Matematica parte ii

DIRECCIÓNNACIONAL

GERENCIAACADÉMICA

Estudios

Generales

Matemática P.T.

Parte 02

CÓDIGO: 89001296

SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

ESTUDIOS GENERALES-NIVELPROFESIONALTÉCNICO 2

MATEMÁTICAP.T.PARTE02

AUTORIZACIÓN Y DIFUSIÓN

MATERIAL DIDÁCTICO ESCRITO CICLO: ESTUDIOS GENERALES

MANUAL: MATEMÁTICA BÁSICA PROFESIONAL TÉCNICO. PARTE 02

Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formación profesional en el Ciclo

de Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento

continuo, se autoriza la APLICACIÓN Y DIFUSIÓN del material didáctico escrito

referido a MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE 02.

Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formación Profesional son los

responsables de su difusiónyaplicación oportuna.

DOCUMENTO APROBADO POR EL

GERENTE ACADÉMICO DEL SENATI

N° de Páginas:….............222.…...........…..

Firma:………………………………….…….

Lic. Jorge Chávez Escobar

Fecha:…………………………...……….

MATEMÁTICA

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 5

MATEMÁTICAP.T.PARTE02

INDICE

UNIDAD11.MagnitudesProporcionales..............................................................6

UNIDAD12.Regla de Tres.....................................................................................25

UNIDAD13.Porcentaje..........................................................................................39

UNIDAD14.Angulos..............................................................................................75

UNIDAD15.Paralelas............................................................................................97

UNIDAD16.Circunferencia y Circulo.................................................................115

UNIDAD17.Polígonos..........................................................................................130

UNIDAD18.Perímetro.........................................................................................162

UNIDAD19.Superficie yvolumen.......................................................................185

MATEMÁTICA


UNIDAD 11

MAGNITUDES PROPORCIONALES

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11.1. MAGNITUD.

Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede

sermedido.

11.2. CANTIDAD.

Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee dos partes: valor

numérico y unidad.

MAGNITUD CANTIDAD

Tiempo 60 h

Longitud 15 m

Temperatura 35º C

Masa 40 kg

11.3. CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES.

11.3.1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES( D.P. ó ).

Se sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto más gasolina se coloque en

el tanque, más soles pagará. Para tener una idea, basta observar en el cuadro de

abajo, suponiendo que el precio de la gasolina por galón sea de S/. 8.

GASOLINA (GALONES)

PRECIO

(S/.)

1 8,00

2 16,00

5 40,00

10 80,00

15 120,00

30 240,00

MATEMÁTICA


Al colocar 1 galón de gasolina, se pagará S/. …………pero, si se colan15

galones de gasolina, el precio será 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00 que es igual

a S/. …………..

Así, si se aumenta la magnitud “gasolina”, la otra magnitud “precio” (soles)

aumentará el mismo número de veces, o sea, las magnitudes varían en el mismo

sentido.Por tanto, dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES:

Cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o disminuyen en la misma proporción.

Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales:

Número de libros y costo total.

Si se compran libros, cada uno a S/. 2 (precio constante); a mayor cantidad de

libros el costo total será mayor, pero; si compra menor cantidad de libros el costo

total será menor.

Además,se verifica que la razón entre el número de libros y el costo total es

CONSTANTE, esto es, la razón tiene siempre el mismo valor (0,25).

25,04

1 25,0

16

4 25,0

96

24 25,0

12

3

Entonces se puede escribir:

25,012

3

96

24

16

4

4

1

Interpretación geométrica.

MATEMÁTICA


Conclusión. Si:

I. La gráfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de

coordenadas.

II. En cualquier punto de la gráfica (excepto en origen de coordenadas) el

cociente de cada par de valores correspondiente resulta una constante.

III. La función de proporcionalidad directa será:

F(X) = Kx K: pendiente (constante)

11.3.2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES( I.PÓ1 ).

Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando al

aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores

correspondientesen la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma

proporción.

Observar el cuadro que representa las velocidades de un auto y el tiempo

empleado en recorrer una misma distancia:

Disminuyendo la velocidad del auto, aumentará el tiempo empleado, luego la

velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.

Observar, que el producto de dos valores correspondientes (velocidad y tiempo)

es siempre el mismo.

