1. 1. MAPAS DE PROGRESO DEL APRENDIZAJEMATEMTICA: GeometraConstruye y establece relaciones pertinentes en la resolucin de situaciones problemticasde formas, movimientos y la localizacin de los cuerpos, empleando relaciones geomtricas,diseo de formas y usando diversos recursos y herramientas.
2. 2. MATEMTICA:Geometra
3. 3. Directorio:Peregrina Morgan Lora (Presidenta)Jorge Castro LenLiliana Miranda MolinaAnglica Montan LoresCarlos Rainusso YezComisin Directiva Estndares de AprendizajePatricia Andrade PacoraLiliana Miranda MolinaPeregrina Morgan LoraCoordinacin Tcnica:Vernica Alvarado BonhoteEquipo Tcnico Responsable:IPEBA - PROGRAMA ESTNDARES DE APRENDIZAJECoordinacin GeneralCecilia Zevallos Atoche (Coordinadora General)Alfredo Altamirano IzquierdoLilian Isidro CmacAsesora NacionalJessica Tapia SorianoEquipo de MatemticaCecilia Zevallos AtochePilar Butrn CasasLilian Isidro CmacPatricia Paz HuamnAsesor de MatemticaClaudio Tapia FuentesMINISTERIO DE EDUCACINDireccin General de Educacin Bsica RegularMara Isabel Daz MaguiaGabriela Rodrguez CabezudoPedro Collanqui DazDireccin de Educacin Superior PedaggicaAna Mara Barboza VegaDireccin General de Educacin Intercultural, Bilinge y RuralMarta Villavicencio UbillsUnidad de Medicin de la Calidad EducativaCarlos Baca PachecoPercy Merino RosarioComisin de ExpertosTeresa Arellano Badosrsula Asmad FalcnAntonieta Ramrez de FerroMara Elena Marcos NichoGuillermo Garca FigueroaHecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per N 2013-11912ISBN 978-612-46406-4-3Diseo: Rubn ColoniaTiraje: 13 000 ejemplaresLima, setiembre de 2013Impresin: Centro de Produccin Editorial e Imprenta de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (CEPREDIM) Sistema Nacional de Evaluacin, Acreditacin y Certificacin de la Calidad Educativa - SINEACE Instituto Peruano de Evaluacin, Acreditacin y Certificacin de la Calidad de la Educacin Bsica (IPEBA).Calle Ricardo Angulo 266, San Isidro. Lima 27. Per.Telfonos: / (51-1) 223-2895, Fax: (51-1) 224-7123 anexo 112E-mail: cir@ipeba.gob.pe / www.ipeba.gob.peSe autoriza la reproduccin total o parcial siempre y cuando se mencione la fuente.
4. 4. NDICEPresentacinMapas de Progreso de MatemticaEl Mapa de Progreso de GeometraGlosarioReferencias bibliogrficas5784345PrevioEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes10III CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes13IV CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes15V CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes21VI CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes28VII CicloEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes32DestacadoEjemplos de indicadores de desempeo y trabajos de estudiantes38
5. 5. 4
6. 6. 5PRESENTACINGarantizar el derecho a la educacin es un compromiso por la formacin integral de los estudiantes.Para ello, es necesario que logren los aprendizajes esperados durante su trayectoria escolar. ElMinisterio de Educacin y el Instituto Peruano de Evaluacin, Acreditacin y Certificacin de la Calidadde la Educacin Bsica IPEBA, en un trabajo conjunto, estn elaborando los Mapas de Progreso delAprendizaje, como una herramienta que coadyuve a mejorar la calidad del servicio que ofrecen lasinstituciones educativas, pblicas y privadas, a los estudiantes del pas.Con este propsito se est desarrollando un sistema curricular destinado a asegurar los aprendizajesque requieren los nios, nias y adolescentes en el pas, y a orientar la labor de los docentes en lasaulas. Dicho sistema est compuesto, bsicamente, por el Marco Curricular, los Mapas de Progreso ylas Rutas de Aprendizaje, y se constituye en el orientador y articulador de los Currculos Regionales.El Marco Curricular comprende el conjunto de aprendizajes fundamentales que todos deben alcanzaren la educacin bsica. Los Mapas de Progreso describen con precisin lo que los estudiantes debensaber, saber hacer y valorar, de manera graduada en cada ciclo de la educacin bsica, y ofrecencriterios claros y comunes para monitorear y evaluar dichos aprendizajes. Las Rutas del Aprendizajeapoyan la labor de los docentes y orientan sus estrategias especficas de enseanza con el fin defavorecer el aprendizaje.Considerando que el aprendizaje es un proceso continuo, que se desarrolla a lo largo de la vida,los Mapas de Progreso posibilitan apreciar el avance progresivo de tal aprendizaje, facilitando laarticulacin de los niveles y etapas del sistema educativo pero, sobre todo, el acompaamiento de loslogros de los estudiantes, para que todos puedan aprender y nadie se quede atrs.La elaboracin de los Mapas de Progreso se realiza en un equipo integrado por especialistas de IPEBAy del Ministerio de Educacin, que son asesorados por expertos nacionales e internacionales. Esteproceso comprende el recojo de informacin a travs de pruebas a estudiantes de diferentes regionesdel pas, as como consultas a docentes, formadores y acompaantes de docentes, y a especialistasde Direcciones Regionales de Educacin y Unidades de Gestin Educativa Local. Adems, se trabajasobre la base de una amplia revisin bibliogrfica de experiencias internacionales y la revisin yanlisis de los resultados de las evaluaciones nacionales e internacionales aplicadas a estudiantesperuanos. Finalmente, los Mapas de Progreso son validados por una comisin de expertos, constituidapor profesionales de gran prestigio acadmico, amplia experiencia y conocimiento de las distintascompetencias que deben desarrollar los estudiantes.Los Mapas de Progreso sern entregados a los docentes a travs de fascculos coleccionables quefaciliten su buen uso.Este fascculo se propone que autoridades, docentes, estudiantes, padres y madres de familia, ascomo organizaciones de base, conozcan el Mapa de Progreso de Geometra (Matemtica) atendiendoa que la sociedad tiene la responsabilidad de contribuir a la educacin y el derecho a participar en sudesarrollo (Ley General de Educacin, artculo 3).Patricia Salas OBrien Peregrina Morgan LoraMinistra de Educacin Presidenta Directorio IPEBA
