1. INGENIERA MECNICAESTTICADECIMOSEGUNDA EDICINR. C. HIBBELER12/1/09 6:13:41 PM

2. C00 EST_HEBBELER Prel.indd ii11/19/09 2:44:47 AM 3. Prefijos SI MltiploForma exponencial 91 000 000 000 1 000 000 1 00010 106 103PrefijoSmbolo SIgiga mega kiloG M kmili micro nanomSubmltiplo 0.001 0.000 001 0.000 000 00110 10 103 6 9nFactores de conversin (FPS) a (SI) CantidadUnidad de medicin (FPS)Fuerza Masa Longitudlb slug pieEs igual aUnidades de medicin (SI) 4.4482 N 14.5938 kg 0.3048 mFactores de conversin (FPS) 1 pie 1 mi (milla) 1 kip (kilolibra) 1 tonC00 EST_HEBBELER Prel.indd i12 pulgadas 5280 pies 1000 lb 2000 lb11/19/09 2:44:46 AM 4. C00 EST_HEBBELER Prel.indd ii11/19/09 2:44:47 AM 5. INGENIERA MECNICAESTTICA DECIMOSEGUNDA EDICINRUSSELL C. HIBBELERTRADUCCINJess Elmer Murrieta Murrieta Maestro en investigacin de operaciones Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Morelos REVISIN TCNICAFelipe de Jess Hidalgo Cavazos Departamento de Ingeniera Mecnica Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus MonterreyPrentice Hall Mxico Argentina Brasil Colombia Costa Rica Chile Ecuador Espaa Guatemala Panam Per Puerto Rico Uruguay VenezuelaC00 EST_HEBBELER Prel.indd iii11/19/09 2:44:47 AM 6. HIBBELER, R. C. Ingeniera mecnica - Esttica Decimosegunda edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2010 ISBN: 978-607-442-561-1 rea: Ingeniera Formato: 20 25.5 cmPginas: 672Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering mechanics: Statics, 12th edition, by Russell C. Hibbeler, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright 2010. All rights reserved. ISBN 978013607790-9 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Engineering mechanics: Statics, 12a edicin, por Russell C. Hibbeler, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright 2010. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Editor:Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: luis.cruz@pearsoned.com Editor de desarrollo: Bernardino Gutirrez Hernndez Supervisor de produccin: Enrique Trejo HernndezDECIMOSEGUNDA EDICIN, 2010 D.R. 2010 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-442-561-1 ISBN E-BOOK: 978-607-442-661-8 PRIMERA IMPRESIN Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 13 12 11 10Prentice Hall es una marca dewww.pearsoneducacion.comC00 EST_HEBBELER Prel.indd ivISBN: 978-607-442-561-111/19/09 2:44:47 AM 7. Al estudiante Con la esperanza de que este trabajo estimule un inters en la ingeniera mecnica y proporcione una gua aceptable para su comprensin.C00 EST_HEBBELER Prel.indd v11/19/09 2:44:47 AM 8. PREFACIO El propsito principal de este libro es proporcionar al estudiante una presentacin clara y completa de la teora y las aplicaciones de la ingeniera mecnica. Para alcanzar dicho objetivo, la obra se ha enriquecido con los comentarios y las sugerencias de cientos de revisores que se dedican a la enseanza, as como muchos de los alumnos del autor. Esta decimosegunda edicin ha sido mejorada significativamente en relacin con la anterior, por lo que se espera que tanto el profesor como el estudiante se beneficien en gran medida de estas mejoras.Caractersticas nuevas Problemas fundamentales. Se localizan justo despus de los problemas de ejemplo. Ofrecen a los estudiantes aplicaciones simples de los conceptos y, por ende, la oportunidad de desarrollar sus habilidades para resolver ciertas dificultades antes de intentar solucionar algunos de los problemas estndar que siguen. Estos problemas pueden considerarse como ejemplos extendidos puesto que todos tienen soluciones parciales y respuestas en la parte final del libro. De manera adicional, los problemas fundamentales ofrecen a los estudiantes un excelente medio para repasar antes de los exmenes; y pueden usarse tambin como una preparacin para el examen de certificacin en ingeniera, en Estados Unidos.Modificaciones al contenido. Cada seccin del texto se revis con cuidado y, en muchas reas, el material se desarroll de nuevo a fin de explicar de mejor manera los conceptos. Esto ha incluido agregar o cambiar varios de los ejemplos para dar ms nfasis a las aplicaciones de los conceptos importantes.Problemas conceptuales. A lo largo del texto, por lo general al final de cada captulo, se incluye una serie de problemas que involucran situaciones conceptuales relacionadas con la aplicacin de los principios de mecnica vistos en el captulo. Estos problemas de anlisis y diseo estn planteados para que los estudiantes razonen sobre una situacin de la vida real, en donde una fotografa ejemplifica el escenario. Los problemas pueden asignarse despus de que los estudiantes hayan desarrollado cierta experiencia en el tema. Fotografas adicionales. La relevancia de conocer el tema estudiado se refleja mediante las aplicaciones en el mundo real que se ilustran en ms de 60 fotografas nuevas y actualizadas a lo largo del libro. Estas fotografas se usan generalmente para explicar cmo se aplican los principios de mecnica en situaciones reales. En algunas secciones, las fotografas se utilizan para mostrar que los ingenieros deben crear primero un modelo idealizado para su anlisis, y despus proceder a dibujar un diagrama de cuerpo libre a partir de l con el fin de aplicar la teora.Problemas nuevos. En esta edicin se han agregado aproximadamente 800 problemas nuevos, 50% del total, incluyendo aplicaciones en biomecnica e ingeniera aeroespacial y petrolera. Asimismo, esta nueva edicin contiene alrededor de 17% ms problemas que la edicin anterior.C00 EST_HEBBELER Prel.indd vi11/19/09 2:44:48 AM 9. PREFACIOviiCaractersticas particulares Adems de las caractersticas nuevas que se acaban de mencionar, hay otras que destacan el contenido del texto, entre ellas las siguientes.Organizacin y enfoque. Cada captulo est organizado en secciones bien definidas que contienen una explicacin de temas especficos, problemas de ejemplo ilustrativos y conjuntos de problemas de tarea. Los temas dentro de cada seccin se colocan en subgrupos definidos por ttulos en letras negritas. El propsito de esto es presentar un mtodo estructurado para introducir cada nueva definicin o concepto y convertir al libro en una til y prctica referencia en repasos posteriores. Contenido del captulo. Cada captulo comienza con una ilustracin que muestra una aplicacin del tema a tratar, y una lista con vietas de los objetivos del captulo para proporcionar una visin general del material que se cubrir.nfasis en los diagramas de cuerpo libre. Al resolver problemas, es particularmente importante dibujar un diagrama de cuerpo libre, y por esa razn este paso se enfatiza a lo largo del libro. En particular, se dedican secciones y ejemplos especiales para mostrar cmo dibujar diagramas de cuerpo libre. Tambin se han agregado problemas de tarea especficos para desarrollar esta prctica. Procedimientos para el anlisis. Al final del primer captulo, se presenta un procedimiento general para analizar cualquier problema mecnico. Despus, este procedimiento se adapta para resolver problemas especficos a lo largo del libro. Esta caracterstica nica proporciona al estudiante un mtodo lgico y ordenado que puede seguir al aplicar la teora. Los problemas de ejemplo se resuelven utilizando este mtodo esquemtico a fin de clarificar su aplicacin numrica. Sin embargo, una vez que se tiene dominio de los principios relevantes y se ha obtenido confianza y juicio en el mtodo, el estudiante puede desarrollar sus propios procedimientos para la resolucin de problemas.Puntos importantes. Esta caracterstica proporciona un repaso o resumen de los conceptos ms importantes en cada seccin y resalta los puntos que deben observarse al aplicar la teora para la resolucin de problemas.Comprensin conceptual. Mediante el uso de las fotografas que se incluyen a lo largo del libro, se aplica la teora de una manera simplificada, a fin de ilustrar algunas de sus caractersticas conceptuales ms importantes e infundir el significado fsico de muchos de los trminos que se usan en las ecuaciones. Estas aplicaciones simplificadas aumentan el inters en el tema estudiado y preparan de mejor manera al estudiante para entender los ejemplos y resolver los problemas.Problemas de tarea. Adems de los problemas fundamentales y conceptuales que se mencionaron, el libro incluye problemas de otro tipo, como los que se describen a continuacin: Problemas de diagrama de cuerpo libre. Algunas secciones del libro contienen problemas introductorios que slo requieren dibujar el diagrama de cuerpo libre para una situacin especfica. Estas asignaciones harn que el estudiante conozca la importancia de dominar esta habilidad como un requisito para obtener una solucin completa de cualquier problema de equilibrio.C00 EST_HEBBELER Prel.indd vii11/19/09 2:44:48 AM 10. viiiPREFACIO Problemas generales de anlisis y diseo. La mayora de los problemas presentan situaciones reales en la prctica de la ingeniera. Algunos provienen de productos reales usados en la industria. Se espera que este realismo estimule el inters del estudiante en la ingeniera mecnica y ayude a desarrollar la habilidad de reducir cualquier problema de este tipo desde su descripcin fsica hasta un modelo o representacin simblica a la que se le puedan aplicar los principios de la mecnica. A lo largo del libro existe un balance aproximado de problemas que utilizan unidades SI o FPS. Adems, en todas las series se ha hecho un esfuerzo por ordenar los problemas de acuerdo con una dificultad creciente, excepto para los problemas de repaso al final de cada captulo, los cuales se presentan en orden aleatorio. Problemas de computadora. Se ha hecho un esfuerzo por incluir algunos problemas que pueden resolverse usando un procedimiento numrico ejecutado en una computadora de escritorio o bien en una calculadora de bolsillo. La intencin es ampliar la capacidad del estudiante para que utilice otras formas de anlisis matemtico sin sacrificar el tiempo, para enfocarse en la aplicacin de los principios de la mecnica. Los problemas de este tipo, que pueden o deben resolverse con procedimientos numricos, se identifican mediante un smbolo cuadrado (.) antes del nmero del problema. Al existir tantos problemas de tarea en esta nueva edicin, se han clasificado en tres categoras diferentes. Los problemas que se indican simplemente mediante un nmero tienen una respuesta al final del libro. Si el nmero del problema est precedido por una vieta (), adems de la respuesta se proporciona una sugerencia, una ecuacin clave o un resultado numrico adicional. Por ltimo, un asterisco (*) antes de cada nmero de problema indica que ste no tiene respuesta.Exactitud. Al igual que con las ediciones anteriores, la exactitud del texto y de las soluciones a los problemas ha sido verificada con profundidad por el autor y otros cuatro colaboradores: Scott Hendricks, Virginia Polytechnic Institute and State University; Karim Nohra, University of South Florida, Kurt Norlin, Laurel Tech Integrated Publishing Services; y Kai Beng, un ingeniero practicante, quien adems de revisar la exactitud proporcion