que intersecta a la diagonal BD en P. Calcular CM, si M es punto medio de AP, AB=BD; BP=10, PD=4

Rpta: ................

17. Sobre los lados AB, BC y CD de un romboide ABCD, se construyen exteriormente los cuadrados de centros P, Q y R respectivamente. Hallar m∠PQR.

Rpta: ................

18. En un trapecio ABCD, BC//AD, AB=AC y CD=4. Hallar AM, siendo M punto medio de BD

Rpta: ................



19. En la figura mostrada ABCD y MNPQ son cuadrados M es centro del cuadrado ABCD. Hallar el valor de θ°

A

B C

D

N

P

M

Q

34°

θ°

Rpta: ................

20. En la figura ABCD es un rectángulo, EF=EC; BE=13 y DE=5. Hallar AF.

A

B C

D

E

F

Rpta: ................

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Geometria 5° 1 b