Logica

UNIDAD IVMétodo de Deducción

PRUEBA DE VALIDEZ

• El razonamiento lógico se aplica en todas las actividades humanas, en las actividades cotidianas:– Cuando defendemos nuestros puntos de vista– Al intentar convencer a alguien de alguna ideaPara esto necesitamos usar los argumentos lógicos

en forma coherente y solo así seremos atendidos

Técnicas de la tabla de verdad

• Para esto debemos utilizar las proposiciones condicionales, en donde el conjunto de premisas forman el antecedente y la conclusión el consecuente.

• Si el resultado es tautología se considera un razonamiento válido de lo contrario será invalido.


• Ejemplo• Si la tierra es un planeta, entonces no posee

luz propia. La tierra es un planeta. Por lo tanto no posee luz propia.1. Procedemos a representar la oración en forma

simbólica


• La tierra es un planeta………. P• La tierra no posee luz propia ….. ¬ q– Si la tierra es un planeta, entonces no posee luz

propia P → ¬ q


• La conclusión se identifica a través de los términos “por lo tanto” , “Por consiguiente”. La conclusión se separa de las premisas a través del símbolo “ ” que significa “Luego o ∴por lo tanto”, “En conclusión”, “En donde”


• Se estructura la proposición condicional, cuyo antecedente es la conjunción de las premisas y el consecuente es la conclusión:

• (p → ¬ q) p → ¬ q ∧• ANTECEDENTE CONSECUENTE

Técnicas de la tabla de verdadp q ¬ q p → ¬ q (p → ¬ q) p ∧ (p → ¬ q) p → ¬ q ∧

v v f f f v

v f v v v v

f v f v f v

f f v v f v


• Conclusión:• Es un razonamiento válido puesto que la tabla

de verdad resulto ser tautológica.


Presentacion 2.

Reglas de Inferencia

• La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.

• Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión.

• Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.


• Inductiva (de lo particular a lo general) • Ejemplo– Un joven le dice a un amigo, tu todos los días dices

mentiras, y el contesta, no es cierto, ayer en todo el día no dije una sola mentira.

• la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se puede asegurar que la conclusión sea verdadera en general.


• Deductiva (de lo general a lo particular) • Ejemplo– se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluimos

que el día de hoy que está lloviendo hay nubes.• Es deductiva cuando tenemos un caso que analiza

todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una posible situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo es.


• La inferencia deductiva es la única aceptada como válida en matemáticas y computación para hacer comprobaciones y sacar conclusiones.


• Transductiva (de particular a particular o de general a general)

• Ejemplo• Un maestro que llega tarde durante los

primeros días y concluimos que el lunes siguiente también llegará tarde

• sería de particular a particular


• Abductiva es semejante a la deductiva, también utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar.

• Ejemplo • si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se

sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, es necesario conocer más información para poder verificar la validez.

Reglas de Inferencia deductiva

• Modo Ponendo Pones (MPP)• Afirmar afirmando• Ejemplo• Si tengo apendicitis, entonces me deben

extraer el apéndice y tengo apendicitis, entonces me deben extraer el apéndice

Modo Ponendo Pones (MPP)

• Si tengo apendicitis, entonces me deben extraer el apéndice p → q

• Tengo apendicitis p• Entonces me deben extraer el apéndice

p → qpq

Modo Ponendo Pones (MPP)

• Identifica las premisas y la conclusión de• Si x = 2, entonces x2 = 4, mediante la

argumentación MPP

Modus Tollendo tollens (MTT)

• Negar Negando• Se niega el consecuente entonces se niega la

conclusión• Ejemplo• Si tengo apendicitis, entonces me deben

extraer el apéndice y no me deben extraer el apéndice , entonces no tengo apendicitis

Modus Tollendo tollens (MTT)

• Si tengo apendicitis, entonces me deben extraer el apéndice p → q

• No me deben extraer el apéndice ¬ q • Entonces no tengo apendicitis ¬ p

p → ¬ q¬ q ¬ p

MODUS TOLLENDO PONENS (TP)

• Cuando podemos elegir cualquiera de dos enunciados unidos por una disyunción, pero ambos no pueden ser falsos.