sugerencias para el desarrollo del contenido.Contenido El libro est dividido en 11 captulos, en los que los principios se aplican primero en situaciones simples y despus en contextos ms complicados. En un sentido general, cada principio se aplica primero a una partcula, despus a un cuerpo rgido sujeto a un sistema de fuerzas coplanares, y por ltimo a un sistema de fuerzas tridimensional que acta sobre un cuerpo rgido. El captulo 1 comienza con una introduccin a la mecnica y un anlisis de las unidades. En el captulo 2 introduce las propiedades vectoriales de un sistema de fuerzas concurrentes. Despus, esta teora se aplica al equilibrio de una partcula en el captulo 3. El captulo 4 contiene un estudio general de los sistemas de fuerzas concentradas y distribuidas as como de los mtodos usados para simplificarlos. En el captulo 5 se desarrollan los principios del equilibrio de cuerpos rgidos y despus, en el captulo 6, se aplican a problemas especficos que involucran el equilibrio de armaduras, bastidores y mquinas; luego, en el captulo 7, estos principios se aplican al anlisis de fuerzas internas en vigas y cables. En el captulo 8 se analizan las aplicaciones a problemas que involucran fuerzas de friccin, y en el captulo 9 se estudian temas relacionados con el centro de gravedad y el centroide. Si el tiempo lo permite,C00 EST_HEBBELER Prel.indd viii11/19/09 2:44:48 AM 11. PREFACIOixtambin deben cubrirse las secciones que implican temas ms avanzados, los cuales se indican mediante estrellas (+). La mayora de estos temas estn incluidos en el captulo 10 (momentos de inercia) y en captulo 11 (trabajo virtual y energa potencial). Observe que este material tambin proporciona una referencia adecuada para los principios bsicos cuando stos se estudian en cursos ms avanzados. Por ltimo, el apndice A proporciona un repaso y una lista de frmulas matemticas necesarias para resolver los problemas del libro.Cobertura alternativa. A discrecin del profesor, algunas partes del material pueden presentarse en una secuencia diferente sin perder continuidad. Por ejemplo, es posible introducir el concepto de fuerza y todos los mtodos necesarios del anlisis vectorial al cubrir primero el captulo 2 y la seccin 4.2 (producto cruz). Asimismo, despus de cubrir el resto del captulo 4 (sistemas de fuerza y momento), se pueden estudiar los mtodos de equilibrio de los captulos 3 y 5.Reconocimientos El autor se ha empeado en escribir este libro de manera que resulte atractivo tanto para el estudiante como para el profesor. A travs de los aos, muchas personas han ayudado en su desarrollo y siempre estar agradecido por sus valiosos comentarios y sugerencias. En especial, deseo agradecer a las siguientes personas sus comentarios relativos a la preparacin de esta decimosegunda edicin. Yesh P. Singh, University of Texas-San Antonio Manoj Chopra, University of Central Florida Kathryn McWilliams, University of Saskatchewan Daniel Linzell, Penn State University Larry Banta, West Virginia University Manohar L. Arora, Colorado School of Mines Robert Rennaker, University of Oklahoma Ahmad M. Itani, University of Nevada Siento que hay unas pocas personas que merecen un reconocimiento particular. Vince OBrien, director del equipo de administracin del proyecto, y Rose Kernan, mi editora de produccin durante muchos aos, me dieron su impulso y apoyo. Francamente, sin su ayuda, esta edicin totalmente modificada y mejorada no hubiera sido posible. Adems, mi amigo y socio por largo tiempo, Kai Beng Yap, me fue de gran ayuda al revisar todo el manuscrito y preparar las soluciones para los problemas. A este respecto, tambin ofrezco un agradecimiento especial a Kurt Norlin de Laurel Tech Integrated Publishing Services. Agradezco la ayuda de mi esposa, Conny, y de mi hija, Mary Ann, quienes durante el proceso de produccin ayudaron con la lectura de pruebas y la escritura necesaria para preparar el manuscrito antes de su publicacin. Por ltimo, extiendo mi agradecimiento a todos mis alumnos y a los miembros del profesorado que se han tomado el tiempo de enviarme sus sugerencias y comentarios por correo electrnico. Como esta lista es demasiado larga, espero que aquellos que han proporcionado su ayuda de esta manera acepten este reconocimiento annimo. Estar muy agradecido con ustedes si me envan algn comentario o sugerencia, o si me hacen saber la existencia de problemas de cualquier tipo en relacin con esta edicin. Russell Charles Hibbeler hibbeler@bellsouth.netC00 EST_HEBBELER Prel.indd ix11/19/09 2:44:49 AM 12. xRECURSOS EN LNEA PARA LOS PROFESORESRecursos en lnea para los profesores (en ingls) Manual de soluciones para el profesor. Este suplemento proporciona soluciones completas apoyadas por instrucciones y figuras de los problemas. El manual de esta decimosegunda edicin se modific para mejorar su legibilidad y su exactitud se verific tres veces. Recursos para el profesor. Los recursos visuales para acompaar el texto se localizan en el sitio Web: www.pearsoneducacion.net/hibbeler. Es necesario contar con un cdigo de acceso y una contrasea para acceder a este sitio; contacte a su representante local de Pearson. Los recursos visuales incluyen todas las ilustraciones del texto, disponibles en diapositivas de PowerPoint y en formato JPEG. Soluciones en video. Las soluciones en video, desarrolladas por el profesor Edward Berger de la University of Virginia, se localizan en el sitio Web de este texto y ofrecen guas de soluciones paso a paso para los problemas de tarea ms representativos de cada seccin del texto. Haga un uso eficiente de las horas de clase y oficina mostrando a sus estudiantes los mtodos completos y concisos para resolver problemas, a los que pueden tener acceso en cualquier momento para estudiarlos a su propio ritmo. Los videos estn diseados como un recurso flexible que puede usarse cada vez que el profesor y el estudiante lo decidan. Los videos tambin son un valioso recurso para la autoevaluacin del estudiante puesto que puede detenerlos o repetirlos hasta verificar su comprensin, y trabajar a lo largo del material. Puede encontrar estos videos en www.pearsoneducacion.net/hibbeler siguiendo los vnculos hasta Engineering Mechanics: Statics, Twelfth Edition text.C00 EST_HEBBELER Prel.indd x11/19/09 2:44:49 AM 13. CONTENIDO 31 Principios generales3Equilibrio de una partcula 85 Objetivos del captulo 85Objetivos del captulo 3 3.11.1Mecnica 31.2Unidades de medicin 71.4El Sistema Internacional de Unidades 91.5Clculos numricos 101.63.2Diagrama de cuerpo libre 863.3Sistemas de fuerzas coplanares 893.4Sistemas de fuerzas tridimensionales 103Conceptos fundamentales 41.3Condiciones para el equilibrio de una partcula 85Procedimiento general para el anlisis 1242 Vectores fuerza17Resultantes de sistemas de fuerzas 117 Objetivos del captulo 117Objetivos del captulo 17 Escalares y vectores 172.2Suma vectorial de fuerzas 202.4Suma de un sistema de fuerzas coplanares 322.5Vectores cartesianos 432.6Suma de vectores cartesianos 462.7Vectores de posicin 562.8Vector fuerza dirigido a lo largo de una lnea 592.9Producto punto 69Momento de una fuerza, formulacin escalar 1174.2Producto cruz 1214.3Momento de una fuerza, formulacin vectorial 1244.4Principio de momentos 1284.5Momento de una fuerza con respecto a un eje especfico 1394.6Momento de un par 1484.7Simplificacin de un sistema de fuerza y par 1604.8Simplificacin adicional de un sistema de fuerza y par 170 Reduccin de una carga simple distribuida 183Operaciones vectoriales 182.34.14.92.1xiC00 EST_HEBBELER Prel.inddi11/19/09 2:44:49 AM 14. xiiCONTENIDO57Equilibrio de un cuerpo rgido 199Fuerzas internas329Objetivos del captulo 329Objetivos del captulo 199 5.1Condiciones para el equilibrio de un cuerpo rgido 1997.1Fuerzas internas desarrolladas en elementos estructurales 3295.2Diagramas de cuerpo libre 2017.25.3Ecuaciones de equilibrio 214Ecuaciones y diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante 3455.4Elementos de dos y tres fuerzas 2247.3Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flexionante 3545.5Diagramas de cuerpo libre 2377.4Cables 3655.6Ecuaciones de equilibrio 2425.7Restricciones y determinacin esttica 24368Anlisis estructural263FriccinObjetivos del captulo 263387Objetivos del captulo 3876.1Armaduras simples 2638.1Caractersticas de la friccin seca 3876.2Mtodo de nodos 2668.2Problemas que implican friccin seca 3926.3Elementos de fuerza cero 2728.3Cuas 4126.4Mtodo de secciones 2808.4Fuerzas de friccin sobre tornillos 4146.5Armaduras espaciales 2908.5Fuerzas de friccin sobre bandas planas 4216.6Bastidores y mquinas 2948.6Fuerzas de friccin en chumaceras de collarn, chumaceras de pivote y discos 4298.7Fuerzas de friccin en chumaceras lisas 4328.8Resistencia al rodamiento 434C00 EST_HEBBELER Prel.inddii11/19/09 2:44: 0 AM 15. xiiiCONTENIDO911Centro de gravedad y centroide 447Trabajo virtualObjetivos del captulo 447 9.1Centro de gravedad, centro de masa y el centroide de un cuerpo 4479.2Cuerpos compuestos 4709.3Resultante de una carga general distribuida 4939.5Presin de un fluido 494Objetivos del captulo 563Teoremas de Pappus y Guldinus 4849.456311.1Definicin de trabajo 56311.2Principio del trabajo virtual 56511.3Principio del trabajo virtual para un sistema de cuerpos rgidos conectados 56711.4Fuerzas conservadoras 57911.5Energa potencial 58011.6Criterio de la energa potencial para el equilibrio 58211.7Estabilidad de la configuracin del equilibrio 583Apndice A.10 Momentos de inerciaRepaso y expresiones matemticas 598511Objetivos del captulo 511 10.1Definicin de momentos de inercia para reas 51110.2Teorema de los ejes paralelos para un rea 512Problemas fundamentales Soluciones parciales y respuestas 60310.3Radio de giro de un rea 513Respuestas a problemas seleccionados 62010.4Momentos de inercia para reas compuestas 522ndice10.5Producto de inercia para un rea 53010.6Momentos de inercia para un rea con respecto a ejes inclinados 53410.7Crculo de Mohr para momentos de inercia 53710.8650Momento de inercia de masa 545C00 EST_HEBBELER Prel.inddiii11/19/09 2:44: 1 AM 16. C00 EST_HEBBELER Prel.inddi11/19/09 2:44: 1 AM 17. Crditos Captulo 1, El transbordador espacial Discovery despega de la plataforma de lanzamiento 39-1 en el Centro Espacial Kennedy, 31 de mayo de 2008 en Cabo Caaveral, Florida. El transbordador lleva consigo la unidad principal del laboratorio cientfico japons Kibo hacia la Estacin Espacial Internacional. Getty Images. Captulo 1 texto, Astronauta flotando en el espacio. Alamy Images sin derechos de autor. Captulo 2, Puente colgante Erasmus, Rotterdam, Holanda. Alamy Images. Captulo 3, Seccin prefabricada de un edificio que est siendo colocada en su lugar mediante una gran gra. Alamy Images. Captulo 4, Ingeniero que gira tornillos con una llave, acercamiento de las manos. Getty Images/Digital Vision. Captulo 5, Lancha salvavidas que est siendo elevada mediante una gra hidrulica mvil, Grimsby, Humberside, North Lincolnshire, Inglaterra, Reino Unido. Alamy Images. Captulo 6, Niebla elevndose sobre el agua, que pasa bajo un puente