90 x 2 = 180 ; 60 x 3 = 180 ; 45 x 4 = 180 ; 36 x 5 =180

VELOCIDAD TIEMPO

90 km/h 2 horas

60 km/h 3 horas

45 km/h 4 horas

36 km/h 5 horas

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x

K ) x ( F

Se puede finalmente concluir que: Interpretación Geométrica: Conclusión.

Si: B"I.P." "A" B de valor x A de valor Constante

Importante:

I. La gráfica de dos magnitudes I.P. es una rama de una hipérbola equilátera.

II. En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores

correspondientes, resulta una constante.

III. La función de proporcionalidad inversa será:

K: constante PROPIEDADES: I. Si : AD.P.B BD.P. C AD.P.C

II. Si: A I.P.B A D.P. 1

B

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tetanConsdificultad x obra

h/d x días Nº x eficiencia x obreros ºN

o: A D.P. B A I.P. 1

B III. Si: A D.P. B ( C es constante) A D.P. C ( B es constante)

A K B x C IV. Si: A I.P. B ( C es constante) A I.P. C ( B es constante)

A x B x C = K

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PROBLEMAS RESUELTOS

1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A= 51, B = 3. Hallar el

valor que toma B, cuando A = 34.

Resolución:

Se debe plantear:

2

2

1

1

B

A

B

A

x

34

3

51 X = 2

2. Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales, calcular (a + b)

Resolución: Se debe plantear:

5

3

85

5124

10

b

a

a = 6 ; b = 40 ; a + b = 46

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Días I.P. Rapidez

3. La magnitud A es I.P. a B , además cuando A es igual a 6 entonces B

es igual a 16. Halle B cuando A es igual a 4.

Resolución:

Se debe plantear:

2211 BABA

x4166 x = 36

4. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente

proporcional a la distancia que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a

65 Km cuesta S/. 180 000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material,

si su área es el doble y se encuentra a 120 Km de distancia de Lima?

Resolución:

kárea

distanciaprecio

)(

))((, ( k = constante )

Entonces:

2s

(120) . )(

s

(65) . 000) 180( x x = 195 000

5. Si “A” es el triple de rápido que “B”. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en

12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?.

Resolución: Sea R rapidez: RA = 3 RB

(Días) . (Rapidez) = cte

Reemplazando valores:

( RA + RB ) x 12 = RAxX

( 3RB + RB ) x 12 = 3 RBxX

4 RBx 12 = 3 RB xX

Simplificando: X = 16

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EJERCICIOS DE REFUERZO

Seguir los modelos para decir si las series siguientes representan sucesión de

números directa o inversamente proporcionales:

a) Valores de magnitud Q: 6 1 8 48 0,1

Valor de magnitud R: 4 24 3 0,5 240

b) Valores de magnitud M: 0,4 10 16 13 0,1 2,5 18

Valor de magnitud N: 2,4 60 96 78 0,6 15 108

Resolver los ejercicios para fijar lo que estudió sobre magnitudes proporcionales. 1. Observar los ejercicios siguientes y responder: Valor de magnitud x : 5 2 10 1 0,4

Valor de magnitud y : 8 20 4 40 100 ¿Cómo se denominan las magnitudes “x” e “y”? 2. Completar: Valor de magnitud A : 7 3 5 9

Valor de magnitud B : 28 12 ….. ….. ¿Cómo se denominan las magnitudes “A” y “B”?

3. En estos ejercicios se tiene valores correspondientes a dos

magnitudesdirecta o inversamente proporcionales. Completar conforme el

caso:

a) Valor de magnitud y : 10 25 2 …. 5

Valor de magnitud z : 20 8 …. 4 …. b) Valor de magnitud x : 2 3 1 24 0,5 69 90 7

Valor de magnitud y : 6 9 …. …. …. …. …. ….

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c) Valor de magnitud A : …. …. 7 …. …. …. …. ….

Valor de magnitud B : 20 40 35 100 10 8 45 15 d) Valor de magnitud M : 6 1 8 48 …...

Valor de magnitud R : 4 …. 3 …. 240 Corregir respuestas: 1. 5 x 8 = 2 x 20 = 10 x 4 = 1 x 40 = 0,4 x 100 = 40

Rpta.: inversamente proporcional. 2. 5 9

20 36 Rpta. directamente proporcional

3. a) 2 50 5

100 4 40 b) 3 72 1,5 207 270 21 c) 4 8 7 20 2 1,6 9 d) 4 24 3 0,5 0,1 11.4. REPARTO PROPORCIONAL.

Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números

llamados “índices” del reparto; ya sea en forma directa o inversamente

proporcional.

