REVOLUCIÓN EN LA GEOMETRÍA

LA GEOMETRÍA PROYECTIVA

Aparece como solución al problema del artista para pintar un mundo tridimensional en sus lienzos bidimensionales.

Producto del humanismo y del antropocentrismo, el artista renacentista se centra en representar un mundo real(tridimencional) a diferencia de la edad media cuyos personajes y objetos eran bidimencionados, carentes de alguna conexión con el mundo físico.

“Ultima cena”-Edad Media

“Ultima cena”-Renacimiento

Los pintores, que eran arquitectos e ingenieros y los mejores matemáticos del siglo XV, lograron expresar la distancia, el espacio, la masa, el volumen y los efectos visuales en sus lienzos.

Principales precursores de la Geometría Proyectiva:

Leonardo Da Vinci (1452-1519)Rafael Sanzio (1483-1520)Alberto Durero (1471-1528)Girard Desargues (1591-1661)Blaise Pascal (1623-1662)

Quién proporcionó un estudio mas profundo fue el ingeniero y arquitecto autodidacta Girard Desargues (1591-1661)

El Teorema de Desargues

Supongamos que partimos de dos triángulos, ABC y A’B’C’ situados en el espacio, tales que uno se pueda obtener del otro a través de una proyección. Si prolongamos ahora cada uno de los lados de los dos triángulos obtendremos tres puntos de intersección:

AB y A’B’ se cortan en el punto PAC y A’C’ se cortan en el punto OBC y B’C’ se cortan en el punto Q

El teorema de Desargues afirma que los puntos O, P y Q están sobre una misma recta.

En el siglo XVII la mirada de los matemáticos pasó al algebra y sus aplicaciones y la geometría proyectiva no será retomada hasta el siglo XIX.

“La Geometría Proyectiva nos

ha abierto fácilmente nuevos territorios en nuestra ciencia, y ha sido justamente considerada como un camino real para su campo particular de conocimiento.” Félix Klein

Geometría de coordenadas

Nicolás Oresme (aprox 1320-1382) “Capellán del Rey Carlos V, y

posteriormente obispo de Lisieux, ha atraido recientemente la atención de los historiadores de la ciencia por sus ideas de la cinemática y astronomía, que hasta cierto punto se anticiparon a las establecidas por Galileo en el siglo XVII”

(Geral Holton: Introducción a los conceptos y teorías de las ciencias físicas, p107)

Representación gráfica de Oresme de la relación de tiempo, velocidad y distancia.

tiempo

velocidadVo

V

½(Vo+V)t

François Viète (1540-1603)

Introduce las letras para representar incógnitas y potencias.

Interpretaba el álgebra como instrumento para hacer geometría, sin embargo le daba un valor autónomo.

Se consideraba así mismo como continuador de los clásicos griegos.

Pierre de Fermat (1605-1665) “Pierre de Fermat (1605-1665), a quién

Lagrange, Laplace y Tannery, entre otros, denominaron el inventor del cálculo, no fue un matemático de profesión, lo que obviamente no limitó su gran producción en ramas de la matemática como la geometría analítica y el calculo. Incluso en algunas de sus notas se puede comprobar que utilizó la geometría analítica antes que Descartes”

(Ricardo Cantoral Uriza, Rosa María Farfán Márquez: Desarrollo conceptual del cálculo, p.69)

Conoce los métodos de Vieta

Expresa en forma algebraica los trabajos de Diofanto y los de Apolonio.

El Último Teorema de Fermat

“Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias o, en general, cualquier potencia mayor que la segunda en dos potencias similares. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esto, pero este margen es demasiado pequeño y no cabe”

(Paulo Ribemboin: 13 Lectures on Fermat´s Last Theorem, p.1)

René Descartes (1596-1650)

Consideró que la geometría de

coordenadas se separaba de esquemas dominantes de la Antigüedad Clásica como en el Medioevo.

Tres pasos resumen su método de la geometría de coordenadas:

Se expresa un problema geométrico de manera algebraica.

Se resuelven las ecuaciones algebraicas del paso anterior.

Se realiza una construcción geométrica de los resultados arrojados por las soluciones de las ecuaciones algebraicas.

Las obras de Euclides(300a.C), de Apolonio (200a.C), los problemas de la trisección del angulo, la cuadratura del circulo y los problemas mencionados por Pappus(350d.C) fueron los que inspiraron a Descartes en su investigación.

El Problema de Pappus

H

C

GBAE

D

R

F

S

T

α

β

γ

x

c

a

y

b

F

D

B C

A

E

α

γ

x

u

y

F

B C

A

E

Renato Descartes 1637

BibliografíaA. Ruiz.; “Historia y filosofía de la

matemáticas”, EUNED, 2003. E. Hairer-G. Warnner., “Analysis by Its

History”, Springer, 2008.R. Cantoral, R.Farfán., “Desarrollo

conceptual del cálculo”,Thomson,2004.Geral Holton., “Introducción a los

conceptos y teorías de las ciencias”, Reverté, 1987.

Paulo Ribemboin., “13 Lectures on Fermat´s Last Theorem”,Springer,1987.