de armaduras Pratt de acero, en el Ro St. John River, New Brunswick, Canad en Perth Andover. Alamy Images. Captulo 7, Varillas de refuerzo encofradas en concreto. Russ C. Hibbeler. Captulo 8, Freno calibrador en una bicicleta. Alamy Images. Captulo 9, Torre de agua, Harmony, Condado Bluff, Minnesota. Alamy Images. Captulo 10, Estructura de acero en un sitio de construccin. Corbis Royalty Free. Captulo 11, Brazo de una gra. Getty Images Inc.Stone Allstock. Portada 1, Vigas metlicas de construccin empernadas. Getty Images Inc.Image Bank. Portada 2, Puente George Washington. Getty Images Inc. Tetra Images. Las imgenes restantes fueron proporcionadas por el autor.xvC00 EST_HEBBELER Prel.indd11/19/09 2:44: 2 AM 18. C00 EST_HEBBELER Prel.inddi11/19/09 2:44: 2 AM 19. INGENIERA MECNICAESTTICA DECIMOSEGUNDA EDICINC01 EST_HEBBELER.indd 111/19/09 2:45:15 AM 20. El diseo de este cohete y su torre de lanzamiento requieren un conocimiento bsico tanto de esttica como de dinmica, las cuales son el objeto de estudio de la ingeniera mecnica.C01 EST_HEBBELER.indd 211/19/09 2:45:15 AM 21. Principios generales1OBJETIVOS DEL CAPTULO Proporcionar una introduccin a las cantidades bsicas e idealizaciones de la mecnica. Dar un enunciado de las leyes de Newton del movimiento y la gravitacin. Revisar los principios para aplicar el sistema internacional de unidades (SI). Examinar los procedimientos estndar para realizar clculos numricos. Presentar una gua general para resolver problemas.1.1 Mecnica La mecnica es una rama de las ciencias fsicas que estudia el estado de reposo o movimiento de los cuerpos que estn sometidos a la accin de fuerzas. En general, esta materia puede dividirse a su vez en tres ramas: mecnica de cuerpos rgidos, mecnica de cuerpos deformables y mecnica de fluidos. En este libro estudiaremos la mecnica de cuerpos rgidos puesto que es un requisito bsico para el estudio de la mecnica de cuerpos deformables y la mecnica de fluidos. Adems, la mecnica de cuerpos rgidos es esencial para el diseo y el anlisis de muchos tipos de elementos estructurales, componentes mecnicos, o dispositivos electrnicos que pueden encontrarse en la prctica de la ingeniera. La mecnica de cuerpos rgidos se divide en dos reas: esttica y dinmica. La esttica estudia el equilibrio de los cuerpos, es decir, de aquellos que estn en reposo o se mueven a una velocidad constante; por su parte, la dinmica estudia el movimiento acelerado de los cuerpos. Podemos considerar la esttica como un caso especial de la dinmica, en el que la aceleracin es cero; sin embargo, la esttica merece un tratamiento aparte en la enseanza de la ingeniera porque muchos objetos se disean con la intencin de que permanezcan en equilibrio.C01 EST_HEBBELER.indd11/19/09 2:45:1 AM 22. 41CAPTULO 1PRINCIPIOS GENERALESDesarrollo histrico. La materia de esttica se desarroll desde los primeros tiempos de la historia porque sus principios pueden formularse con facilidad a partir de mediciones de geometra y fuerza. Por ejemplo, los escritos de Arqumedes (287-212 a. C.) tratan del principio de la palanca. Tambin se tiene registro de estudios sobre la polea, el plano inclinado y la llave de torsin en escritos antiguos en tiempos en que las necesidades de ingeniera se limitaban primordialmente a la construccin de edificios. Los principios de la dinmica dependen de una medicin exacta del tiempo, por tal razn esta materia se desarroll mucho despus. Galileo Galilei (1564-1642) fue uno de los primeros contribuyentes importantes a este campo. Su trabajo consisti en experimentos donde empleaba pndulos y cuerpos en cada. Sin embargo, fue Isaac Newton (16421727) quien realiz las contribuciones ms significativas en dinmica, entre las cuales est la formulacin de las tres leyes fundamentales del movimiento y la ley de la atraccin gravitacional universal. Poco despus de que estas leyes se postularon, notables cientficos como Euler, DAlembert, Lagrange y otros desarrollaron tcnicas importantes para su aplicacin.1.2 Conceptos fundamentales Antes de comenzar nuestro estudio de la ingeniera mecnica, es importante comprender el significado de ciertos conceptos y principios fundamentales.Cantidades bsicas. Las siguientes cuatro cantidades se utilizan en el estudio de la mecnica.Longitud. La longitud se usa para localizar la posicin de un punto en el espacio y por lo tanto describe el tamao de un sistema fsico. Una vez que se ha definido una unidad estndar de longitud, sta puede usarse para definir distancias y propiedades geomtricas de un cuerpo como mltiplos de esta unidad.Tiempo. El tiempo se concibe como una secuencia de eventos. Aunque los principios de la esttica son independientes del tiempo, esta cantidad tiene un papel importante en el estudio de la dinmica.Masa. La masa es una medicin de una cantidad de materia que se usa para comparar la accin de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atraccin gravitacional entre dos cuerpos y proporciona una medida de la resistencia de la materia a un cambio en su velocidad.Fuerza. En general, la fuerza se considera como un empujn o un jaln ejercido por un cuerpo sobre otro. Esta interaccin puede ocurrir cuando hay un contacto directo entre los cuerpos, como cuando una persona empuja una pared, o bien puede ocurrir a travs de una distancia cuando los cuerpos estn separados fsicamente. Entre los ejemplos del ltimo tipo estn las fuerzas gravitacionales, elctricas y magnticas. En cualquier caso, una fuerza se caracteriza por completo por su magnitud, direccin y punto de aplicacin.C01 EST_HEBBELER.indd 411/19/09 2:45:1 AM 23. 1.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALESIdealizaciones. Los modelos o idealizaciones se utilizan en mecnica a fin de simplificar la aplicacin de la teora. Aqu se considerarn tres idealizaciones importantes.51Partcula. Una partcula tiene masa, pero posee un tamao que puede pasarse por alto. Por ejemplo, el tamao de la Tierra es insignificante en comparacin con el tamao de su rbita; por lo tanto, la Tierra puede modelarse como una partcula cuando se estudia su movimiento orbital. Cuando un cuerpo se idealiza como una partcula, los principios de la mecnica se reducen a una forma bastante simplificada, puesto que la geometra del cuerpo no estar incluida en el anlisis del problema. Cuerpo rgido. Un cuerpo rgido puede considerarse como una combinacin de un gran nmero de partculas donde todas stas permanecen a una distancia fija entre s, tanto antes como despus de la aplicacin de una carga. Este modelo es importante porque las propiedades del material de todo cuerpo que se supone rgido, no tendrn que tomarse en cuenta al estudiar los efectos de las fuerzas que actan sobre dicho cuerpo. En la mayora de los casos, las deformaciones reales que ocurren en estructuras, mquinas, mecanismos, etctera, son relativamente pequeas, y el supuesto de cuerpo rgido resulta adecuado para el anlisis. Fuerza concentrada. Una fuerza concentrada representa el efecto de una carga que se supone acta en cierto punto de un cuerpo. Una carga puede representarse mediante una fuerza concentrada, siempre que el rea sobre la que se aplique la carga sea muy pequea en comparacin con el tamao total del cuerpo. Un ejemplo sera la fuerza de contacto entre una rueda y el suelo.ATres fuerzas actan sobre el gancho en A. Como todas estas fuerzas se encuentran en un solo punto, para cualquier anlisis de fuerzas se puede suponer que el gancho se representa como una partcula.C01 EST_HEBBELER.indd 5El acero es un material comn en ingeniera que no se deforma mucho bajo carga. Por lo tanto, esta rueda de ferrocarril puede considerarse como un cuerpo rgido sobre el que acta la fuerza concentrada del riel.11/19/09 2:45:17 AM 24. 61CAPTULO 1PRINCIPIOS GENERALESLas tres leyes del movimiento de Newton. La ingeniera mecnica est formulada con base en las tres leyes del movimiento de Newton, cuya validez se finca en la observacin experimental. Estas leyes se aplican al movimiento de una partcula cuando se mide a partir de un marco de referencia sin aceleracin. Las leyes se pueden establecer brevemente de la siguiente manera.Primera ley. Una partcula originalmente en reposo, o que se mueve en lnea recta con velocidad constante, tiende a permanecer en este estado siempre que la partcula no se someta a una fuerza no balanceada, figura 1-1a. F1F2 vF3 Equilibrio (a)Segunda ley. Una partcula sobre la que acta una fuerza no balanceada F experimenta una aceleracin a que tiene la misma direccin que la fuerza y una magnitud directamente proporcional a la fuerza, figura 1-1b.* Si se aplica F a una partcula de masa m, esta ley puede expresarse de manera matemtica como F ma(1-1) aFMovimiento acelerado (b)Tercera ley. Las fuerzas mutuas de accin y reaccin entre dos partculas son iguales, opuestas y colineales, figura 1-1c. fuerza de A sobre B FF ABfuerza de B sobre AAccin-reaccin (c)Fig. 1-1*Expresado de otra manera, la fuerza no balanceada que acta sobre la partcula es proporcional a la razn de cambio de la cantidad del momento lineal de dicha partcula.C01 EST_HEBBELER.indd11/19/09 2:45:17 AM 25. 71.3 UNIDADES DE MEDICINLey de la atraccin gravitacional de Newton. Poco despus de formular sus tres leyes del movimiento, Newton postul una ley que gobierna la atraccin gravitacional entre dos partculas cualesquiera. En forma matemtica,1(1-2) donde F fuerza de gravitacin entre las dos partculas G constante universal de gravitacin; de acuerdo con la evidencia experimental, G 66.73(1012) m3>(kg # s2) m1, m2 masa de cada una de las dos partculas r distancia entre las dos partculasPeso. De acuerdo con la ecuacin 1-2, dos partculas cualesquiera o cuerpos tienen una fuerza de atraccin (gravitacional) que acta entre ellos. Sin embargo, en el caso de una partcula localizada en la superficie de la Tierra, o cerca de ella, la nica fuerza gravitacional que tiene alguna magnitud significativa es la que existe entre la Tierra y la partcula. En consecuencia, esta fuerza, conocida como peso, ser la nica fuerza gravitacional que se considere en nuestro estudio de la mecnica. A partir de la ecuacin 1-2, es posible desarrollar una expresin aproximada para encontrar el peso W de una partcula que tiene una masa m1 m. Si se supone que la Tierra es una esfera que no gira, tiene densidad constante y una masa m2 MT , entonces si r es la distancia entre el centro de la Tierra y la partcula, tenemos WGmM TPara todo propsito prctico, el astronauta no tiene peso porque se encuentra muy lejos del campo gravitacional de la Tierra.r2Sea g GMT >r 2, entonces W mg(1-3)Por comparacin con F ma, podemos ver que g es la aceleracin debida a la gravedad. El peso de un cuerpo depende de r, por tal razn no es una cantidad absoluta. En vez de esto, su magnitud se determina con base en el lugar donde se hizo la medicin. Sin embargo, para la mayora de los clculos de ingeniera, g se determina al nivel del mar y a una latitud de 45, la cual se considera como la ubicacin estndar.1.3 Unidades de medicin Las cuatro cantidades bsicas longitud, tiempo, masa y fuerza no son independientes entre s; de hecho, estn relacionadas por la segunda ley del movimiento de Newton, F ma. Por esta razn, las unidades utilizadas para medir las cantidades bsicas no pueden seleccionarse todas de manera arbitraria. La igualdad F ma se mantiene slo si tres de las cuatro unidades, llamadas unidades base, estn definidas y la cuarta unidad se deriva de la ecuacin.C01 EST_HEBBELER.indd 711/19/09 2:45:18 AM 26. 