11.4.1. TIPOS DE REPARTO.

A. REPARTO SIMPLE DIRECTO:Cuando las partes a obtener son

proporcionales a los índices.

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Ejemplo:Repartir 400 en 3 partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5.

Resolución: Las partes serán: “2k” , “3k” y “5k” las cuales deben sumar

400, entonces:

2 k + 3 k + 5 k = 400

K ( 2 + 3 + 5 ) = 400 K = 40

Suma de índices Constante de reparto

Ahora, damos lo que le toca a cada uno:

2 (40) = 80 ; 3 (40) = 120 ; 5 (40) = 200

Método Práctico: PARTESD.P. A 2k 400 B 3k + k = 400 = 40 10 C 5k

10k Luego:

A = 2 (40) = 80 ; B = 3 (40) = 120 ; C = 5 (40) = 200

Observación:

Si a los índices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo número

positivo, el reparto no varia es decir se obtiene las mismas partes.

Ejemplo:

Repartir 470 en 3 partes que sean proporcionales a los números: 5 ; 3 ; 3 6 8 4 Resolución:

Es conveniente que los números proporcionales sean enteros, entonces

buscamos números que estén en la misma relación que las fracciones; para ello

MATEMÁTICA


10 47

470 K

es necesario considerar el MCM de los denominadores, para multiplicar a los

índices.

MCM ( 6 ; 8 ; 4) = 24

PARTES D.P.

A : 6

5x = 20 k

470 B : 8

3x = 9 k

C : 4

3x = 18 k

47 k Luego las partes serán:A = 20 (10); B = 9 (10); C= 18 (10) B. REPARTO INVERSO. Recordando que: ( “A” IP “B” ) ( “A” DP “1” ) B Inversamente Directamente Proporcional Proporcional

Entonces para repartir una cantidad en forma inversamente proporcional a

ciertos índices, es suficiente repartir directamente proporcional a las inversas

de los índices:

Ejemplo:

Repartir 390 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números de

6 ; 9 y 12.

24

24

24

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Resolución:

Partes I.P. D.P. A: 6 1 x 36 = 6 k 6 390 B: 9 1 x 36 = 4 k k = 390 = 30 9 13 C: 12 1 x 36 = 3 k 12 13 k Las partes serán: A = 6 (30) = 180; B = 4 (30) = 120; C = 3 ( 30) = 90

C. REPARTO COMPUESTO.

Se da cuando el reparto se hace en partes que son proporcionales a varios

grupos de índices.

Recordar:

Si: “A” D.P. “B” y también con “C” , entonces “A” D.P. (“B” x “C”).

EJEMPLO:

Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los números: 3 , 5 y 8 e I.P. a

los números 4, 6 y 9.

Resolución: MCM ( 4, 6, 9 ) = 36 Partes D.P. I.P. D.P.

A : 3 4 1 3 x1 = 3x 36 = 27k 4 4 4

2 225 B : 5 6 1 5 x1 = 5x 36 = 30k k = 2225 = 25 6 6 6 89

C : 8 9 18 x1 = 8x 36 = 32k 9 9 9 89k Las partes son:

A = 27 (25 ) = 675 ; B= 30 ( 25 ) = 750 y C = 32 ( 25 ) = 800

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PROBLEMAS RESUELTOS 6. Repartir el número 32 en partes D.P. a los números 3, 5 y 8 Resolución: Partes D.P. A : 3 3 k 32 B : 5 5 k k = 32 = 2 16 C : 8 8 k 16 k Las partes son: A = ……………… B = …………………. C = ………………… Luego los valores que satisfacen al problema son: 6 , 10 y 16. 7. Repartir el número 63 en partes D.P. a los números 2, 3 y 4. Resolución: Partes D.P. A : …. …. 63 B : . … …. k …… = …… C : …. ….. …… Luego los valores son: A = ………….…., B = ……………, C = ……………… Comparar respuestas: 6) A = 3 ( 2 ) = 6 , B = 5 ( 2 ) = 10 , C) = 8 ( 2 ) = 16

REGLA PRÁCTICA PARA EFECTUAR UN REPARTO COMPUESTO Primero : Se convierte la relación I.P. a D.P. Segundo: Los grupos de los índices D.P. se multiplican. Tercero : Se efectúa el reparto simple directo a los nuevos índices.