7. 7. 6Qu son los estndares de aprendizaje nacionales?Son metas de aprendizaje claras que se espera que alcancen todos los estudiantes del pas a lo largode su escolaridad bsica. Los estndares son una de las herramientas que contribuirn a lograr laansiada calidad y equidad del sistema educativo peruano, el cual debe asegurar que todos los nios,nias y jvenes del pas, de cualquier contexto socioeconmico o cultural, logren los aprendizajesfundamentales.En el Per, se ha decidido elaborar los estndares nacionales de aprendizaje poniendo especialinters en describir cmo suelen progresar de ciclo a ciclo las distintas competencias. Por tal razn,han sido formulados como MAPAS DE PROGRESO DEL APRENDIZAJE.Cul es la estructura de un Mapa de Progreso del Aprendizaje?El MAPA DE PROGRESO est dividido en niveles. Los niveles indican lo que se espera que un estudiantehaya aprendido al finalizar cada ciclo de la Educacin Bsica Regular. Los niveles muestran estosaprendizajes de manera sinttica y empleando un lenguaje sencillo, con el fin de que todos puedancomprenderlos.V CICLO(5 y 6de primaria)VI CICLO(1 y 2de secundaria)VII CICLO(3, 4 y 5de secundaria)III CICLO(1 y 2de primaria)IV CICLO(3 y 4de primaria)PRIMARIA SECUNDARIAPrevioDestacadoCada nivel del MAPA DE PROGRESO cuenta con un conjunto de indicadores de desempeo. Estos permitirnidentif icar claramente si los estudiantes lograron lo que indica el nivel correspondiente. Adicionalmente, el MAPADE PROGRESO incluye ejemplos de trabajos de estudiantes que han logrado lo sealado en cada nivel.Por qu son tiles los Mapas de Progreso del Aprendizaje?Los Mapas de Progreso son tiles porque le permiten al docente enfocarse en los aprendizajescentrales y observar cun lejos o cerca estn sus estudiantes del logro de estas metas de aprendizaje,para poder reorientar su accin pedaggica.
8. 8. 7MAPAS DE PROGRESO DE MATEMTICALa velocidad del desarrollo cientfico y tecnolgico demanda de la persona una serie de competenciaspara enfrentar los retos de un mundo en constante cambio. As, para hacer frente a esta realidad,se requieren, entre otras competencias, aquellas vinculadas a los aprendizajes matemticos. LaMatemtica desarrolla en el estudiante competencias que le permitan plantear y resolver con actitudanaltica los problemas de su contexto y de la realidad1, de manera que pueda usar esas competenciasmatemticas con flexibilidad en distintas situaciones.Las competencias de Matemtica se han organizado en cuatro Mapas de Progreso: Nmero y operaciones Cambio y relaciones Geometra Estadstica y probabilidadLos Mapas de Progreso de Matemtica describen el desarrollo de las competencias que requiereun ciudadano para atender las necesidades y retos de la sociedad actual. El desarrollo de estascompetencias se interrelaciona y complementa en la medida en que los estudiantes tengan laoportunidad de aprender matemtica en contextos significativos.Los Mapas de Progreso de Matemtica exigen una educacin matemtica que brinde al estudiantesituaciones de aprendizaje problemticas que lo motiven a comprometerse con la investigacin,exploracin y construccin de su aprendizaje, y que ponga nfasis en los procesos de construccinde los conceptos matemticos y en el desarrollo de las competencias matemticas, que implica queun individuo sea capaz de identificar y comprender el rol que desempea la matemtica en el mundo,para permitir juicios bien fundamentados y para comprometerse con la matemtica, de manera quecubra las necesidades de la vida actual y futura de dicho individuo como un ciudadano constructivo,comprometido y reflexivo (PISA 2003).1 Ministerio de Educacin del Per (2008). Diseo Curricular Nacional, p. 316.
9. 9. 8EL MAPA DE PROGRESO DE GEOMETRAVivimos en un mundo en el que la geometra est presente en diversas manifestaciones de la cultura y lanaturaleza. A nuestro alrededor podemos encontrar evidencias geomtricas en la pintura, la escultura,las construcciones, los juegos, las plantas, los animales y en diversidad de fenmenos naturales. Esteentorno demanda de las personas que pongan en prctica habilidades geomtricas como obtenerinformacin a partir de la observacin; interpretar, representar y describir relaciones entre formas;desplazarse en el espacio; entre otras. En ese sentido, aprender Geometra proporciona a la personaherramientas y argumentos para comprender el mundo; por ello, la Geometra es considerada comola herramienta para el entendimiento y es la parte de las matemticas ms intuitiva, concreta y ligadaa la realidad (Cabellos Santos, 2006).El aprendizaje de la Geometra pasa secuencialmente desde el reconocimiento y anlisis de las formasy sus relaciones hasta la argumentacin formal y la interrelacin entre distintos sistemas geomtricos;por lo tanto, es importante que el aprendizaje de la Geometra favorezca el desarrollo de habilidadespara visualizar, comunicar, dibujar, argumentar y modelar. En esta lnea, los estudios de los espososVan Hiele y de Alan Hoffer son referentes tcnicos importantes para la construccin de los nivelesde este mapa; sus estudios permiten hacer una descripcin de procesos como la modelacin y lavisualizacin desde las habilidades implicadas en ellos.El Mapa de Progreso de Geometra describe el desarrollo progresivo de la competencia para describirobjetos, sus atributos medibles y su posicin en el espacio utilizando un lenguaje geomtrico;comparar, y clasificar formas y magnitudes; graficar el desplazamiento de un objeto en sistemas dereferencia; componer y descomponer formas; estimar medidas y utilizar instrumentos de medicin;y resolver situaciones problemticas mediante diversas estrategias.La descripcin del progreso del aprendizaje en esta competencia se realiza en base a dos aspectos:a. Visualizacin e interpretacin de propiedades y relaciones de formas geomtricas.Implica el desarrollo de capacidades para visualizar, representar y describir formasgeomtricas2, sus propiedades y atributos medibles; estimar y medir magnitudesutilizando unidades arbitrarias y convencionales; formular y argumentar conjeturasa partir de las relaciones que encuentra entre las formas, sus propiedades y atributosmedibles para resolver y modelar situaciones reales.b. Orientacin y movimiento en el espacio. Implica el desarrollo de capacidades paraorientarse en el espacio; visualizar, representar y describir posiciones y transformaciones;formular y justificar conjeturas sobre los resultados de dichas transformaciones ycomprobarlas para resolver y modelar situaciones reales.2 La expresin formas geomtricas hace referencia a las formas bidimensionales y tridimensionales.