8CAPTULO 1PRINCIPIOS GENERALES1 1 kg9.81 N (a)Unidades SI. El Sistema Internacional de Unidades, que se abrevia SI por el francs Systme International dUnits, es una versin moderna del sistema mtrico que ha recibido reconocimiento en todo el mundo. Como se muestra en la tabla 1-1, el sistema SI define la longitud en metros (m), el tiempo en segundos (s) y la masa en kilogramos (kg). La unidad de fuerza, llamada newton (N), se deriva de F ma. As, 1 newton es igual a la fuerza requerida para dar a 1 kilogramo de masa una aceleracin de 1 m>s2 (N kg # m>s2). Si el peso de un cuerpo localizado en la ubicacin estndar se debe determinar en newtons, entonces debe aplicarse la ecuacin 1-3. Aqu las mediciones dan g 9.806 65 m>s2; sin embargo, para los clculos, se usar el valor g 9.81 m>s2. Entonces, W mg1 slug(g 9.81 m>s2)(1-4)Por tanto, un cuerpo de 1 kg de masa tiene un peso de 9.81 N, un cuerpo de 2 kg pesa 19.62 N, etctera, segn la figura 1-2a.Uso comn en Estados Unidos. En el sistema de unidades 32.2 lb (b)Fig. 1-2de uso comn en Estados Unidos (FPS) la longitud se mide en pies (ft), el tiempo en segundos (s) y la fuerza en libras (lb), tabla 1-1. La unidad de masa, llamada slug, se deriva de F ma. De esta manera, 1 slug es igual a la cantidad de materia acelerada a 1 pie>s2 cuando se somete a una fuerza de 1 lb (slug lb # s2>pie). Por lo tanto, si las mediciones se hacen en la ubicacin estndar, donde g 32.2 pies>s2, entonces a partir de la ecuacin 1-3, 32.2 pies s2)((1-5)As, un cuerpo que pesa 32.2 lb tiene una masa de 1 slug, un cuerpo de 64.4 lb tiene una masa de 2 slugs, etctera, como en la figura 1-2b.TABLA 1-1Sistemas de unidadesNombreLongitudTiempoMasaFuerzaSistema Internacional de Unidades SImetrosegundokilogramonewton*mskgUso comn en Estados Unidos FPSpiesegundoslug*pieslibra lb*Unidad derivada.C01 EST_HEBBELER.indd 811/19/09 2:45:19 AM 27. 1.4 EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADESUnidades de conversin. En la tabla 1-2 se proporciona un conjunto de factores de conversin directa entre unidades FPS y unidades SI para las cantidades bsicas. Tambin, en el sistema FPS, recuerde que 1 pie 12 pulg, 5280 pies 1 mi (milla), 1000 lb 1 kip (kilo-libra) y 2000 lb 1 tonelada. TABLA 1-291Factores de conversinCantidadUnidad de medida (FPS)Fuerza Masa Longitudlb slug pieUnidad de medida (SI)Es igual a4.448 N 14.59 kg 0.304 8 m1.4 El Sistema Internacional de Unidades El sistema SI de unidades se usa de manera extensa en este libro puesto que est destinado a convertirse en el estndar mundial para realizar mediciones. Por lo tanto, a continuacin presentaremos algunas de las reglas para su uso, as como parte de su terminologa relevante para la ingeniera mecnica.Prefijos. Cuando una cantidad numrica es muy grande o muy pequea, las unidades usadas para definir su tamao pueden modificarse mediante el uso de un prefijo. En la tabla 1-3 se muestran algunos de los prefijos usados en el sistema SI. Cada uno representa un mltiplo o submltiplo de una unidad que, si se aplica de manera sucesiva, mueve el punto decimal de una cantidad numrica hacia cada tercera posicin.* Por ejemplo, 4 000 000 N 4 000 kN (kilo-newton) 4 MN (mega-newton), o 0.005 m 5 mm (mili-metro). Observe que el sistema SI no incluye el mltiplo deca (10) o el submltiplo centi (0.01), que forma parte del sistema mtrico. Excepto para algunas medidas de volumen y rea, el uso de estos prefijos debe evitarse en ciencia e ingeniera.TABLA 1-3Prefijos Forma exponencialMltiplo 1 000 000 000 1 000 000 1 000 Submltiplo 0.001 0.000 001 0.000 000 001PrefijoSmbolo SI109 106 103giga mega kiloG M k103 106 109mili micro nanom n*El kilogramo es la nica unidad base que se define con un prefijo.C01 EST_HEBBELER.indd 911/19/09 2:45:20 AM 28. 10CAPTULO 1PRINCIPIOS GENERALESReglas para su uso. A continuacin se presentan algunas reglas1importantes que describen el uso apropiado de los diferentes smbolos SI:Las cantidades definidas por varias unidades que son mltiplos de otras se separan mediante un punto para evitar la confusin con la notacin de prefijos, como se observa en N kg # m>s2 kg # m # s2. Asimismo, m # s significa metro-segundo (metro por segundo) en tanto que ms representa mili-segundo. La potencia exponencial de una unidad que tiene un prefijo se refie-re tanto a la unidad como a su prefijo. Por ejemplo, N2 (N)2 N# N. De igual manera, mm2 representa (mm)2 mm # mm. Con excepcin de la unidad base kilogramo, por lo general evite el uso de prefijos en el denominador de las unidades compuestas. Por ejemplo, no escriba N>mm, sino kN>m; asimismo, m>mg debe escribirse como Mm>kg.Cuando realice clculos, represente los nmeros en trminos de sus unidades base o derivadas mediante la conversin de todos los prefijos a potencias de 10. De esta manera, el resultado final podr expresarse con un solo prefijo. Incluso, despus del clculo es preferible mantener valores numricos entre 0.1 y 1000; de otra forma, debe elegirse un prefijo adecuado. Por ejemplo,1.5 Clculos numricos A menudo, el trabajo numrico en la prctica de la ingeniera se realiza mediante el uso de calculadoras porttiles y computadoras. Sin embargo, es importante que las respuestas a cualquier problema se expresen con una exactitud justificable y una cantidad apropiada de cifras significativas. En esta seccin analizaremos estos temas, junto con algunos otros aspectos importantes relacionados con los clculos en ingeniera.Homogeneidad dimensional. Los trminos de cualquier En ingeniera suelen emplearse computadoras para realizar diseos y anlisis avanzados.C01 EST_HEBBELER.indd 10ecuacin usada para describir un proceso fsico deben ser dimensionalmente homogneos; es decir, cada trmino debe expresarse en las mismas unidades. Siempre que ste sea el caso, todos los trminos de una ecuacin pueden combinarse si las variables se sustituyen por valores numricos. Por ejemplo, considere la ecuacin s vt at2, donde, en unidades SI, s es la posicin en metros, m; t es el tiempo en segundos, s; v es la velocidad en m>s, y a es la aceleracin en m>s2. Sin importar la forma en que se evale esta ecuacin, su homogeneidad dimensional se mantendr. En la forma establecida, cada uno de los tres trminos se , o al despejar a, a 2s>t2 expresa en metros 2v>t, cada uno de los trminos se expresa en unidades de m>s2 [m>s2, m>s2, (m>s)>s].11/19/09 2:45:21 AM 29. 1.5 CLCULOS NUMRICOSTenga en mente que los problemas de mecnica siempre implican la solucin de ecuaciones dimensionalmente homogneas; por lo tanto, este hecho se puede usar como una verificacin parcial de las manipulaciones algebraicas de una ecuacin.111Cifras significativas. El nmero de cifras significativas contenidas en cualquier nmero determina la exactitud de ste. Por ejemplo, el nmero 4981 contiene cuatro cifras significativas. Sin embargo, si hay ceros al final de un nmero entero, puede ser poco claro cuntas cifras significativas representa el nmero. Por ejemplo, 23 400 podra tener tres (234), cuatro (2340) o cinco (23 400) cifras significativas. Para evitar estas ambigedades usaremos la notacin de ingeniera para expresar un resultado. Lo anterior requiere que los nmeros se redondeen al nmero apropiado de dgitos significativos y despus se expresen en mltiplos de (103), como (103), (106) o (109). Por ejemplo, si 23 400 tiene cinco cifras significativas se escribe como 23.400(103), pero si slo tiene tres cifras significativas se escribe como 23.4(103). Si hay ceros al inicio de un nmero que es menor que uno, entonces los ceros no son significativos. Por ejemplo 0.00821 tiene tres cifras significativas. Con la notacin de ingeniera, este nmero se expresa como 8.21(103). De igual forma, 0.000582 puede expresarse como 0.582(103) o 582(106).Redondeo de nmeros. El redondeo de un nmero es necesario para que la exactitud del resultado sea la misma que la de los datos del problema. Como regla general, cualquier cifra numrica que termine en cinco o ms se redondea hacia arriba, y un nmero menor que cinco se redondea hacia abajo. Las reglas para redondear nmeros se ilustran de mejor manera con ejemplos. Suponga que el nmero 3.5587 debe redondearse a tres cifras significativas. Como el cuarto dgito (8) es mayor que 5, el tercer nmero se redondea hacia arriba a 3.56. De la misma manera, 0.5896 se convierte en 0.590 y 9.3866 en 9.39. Si redondeamos 1.341 a tres cifras significativas, como el cuarto dgito (1) es menor que 5, entonces obtenemos 1.34. Asimismo 0.3762 se convierte en 0.376 y 9.871 en 9.87. Hay un caso especial para cualquier nmero que tiene un 5 con ceros que lo siguen. Como regla general, si el dgito que precede al 5 es un nmero par, dicho dgito no se redondea hacia arriba. Si el dgito que precede al 5 es un nmero impar, ste se redondea hacia arriba. Por ejemplo 75.25 redondeado a tres cifras significativas se convierte en 75.2, 0.1275 se convierte en 0.128 y 0.2555 en 0.256.Clculos. Cuando se realiza una sucesin de clculos, se recomienda almacenar los resultados intermedios en la calculadora. En otras palabras, no redondee los clculos hasta expresar el resultado final. Este procedimiento mantiene la precisin a travs de la serie de pasos realizados hasta la solucin final. Por lo general, en este texto redondearemos las respuestas a tres cifras significativas puesto que la mayora de los datos en ingeniera mecnica, como medidas geomtricas y cargas, puede medirse de manera confiable con esta exactitud.C01 EST_HEBBELER.indd 1111/19/09 2:45:22 AM 30. 12CAPTULO 1PRINCIPIOS GENERALES1.6 Procedimiento general para el anlisis1La forma ms efectiva de aprender los principios de la ingeniera mecnica es resolver problemas. Para tener xito en ello, es importante siempre presentar el trabajo de una manera lgica y ordenada, como indica la siguiente serie de pasos: Lea el problema con cuidado y trate de correlacionar la situacin fsica real con la teora estudiada. Tabule los datos del problema y dibuje cualquier diagrama que sea necesario.Al resolver problemas, realice el trabajo de la manera ms limpia posible. La limpieza estimular el pensamiento claro y ordenado, y viceversa.Aplique los principios relevantes, por lo general en una forma matemtica. Cuando escriba ecuaciones, asegrese de que sean dimensionalmente homogneas. Resuelva las ecuaciones necesarias y exprese la respuesta con no ms de tres cifras significativas. Estudie la respuesta con juicio tcnico y sentido comn para determinar si parece razonable o no.Puntos importantes La esttica es el estudio de los cuerpos que estn en reposo o que se mueven con velocidad constante. Una partcula tiene masa pero posee un tamao que se puede pasar por alto. Un cuerpo rgido no se deforma bajo carga. Se supone que las cargas concentradas actan en un punto sobre un cuerpo. Las tres leyes del movimiento de Newton deben memorizarse. La masa es una medida de cantidad de materia que no cambia de una ubicacin a otra. El peso se refiere a la atraccin gravitacional de la Tierra sobre un cuerpo o una cantidad de masa. Su magnitud depende de la elevacin a la que se encuentra la masa. En el sistema SI, la unidad de fuerza, el newton, es una unidad derivada. El metro, el segundo y el kilogramo son unidades base. Los prefijos G, M, k, m, y n se usan para representar cantidades numricas grandes y pequeas. Es necesario conocer su tamao exponencial junto con las reglas para usar las unidades SI. Realice los clculos numricos con varias cifras significativas, y despus exprese la respuesta final con tres cifras significativas. Las manipulaciones algebraicas de una ecuacin se pueden revisar en parte al verificar que la ecuacin permanece dimensionalmente homognea. Es necesario conocer las reglas para redondear nmeros.C01 EST_HEBBELER.indd 1211/19/09 2:4 :22 AM 31. 