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Integración numerica método de Simpsom
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Considérese la función integrando f(x), cuya gráfica está entre los extremos x0 = a y x2 = b, si hay otro punto a la mitad x1 = (x0+ x2)/2 como se muestra en la figura. Si utilizamos un polinomio de lagrange P2(x) de segundo grado como una aproximación de f(x):
)()()(
)()()(
)()()()(
12022
21011
201002 xxxx
xfxxxx
xfxxxx
xfxP−
⋅−
+−
⋅−
)()()()()()( 102021 xxxxxxxxxxxx −−−−+
−⋅
−=
−−
El área bajo este polinomio será una aproximación del área bajo la curva entre los límites a y b
Integrando este polinomio: f(x)
dxxxxx
xfxxxxxxb
⎥⎦
⎤−−
⋅
+−−⎡
)()(
)()
)()(
12
1
12
22
xxxx
xfxxxx
xxxx
xxxxfdxxf
xa
−−
+−−
⋅−−
−⋅
−⎢⎣
≅ ∫∫
)()(
)()()(
)()(
()()()(
02
02
21
2
01
0
010
10
0
Después de la integración y manipulación algebraicas, se obtiene la siguiente formula:
612a
)()(4)()()( 210 xfxfxf
xxdxxfb ++
−≅∫
))()(4)(()( 210 xfxfxfhdxxfb
++≅∫
x0 x2
f(x2)
3a
∫1
2/1)( dxxarcsen
Que es la conocida Regla de Simpson 1/3 Simple donde h = (b − a)/2. Geométricamente, la Regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. Ejemplo: Utilizar la regla de Simpson 1/3 simple para aproximar la integral
P(x)
x1
f(x0)
Regla de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) se puede obtener una estimación más exacta de la integral. El método consiste en usar polinomios de grado superior para aproximar la curva de la función y tomar las integrales bajo tales polinomios.
Solución:
4429715.012
365≈
−πLa solución exacta de esta integral es:
∫1
/1 2)( dxxarcsen ))2/1()4/3(4)1((
6)2/11( fff ++
−≅
4572203.0)5235988.08480621.05707963.1(121
=++≅
El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla del trapecio simple esta dado por:
Er = 100*⋅
−ppp
%22.31004429715.0
4572203.04429715.0≈⋅
−
El error de la estimación es menor que el obtenido con la Regla del Trapecio simple.
calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson 1/3. Dividiremos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, de manera que xi = a + ih, donde h = (b − a) / n para i = 0,1,...,n.
−1 1
−1
1
L++= ∫∫∫ 4
2
2
0)()()(
x
x
x
x
b
adxxfdxxfdxxf f(x)
∫−
+ n
n
x
xdxxf
2)(
Aplicando la regla de Simpson 1/3 en cada una de las integrales, obtenemos:
)(4)((3
))()(4)((3 32210 xfxfhhxfxfxfh
++++≅
))()(4)((3
))( 124 nnn xfxfxfhxf +++++ −−L a b
f(b) f(a)
Agrupando términos:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++≅ ∑∑∫
=−
−
=)()(4)(2)(
3)(
2/
112
12/
120 n
n
ii
n
ii
b
axfxfxfxfhdxxf
En el caso de que el intervalo [a, b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al
na 3
∫1
2/1)( dxxarcsen
xfxfxfxfabdxxf
n
n
ii
n
ii
b)()(4)(2)(
)()(
2/
112
12/
120 +++
−≅∑∑
∫ =−
−
=
Que es la conocida como la Regla del Trapecio múltiple o compuesta. Se debe utilizar un número par de divisiones para implementar el método. Ejemplo:
Utilizar la regla de Simpson 1/3 compuesta con n=4 subintervalos para aproximar
la integral
Solución:
125.04
=2/11−
=n
h −=
ab
∫1
)( dxxarcsen
P= {0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1}
2/1
++ )75.0(2)625.0( f+≅ 4)5.0((3125.0 ff
))1()875.0(4 ff ++ =0.4480329
La solución exacta de esta integral es:
4429715.012
365≈
−π
El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla de Simpson 1/3 compuesta esta dado por:
%14.11004429715.0
4480329.04429715.0100*≈⋅
−=⋅
−pppEr =
−1 1
−1
1
Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 3.22% hasta un 1.14%. Si aumentamos el valor de n obtendremos los siguientes resultados:
n Snumérica Er% 10 0.4442541593 0.2895500498 50 0.4430863307 0.02591491573
100 0.4430121240 0.009162891245 200 0.4429858860 0.003239711554 250 0.4429818040 0.002318207647 1000 .4429728180 0.0002896348633
Se ha obtenido una mejor aproximación al aumentar el número de subdivisiones.
