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INTEGRACIÓN POR PARTES

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• Cuando la integral no se pueda resolver por ninguno de los tres métodos anteriores o pudiendo hacerse no se vea claro el cambio de variable a emplear, se recurre a la integración por partes:

• Sea f(x).g(x) dx , en general.

• [ puede que f(x)= 1 , o que g(x)=1 ]

• f(x).g(x)dx = u. dv = u.v - v du• • f(x) = u f ’(x) dx = du• g(x) dx = dv g(x) dx = dv = v

• La segunda integral , v du , suele ser inmediata. • De no serlo, o nos hemos equivocado en los cambios de variables ( u y v) o

tendremos que volver a realizar otra integración por partes al ser la integral CÍCLICA.

INTEGRACIÓN POR PARTES

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• EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES

f(x).g(x)dx = u. dv = u.v - v du

• x• 1 - Calcular x e dx

• cambio de variables:• x = u dx = du ;• x x• e dx = dv e dx = v• x x x x• quedándonos I = x.e - e dx = x.e - e + C•

• 2. Calcular L x dx.• cambio de variables: Lx = u 1/x dx = du ; • dx = dv dx = v

• quedándonos I = Lx .x - x . 1/x dx = Lx . x - dx = Lx . x - x + C

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• EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES

f(x).g(x)dx = u. dv = u.v - v du

• 3 - Calcular x2 ex dx•

cambio de variables:

• x2 = u 2x dx = du ;• ex dx = dv ex dx = ex = v

• quedándonos I = x2 ex - 2x ex dx

• Calculamos 2x ex dx.

• cambio de variables: 2x = u 2 dx = du ; • ex dx = dv ex dx = ex = v

• quedándonos I = x2 ex - [ 2x. ex - 2 ex dx ] = • = x2 ex - 2x. ex + 2 ex + k

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• EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES

f(x).g(x)dx = u. dv = u.v - v du

• 4 - Calcular x2 sen x dx•

cambio de variables:

• x2 = u 2x dx = du ;• sen x dx = dv sen x dx = - cos x = v

• quedándonos I = - x2 cos x - - 2x cos x dx

• Calculamos - 2x cos x dx.

• cambio de variables: - 2x = u - 2 dx = du ; • cos x dx = dv cos x dx = sen x = v

• quedándonos I = - x2 cos x - [ - 2x sen x - - 2 sen x dx ] = • = - x2 cos x + 2x. sen x + 2 cos x + k

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• INTEGRAL CÍCLICA• x• Calcular sen x .e dx f(x).g(x)dx = u. dv = u.v - v du

• Veamos sen x dx = dv v = sen x dx = - cos x + C• x x• e = u du = e dx • x x x x• I = e (- cos x ) - - cos x . e dx = - e . cos x + e . cos x dx

• Nueva integración por partes:

• Veamos cos x dx = dv v = cos x dx = sen x + C• x x• e = u du = e dx • x x x• I = - e . cos x + e sen x - e . sen x dx • x x• 2. I = e ( sen x – cos x ) , luego I = e ( sen x – cos x ) / 2