10. 10. 9Descripcin de los niveles de Mapa de Progreso de GeometraRelaciona objetos de su entorno con formas bidimensionales y tridimensionales, los agrupa y explica el criterio utilizado;y los representa usando material concreto. Compara dos objetos de diferente longitud usando expresiones como: esms largo que, es ms corto que, es ms alto que, es ms bajo que. Interpreta y ejecuta consignas para moverseen el espacio, identifica la posicin de un objeto en relacin a s mismo u otro objeto interpretando las expresiones:adelanteatrs, abajoarriba, al lado de, dentrofuera, encima-debajo, cercalejos.Relaciona objetos de su entorno con formas bidimensionales y tridimensionales, nombra y describe sus elementos3, lasclasifica, explica el criterio utilizado y las representa con material concreto o con dibujos. Interpreta e identifica la longitud,superficie y capacidad como atributos medibles4 diferentes. Mide, compara y estima longitudes, superficies y capacidadesde objetos seleccionando el instrumento y la unidad arbitraria pertinente al atributo, explicando sus resultados. Representa ydescribe en un croquis las posiciones y movimientos de un objeto en el espacio, identifica la posicin de un objeto en relacina s mismo y a otro objeto, usando expresiones que incluyan derecha e izquierda. Identifica formas bidimensionales simtricas.Clasifica y representa formas bidimensionales y tridimensionales tomando en cuenta sus caractersticas geomtricascomunes y describe el criterio utilizado. Identifica ngulos en objetos de su entorno y compara su medida respecto al ngulorecto. Mide, compara y estima la longitud, permetro, superficie y capacidad de objetos, seleccionando el instrumento y launidad arbitraria y convencional pertinente al atributo que se quiere medir, explicando sus resultados. Localiza y representala posicin de un lugar o de un camino, y elabora croquis para indicar rutas o la ubicacin de objetos de su entorno. Identifica,describe y representa reflexiones respecto a un eje y traslaciones de formas bidimensionales en cuadrculas.Describe y representa formas bidimensionales y tridimensionales5 de acuerdo a las propiedades de sus elementos bsicosy las construye a partir de la descripcin de sus elementos. Interpreta y explica la relacin entre permetro y rea de formasbidimensionales y entre reas de cuadrilteros y tringulos. Compara, calcula y estima la medida de ngulos, permetros ysuperficies, seleccionando el instrumento y la unidad convencional pertinentes y explica los procedimientos empleados.Interpreta el volumen como un atributo medible de un objeto y lo distingue de la capacidad, lo mide usando unidadesarbitrarias y convencionales. Localiza, describe y representa la posicin de un objeto en un plano cartesiano utilizandoexpresiones de proximidad y lenguaje direccional. Identifica, describe y representa rotaciones de cuartos y medias vueltas,ampliaciones y reducciones por proporcionalidad de formas bidimensionales bsicas en cuadrculas.Interpreta, compara y justifica propiedades de formas bidimensionales y tridimensionales6, las representa grficamentey las construye a partir de la descripcin de sus propiedades y relaciones de paralelismo y perpendicularidad. Compara,calcula y estima medidas de ngulos, superficies compuestas y volmenes seleccionando unidades convencionalespertinentes justificando sus procedimientos. Interpreta, representa y determina distancias en mapas usando escalas.Identifica e interpreta la semejanza de dos figuras al realizar rotaciones, ampliaciones y reducciones de formasbidimensionales en el plano cartesiano. Formula y comprueba conjeturas relacionadas con las combinaciones de formasgeomtricas que permiten teselar un plano.Construye y representa formas bidimensionales y tridimensionales considerando propiedades, relaciones mtricas,relaciones de semejanza y congruencia entre formas. Clasifica formas geomtricas estableciendo relaciones deinclusin entre clases y las argumenta. Estima y calcula reas de superficies compuestas que incluyen formas circularesy no poligonales, volmenes de cuerpos de revolucin y distancias inaccesibles usando relaciones mtricas y razonestrigonomtricas, evaluando la pertinencia de realizar una medida exacta o estimada. Interpreta y evala rutas en mapasy planos para optimizar trayectorias de desplazamiento. Formula y comprueba conjeturas relacionadas con el efectode aplicar dos transformaciones sobre una forma bidimensional. Interpreta movimientos rectos, circulares y parablicosmediante modelos algebraicos y los representa en el plano cartesianoConstruye y representa formas bidimensionales y tridimensionales compuestas aplicando relaciones entre propiedadesde las formas y generaliza los procesos seguidos para la construccin. Argumenta y demuestra propiedades y teoremaspor medio de la deduccin. Evala el nivel de exactitud de las mediciones que realiza considerando el margen de error.Formula conjeturas referidas a la equivalencia entre dos composiciones de transformaciones, las comprueba y argumenta.Interpreta movimientos elpticos e hiperblicos mediante modelos algebraicos y los representa en el plano cartesiano.PrevioIIICICLO(1 y 2 deprimaria)IVCICLO(3 y 4 deprimaria)VCICLO(5 y 6 deprimaria)VICICLO(1 y 2 desecundaria)VIICICLO(3, 4 y 5 desecundaria)Destacado3456 Caras, lados y esquinas.Se considera atributo medible a toda caracterstica de un cuerpo que puede ser cuantificado, como la longitud, la superficie y el volumen.Tringulos, cuadrilteros, ngulos, crculos, circunferencias, prismas y pirmides.Se considera a polgonos, prisma, pirmide, crculo, cilindro, rectas paralelas, perpendiculares y secantes.