1.6 PROCEDIMIENTO GENERAL PARA EL ANLISISEJEMPLO 1.1131Convierta 2 km>h a m>s, cunto es esto en pies>s? SOLUCIN Como 1 km 1000 m y 1 h 3600 s, los factores de conversin se ordenan de la siguiente manera, para que pueda aplicarse una cancelacin de unidades:Resp. De la tabla 1-2, 1 pie 0.3048 m. Entonces,Resp. NOTA:recuerde redondear la respuesta final a tres cifras significa-tivas.EJEMPLO 1.2 Convierta las cantidades 300 lb # s y 52 slug>pie3 a las unidades SI adecuadas. SOLUCIN Con la tabla 1-2, 1 lb 4.448 2 N.Resp. Como 1 slug 14.593 8 kg y 1 pie 0.304 8 m, entoncesResp.C01 EST_HEBBELER.indd 111/19/09 2:4 :2 AM 32. 141CAPTULO 1PRINCIPIOS GENERALESEJEMPLO 1.3 Evale cada una de las siguientes operaciones y exprese la respuesta en unidades SI con un prefijo adecuado: (a) (50 mN)(6 GN), (b) (400 mm)(0.6 MN)2, (c) 45 MN3>900 Gg. SOLUCIN Primero convierta cada nmero a unidades base, realice las operaciones indicadas y despus elija un prefijo adecuado. Inciso (a)NOTA:tenga en mente la convencin kN2 (kN)2 106 N2.Inciso (b)Tambin podemos escribirInciso (c)C01 EST_HEBBELER.indd 1411/19/09 2:4 :24 AM 33. PROBLEMAS15PROBLEMAS 1-1. Redondee los siguientes nmeros a tres cifras significativas: (a) 4.65735 m, (b) 55.578 s, (c) 4555 N y (d) 2768 kg. 1-2. Represente cada una de las siguientes combinaciones de unidades en la forma correcta del SI con un prefijo adecuado: (a) MN, (b) N>m, (c) MN>ks2 y (d) kN>ms. 1-3. Represente cada una de las siguientes cantidades en la forma correcta del SI con un prefijo adecuado: (a) 0.000431 kg, (b) 35.3(103) N y (c) 0.00532 km. *1-4. Represente cada una de las siguientes combinaciones de unidades en la forma correcta del SI: (a) Mg>ms, (b) N>mm y (c) mN>(kg # s). 1-5. Represente cada una de las siguientes combinaciones de unidades en la forma correcta del SI con un prefijo adecuado: (a) kN>s, (b) Mg>mN, (c) MN>(kg # ms). 1-6. Represente cada una de las siguientes expresiones con tres cifras significativas y escriba cada respuesta en unidades SI con un prefijo adecuado: (a) 45 320 kN, (b) 568(105) mm y (c) 0.005 63 mg. 1-7. Un cohete tiene una masa de 250(103) slugs en la Tierra. Especifique (a) su masa en unidades SI y (b) su peso en unidades SI. Si el cohete est en la Luna, donde la aceleracin debida a la gravedad es gL 5.30 pies>s2, utilice tres cifras significativas para determinar (c) su peso en unidades SI y (d) su masa en unidades SI. *1-8. Si un automvil viaja a 55 mi>h, determine su velocidad en kilmetros por hora y metros por segundo. 1-9. El pascal (Pa) es en realidad una unidad muy pequea de presin. Para demostrar esto, convierta 1 Pa 1 N>m2 a lb>pie2. La presin atmosfrica al nivel del mar es de 14.7 lb>pulg2. A cuntos pascales equivale esto? 1-10. Cul es el peso en newtons de un objeto que tiene una masa de: (a) 10 kg, (b) 0.5 g y (c) 4.50 Mg? Exprese el resultado con tres cifras significativas. Utilice un prefijo adecuado. 1-11. Realice cada una de las siguientes operaciones y exprese la respuesta con tres cifras significativas, utilice el sistema de unidades SI con un prefijo adecuado: (a) 354 mg(45 km)>(0.0356 kN), (b) (0.004 53 Mg)(201 ms) y (c) 435 MN>23.2 mm.C01 EST_HEBBELER.indd 11*1-12. El peso especfico (peso>volumen) del latn es de 520 lb>pie3. Determine su densidad (masa>volumen) en unidades SI. Utilice un prefijo adecuado. 1-13. Realice cada una de la siguientes conversiones con tres cifras significativas: (a) 20 lb # pie a N # m, (b) 450 lb>pie3 a kN>m3 y (c) 15 pies>h a mm>s. 1-14. La densidad (masa>volumen) del aluminio es de 5.26 slug>pie3. Determine su densidad en unidades SI. Emplee un prefijo adecuado. 1-15. El agua tiene una densidad de 1.94 slug>pie3. Cul es su densidad expresada en unidades SI? Exprese la respuesta con tres cifras significativas. *1-16. Dos partculas tienen una masa de 8 kg y 12 kg, respectivamente. Si estn separadas por una distancia de 800 mm, determine la fuerza de gravedad que acta entre ellas. Compare este resultado con el peso de cada partcula. 1-17. Determine la masa en kilogramos de un objeto que tiene un peso de (a) 20 mN, (b) 150 kN y (c) 60 MN. Exprese la respuesta con tres cifras significativas. 1-18. Evale cada una de las siguientes operaciones y exprese la respuesta en unidades SI con tres cifras significativas; utilice el prefijo adecuado: (a) (200 kN)2, (b) (0.005 mm)2 y (c) (400 m)3. 1-19. Utilice las unidades base del sistema SI para mostrar que la ecuacin 1-2 es dimensionalmente homognea y que da el valor de F en newtons. Determine con tres cifras significativas la fuerza gravitacional que acta entre dos esferas que se tocan una a la otra. La masa de cada esfera es de 200 kg y su radio es de 300 mm. *1-20. Realice cada una de las siguientes operaciones y exprese la respuesta con tres cifras significativas, en unidades SI y emplee un prefijo adecuado: (a) (0.631 Mm)>(8.60 kg)2 y (b) (35 mm)2(48 kg)3. 1-21. Calcule (204 mm)(0.00457 kg)>(34.6 N) con tres cifras significativas y exprese la respuesta en unidades SI con un prefijo apropiado.11/19/09 2:4 :2 AM 34. Esta torre de un puente se estabiliza mediante cables que ejercen fuerzas en los puntos de conexin. En el presente captulo mostraremos cmo expresar estas fuerzas en la forma de vectores cartesianos y cmo determinar la fuerza resultante.C02 EST_H BBELER.indd 111/19/09 2:45:5 AM 35. Vectores fuerza22OBJETIVOS DEL CAPTULO Mostrar cmo se suman las fuerzas y cmo se obtienen sus componentes con la ley del paralelogramo. Expresar una fuerza y su posicin en forma de un vector cartesiano y explicar cmo se determina la magnitud y la direccin del vector. Presentar el producto punto a fin de determinar el ngulo entre dos vectores o la proyeccin de un vector sobre otro.2.1 Escalares y vectores Todas las cantidades fsicas en ingeniera mecnica pueden medirse mediante escalares o vectores.Escalar. Un escalar es cualquier cantidad fsica positiva o negativa que se puede especificar por completo mediante su magnitud. La longitud, la masa y el volumen son ejemplos de cantidades escalares.Vector. Un vector es cualquier cantidad fsica que requiere tanto de magnitud como de direccin para su descripcin completa. En esttica, algunas cantidades vectoriales encontradas con frecuencia son fuerza, posicin y momento. Un vector se representa grficamente mediante una flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector y el ngulo entre el vector y un eje fijo define la direccin de su lnea de accin. La cabeza o punta de la flecha indica el sentido de direccin del vector, como se ve en la figura 2-1. En trabajos impresos, las cantidades vectoriales se representan mediante caracteres en negritas como A, mientras que la magnitud del vector se escribe con letras itlicas, A. Para trabajos manuscritos, casi siempre es conveniente denotar una cantidad vectorial con slo dibujar una flecha sobre el carcter, :. AC02 EST_H BBELER.indd 17Sentido MagnitudA u DireccinFig. 2-111/19/09 2:45:54 AM 36. 18CAPTULO 2VECTORES FUERZA2.2Operaciones vectorialesMultiplicacin y divisin de un vector por un escalar. Si 2A2AA 0.5 AMultiplicacin y divisin escalarFig. 2-2un vector se multiplica por un escalar positivo, su magnitud se incrementa en esa cantidad. Cuando se multiplica por un escalar negativo tambin cambiar el sentido de la direccin del vector. En la figura 2-2 se muestran ejemplos grficos de estas operaciones.Suma de vectores. Todas las cantidades vectoriales obedecen la ley del paralelogramo para la suma. A manera de ilustracin, los dos vectores componentes A y B de la figura 2-3a se suman para formar un vector resultante R A B mediante el siguiente procedimiento: Primero, una las colas de los componentes en un punto de manera que se hagan concurrentes, figura 2-3b.Desde la cabeza de B, dibuje una lnea paralela a A. Dibuje otra lnea desde la cabeza de A que sea paralela a B. Estas dos lneas se intersecan en el punto P para formar los lados adyacentes de un paralelogramo.La diagonal de este paralelogramo que se extiende hasta P forma R, la cual representa al vector resultante R A B, figura 2-3c.AAA R PBBBRAB (a)Ley del paralelogramo (c)(b)Fig. 2-3Tambin podemos sumar B a A, figura 2-4a, mediante la regla del tringulo, que es un caso especial de la ley del paralelogramo, donde el vector B se suma al vector A en una forma de cabeza a cola, es decir, se conecta la cabeza de A a la cola de B, figura 2-4b. La resultante R se extiende desde la cola de A hasta la cabeza de B. De la misma manera, R tambin se puede obtener al sumar A y B, figura 2-4c. Por comparacin, se ve que la suma vectorial es conmutativa; en otras palabras, los vectores pueden sumarse en cualquier orden, es decir, R A B B A.C02 EST_H BBELER.indd 1811/19/09 2:45:55 AM 37. 2.2 OPERACIONES VECTORIALESA19BAR R BAB2RABRBARegla del tringuloRegla del tringulo(b)(c)(a)Fig. 2-4Como un caso especial, si los dos vectores A y B son colineales, es decir, ambos tienen la misma lnea de accin, la ley del paralelogramo se reduce a una suma algebraica o suma escalar R A B, como se muestra en la figura 2-5.R AB RABSuma de vectores colinealesFig. 2-5Resta de vectores. La diferencia resultante entre dos vectores A y B del mismo tipo puede expresarse como R A B A (B) Esta suma de vectores se muestra de manera grfica en la figura 2-6. Puesto que la resta se define como un caso especial de la suma, las reglas de la suma de vectores tambin se aplican a la resta vectorial.B A R BAoRAB Ley del paralelogramoConstruccin triangularResta vectorialFig. 2-6C02 EST_H BBELER.indd 1911/19/09 2:45:5 AM 38. 