• TP significa negando afirmo.• Ejemplo– He ido al cine o me he ido de compras, no he ido

de compras por tanto, he ido al cine

MODUS TOLLENDO PONENS (TP)

• He ido al cine o me he ido de compras p V q • No he ido de compras ¬q • Por tanto, he ido al cine p

p V q¬qp

SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)

• si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia.

• El patrón de razonamiento consta de dos premisas condicionales. La consecuencia es otra proposición condicional

• A esta ley se le llama también la regla de la cadena

SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)

• Ejemplo• Si dos rectas son perpendiculares, entonces se

intersecan y si dos rectas se intersecan, entonces no son paralelas por lo que concluimos que si dos rectas son perpendiculares, entonces no son paralelas

SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)• Si dos rectas son perpendiculares, entonces se

intersecan p → q• si dos rectas se intersecan, entonces no son

paralelas q → ¬ r• si dos rectas son perpendiculares, entonces no

son paralelas p→ ¬ rp → q

q → ¬ rp→ ¬ r

SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)

• Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción en la cual sus miembros son los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serán los consecuentes de las dos implicaciones.

SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)

• Ejemplo• Si llueve, entonces las calles se mojan y Si la

tierra tiembla, los edificios se caen, como Llueve o la tierra tiembla, entonces Las calles se mojan o los edificios se caen

SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)• Si llueve, entonces las calles se mojan p → q • Si la tierra tiembla, los edificios se caen r → s • Llueve o la tierra tiembla p V r • Las calles se mojan o los edificios se caen q V s

p → q r → s p V r q V s

SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD)

• Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.


• Ejemplo• Helado de fresa o helado de vainilla y Si tomas

helado de fresa, entonces repites o Si tomas helado de fresa, entonces repites entonces repites


Helado de fresa o helado de vainilla p V q Si tomas helado de fresa, entonces repites p → r Si tomas helado de vainilla, entonces repites q → rLuego, repites r

p V qp → r q → r

r

Presentación 3.

Reglas de Reemplazo

Reglas de Reemplazo

• Cuando tenemos una premisa que es equivalente a la conclusión

• Por ejemplo• Si 4+3 = 7, entonces 3+4 = 7• En las que las líneas de cierre son dobles

indicando que ambas fórmulas son equivalentes, es decir, pueden sustituirse directamente una por otra puesto que su conexión es un bicondicional

LEYES DE MORGAN (DM)

• Primera ley• Aplica esta ley para encontrar la negación de

las proposiciones compuestas que siguen.• Ejemplo• La negación de María vino y Juan se quedó

dormido es: María no vino o Juan no se quedó• dormido.


• La negación de : María vino y Juan se quedó¬(p Λ q)• es: María no vino o Juan no se quedó dormido.¬p V ¬q

¬(p Λ q)¬p V ¬q


• Segunda ley• Aplica esta ley para encontrar la negación de

las proposiciones compuestas que siguen• Ejemplo• La negación de: Luis llamó o Teresa salió es:

Luis no llamó y Teresa no salió.


• La negación de: Luis llamó o Teresa salió ¬(p V q) • es: Luis no llamó y Teresa no salió. ¬p Λ ¬q

¬(p V q)¬p Λ ¬q

DOBLE NEGACIÓN (DN)

• “p doblemente negada equivale a p”• ¬¬p ↔ p• Ejemplo• “No ocurre que Ana no es una estudiante”,

entonces Ana es una estudiante.

DOBLE NEGACIÓN (DN)

• No ocurre que Ana no es una estudiante ¬¬p • Entonces Ana es estudiante p

¬¬pp

Conmutación de la disyunción

• Es cambiar el orden de las proposiciones• Ejemplo• Es lunes o martes, luego es martes o lunes

Conmutación de la disyunción

• Es lunes o martes p V q• luego es martes o lunes q V p

p V qq V p

Conmutación de la conjunción

• Es cambiar el orden de las proposiciones• Ejemplo• Es el lunes y martes, luego es martes y lunes• Es el lunes y martes A /\ B• luego es martes y lunes B /\ A

A /\ BB /\ A

Asociativa de la conjunción AC.