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DP 7) : 2 2 k …. : 3 3 k + k = 63 = 7 : 4 4 k 9 9 k Las partes son: A = 2 ( 7 ) = 14 , B = 3 ( 7 ) = 21 y C = 4 ( 7 ) 28

Resolver:

8. Una firma instituye un premio de S/. 470 para ser distribuido entre sus

trabajadores en orden inverso a las faltas de los mismos. Al final del

semestre éste debe distribuirse entre tres trabajadores que tienen 3, 5 y 4

faltas, respectivamente. ¿Cuánto recibe cada uno?

9. Una mezcla de bronce tiene 5 partes de cobre, 3 de estaño y 2 de zinc.

¿Cuántos Kg. de cada metal serán necesarios para preparar 40 Kg. de esa

mezcla?

Corregir: 8)

Partes I.P. D.P. , MCM ( 3, 5 4 ) = 60

A : 3 1x 60 = 20 k 3 470 B : 5 1x 60 = 12 k + k = 470 = 10 5 47 C : 4 1x 60 = 15 k 4 47 k Las partes serán: A = 20(10 ) = 200 ; B = 12 (10) = 120 ; C = 15 ( 10) = 150 9) DP : 5 5 k 40 : 3 3 k + k = 40 = 4 : 2 2 k 10 10 k

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Las partes son: A = 5 ( 4 ) = 20 Kg cobre B = 3 ( 4 ) = 12 Kg estaño C = 2 ( 4 ) = 8 Kg zinc

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I

1. Se tienen dos magnitudes A y B, tales que: 3 A es I.P. a B. Si cuando

A = 8, B = 6. Hallar A, si B = 2.

A) 218 B) 212 C)216 D) 220 E) 228

2. Si el peso de un elefante blanco es D.P. a sus años, si un elefante tuviera

360 Kg, entonces su edad sería 32 años. ¿Cuántos años tendrá sabiendo que pesa 324 Kg? (1 año = 365 días) A) 28a, 294 d B) 27a, 280d C) 27a, 294d D) 28a, 292d E) 30a..

3. El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura

que se compra. Si para pintar 200 m2 se necesitan 25 galones. ¿Qué área se pintará con 15 galones? A) 367 B) 300 C) 100 D) 320 E) 120

4. Manolo descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaños son

D.P al número de invitados e I.P. a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si la última vez gastó S/. 1 200; invitó a 100 personas y ocupó 12 horas. ¿Cuánto ahorrará invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas más?

A) 480 B) 230 C) 460 D) 320 E) 485

5. Una rueda A de 60 dientes engrana con otra de 25 dientes. Fija al eje de

esta última hay una tercera de 40 dientes que engrana en una rueda B de 75 dientes. Si A da una vuelta cada 2/3 segundos. ¿Cuántas vueltas dará B en 2 horas 30 minutos? A) 36750 B) 17280 C) 46000 D) 32000 E) 48000

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6. Repartir 22 270 inversamente proporcional a 5(n + 2); 5(n + 4); 5(n + 5). Dar

como respuesta la menor de las 3 partes. A) 140 B) 150 C) 160 D) 170 E) 180

7. Repartir “N” directamente proporcional a los números 32 ; 72 ; 162

obteniendo que la media geométrica de las partes obtenidas es 4/19 de “N” más 578. Hallar “N”.

A) 5491 B) 2300 C) 2100 D) 4200 E) 1800

8. Una herencia dejada por un padre a sus tres hijos se repartió I.P. a sus

edades siendo; 12 ; n ; y 24 años si el reparto hubiera sido D.P. a sus edades, el que tiene “n” años hubiera recibido los 13/12 de lo que recibió. Calcular el valor de “n”. A) 13 B) 18 C) 15 D) 16 E) 17

9. Al repartir 22 050 directamente proporcional a las raíces cuadradas de los

números 7,2; 9,8 y 12,8. ¿En cuánto excede la parte mayor a la parte menor? A) 3600 B) 2300 C) 2100 D) 4200 E) 1800

10. Repartir 33 000 en 4 partes que sean D.P. a los números. ;;;83

31

73

0,5;

indicar una de las cantidades. A) 8000 B) 6720 C) 10000 D) 10 E) 100

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PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II

REPARTOS PROPORCIONALES.

En este tipo de problemas se divide un total en varias partes que han de ser

proporcionales a ciertos números dados.

1. Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero en partes

proporcionales asus edades. Si el mayor tiene 23 años y le han

correspondido S/. 184, ¿cuánto sellevará cada uno de los otros dos que

tienen 15 y 12 años, respectivamente?