11. 11. 10A continuacin, presentamos algunos ejemplos de indicadores de desempeo y de trabajos deestudiantes para cada uno de los niveles de este Mapa de Progreso.PrevioRelaciona objetos de su entorno con formas bidimensionales y tridimensionales, los agrupay explica el criterio utilizado, y los representa usando material concreto. Compara dos objetos dediferente longitud usando expresiones como es ms largo que, es ms corto que, es ms alto que, esms bajo que. Interpreta y ejecuta consignas para moverse en el espacio; identifica la posicin deun objeto en relacin a s mismo u otro objeto interpretando las expresiones adelanteatrs, abajoarriba, al lado de, dentrofuera, encima-debajo, cercalejos.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes:Agrupa objetos de su entorno considerando semejanzas y diferencias en la formay en el tamao, y explica el criterio utilizado; por ejemplo, si el objeto es redondo,tiene puntas, etc.Arma, desarma y crea formas bidimensionales y tridimensionales usando plastilina,papel, palitos, cajas, etc.Compara la estatura de dos estudiantes colocndolos uno al lado del otro e indicacul es el ms alto.Se desplaza en el patio de juegos siguiendo indicaciones como avanzar-retroceder,subir-bajar, entrar-salir, hacia adelante-hacia atrs, hacia arriba-hacia abajo.Ubica su posicin y la de objetos en el espacio; por ejemplo, el estudiante dice queel perrito est debajo de la mesa y que l mismo est al lado de la mesa.
12. 12. 11Ejemplos de trabajos de los estudiantesEn el caso de este nivel, los trabajos de los estudiantes fueron recogidos en video. Para observarejemplos de estos trabajos, por favor, ingrese a nuestra pgina web: http://www.ipeba.gob.pea) Juan y Laura camino a la escuela (video)Primero, se narra una historia para que el estudiante ubique a dos personajes en diferenteslugares en una maqueta y en un segundo momento se le pide que construya un objeto con los bloquesde construccin.COMENTARIOPrimero, el estudiante identifica la posicin de los personajesde la historia en relacin a los objetos que hay en la maqueta,ubicndolos correctamente segn las expresiones al lado del ro,fuera de la cueva, encima del puente, dentro de la cueva y entre elcamino y la casa. Luego, crea dos objetos de su entorno (un carroy un nio) para incluirlos en la maqueta y estos son representadoscon los bloques de construccin ms adecuados.
13. 13. 12b) Dnde estn y cmo son? (video)Se le presenta al estudiante figuras geomtricas bsicas (crculo, cuadrado, rectngulo ytringulo) y se le indica que levante los objetos de la mesa que tengan dicha forma.COMENTARIOEl estudiante relaciona los objetos que estn sobre la mesa conformas bidimensionales, como rectngulo, crculo, tringuloy cuadrado; tambin identifica que un mismo objeto puedeestar constitudo por varias formas; por ejemplo, una cajatiene algunas caras rectangulares y otras cuadradas.
14. 14. 13III Ciclo(1 y 2 de primaria)Relaciona objetos de su entorno con formas bidimensionales y tridimensionales, nombra ydescribe sus elementos7, las clasifica, explica el criterio utilizado, y las representa con material concretoo con dibujos. Interpreta e identifica la longitud, superficie y capacidad como atributos medibles8diferentes. Mide, compara y estima longitudes, superficies y capacidades de objetos seleccionandoel instrumento y la unidad arbitraria pertinente al atributo, explicando sus resultados. Representa ydescribe en un croquis las posiciones y movimientos de un objeto en el espacio; identifica la posicinde un objeto en relacin a s mismo y a otro objeto, usando expresiones que incluyan derecha eizquierda. Identifica formas bidimensionales simtricas.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes:Representa objetos de su entorno con formas bidimensionales y tridimensionalesbsicas utilizando diversos materiales; por ejemplo, geoplano, tangram, papelcuadriculado, cajas, plastilina, cuerda, etc.Clasifica formas y objetos por el nmero de lados, caras, vrtices o esquinas, yexplica el criterio tomado en cuenta.Mide y estima la longitud de objetos utilizando su propio cuerpo u objetos de su entornocomo unidades de medida; por ejemplo, estima la longitud del largo de la pizarra,usando como referente el largo de un lpiz, y dice: mide entre veinte y veinticinco lpices.Mide y compara dos superficies de objetos usando unidades de medida arbitraria(servilletas, cuadrados, hojas de papel, etc.) y expresa, por ejemplo, en mi libroentraron menos servilletas que en mi carpeta.Compara la capacidad de dos jarras usando como referente la cantidad de lquidoque entra en un vaso.Describe el desplazamiento que realiza para ir de un lugar a otro; por ejemplo,describe su desplazamiento para ir del saln a la biblioteca utilizando expresionescomo avanza-retrocede, sube-baja, entrar-salir, hacia adelante-hacia atrs, haciaarriba-hacia abajo, a la derecha-a la izquierda, por el borde.Reconoce formas bidimensionales simtricas a partir de un eje de simetra, armando,doblando o cortando papel.78Caras, lados y esquinas.Se considera atributo medible a toda caracterstica de un cuerpo que puede ser cuantificado, como la longitud, superficie y volumen.
15. 15. 14Ejemplos de trabajos de los estudiantesEn el caso de este nivel, los trabajos de los estudiantes fueron recogidos en video. Para observarejemplos de estos trabajos, por favor, ingrese a nuestra pgina web: http://www.ipeba.gob.pea) Simn dice (video)Se propone a la estudiante dos actividades. Primero se le indica que se desplace dentro delsaln utilizando como referentes objetos del aula y que coloque un objeto en otra posicin. En unsegundo momento se le proporciona a la estudiante diferentes formas bidimensionales en cartulinay se le pide que las agrupe segn su forma.COMENTARIOPrimero, la estudiante sigue consignas que usan lenguaje posicionalpara ubicarse ella misma y para colocar objetos cercanos a otros.Comprende el uso de los trminos: delante de, debajo de, entre, a laizquierda de. Identifica su izquierda y la de otra persona representadapor una mueca. Luego, clasifica formas bidimensionales encrculos, valos, cuadrados, rectngulos, tringulos y figuras de 5lados; explica su clasificacin mencionando algunas caractersticasde las figuras agrupadas, por ejemplo: el tringulo tiene 3 lados, elvalo no tiene ningn lado, etc.