• Es agrupar las proposiciones• Ejemplo • Hay clases el lunes, miércoles y viernes, Entonces hay clases el lunes y miércoles y el

viernes

Asociativa de la conjunción AC.

• Hay clases el lunes, miércoles y viernes, [A /\ (B /\ C)]

• Entonces hay clases el lunes y miércoles y el viernes [(A /\ B) /\ C]

[A /\ (B /\ C)] [(A /\ B) /\ C]

Asociativa de la disyunción AD.

• Agrupa a las disyunciones• Ejemplo• Ya sea el lunes o martes o miércoles luego es

lunes o martes o sino el miércoles

Asociativa de la disyunción AD.

• Ya sea el lunes o martes o miércoles [A \/ (B \/ C)]

• luego es lunes o martes o sino el miércoles [(A \/ B) \/ C]

[A \/ (B \/ C)][(A \/ B) \/ C]

Distributiva de la conjunción

• El producto de varios números no varia sustituyendo 2 o más factores por su producto.

• Ejemplo • a(c+d) = ac+ad

Distributiva de la conjunción

• a(c+d) [A /\ (B \/ C)]• = ac+ad [(A /\ B) \/ (A /\ C)]

[A /\ (B \/ C)][(A /\ B) \/ (A /\ C)]

Distributiva de la disyunción

• La suma de varios números no varia sustituyendo varios sumandos por su suma.

• Ejemplo• si a tiene 5 años, b 6 años y c 8 años, si sumamos la

edad de a con la suma de la edad de b con c: 5 años + (6 años + 8 años) = 5 +14 =19 años, el mismo resultado se obtiene si sumo primero las edades de a y b, la cual se indica incluyendo estas cantidades en un ( ) y a esta suma le añadimos la edad de c.

• (5 años + 6 años) + 8 años = 19 años

Distributiva de la disyunción

• si a tiene 5 años, b 6 años y c 8 años, si sumamos la edad de a con la suma de la edad de b con c: 5 años + (6 años + 8 años) = 5 +14 =19 años, [A \/ (B \/ C)]

• el mismo resultado se obtiene si sumo primero las edades de a y b, y luego se suma con la edad de c.

• (5 años + 6 años) + 8 años = 19 años [(A \/ B) \/ C][A \/ (B \/ C)][(A \/ B) \/ C]

Transposición

• Pasar los datos de un lado a otro lado de la igualdad

• Ejemplo • Si 6 es múltiplo de 3, entonces es divisible

dentro de 3 luego si 7 no es múltiplo de 3 entonces 7 no es divisible dentro de 3

Transposición

• Si 6 es múltiplo de 3, entonces es divisible dentro de 3 (A → B)

• luego si 7 no es múltiplo de 3 entonces 7 no es divisible dentro de 3 (¬B → ¬A)

(A → B)(¬B → ¬A)

Definición del implicador

• afirma que es equivalente afirmar que "si p es verdad, entonces q también debe ser verdad", y decir que "o p no es verdad, o q debe ser verdad".

• Ejemplo• Una implicación es verdadera cuando p es falsa

o cuando q es verdaderaA → B¬A \/ B

Equivalencia 1

• Dice que dos proposiciones son equivalentes si a implica a b y b implica a a

A ↔ B[(A → B) /\ (B → A)

Equivalencia 2

• Dos proposiciones son equivalentes si la primera y la segunda son diferentes a la negación de la primera y la negación de la segunda

A ↔ B[(A /\ B) \/ (¬A /\ ¬B)

Exportación

• De una conjunción podemos implicar otra proposición

• Ejemplo• Estudias y haces las tareas entonces ganaras el

grado luego si estudias entonces haces tus taras y entonces ganaras el grado

[(A /\ B) → C][A → (B → C)]

Identidad

• Este principio establece que todo objeto es idéntico a sí mismo

• Ejemplo• (a + b)2 = a2 +2ab +b2

AA

Tautología

• Repetición de un mismo pensamiento a través de distintas expresiones

• Por ejemplo• Puede confirmar que el acusado es culpable ya

que vi el asesinato con mis propios ojosA

(A \/ A)

Education

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