20CAPTULO 2VECTORES FUERZA2.3La evidencia experimental ha mostrado que una fuerza es una cantidad vectorial ya que tiene una magnitud especfica, direccin y sentido, y que se suma de acuerdo con la ley del paralelogramo. Dos problemas comunes en esttica implican encontrar la fuerza resultante, conocer sus componentes, o descomponer una fuerza conocida en dos componentes. A continuacin describiremos cmo se resuelve cada uno de estos problemas mediante la aplicacin de la ley del paralelogramo.2F2F1Suma vectorial de fuerzasDeterminacin de una fuerza resultante. Las dos fuerzasFRcomponentes F1 y F2 que actan sobre el pasador de la figura 2-7a se pueden sumar para formar la fuerza resultante FR F1 F2, como se muestra en la figura 2-7b. A partir de esta construccin, o mediante el uso de la regla del tringulo, figura 2-7c, podemos aplicar la ley de los cosenos o la ley de los senos al tringulo, a fin de obtener la magnitud de la fuerza resultante y su direccin.La ley del paralelogramo debe usarse para determinar la resultante de las dos fuerzas que actan sobre el gancho.F1F1F1FR F2F2 FRvF2 FR F1 F2(a)(b)(c)Fig. 2-7Determinacin de las componentes de una fuerza. En F FuFv vuMediante el uso de la ley del paralelogramo, la fuerza F causada por el elemento vertical puede separarse en componentes que actan a lo largo de los cables de suspensin a y b.C02 EST_H BBELER.indd 20ocasiones es necesario separar una fuerza en dos componentes a fin de estudiar su efecto de jaln o de empuje en dos direcciones especficas. Por ejemplo, en la figura 2-8a, F debe separarse en dos componentes a lo largo de los dos elementos, definidos por los ejes u y v. Para determinar la magnitud de cada componente, primero se construye un paralelogramo, con lneas que inician desde la punta de F, una lnea paralela a u, y otra lnea paralela a v. Despus, estas lneas se intersecan con los ejes v y u para formar un paralelogramo. Las componentes de fuerza Fu y Fv se establecen simplemente al unir la cola de F con los puntos de interseccin en los ejes u y v, como aparece en la figura 2-8b. Despus, este paralelogramo puede reducirse a una figura geomtrica que representa la regla del tringulo, figura 2-8c. Con base en esto, se puede aplicar la ley de los senos para determinar las magnitudes desconocidas de las componentes.11/19/09 2:45:5 AM 39. 212.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZAS vv FF FvF Fv uu(a)2FuFu (b)(c)Fig. 2-8Suma de varias fuerzas. Si deben sumarse ms de dos fuerzas, pueden llevarse a cabo aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo para obtener la fuerza resultante. Por ejemplo, si tres fuerzas F1, F2, F3 actan en un punto O, figura 2-9, se calcula la resultante de dos cualesquiera de las fuerzas, digamos F1 F2, y luego esta resultante se suma a la tercera fuerza, dando la resultante de las tres fuerzas; es decir. FR (F1 F2)F3. La aplicacin de la ley del paralelogramo para sumar ms de dos fuerzas, como se muestra aqu, a menudo requiere de extensos clculos geomtricos y trigonomtricos para determinar los valores numricos de la magnitud y la direccin de la resultante. En vez de ello, los problemas de este tipo pueden resolverse con facilidad mediante el mtodo de las componentes rectangulares, el cual se explica en la seccin 2.4.F1 F2FRF2F1 F3OFig. 2-9FR F1 F2Checar bien esta figura? F2F1 F3La fuerza resultante FR sobre el gancho requiere la suma de F1 F2; despus, esta resultante se suma a F3.C02 EST_H BBELER.indd 2111/19/09 2:45:57 AM 40. 22CAPTULO 2VECTORES FUERZAProcedimiento para el anlisis Los problemas que implican la suma de dos fuerzas pueden resolverse como sigue:F1 FR2Ley del paralelogramo.F2 Las dos fuerzas componentes F1 y F2 de la figura 2-10a se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo, lo que produce una fuerza resultante FR que forma la diagonal del paralelogramo.(a)v Si una fuerza F debe separarse en componentes a lo largo de F uFv Fu Marque todas las magnitudes de fuerzas conocidas y desco-(b)Acbnocidas y los ngulos sobre el croquis; asimismo, identifique las dos incgnitas como la magnitud y la direccin de FR, o las magnitudes de sus componentes. B aC Ley de los cosenos: C A2 B2 2AB cos c Ley de los senos: A B C sen a sen b sen c (c)dos ejes u y v, figura 2-10b, entonces comience en la cabeza de la fuerza F y construya lneas paralelas a los ejes, para formar de esta manera el paralelogramo. Los lados del paralelogramo representan las componentes, Fu y Fv.Trigonometra. Dibuje de nuevo la mitad del paralelogramo para ilustrar la suma triangular de cabeza a cola de las componentes. A partir de este tringulo, la magnitud de la fuerza resultante puede determinarse con la ley de los cosenos, y su direccin mediante la ley de los senos. Las magnitudes de las dos componentes de fuerza se determinan a partir de la ley de los senos. Las frmulas se dan en la figura 2-10c.Fig. 2-10Puntos importantes Un escalar es un nmero positivo o negativo. Un vector es una cantidad que tiene magnitud, direccin y sentido. La multiplicacin o la divisin de un vector por, o entre, un escalar cambiar la magnitud del vector. El sentido del vector cambiar si el escalar es negativo. Como un caso especial, si los vectores son colineales, la resultante se forma mediante una suma algebraica o escalar.C02 EST_H BBELER.indd 2211/19/09 2:45:57 AM 41. 232.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZASEJEMPLO 2.1 La armella roscada de la figura 2-11a est sometida a dos fuerzas, F1 y F2. Determine la magnitud y la direccin de la fuerza resultante. 10AF2 150 N2150 N 65115 F1 100 N10FR360 2(65)152 115100 Nu 15 90 25 65(b) (a)SOLUCIN Ley del paralelogramo. El paralelogramo se forma al dibujar una lnea desde la cabeza de F1 que sea paralela a F2, y otra lnea desde la cabeza de F2 que sea paralela a F1. La fuerza resultante FR se extiende hacia el lugar donde estas lneas se intersecan en el punto A, figura 2-11b. Las dos incgnitas son la magnitud de FR y el ngulo u (teta).FRTrigonometra. A partir del paralelogramo, se construye el tringulo vectorial, figura 2-11c. Mediante la ley de los cosenos (100 N)2 10 000(150 N)2 22 500115 u f2(100 N)(150 N) cos 11530 000( 0.4226)15100 N(c)212.6 N213 N150 NResp.Fig. 2-11El ngulo u se determina al aplicar la ley de los senos, 150 N sen212.6 N sen 115sen150 N (sen 115) 212.6 N 39.8As, la direccin f (fi) de FR, medida desde la horizontal, es f 39.8 15.0 54.8Resp.NOTA: los resultados parecen razonables, puesto que la figura 2-11b muestra que FR tiene una magnitud ms grande que sus componentes y una direccin que se encuentra entre stas.C02 EST_H BBELER.indd 211/19/09 2:45:58 AM 42. 24CAPTULO 2VECTORES FUERZAEJEMPLO 2.2 Descomponga la fuerza horizontal de 600 lb que se muestra en la figura 2-12a en componentes que actan a lo largo de los ejes u y v, y determine las magnitudes de estas componentes. 2u uB Fu30 3030A600 lb FvFu3030 12030600 lb12012030 Fv600 lb (c)Cv(a)v(b)Fig. 2-12SOLUCIN El paralelogramo se construye al extender una lnea paralela al eje v, desde la cabeza de la fuerza de 600 lb hasta que interseca el eje u en el punto B, figura 2-12b. La flecha desde A hasta B representa Fu. Del mismo modo, la lnea que se extiende desde la cabeza de la fuerza de 600 lb dibujada en forma paralela al eje u interseca el eje v en el punto C, de donde se obtiene Fv. En la figura 2-12c se muestra la suma vectorial cuando se usa la regla del tringulo. Las dos incgnitas son las magnitudes de Fu y Fv. Al aplicar la ley de los senos,sen 120600 lb sen 30 1039 lbsen 30Resp.600 lb sen 30 600 lbResp.NOTA: el resultado para Fu muestra que en ocasiones una componente puede tener una mayor magnitud que la resultante.C02 EST_H BBELER.indd 2411/19/09 2:45:59 AM 43. 2.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZAS25EJEMPLO 2.3 Determine la magnitud de la fuerza componente F en la figura 2-13a y la magnitud de la fuerza resultante FR si FR est dirigida a lo largo del eje positivo y. 2 y y45F FR200 lb45F 30457545 60 30 200 lb 3060 200 lb(c)(b)(a)F45 FRFig. 2-13SOLUCIN En la figura 2-13b se muestra la ley del paralelogramo para la suma, y en la figura 2-13c la regla del tringulo. Las magnitudes de FR y F son las dos incgnitas. stas pueden determinarse mediante la aplicacin de la ley de los senos.sen 60200 lb sen 45 245 lbsen 75200 lb sen 45 273 lbC02 EST_H BBELER.indd 25Resp.Resp.11/19/09 2:4 :00 AM 44. 26CAPTULO 2VECTORES FUERZAEJEMPLO 2.4 Se requiere que la fuerza resultante que acta sobre la armella roscada de la figura 2-14a est dirigida a lo largo del eje positivo x y que F2 tenga una magnitud mnima. Determine esta magnitud, el ngulo u y la fuerza resultante correspondiente.2 F1 800 NF1 800 NF26060F1 800 NF2 u60 xxxFRFRuu 90F2 (a)(b)(c)Fig. 2-14SOLUCIN En la figura 2-14b se muestra la regla del tringulo para FR F1 F2. Como las magnitudes (longitudes) de FR y F2 no estn especificadas, entonces F2 puede ser en realidad cualquier vector cuya cabeza toque la lnea de accin de FR, figura 2-14c. Sin embargo, como se muestra en la figura, la magnitud de F2 es un mnimo o tiene la longitud ms corta cuando su lnea de accin es perpendicular a la lnea de accin de FR, es decir, cuando u 90Resp.Como la suma vectorial ahora forma un tringulo rectngulo, las dos magnitudes desconocidas se pueden obtener por trigonometra. FR (800 N)cos 60 400 N F2 (800 N)sen 60 693 NC02 EST_H BBELER.indd 2Resp. Resp.11/19/09 2:4 :01 AM 45. 272.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZASPROBLEMAS FUNDAMENTALES* F2-1. Determine la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la armella roscada y su direccin medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x.F2-4. Descomponga la fuerza de 30 lb en componentes a lo largo de los ejes u y v; adems, determine la magnitud de cada una de estas componentes.2v 30 lb15x304560u2 kN 6 kNF2-1 F2-4F2-2. Dos fuerzas actan sobre el gancho. Determine la magnitud de la fuerza resultante.F2-5. La fuerza F 450 lb acta sobre la estructura. Descomponga esta fuerza en componentes que actan a lo largo de los elementos AB y AC; adems, determine la magnitud de cada componente. 30AC 45 30450 lb 200 N40 500 NF2-2BF2-5 F2-3. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su direccin, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. yF2-6. Si la fuerza F debe tener una componente a lo largo del eje u con magnitud Fu 6 kN, determine la magnitud de F y la magnitud de su componente Fv a lo largo del eje v. u800 N F45105 x 30 v 600 NF2-3F2-6* Al final del libro se proporcionan soluciones parciales y respuestas a todos los problemas fundamentales.C02 EST_H BBELER.indd 2711/19/09 2:4 :01 AM 46. 28CAPTULO 2VECTORES FUERZAPROBLEMAS 2-1. Si u 30 y T 6 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la armella roscada y su 2 direccin medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. 2-2. Si u 60 y T 5 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la armella roscada y su direccin medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje positivo x.2-7. Si FB 2 kN y la fuerza resultante acta a lo largo del eje u positivo, determine la magnitud de la fuerza resultante y el ngulo u. *2-8. Si se requiere que la fuerza resultante acte a lo largo del eje u positivo y que tenga una magnitud de 5 kN, determine la magnitud requerida de FB y su direccin u. y2-3. Si la magnitud de la fuerza resultante debe ser de 9 kN dirigida a lo largo del eje x positivo, determine la magnitud de la fuerza T que acta sobre la armella roscada y su ngulo u.FA 3 kNxA u 30 yT uBu FBx 45Probs. 