16. 16. 15IV Ciclo(3 y 4 de primaria)Clasifica y representa formas bidimensionales y tridimensionales tomando en cuenta suscaractersticas geomtricas comunes y describe el criterio utilizado. Identifica ngulos en objetosde su entorno y compara su medida respecto al ngulo recto. Mide, compara y estima la longitud,permetro, superficie y capacidad de objetos, seleccionando el instrumento y la unidad arbitrariay convencional pertinente al atributo que se quiere medir, explicando sus resultados. Localiza yrepresenta la posicin de un lugar o de un camino, y elabora croquis para indicar rutas o la ubicacinde objetos de su entorno. Identifica, describe y representa reflexiones respecto a un eje y traslacionesde formas bidimensionales en cuadrculas.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes:Caracteriza polgonos haciendo referencia a tres de sus elementos: lados, vrtices yngulos.Representa formas tridimensionales con material concreto; por ejemplo, arma cuboscon caitas y limpiatipo o plastilina.Compone y descompone formas bidimensionales a partir de otra. Ejemplo En cuntasfiguras iguales se puede descomponer este hexgono?Representa diferentes formas bidimensionales que tienen el mismo permetro,usando material concreto (sogas, geoplano, etc.).
17. 17. 16Relaciona formas tridimensionales con sus respectivas vistas bidimensionales.Ejemplo: Cmo se ve el vaso desde arriba?Mide y estima superficies de objetos empleando unidades patrn de cartulina,cartn o fichas que midan un metro cuadrado o un centmetro cuadrado; porejemplo, mide la superficie de la pizarra de su aula utilizando un metro cuadradode cartulina.Mide capacidades de objetos utilizando envases de 1 litro.Elabora un croquis donde localiza la posicin de un objeto o expresa una ruta dedesplazamiento.Aplica traslaciones y reflexiones; por ejemplo, refleja una forma a partir del ejetrazado.Eje de simetra
18. 18. 17Ejemplos de trabajos de los estudiantesa) Diseos en casa de Alonso
19. 19. 18COMENTARIOLa estudiante identifica que en ambos diseos se ha usado elhexgono y que un hexgono tiene 6 lados; identifica que susngulos miden ms que un ngulo recto y que la superficiedel hexgono puede cubrirse con 6 tringulos de igual rea,optando por esta estrategia para determinar el rea delhexgono; finalmente, explica el procedimiento seguido.
20. 20. 19b) Recorriendo el pueblo
21. 21. 20COMENTARIOInterpreta la descripcin dada para localizar en el croquis lacasa de Sandra y para trazar el recorrido que realiza Diego,describiendo el recorrido que debe hacer una personapara desplazarse de un lugar a otro. Utiliza como referenteslos lugares por los que debe pasar y usa expresiones dedireccionalidad: va por la izquierda, sigue el camino quedemuestra el dominio de su lateralidad.
22. 22. 21V Ciclo(5 y 6 de primaria)Describe y representa formas bidimensionales y tridimensionales9 de acuerdo a laspropiedades de sus elementos bsicos y las construye a partir de la descripcin de sus elementos.Interpreta y explica la relacin entre permetro y rea de formas bidimensionales y entre reasde cuadrilteros y tringulos. Compara, calcula y estima la medida de ngulos, permetros ysuperficies, seleccionando el instrumento y la unidad convencional pertinentes y explica losprocedimientos empleados. Interpreta el volumen como un atributo medible de un objeto ylo distingue de la capacidad, lo mide usando unidades arbitrarias y convencionales. Localiza,describe y representa la posicin de un objeto en un plano cartesiano utilizando expresionesde proximidad y lenguaje direccional. Identifica, describe y representa rotaciones de cuartos ymedias vueltas, ampliaciones y reducciones por proporcionalidad de formas bidimensionalesbsicas en cuadrculas.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes:Construye formas bidimensionales usando instrumentos de medida y dibujo orecursos tecnolgicos; por ejemplo, construye un rectngulo usando escuadras, uncrculo usando comps y regla y un ngulo usando transportador.Clasifica tringulos por la medida de sus lados y de sus ngulos.Describe cmo se puede componer y descomponer formas tridimensionales enprismas y cubos; por ejemplo, trazando lneas sobre la representacin de la formatridimensional se logra descomponer a este en prismas.Mide y compara la medida de ngulos en grados sexagesimales.Mide el volumen de prismas empleando cubos de 1cm3 como unidad patrn.9 Tringulos, cuadrilteros, ngulos, crculos, circunferencias, prismas y pirmides.
23. 23. 22Encuentra la relacin entre el permetro y rea de cuadrilteros; por ejemplo, en lasfiguras mostradas identifica que A, C y D tienen igual permetro y rea.A B C DRepresenta diferentes vistas planas de una forma tridimensional. Por ejemplo,representa la vista frontal de una forma tridimensional en un plano de cuadrculas.Vista frontal Vista frontalAplica reflexiones, traslaciones, ampliaciones y reducciones a figuras bsicas; porejemplo, amplia un tringulo al doble.AA CCBB4836
24. 24. 23Ejemplos de trabajos de los estudiantesa) El jardn de Carolina
25. 25. 24COMENTARIOEl estudiante identifica que la medida de la superficie deljardn se determina mediante una sustraccin entre el rea delrectngulo y la del cuadrado; expresa las medidas del permetrocomo el rea del jardn en las unidades adecuadas y explica suprocedimiento con claridad. Asimismo, usa la relacin entre elrea y el permetro de un cuadrado para calcular la medida delborde del nuevo jardn.
26. 26. 25b) Construyendo formas
27. 27. 26
28. 28. 27COMENTARIOEl estudiante construye un cuadrado siguiendo indicacionesque describen sus elementos y de las regiones que se formanen su interior; reconoce que el jardn ha sido transformado porla aplicacin de una rotacin de 180 y reduce la figura a lamitad de su tamao y lo representa.