2. Repartir 559 en partes proporcionales a 4, 4, 3 y 2.

3. Se ha encargado a un orfebre el diseño y la fabricación de un trofeo que ha

de pesar5 kg y ha de estar fabricado con una aleación que contenga tres

partes de oro, tres deplata y dos de cobre. ¿Qué cantidad se necesita de

cada metal?

4. Se ha pagado S/. 37500 por tres parcelas de terreno de 7,5 Ha, 4 Ha y

36000 m2,respectivamente. ¿Cuánto ha costado cada parcela?

5. La nómina de una empresa asciende a 1,5 millones de nuevos soles. Un

doceavo corresponde alos sueldos de los directivos, tres doceavos a los

sueldos de los técnicos y ochodoceavos a los de los obreros. ¿Qué cantidad

corresponde a cada grupo?

6. Para fabricar una pieza de tela de 1,10 m de ancho y 65 m de largo, se

necesitan35,75 kg de algodón. ¿Cuánto pesará una pieza de tela de la

misma clase que mide0,95 m de ancho y 120 m de largo?

7. Un grifo arroja 100 litros de agua por minuto y otro arroja 80 litros en el

mismotiempo. ¿Cuánto tardarán, entre los dos ,en llenar un depósito de 540

litros?

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8. La ruedas delanteras de una locomotora tienen un radio de 0,45 m y las

traseras, 0,65 m. ¿Cuántas vueltas darán las primeras mientras las

segundas dan 2600vueltas?

9. Una pieza de cierta aleación metálica contiene 24 g de cobre, 5 g de estaño

y 15 g deníquel. Si en la fabricación de una partida de esas piezas se han

invertido 84 kg decobre, ¿Cuáles son las cantidades de estaño y níquel

empleadas?

MATEMÁTICA


UNIDAD 12

REGLA DE TRES

MATEMÁTICA


CONCEPTO.

Es una de las más usuales aplicaciones de la proporcionalidad que consiste en

calcular el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o más magnitudes

y esta puede ser regla de tres simples o bien regla de tres compuesta.

12.1. REGLA DE TRES SIMPLE (R3S).

Es Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen

tres valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra

magnitud y debemos calcular el cuarto valor. La R.3.S. Puede ser de dos tipos:

R3S DIRECTA.

Se plantea cuando las magnitudes que intervienen son directamente

proporcionales (D.P).

EN GENERAL:

Dada las magnitudes A y B directamente proporcionales los valores a; b; c y la

incógnita “X”.

Se plantea así:

MAGNITUD A MAGNITUD B

Supuesto: a c …………………….

Pregunta: b X (D)

Como son magnitudes directamente proporcionales se está

indicando por (D) y aplicando la definición se tiene:

x

b

c

a

Despejando la incógnita “X”

a

bcx

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REGLAS PRÁCTICAS.

REGLA 1°.Una vez planteado se multiplica en “aspa”; es decir, de se efectúa:

cbXa ..

a

bcx

REGLA 2°. Del planteado la incógnita “X” es igual al valor que está sobre él,

multiplicado por la fracción a

b.

X = c. a

b

EJEMPLO (1):

Si 3 limas cuestan S/. 144, ¿Cuánto se pagará por 7 limas iguales que las

primeras?

RESOLUCIÓN.

Las magnitudes que intervienen son la magnitud de cantidad de limas y el

costo las cuales son D.P. porque a mayor cantidad de limas el costo será mayor

y a menor cantidad de limas el costo será menor y se plantea:

Cantidad Limas Costo (s/.)

Supuesto: 3 144

Pregunta: 7 X

(D)

Aplicando la 2da regla práctica, se tiene:

3363

7.144x soles

OBSERVACIÓN:

Para aplicar esta regla práctica es necesario que la incógnita se ubique en la

segunda fila además se está indicando con (D) porque son directamente

proporcionales.

Se coloca de manera diferente como

se indica en el planteo

MATEMÁTICA


EJEMPLO (2):

Esmeralda al comprar 5 revistas gastó “x” soles pero si hubiera comprado 12

revistas el gasto sería S/, 28 más. Hallar el valor de X.

RESOLUCIÓN.

Del enunciado se nota que intervienen las magnitudes N° de revistas y el gasto

respectivo, el cual se plantea del modo siguiente:

Nº REVISTAS Costo (s/.)