2-7/8 8 kNProbs. 2-1/2/3 *2-4. Determine la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la mnsula y su direccin, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje u positivo. 2-5. Resuelva la fuerza F1 en componentes a lo largo de los ejes u y v; adems, determine las magnitudes de estas componentes. 2-6. Resuelva la fuerza F2 en componentes a lo largo de los ejes u y v; adems, determine las magnitudes de estas componentes.2-9. La placa est sometida a las dos fuerzas A y B, como se muestra en la figura. Si u 60, determine la magnitud de la resultante de esas dos fuerzas y su direccin medida en el sentido de las manecillas del reloj desde la horizontal. 2-10. Determine el ngulo de u para conectar el elemento A a la placa, de manera que la fuerza resultante de FA y FB est dirigida horizontalmente hacia la derecha. Incluso, cul es la magnitud de la fuerza resultante? FA 8 kN uAF2 150 lbv 30 u30 45 F1 200 lbProbs. 2-4/5/6C02 EST_H BBELER.indd 2840 B FB 6 kNProbs. 2-9/1011/19/09 2:4 :02 AM 47. 292.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZAS 2-11. Si la tensin en el cable es de 400 N, determine la magnitud y la direccin de la fuerza resultante que acta sobre la polea. Este ngulo es el mismo ngulo u que forma la lnea AB sobre el bloque de escalera.2-15. Determine el ngulo de diseo f (0 f 90) entre las barras AB y AC, de manera que la fuerza horizontal de 400 lb tenga una componente de 600 lb que acta hacia arriba y a la izquierda, en la misma direccin que de B hacia A. Considere que u 30.y400 N2-14. Determine el ngulo de diseo u (0 u 90) para la barra AB de manera que la fuerza horizontal de 400 lb tenga una componente de 500 lb dirigida de A hacia C. Cul es la componente de fuerza que acta a lo largo del elemento AB? Considere f 40.302u 400 lb AxBu400 N ABfCProb. 2-11 Probs. 2-14/15*2-12. El dispositivo se usa para sustituir en forma quirrgica la rtula de la rodilla. Si la fuerza que acta a lo largo de la pierna es de 360 N, determine sus componentes a lo largo de los ejes x y y. 2-13. El dispositivo se usa para sustituir en forma quirrgica la rtula de la rodilla. Si la fuerza que acta a lo largo de la pierna es de 360 N, determine sus componentes a lo largo de los ejes x y y.y*2-16. Descomponga F1 en sus componentes a lo largo de los ejes u y v, y determine las magnitudes de estas componentes. 2-17. Descomponga F2 en sus componentes a lo largo de los ejes u y v, y determine las magnitudes de estas componentes.y v 10F1 250 Nx x 60F2 150 N30u30 105360 NProbs. 2-12/13C02 EST_H BBELER.indd 29Probs. 2-16/1711/19/09 2:4 :0 AM 48. 30CAPTULO 2VECTORES FUERZA2-18. El camin se va a remolcar con dos cuerdas. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actan en cada cuerda para desarrollar una fuerza resultante de 950 N dirigida a lo largo del eje x positivo. Considere que u 50.2-23. Si u 30 y F2 6 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la placa y su direccin medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.2-19. El camin se va a remolcar con dos cuerdas. Si la fuerza resultante debe ser de 950 N, dirigida a lo largo del 2 eje x positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actan en cada cuerda y el ngulo u de FB de manera que la magnitud de FB sea un mnimo. FA acta a 20 medidos desde el eje x, como se muestra en la figura.*2-24. Si la fuerza resultante FR est dirigida a lo largo de una lnea a 75 del eje x positivo, medidos en el sentido de las manecillas del reloj, y se sabe que la magnitud de F2 debe ser mnima, determine las magnitudes de FR y F2 y del ngulo u 90.y y F3 5 kN F2 ABFA 20xuu F1 4 kNFBxProbs. 2-18/19 *2-20. Si f 45, F1 5 kN, y la fuerza resultante es 6 kN dirigida a lo largo del eje y positivo, determine la magnitud requerida de F2 y su direccin u. 2-21. Si f 30 y la fuerza resultante debe ser de 6 kN y estar dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de F1 y F2 y el ngulo u si se requiere que F2 sea mnima. 2-22. Si f 30, F1 5 kN y la fuerza resultante debe estar dirigida a lo largo del eje y positivo, determine la magnitud de la fuerza resultante si F2 debe ser mnima. Incluso, qu son F2 y el ngulo u?Probs. 2-23/242-25. Dos fuerzas F1 y F2 actan sobre la armella roscada. Si sus lneas de accin estn separadas por un ngulo u y la magnitud de cada fuerza es F1 F2 F, determine la magnitud de la fuerza resultante FR y el ngulo entre FR y F1.F1 F1xy fu u F260Probs. 2-20/21/22C02 EST_H BBELER.indd0F2Prob. 2-2511/19/09 2:4 :0 AM 49. 312.3 SUMA VECTORIAL DE FUERZAS 2-26. El tronco de un rbol es remolcado por dos tractores A y B. Determine la magnitud de las dos fuerzas de remolque FA y FB si se requiere que la fuerza resultante tenga una magnitud FR 10 kN y est dirigida a lo largo del eje x. Considere que u 15. 2-27. Si la resultante FR de las dos fuerzas que actan sobre el tronco debe estar dirigida a lo largo del eje x positivo y tener una magnitud de 10 kN, determine el ngulo u del cable unido a B de modo que la fuerza FB en este cable sea mnima. Cul es la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situacin?2-30. Tres cadenas actan sobre la mnsula de forma que generan una fuerza resultante con una magnitud de 500 lb. Si dos de las cadenas estn sometidas a fuerzas conocidas, como se muestra en la figura, determine el ngulo u de la tercera cadena, medido en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de manera que la magnitud de la fuerza F en esta cadena sea mnima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y. Cul es la magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. La fuerza F acta en esta direccin.2yy300 lb FA 30A 30xuxFBu FBProbs. 2-26/27 *2-28. Se va a levantar una viga mediante dos cadenas. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actan sobre cada cadena para que desarrollen una fuerza resultante de 600 N dirigida a lo largo del eje y positivo. Considere que u 45. 2-29. La viga se va a levantar con dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB sobre cada cadena y el ngulo u de FB de manera que la magnitud de FB sea mnima. FA acta a 30 desde el eje y, como se muestra en la figura. y200 lbProb. 2-302-31. Tres cables jalan un tubo de forma que generan una fuerza resultante con magnitud de 900 lb. Si dos de los cables estn sometidos a fuerzas conocidas, como se muestra en la figura, determine el ngulo u del tercer cable de modo que la magnitud de la fuerza F en este cable sea mnima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y. Cul es la magnitud de F? Sugerencia: encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. yFBFA u600 lb30 45 Fxu x 30Probs. 2-28/29C02 EST_H BBELER.indd1400 lbProb. 2-3111/19/09 2:4 :04 AM 50. 32CAPTULO 2VECTORES FUERZA2.4Suma de un sistema de fuerzas coplanaresCuando una fuerza se descompone en dos componentes a lo largo de los ejes x y y, dichas componentes suelen denominarse componentes rectangulares. Para el trabajo analtico, podemos representar estos componentes en una de dos formas, mediante notacin escalar, o por notacin vectorial cartesiana.2Notacin escalar. Las componentes rectangulares de la fuerza F que se muestran en la figura 2-15a se encuentran al utilizar la ley del paralelogramo, de manera que F Fx Fy. Como estas componentes forman un tringulo rectngulo, sus magnitudes se pueden determinar a partir deyFFx F cos uFy sen uyuSin embargo, en vez de usar el ngulo u, la direccin de F tambin se puede definir mediante un pequeo tringulo de pendiente, como el que se muestra en la figura 2-15b. Como este tringulo y el tringulo sombreado ms grande son semejantes, la longitud proporcional de los lados dax Fx (a)yo bien Fx Fybx xc aFa cya F(b)o Fig. 2-15Aqu, la componente y es un escalar negativo puesto que Fy est dirigida a lo largo del eje y negativo. Es importante tener en mente que esta notacin escalar positiva y negativa se usa slo para propsitos de clculo, no para representaciones grficas en las figuras. A lo largo de este libro, la cabeza de un vector representado por una flecha en cualquier figura indica el sentido del vector grficamente; los signos algebraicos no se usan para este fin. As, los vectores en las figuras 2-15a y 2-15b se designan mediante el uso de notacin (vectorial) en negritas*. Siempre que se escriban smbolos cursivos cerca de flechas vectoriales en las figuras, stos indicarn la magnitud del vector, la cual siempre es una cantidad positiva. *Los signos negativos se usan en figuras con notacin en negritas slo cuando se muestran pares de vectores iguales pero opuestos, como en la figura 2-2.C02 EST_H BBELER.indd211/19/09 2:4 :05 AM 51. 332.4 SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARESNotacin vectorial cartesiana. Tambin es posible representar las componentes x y y de una fuerza en trminos de vectores unitarios cartesianos i y j. Cada uno de estos vectores unitarios tiene una magnitud adimensional de uno, y por lo tanto pueden usarse para designar las direcciones de los ejes x y y, respectivamente, figura 2-16.* Como la magnitud de cada componente de F es siempre una cantidad positiva, la cual est representada por los escalares (positivos) Fx y Fy, entonces podemos expresar F como un vector cartesiano.y j Fx FxF F xi Fy j1i1i2 33yF2j 2iiFig. 2-16Resultantes de fuerzas coplanares. Podemos utilizar cualquiera de los dos mtodos para determinar la resultante de varias fuerzas coplanares. Para hacer esto, cada fuerza se divide primero en sus componentes x y y, y luego las componentes respectivas se suman con lgebra escalar puesto que son colineales. La fuerza resultante se forma entonces al sumar las componentes resultantes mediante la ley del paralelogramo. Por ejemplo, considere las tres fuerzas concurrentes de la figura 2-17a, que tienen las componentes x y y mostradas en la figura 2-17b. Al usar notacin vectorial cartesiana, cada fuerza se representa primero como un vector cartesiano, es decir, F1 F2 F32FyF1jxjPor lo tanto, la resultante vectorial es FF1F2 i1( (F3 j1122)iF3 (a)(3i2)i(j13 2i3j3)j)jF2ySi se utiliza notacin escalar, entonces tenemos ( () )y12 23F2xF1x F3x31F1yEstos resultados son iguales a los de las componentes i y j de FR que se determinaron anteriormente.xF3y (b)Fig. 2-17*Por lo general, en trabajos manuscritos los vectores unitarios se indican con un acento circunflejo, por ejemplo, i y j . Estos vectores tienen una magnitud adimensional de una unidad, y su sentido (o la cabeza de su flecha) se describir analticamente mediante un signo de ms o menos, dependiendo de si apuntan a lo largo del eje x o y positivo o negativo.C02 EST_H BBELER.indd11/19/09 2:4 :0 AM 52. 