29. 29. 28VI Ciclo(1 y 2 de secundaria)Interpreta, compara y justifica propiedades de formas bidimensionales y tridimensionales10, lasrepresenta grficamente y las construye a partir de la descripcin de sus propiedades y relaciones deparalelismo y perpendicularidad. Compara, calcula y estima medidas de ngulos, superficies compuestasy volmenes seleccionando unidades convencionales pertinentes justificando sus procedimientos.Interpreta, representa y determina distancias en mapas usando escalas. Identifica e interpreta lasemejanza de dos figuras al realizar rotaciones, ampliaciones y reducciones de formas bidimensionalesen el plano cartesiano. Formula y comprueba conjeturas relacionadas con las combinaciones de formasgeomtricas que permiten teselar un planoCuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes:Identifica las caractersticas suficientes y necesarias para construir formasbidimensionales bsicas; por ejemplo, reconoce que para construir un cuadradodebe considerar 4 lados iguales, 4 ngulos rectos y diagonales perpendicularesentre s.Identifica y justifica grupos de figuras semejantes y congruentes; por ejemplo, en lasiguiente figura identifica los tringulos congruentes.Representa el desarrollo en el plano de una forma tridimensional o la reconstruye apartir de su desarrollo en el plano.Selecciona la unidad convencional pertinente para realizar una medicin desuperficies o volmenes de prismas y pirmides.Ubica la posicin de objetos o lugares utilizando sistema de coordenadas y dereferencia locales.10 Se considera a polgonos, prisma, pirmide, crculo, cilindro, rectas paralelas, perpendiculares y secantes.
30. 30. 29Ampla o reduce formas bidimensionales y describe la semejanza de la figuratransformada con la original.Construye formas tridimensionales a partir de la representacin plana en distintasvistas.Elabora conjeturas de transformaciones en el plano, por traslacin, reflexin orotacin; las comprueba y explica su procedimiento; por ejemplo, usando figurascomo la que se muestra, se podr cubrir una hoja tamao A4 sin dejar espaciosen blanco?Ejemplos de trabajos de los estudiantesa) Visualizando objetos
31. 31. 30COMENTARIOLa estudiante visualiza las diferentes vistas de un cuerpogeomtrico en relacin a otros. Determina la posicin deZulema para obtener la toma ms favorable de la casa y larepresenta; para ello, discrimina las otras posiciones y explicacmo estas no cumplen con la condicin del problema.
32. 32. 31b) Elaborando cajas para empacar envasesCOMENTARIOEl estudiante relaciona las dimensiones de dos formastridimensionales cilindro y prisma; disea una de las posiblesformas en las que se puede apilar frascos de mermelada; y apartir de esto establece las dimensiones de la caja: largo, ancho yaltura. Demuestra emplear estrategias diversas para determinarvolmenes y comunica con claridad su procedimiento.
33. 33. 32VII Ciclo(3, 4 y 5 de secundaria)Construye y representa formas bidimensionales y tridimensionales considerandopropiedades, relaciones mtricas, relaciones de semejanza y congruencia entre formas. Clasificaformas geomtricas estableciendo relaciones de inclusin entre clases y las argumenta. Estimay calcula reas de superficies compuestas que incluyen formas circulares y no poligonales,volmenes de cuerpos de revolucin y distancias inaccesibles usando relaciones mtricas y razonestrigonomtricas, evaluando la pertinencia de realizar una medida exacta o estimada. Interpretay evala rutas en mapas y planos para optimizar trayectorias de desplazamiento. Formula ycomprueba conjeturas relacionadas con el efecto de aplicar dos transformaciones sobre unaforma bidimensional. Interpreta movimientos rectos, circulares y parablicos mediante modelosalgebraicos y los representa en el plano cartesiano.Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes:Resuelve situaciones en las que requiere generar informacin a partir de laspropiedades de las formas en una construccin. Ejemplo:A13 15B CF48 52DEEn esta f igura, es AB DE y DF CE.Determina el permetro del ABC ydel CDE. Explica cmo hasencontrado las respuestas y cmosabes que son correctas.Grco extrado de Principios y estndares para laeducacin matemtica (Sevilla, 2000).Identifica propiedades comunes entre formas poligonales de la misma familia; porejemplo, elabora un organizador visual respecto a la clasificacin de cuadrilteroso tringulos donde se observe la inclusin de clases.Identifica las caractersticas de los cuerpos geomtricos de revolucin a partir desus diferentes desarrollos.
34. 34. 33Utiliza razones trigonomtricas para determinar longitudes y medidas angulares.Ejemplo: Desde un helicptero a 4000 metros de altura se fotografa una montaaen un ngulo de 45, tal como se muestra en la imagen. Calcula la altura de lamontaa.4000 mRealiza conjeturas y las comprueba respecto de la combinacin de transformacionesque se aplic a una forma bidimensional para obtener un determinado resultado.Ejemplo: Indica y comprueba las transformaciones que se dieron a la figura de laposicin inicial para llegar a la posicin final.Interpreta que un conjunto de rectas paralelas tienen la misma pendiente.Construye rectas paralelas o perpendiculares en el plano cartesiano a partir de lainterpretacin de sus elementos expresados algebraicamente.Posicin inicialPosicin finalChBA3045
35. 35. 34Ejemplos de trabajos de los estudiantesa) El ToroCOMENTARIOEl estudiante identifica y representa los elementos que son necesarios para construir un slidode revolucin, al describir grficamente el eje de rotacin y la figura plana que genera elslido. Demuestra su capacidad para visualizar el resultado de rotar esta figura mentalmente,al precisar que si se gira 360 un crculo alrededor de un eje de rotacin se obtiene el slidomostrado en la figura.
36. 36. 35b) Desarrollando mediciones de superficies y volmenesTAREA 2: Desarrollando mediciones de superficies y volmenes.La compaa Constructores Per ha preparado un proyecto de reservorio para las comunidadesde Nueva Congona y Mochadn de Cajamarca. Este reservorio permitir almacenar aguasuficiente para instalar modernos sistemas de riego por aspersin en un total de 120 hectreasde terreno.Este reservorio se construir en el suelo, haciendo una excavacin como la forma mostrada enel grfico, en el cual se puede observar la vista de perfil y desde arriba, as como sus respectivasdimensiones.A partir de los datos proporcionados, calcula la capacidad del reservorio en litros.
37. 37. 36COMENTARIOEl estudiante demuestra su capacidad para visualizar formas geomtricas a partir de dosde sus vistas: la de arriba y la de perfil, y para usar sus conocimientos sobre clculos devolumen y capacidad en situaciones contextualizadas. Reconoce el radio de la base delcilindro, su altura y usa estos datos para calcular el volumen. Se aprecia en los clculosque reconoce que por cada metro cbico se tiene 1000 litros de agua; por ello, finalmente,aplica estrategias de clculo mental para determinar que la cantidad de litros es 2 260 800litros de agua.
