INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO EUROAMERICANO

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRALDIAPOSITIVAS:

CAPITULO IIIDERIVACIÓN

NOMBRE:

COCHEA GONZABAY ANTHONY

MATERIA:CALCULO

PROFESOR:ING. JOFFER VAZQUEZ DEL ROSARIO

Capitulo IIIDerivación

1.-Introducción.Este capitulo vamos a investigar como varias el valor de una función al variar la variable independiente. El problema fundamental del Calculo diferencial es el de establecer con toda presión una medida de variación .

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2.-Incremento,El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la defenecías que se obtiene restado el valor inicial del valor final

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3.-Comparación de incremento,Consideramos la función y=X2 .Supongamos que tiene X tiene un valor inicial fijo y le damos después de un incremento Δx. Entonces y tomara un incremento correspondiente Δy, y tendremos

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4.-Derivada de una función de una variable.La Derivada * de una función limite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este teniendo a cero. Cuando el limite de esa razón existe, se dice que la función es derivable o que tiene derivada. La definición puede darse mediante símbolos, en la forma siguiente;

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5.-Simbolo para representar las derivadasPuesto que Δy y Δx son siempre cantidades finitas y tienen valores definido, la expresión es una verdadera fracción. Pero el símbolo ha de mirarse no como una función, sino como el valor limite de una fracción. En muchas casos veremos que este símbolo si tiene propiedades de fracción, y mas adelante demostraremos el significado que puede atribuirse de dy y dx, pero, por ahora, el símbolo ha considerarse como un conjunto.

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6.-Funciones derivablesDe la teoría de los limites se deduce que si existe la derivada de una función para cierto valor de la variable independiente, la función misma debe ser continua para aquel valor de la variable. Sim embrego, la reciproca no es siempre cierta: se han descubierto funciones que son continuas y, a pesar de eso, no tiene derivada .

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7.-Regla general para la derivación La derivada de una función se define como el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando tiende a cero.

Para encontrar la derivada de una función se utiliza la Regla General para la Derivación que consta de cuatro pasos:

Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y “Y” por (Y + ΔY).

Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la función original, obteniendo únicamente Δy ( incremento de la función ).

Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de la función ) entre Δx ( incremento de la variable independiente).

Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de la variable independiente ) tiende a cero.

La regla general se puede representar a través de la siguiente ecuación

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8.-Interpretación geométrica de la derivada Las derivadas pueden y de hecho son aplicadas para interpretar objetos geométricos, de estos se pueden sacar tangentes en base a las abscisas presentadas.La derivada  de una función en un punto puede explicarse como la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.Lo anterior nos permite utilizar la formula que a continuación les mostramos, la cual es utilizada para calcular la tangente a f(x) en el punto de abcisa x=aSi alteramos la formula desplazando a f´(a) al denominador podemos obtener la recta normal (perpendicular):