34CAPTULO 2VECTORES FUERZAPodemos representar en forma simblica las componentes de la fuerza resultante de cualquier nmero de fuerzas coplanares mediante la suma algebraica de las componentes x y y de todas las fuerzas, esto es, y2(2-1) FRyFR ux FRx(c)Una vez que se determinen estas componentes, pueden bosquejarse a lo largo de los ejes x y y con un sentido de direccin adecuado, y la fuerza resultante puede determinarse con base en una suma vectorial, como se muestra en la figura 2-17. Despus, a partir de este bosquejo, se encuentra la magnitud de FR por medio del teorema de Pitgoras; es decir,Fig. 2-17 22Asimismo, el ngulo u, que especifica la direccin de la fuerza resultante, se determina por trigonometra:tan1Los conceptos anteriores se ilustran de forma numrica en los siguientes ejemplos.Puntos importantes y La resultante de varias fuerzas coplanares puede determinarse fcilmente si se establece un sistema coordenado x, y y las fuerzas se descomponen a lo largo de los ejes. F4 La direccin de cada fuerza est especificada por el ngulo queF3forma su lnea de accin con uno de los ejes, o por medio de un tringulo de pendiente.F2 F1 xLa fuerza resultante de las fuerzas de los cuatro cables que actan sobre la mnsula de apoyo puede determinarse al sumar algebraicamente y por separado las componentes x y y de la fuerza de cada cable. Esta resultante FR produce el mismo efecto de jaln sobre la mnsula que los cuatro cables.C02 EST_H BBELER.indd4 La orientacin de los ejes x y y es arbitraria, y sus direcciones positivas pueden especificarse mediante los vectores unitarios cartesianos i y j. Las componentes x y y de la fuerza resultante son simplemente la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas coplanares. La magnitud de la fuerza resultante se determina mediante el teorema de Pitgoras, y cuando las componentes se bosquejan sobre los ejes x y y, la direccin puede determinarse por trigonometra.11/19/09 2:4 :08 AM 53. 352.4 SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARESEJEMPLO 2.5 Determine las componentes x y y de F1 y F2 que actan sobre la barra mostrada en la figura 2-18a. Exprese cada fuerza como un vector cartesiano.y F1 200 N2 30SOLUCIN Notacin escalar. Por la ley del paralelogramo, F1 se descompone en sus componentes x y y, figura 2-18b. Como F1x acta en la direccin x y F1y acta en la direccin y, tenemos F1x 200 sen 30 N 100 N 100 N d12F2 260 NResp.F1y 200 cos 30 N 173 N 173 N cx 135Resp.(a) yLa fuerza F2 se divide en sus componentes x y y como se muestra en la figura 2-18c. Aqu se indica la pendiente de la lnea de accin para la fuerza. A partir de este tringulo de pendiente podramos 5 obtener el ngulo u, por ejemplo, tan 1(12) y luego proceder a determinar las magnitudes de las componentes de la misma manera que para F1. Sin embargo, un mtodo ms fcil consiste en usar partes proporcionales de tringulos semejantes, es decir, 2260 N12 132260 N12 13F1 200 NF1y 200 cos 30 N 30 xF1x 200 sen 30 N (b)240 N yDel mismo modo,2260 N5 13100 NObserve que la magnitud de la componente horizontal, F2x, se obtuvo al multiplicar la magnitud de la fuerza por la razn del cateto horizontal del tringulo de pendiente dividido entre la hipotenusa; mientras que la magnitud de la componente vertical, F2y, se obtuvo al multiplicar la magnitud de la fuerza por la razn del cateto vertical dividido entre la hipotenusa. Por lo tanto, F2x 240 N 240 N SResp.F2y 100 N 100 N TF2x 260 12 N 13( (x135125 F2y 260 N 13( (F2 260 N (c)Fig. 2-18Resp.Notacin vectorial cartesiana. Una vez determinadas las magnitudes y direcciones de las componentes de cada fuerza, podemos expresar cada fuerza como un vector cartesiano. F1 {100i 173j} N F2 {240i 100j} NC02 EST_H BBELER.indd5Resp. Resp.11/19/09 2:4 :10 AM 54. 36CAPTULO 2VECTORES FUERZAEJEMPLO 2.6 y2F1 600 NF2 400 NLa armella que se muestra en la figura 2-19a est sometida a las dos fuerzas F1 y F2. Determine la magnitud y la direccin de la fuerza resultante.45SOLUCIN I30x(a)Notacin escalar. Primero resolvemos cada fuerza en sus componentes x y y, figura 2-19b, luego sumamos estas componentes algebraicamente. ;y600 cos 30 N400 sen 45 N236.8 N F1 600 NF2 400 N 45;600 sen 30 N400 cos 45 N582.8 N30xLa fuerza resultante, que se muestra en la figura 2-19c, tiene una magnitud de(b)(236.8 N)2(582.8 N)2 Resp.629 NyA partir de la suma vectorial,FR582.8 Ntan1582.8 N 236.8 N67.9Resp.u x 236.8 NSOLUCIN II(c)Notacin vectorial cartesiana. A partir de la figura 2-19b, cada fuerza se expresa primero como un vector cartesiano.Fig. 2-19F1600 cos 30iF2400 sen 45i600 sen 30j N 400 cos 45j NEntonces, FF1F2(600 cos 30 N400 sen 45 N)i(600 sen 30 N 236.8i400 cos 45 N)j582.8j NLa magnitud y la direccin de FR se determinan de la misma manera que antes. al comparar los dos mtodos de solucin, observe que el uso de la notacin escalar es ms eficiente puesto que las componentes pueden encontrarse directamente, sin tener que expresar primero cada fuerza como un vector cartesiano antes de sumar las componentes. Sin embargo, despus mostraremos que el anlisis con vectores cartesianos es muy conveniente para la resolucin de problemas tridimensionales.NOTA:C02 EST_H BBELER.indd11/22/09 10:01:08 AM 55. 372.4 SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARESEJEMPLO 2.7 El extremo de la barra O mostrada en la figura 2-20a est sometido a tres fuerzas coplanares concurrentes. Determine la magnitud y la direccin de la fuerza resultante. 2yF3 200 NF2 250 N4553 4xF1 400 N(a)SOLUCIN Cada fuerza se divide en sus componentes x y y, como se muestra en la figura 2-20b. Al sumar las componentes x, tenemos ;400 N 383.2 N250 sen 45 N2004 5N383.2 NEl signo negativo indica que FRx acta hacia la izquierda, es decir, en la direccin x negativa, como lo indica la flecha pequea. Obviamente, esto ocurre porque F1 y F3 en la figura 2-20b contribuyen con un mayor jaln a la izquierda que el jaln de F2 hacia la derecha. Al sumar las componentes y se obtiene ;250 cos 45 N2003 5y250 N 200 N45 3N5 4296.8 N La fuerza resultante, como se muestra en la figura 2-20c, tiene una magnitud de ( 383.2 N)2(b)(296.8 N)2485 NyResp.FR 296.8 NA partir de la suma vectorial mostrada en la figura 2-20c, el ngulo director u es tan1296.8 383.237.8Resp.NOTA: la aplicacin de este mtodo es ms conveniente que el uso de las dos aplicaciones de la ley del paralelogramo, donde primero se suma F1 y F2 para despus sumar F3 a su resultante.C02 EST_H BBELER.indd7x400 Nu 383.2 Nx(c)Fig. 2-2011/19/09 2:4 :15 AM 56. 38CAPTULO 2VECTORES FUERZAPROBLEMAS FUNDAMENTALES F2-7. Descomponga cada fuerza que acta sobre el pilote en sus componentes x y y. 2F2-10. Si la fuerza resultante que acta sobre la mnsula debe ser de 750 N y estar dirigida a lo largo del eje x positivo, determine la magnitud de F y su direccin u.y F1 300 NF2 450 Ny F3 600 N5325 N 13412F5345 xu x 45F2-7600 NF2-8. Determine la magnitud y la direccin de la fuerza resultante. y250 N 53F2-11. Si la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la mnsula debe ser de 80 lb y estar dirigida a lo largo del eje u, determine la magnitud de F y su direccin u.400 N4F2-1030y xF300 N ux 50 lb45 590 lbF2-8 F2-9. Determine la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la repisa, as como su direccin u medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x.4u3F2-11F2-12. Determine la magnitud de la fuerza resultante, as como su direccin u medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.y y F3 600 lb 4F2 400 lb5 3F1 15 kNF1 700 lb5330F2 20 kN 543F3 15 kN4x xF2-9C02 EST_H BBELER.indd8F2-1211/19/09 2:4 :18 AM 57. 392.4 SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARESPROBLEMAS *2-32. Determine la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre el pasador, as como su direccin medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.yF1 30 lb2-35. El punto de contacto entre el fmur y la tibia de la pierna se encuentra en A. Si se aplica una fuerza vertical de 175 lb en este punto, determine las componentes a lo largo de los ejes x y y. Observe que la componente y representa la fuerza normal sobre la regin que soporta carga en los huesos. Tanto la componente x como la componente y ocasionan que el lquido sinovial se exprima y salga del espacio de soporte.2y 45x15175 lbF2 40 lb 15 F3 25 lbA12Prob. 2-32135xProb. 2-35 2-33. Si F1 600 N y f 30, determine la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la armella y su direccin medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.*2-36. Si f 30 y F2 3 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la placa y su direccin u medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.2-34. Si la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la armella es de 600 N y su direccin medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo es u 30, determine la magnitud de F1 y del ngulo f.2-37. Si la magnitud para la fuerza resultante que acta sobre la placa debe ser de 6 kN y su direccin medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo es u 30, determine la magnitud de F2 y su direccin f. 2-38. Si f 30 y la fuerza resultante que acta sobre la placa de refuerzo est dirigida a lo largo del eje x positivo, determine las magnitudes de F2 y la fuerza resultante.yyF1 4 kNF1 30F2f x f 605x43F3 450 NF2 500 N 53 4Probs. 2-33/34C02 EST_H BBELER.indd9F3 5 kNProbs. 2-36/37/3811/19/09 2:4 :18 AM 58. 40CAPTULO 2VECTORES FUERZA2-39. Determine la magnitud de F1 y su direccin u de manera que la fuerza resultante est dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 800 N. *2-40. Determine la magnitud y la direccin, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actan 2 sobre el anillo A. Considere F1 500 N y u 20.F1 u 3*2-44. Si la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la mnsula es de 400 lb y est dirigida a lo largo del eje x positivo, determine la magnitud de F1 y su direccin f. 2-45. Si la fuerza resultante que acta sobre la mnsula debe estar dirigida a lo largo del eje x positivo y se requiere que la magnitud de F1 sea mnima, determine las magnitudes de la fuerza resultante y F1.y 600 N2-43. Si f 30 y F1 250 lb, determine la magnitud de la fuerza resultante que acta sobre la mnsula y su direccin medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.400 N5 430yxF1A fx35 413 12F2 300 lb5Probs. 2-39/40F3 260 lb2-41. Determine la magnitud y la direccin u de FB de manera que la fuerza resultante est dirigida a lo largo del eje y positivo y tenga una magnitud de 1500 N.Probs. 2-43/44/452-42 Determine la magnitud y el ngulo medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje y positivo, de la fuerza resultante que acta sobre la mnsula, si FB 600 N y u 20.2-46. Las tres fuerzas concurrentes que actan sobre la armella producen una fuerza resultante FR 0. Si F2 2 F1 3 y F1 debe estar a 90 de F2 como se muestra en la figura, determine la magnitud requerida de F3, expresada en trminos de F1 y del ngulo u.y y F1FBFA 700 N30AB u60 xx 30F2uF3Probs. 2-41/42C02 EST_H BBELER.indd 40Prob. 2-4611/19/09 2:4 :19 AM 59. 412.4 SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES 2-47. Determine la magnitud de FA y su direccin u de manera que la fuerza resultante est dirigida a lo largo del eje x positivo y tenga una magnitud de 1250 N.2-50. Se aplican tres fuerzas a la mnsula. Determine el rango de valores de la magnitud de la fuerza P para los cuales la resultante de las tres fuerzas no excede 2400 N.*2-48. Determine la magnitud y la direccin, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el e