38. 38. 37c) La menor longitudCOMENTARIOEl estudiante demuestra capacidad para aplicar la desigualdad triangular en el clculo dela menor distancia. Interpreta que para conseguir el menor valor para las distancias queunirn la central telefnica con los pueblos A, B y C, debe optimizar el valor que representala cantidad de cable que unir los pueblos. Utiliza la desigualdad triangular para calculardichas distancias; es decir, usa esta propiedad para determinar la suma de las distancias queunen estos pueblos con la central, interpreta la desigualdad obtenida al responder que dichadistancia debe ser mayor que 18 km, por ejemplo, 19 km de cable.
39. 39. 38DestacadoConstruye y representa formas bidimensionales y tridimensionales compuestas aplicandorelaciones entre propiedades de las formas y generaliza los procesos seguidos para la construccin.Argumenta y demuestra propiedades y teoremas por medio de la deduccin. Evala el nivel deexactitud de las mediciones que realiza considerando el margen de error. Formula conjeturasreferidas a la equivalencia entre dos composiciones de transformaciones, las comprueba yargumenta. Interpreta movimientos elpticos e hiperblicos mediante modelos algebraicos y losrepresenta en el plano cartesiano.Emplea formas bidimensionales compuestas para generar cuerpos de revolucin.Agrega trazos adicionales a las formasbidimensionales compuestas.Ejemplo: En el cuadriltero ABCO, AO = OC,determina cul es el valor del ngulo x.XResuelve situaciones en las que requiere relacionar propiedades ycaractersticas en formas geomtricas compuestas; por ejemplo,calcula el rea y volumen del siguiente slido compuesto, sabiendoque la altura del cilindro es de 20 cm, la altura del cono es10 cm y el radio de la base es 5cm.Demuestra teoremas elementales referidos a formas bidimensionales bsicas; porejemplo, demuestra el teorema de Thales, de Pitgoras, etc.Comprueba conjeturas respecto a las transformacionesque dan en su entorno; por ejemplo, encuentra doscombinaciones equivalentes, que permitan transformarla figura 1 para obtener el diseo que se muestra.Relaciona el movimiento de traslacin de la Tierra con las propiedades de la elipse.Representa elipses e hiprbolas en distintas ubicaciones en el plano cartesiano, apartir de la interpretacin de sus elementos expresados algebraicamente.ABO CFigura 1Cuando un estudiante ha logrado este nivel,realiza desempeos como los siguientes:
40. 40. 39Ejemplos de trabajos de los estudiantesa) Tringulo inscrito
41. 41. 40COMENTARIOEl estudiante interpreta la situacin propuesta, agrega informacin complementaria y luegoexplica que el tringulo inscrito en la semicircunferencia es un tringulo rectngulo. Usa laspropiedades de los ngulos internos del tringulo, la propiedad de los tringulos isscelesy la identificacin del radio como lado de dichos tringulos para sustentar sus argumentos.Su forma de razonamiento nos demuestra que es capaz de organizar una secuencia deargumentos y sustentar sus respuestas. Adems logra establecer una propiedad generalal sealar que si el punto C se mueve a otro lugar de la circunferencia la figura formadapor ACB, seguir siendo un tringulo rectngulo siempre que los puntos A y B sean losextremos del dimetro.
42. 42. 41b) Construyendo mosaicos
43. 43. 42COMENTARIOEl estudiante demuestra capacidad para construir formas bidimensionales compuestas,que resultan de varias transformaciones, entre ellas la rotacin y la traslacin. Interpreta ydecide qu medidas debe considerar al realizar una construccin para que cumpla con lascondiciones dadas en el problema. Realiza trazos de segmentos de rectas perpendicularesy paralelas, que apoyan las descripciones de los pasos que emple para disear su mosaico.Demuestra dominio de su capacidad para visualizar las transformaciones que se deben aplicara una forma para obtener otra dada.
44. 44. 43GLOSARIO1. ARGUMENTARDar razones lgicas o matemticas que permitan sustentar, probar o demostrar la veracidad o falsedad de unaproposicin o idea planteada (Ministerio de Educacin, 2004, p.28).2. ATRIBUTO MEDIBLESe llama as a toda caracterstica cuantificable de un objeto.3. CLASIFICARDisponer un conjunto de datos o elementos en subconjuntos o clases de acuerdo a uno o varios criterios. Abarcala identificacin de propiedades de los objetos y la comparacin mediante el establecimiento de diferencias ysemejanzas entre elementos (Heudebert, Chvez, 2006, p.85). La clasificacin se distingue del simple agrupamientoen tanto que utiliza criterios que permiten incluir a todos los elementos dados en alguno de los grupos.4. COMPARAREstablecer una relacin entre lo cuantitativo o cualitativo que existe entre dos entes matemticos de un mismoconjunto o clase (Ministerio de Educacin, 2004, p.229).5. COMPROBARVerificar, confirmar la veracidad o exactitud de un objeto matemtico o situacin a travs de su concepto opropiedades.6. CONJETURARElaborar suposiciones o hiptesis acerca de la verdad o falsedad de una afirmacin, conclusin o resultadomatemtico a partir de indicios y observaciones (Adaptado del Diccionario de la Real Academia Espaola, 2012).7. CONSTRUCCIN GEOMTRICADibujo tcnico en el que la utilizacin apropiada de ciertos instrumentos, como la regla y el comps, asegura laadecuacin del dibujo a determinadas propiedades.8. DESCRIBIRExplicar con detalle las caractersticas o condiciones en que presenta algn objeto matemtico usando ellenguaje oral (Adaptado del Diccionario de la Real Academia Espaola, 2012).9. DEMOSTRARAbarca desde la justificacin o fundamentacin de un resultado o proposicin utilizando argumentos lgicos omatemticos, hasta establecer una sucesin finita de pasos para fundamentar la veracidad de una proposicino su refutacin.10. ESTIMAREs tanto pronosticar el orden de magnitud de un valor o de un resultado numrico como cuantificar,aproximadamente, alguna caracterstica medible de un objeto o suceso.11. EVALUARValorar o determinar el grado de efectividad de un conjunto de estrategias o procedimientos, a partir de sucoherencia o aplicabilidad a otras situaciones problemticas.12. EXPLICARDescribir o exponer las razones11 o procedimientos seguidos para la solucin de un problema, exigiendo en elalumno establecer conexiones entre sus ideas (Bishop, 1999).11 El problema es que en la actualidad de los objetivos de la mayora de los currculos Matemticos se centran por completo en hacer y casi nada en explicar.Explicar es la actividad de exponer las relaciones existentes entre unos fenmenos, y la bsqueda de una teora explicativa, como la describe Horton (1967)citado en Enculturacin matemtica la educacin matemtica desde una perspectiva cultural, Alan Bishop, Paidos, 1999, Espaa.
