Universidad de ValparaisoIngeniería AmbientalCálculo Diferencial e Integral

Guía de Trabajo 16Ecuaciones Diferenciales

Prof. Juan Carlos Morgado.1

1. Determine a solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables

(a)dy

dx= sin (5x)

Respuesta: y = C � 15 cos (5x)

(b) (1 + x) dy � ydx = 0Respuesta: y = c (1 + x)

(c) eydy

dt� t� t3 = 0

Respuesta: y = ln�14 t4 + 1

2 t2 + C

�(d) x

dy

dx� y = 2x2y

Respuesta: y = Cxex2

(e)�1 + y2

�dx+ xydy = 0

Respuesta: x2 + (xy)2 = c

(f) ey(1 + x2)dy � 2x(1 + ey)dx = 0

Respuesta:1 + ey

1 + x2= c

(g) xp1� y2dx+ y

p1� x2dy = 0

Respuesta:p1� x2 +

p1� y2 = c

(h) (ex + e�x)dy

dx= y2

Respuesta: y =2

c� 2 arctan (ex)

(i)�1 + x2 + y2 + x2y2

�dy � y2dx = 0

Respuesta: y � y�1 = arctan (x) + c

(j)dy

dx=xy + 3x� y � 3xy � 2x+ 4y � 8

Respuesta: y � 5 ln jy + 3j = x� 5 ln jx+ 4j+ c

2. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por (�1; 4) si la ecuación de la tangente a la curva en dicho

punto es 2x� 6y + 9 = 0 y d2y

dx2= x2 � ln (x+ 2) en cualquier punto (x; y) de la curva.

1Este material se puede obtener desde http://www.mateuv.blogspot.com/

3. Si la tasa de cambio de la esperanza de vida L al nacer puede modelarse por:

dL

dt=

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2t+ 50

en donde t es el número de años a partir de 1940 y la esperanza de vida fue de 63 años en 1940.

Encuentre la esperanza de vida para las personas que nacieron en 2008.

4. Un grupo de biólogos estudió los efectos alimenticios en ratas a las que alimentó con una dieta en laque era 10% era proteína. La proteína consistió en levadura y harina de maíz. El grupo encontró encierto periodo, la razón de cambio aproximada del aumento del peso G (en gramos) de una rata, conrespecto al porcentaje P de la levadura en la mezcla proteínica fue:

dG

dP= � P

25+ 2;8p 2 [0; 100]

Si G = 38 cuando P = 10. Encuentre G

5. Supongamos que una población experimental de mosca de la fruta (P) tiene un ritmo de crecimientoproporcional a P.

Si hay 100 moscas al segundo día y 300 al cuarto día. Estimar ¿Cuántas moscas había al comienzo delexperimento?

6. La tasa de crecimiento de una inversi´on es proporcional al monto de la inversión, en cada instante t.

(a) Plantear y resolver la ecuación diferencial que modela la situación planteada.

(b) Encontrar la solución particular de (a) si la inversión inicial (capital inicial) es $1000 y 10 añosdespués el monto acumulado es de $3000.

7. La Ley de enfriamiento de Newton a�rma que la tasa de cambio de la temperatura de un objeto esproporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente que lo rodea. Suponer queuna habitación se mantiene a una temperatura constante de 70o y que un objeto se enfría de 350o a150o en 45 minutos. ¿Qué tiempo se necesitará para enfriar dicho objeto hasta una temperatura de80o?

8. Un termómetro se lleva al exterior de una casa donde la temperatura ambiente es de 70 grados Fahren-heit. Al cabo de 5 minutos, el termómetro registra 60 grados Fahrenheit y, 5 minutos después, registra54 grados Fahrenheit. ¿Cuál es la temperatura del exterior?

9. Las moléculas de una sustancia A se descomponen en moléculas más pequeñas. La velocidad dedescomposición es proporcional a la cantidad sustancia que no ha experimentado descomposición. Sila cantidad inicial de sustancia A era A0, calcular la constante de proporcionalidad si transcurridos 30días sólo queda la mitad de la cantidad inicial.

10. Midamos el tiempo en siglos, y supongamos que la población se duplica cada siglo, y que la poblaciónen el siglo XVI era 1.000.000 de personas.

(a) ¿Cuál es la ecuación que regula el crecimiento de la población?

(b) ¿Cuál será la población en la mitad del siglo XXII?

11. Si una habitación se mantiene a temperatura constante de 70� F y un objeto que estaba a 350� F pasaa 150� F en 45 minutos, ¿qué tiempo se necesita para que el objeto adquiera una temperatura de 80�

F?

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12. Un método para frenar el crecimiento de una población de insectos sin usar pesticidas es el de introducirmachos estériles en la población. Si P representa el número de insectos hembras, S el número de machosestériles que entran cada generación y R la tasa natural de crecimiento de la población, entonces lapoblación de hembras se relacionan con la variable t, de tiempo por

t =R P + S

P [(R� 1)P � S]dP:

Suponga que la población de insectos con 10000 hembras crece a razón de r = 0:10 y 900 machosestériles son agregados.

Evalúe la integral para dar una ecuación que relacione población de hembras y tiempo.

13. Suponga que la población P de bacterias en un cultivo al tiempo t cambia a una razón proporcional aP 2 � P . Asuma que P 2 � P > 0. Encuentre la función P (t) sabiendo que al inicio hay 1000 bacteriasy a los 5 minutos hay 500.

14. Se coloca un objeto con una temperatura de 90 grados Fahrenheit en un medio con una temperaturade 60 grados. Diez minutos después, el objeto se ha enfriado a 80 grados Fahrenheit. ¿Cuál será latemperatura del cuerpo después de estar en este ambiente durante 20 minutos? ¿En cuánto tiempollegará a 65 grados Fahrenheit la temperatura del cuerpo?

15. Un detective de la Policia de Investigaciones, mientras pasea por una calle a 22� C, encuentra uncadáver cuya temperatura es de 35� C. Si al cabo de una hora su temperatura ha descendido a 33� C,y suponiendo que en el momento de la muerte la temperatura del cuerpo era de 37� C, ¿a qué hora seprodujo el crimen?

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