45. 45. 4413. GENERALIZARIdentificar, a partir de la observacin de casos particulares, la regla general que describe el comportamiento de,por ejemplo, una sucesin, una relacin entre variables o de alguna ley matemtica.14. IDENTIFICARDiferenciar los rasgos distintivos de un objeto matemtico; es decir, determinar si pertenece a una determinadaclase que presenta ciertas caractersticas comunes (Hernndez, Delgado y otros, 1999).15. INTERPRETARAtribuir significado a las expresiones matemticas, de modo que estas adquieran sentido en funcin del propioobjeto matemtico o en funcin del fenmeno o problema real del que se trate. Implica tanto codificar comodecodificar una situacin problemtica (Hernndez, Delgado y otros, 1999, pp. 69-87).16. MAGNITUDCaracterstica de un objeto o fenmeno que puede ser medida, como la longitud, la superficie, el volumen, lavelocidad, el costo, la temperatura, el peso, etc.17. MODELARAsociar un objeto no matemtico a un objeto matemtico que represente determinados comportamientos,relaciones o caractersticas considerados relevantes para la solucin de un problema (Hernndez, Delgado yotros, 1999, pp. 69-87).18. REPRESENTARElaborar una imagen, grfico o smbolo visual de un objeto matemtico y sus relaciones empleando formasgeomtricas, diagramas, tablas, el plano cartesiano entre otros.19. SUPERFICIES COMPUESTASEs una extensin bidimensional que se caracteriza porque se puede descomponer en otros polgonos.20. VISUALIZARHabilidad para crear imgenes mentales que el individuo pueda manipular en su mente, y que le permitenelaborar diferentes representaciones del concepto y, si es necesario, usar la tecnologa para expresar la ideamatemtica en cuestin (Hitt citado en Torregosa, 1995).
46. 46. 45REFERENCIAS BIBLIOGRFICASALSINA, C., FORTUNY, J. y PREZ, R. (1997)Por qu Geometra? Propuesta didctica para la ESO. Madrid: Editorial Sntesis.ALSINA, C. BURGUSM C. y FORTUNY, J. (1989)Invitacin a la didctica de la geometra. Madrid: Editorial Sntesis.BARRIOS, Eder y otros (2008)El proceso cognitivo de la visualizacin por estudiantes de nivel superior mediante el uso de software dinmico(CABRI) en la resolucin de problemas geomtricos. Barranquilla-Colombia: Universidad del Norte. Recuperadoel 05 de junio del 2012 en: http://manglar.uninorte.edu.co/bitstream/10584/74/1/73108499.pdfBRESSAN, Ana y otros (2000)Razones para ensear geometra en la educacin bsica. Mirar, construir, decir y pensar Argentina: Edicionesnovedades educativasCALLIS, Joseph (2007)Didctica de la Matemtica en educacin primaria. Mdulo 6 Medicin. Diploma de Segunda Especialidad de laMatemtica en Educacin Primaria. Facultad de Educacin. Lima: Pontificia Universidad Catlica del Per.CASTRO, Enrique (2001)Didctica de la matemtica en la educacin primaria. Madrid: Editorial Sntesis.CHAMORRO, Mara (2003)Didctica de las matemticas para primaria. Madrid: PEARSON.DEL OLMO ROMERO, Mara ngeles y otros (2000)Superficie y volumen Algo ms que el trabajo con frmulas? Madrid: Editorial Sntesis.FOUZ, Fernando (2004-2005)Modelo de Van Hiele para la didctica de la geometra. Un paseo por la geometra 2004-2005. Centro Virtual dedivulgacin de las matemticas Divulgamat. Recuperado el 04 de junio del 2012 en:http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_contentview=articleid=10884directory=67limitstart=7GALINDO, Claudia (1996)Desarrollo de habilidades bsicas para la comprensin de la Geometra.Revista Ema VOL. 2, N 1, 49-58. Colombia. Recuperado el 05 de junio del 2012 en:http://funes.uniandes.edu.co/1035/1/22_Galindo1996Desarrollo_RevEMA.pdfJCOME, Gonzalo y MONTIEL, Gisela (2007)Estudio Socioepistemolgico de la razn trigonomtrica. Elementos para la construccin de su naturalezaproporcional. Memoria de la XI Escuela de Invierno en Matemtica Educativa. Red de Centros de Investigacin enMatemtica Educativa. Mrida, Yucatn Recuperado el 18 de julio del 2012 en:http://www.matedu.cicata.ipn.mx/archivos/(Jacome-Montiel2007a)-XIEIME_Memoria.pdfMINISTERIO DE EDUCACIN (2005)Evaluacin nacional del rendimiento estudiantil 2004. Informe pedaggico de resultados Secundaria, Lima:MED: Unidad de Medicin de la Calidad Educativa.
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48. 48. El IPEBA y el Ministerio de Educacin estn elaborandoMAPAS DE PROGRESO para las distintas competenciasque se deben desarrollar en Comunicacin, Matemtica,Ciencia y Ciudadana. Esto implica un arduo trabajotcnico, por lo que requiere tiempo. Por ello, el IPEBAy el Ministerio de Educacin elaborarn y publicarnlos MAPAS de manera progresiva. Esta vez, se pone adisposicin de la comunidad educativa los MAPAS DEPROGRESO de Lectura, Escritura y Comunicacin oral(Comunicacin); y de Nmeros y operaciones, Cambioy relaciones, Geometra, y Estadstica y probabilidad(Matemtica). Ms adelante se tiene programadopublicar los mapas de Ciencia, Ciudadana y EducacinInicial.Usted puede encontrar este MAPA DE PROGRESO, ascomo las versiones ms recientes de los dems mapasque venimos elaborando, en la web: www.ipeba.gob.pe.Ah encontrar, adems, un espacio para compartir connosotros sus impresiones y aportes sobre estos mapas.