Supuesto: 5 X

Pregunta: 12 X + 28

(D) En este caso es conveniente utilizar la primera regla práctica por lo cual se

multiplica en “aspa”:

5 (X + 28) = 12X 5X + 140 = 12X 140 = 7X

X = 20

R3S INVERSA.

Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales (I.P)

EN GENERAL:

Dada las magnitudes A y B inversamente proporcionales los valores a, b y c y a

incógnita “X” se plantean:

MAGNITUD A MAGNITUD B

Supuesto: a c ……………

Pregunta: b X (I) Por definición de magnitudes inversamente proporcionales

acbx ..

b

acx .

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REGLAS PRÁCTICAS:

REGLA Nº 1.Una vez planteado se multiplica en “Línea” y éstas deben ser

iguales, tal como se ha hecho en la solución anterior.

REGLA Nº 2. Del planteo (β) la incógnita “X” es igual al valor que se encuentra

sobre ella multiplicado por la fracción b

a; es decir, se copia Igual como está en

el planteo.

b

acX .

EJEMPLO 3:

¿En qué tiempo 2 albañiles pueden hacer un muro, que un albañil lo hace en 8

horas?

RESOLUCIÓN.

Del enunciado se nota que las magnitudes que intervienen son número

dealbañiles y el tiempo los cuales son inversamente proporcionales, ya que a

mayor número de albañiles se demora menos tiempo y a menor número de

albañiles mayor tiempo, por lo cual se plantea:

N albañiles Tiempo (horas)

Supuesto: 1 8

Pregunta: 2 t

( I ) Para hallar el valor de “t” se aplica la REGLA Nº 2:

horas42

1.8t

EJEMPLO 4:

Un móvil a una velocidad de 90km/h emplea X horas para recorrer un trayecto

pero si aumenta su velocidad a 120 Km/h empleara 2 horas menos. Hallar X.

Se copia Igual como está en el

planteo

MATEMÁTICA


RESOLUCIÓN.

Se sabe que a mayor velocidad demora menos tiempo y viajando a menor

velocidad demora más tiempo lo cual indica que la velocidad y el tiempo son I.P.

VELOCIDAD TIEMPO Supuesto: 90 X Pregunta: 120 X - 2 (I)

En este caso conviene utilizar la REGLA Nº 1 y para ello se multiplica en” Línea”:

90(x) = 120 (x – 2) 3x = 4x – 8

8 x NOTA:

En una regla de tres cuando se conocen tres valores de los cuatro es

conveniente aplicar la regla Nº 1 ya sea del D.P como el ejemplo (1) y (3).

En una regla de tres cuando se conocen dos valores de los cuatro es

conveniente aplicar la regla Nº 2 ya sea multiplicar en aspa si es D.P o

multiplicar en línea si es I.P. como el caso del ejemplo (2) y (4).

Los valores correspondientes a una misma magnitud o columna se pueden

dividir o multiplicar por el mismo valor y el resultado no se altera.

12.2. REGLA DE TRES COMPUESTA (R.3.C).

Se plantea cuando intervienen más de dos magnitudes.

MÉTODO DE SOLUCIÓN.

Existen varios métodos de solución pero en este caso vamos a utilizar las reglas

prácticas que se han estudiado en R.3.S directa e inversa y para ello se van a

seguir los siguientes pasos:

1º. Se reconocen las magnitudes que interviene en el problema.

MATEMÁTICA


2º. Se disponen los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma

magnitud se ubique en una misma columna y es adecuada que estén en las

mismas unidades.

3º. En la primera fila (supuesto) se colocan los datos y en la segunda fila

(pregunta) los demás incluido la incógnita.

4º. La magnitud en la cual se ubica la incógnita se compara con las demás,

indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por (D) y si es

inversamente proporcional con (I).

5º. El valor desconocido o incógnita es igual al valor que se encuentra sobre ella

por las diferentes fracciones que se conforman en cada magnitud si es D.P. se

coloca de manera Diferente y si es I.P se copia Igual.

EJEMPLO (5).

Qué rendimiento deben tener 6 obreros que en 16 días trabajando 9h/d han hecho

21m3 de una obra cuya dificultad es como 3 si para hacer 14 m3 de la misma obra

de 5 como dificultad se empleara 8 obreros de 60% de rendimiento durante 12

días de 8 h/d.

RESOLUCIÓN.

X% =60%.%48

5

3.

14

21.

9

8.

16

12.

6

8

NOTA:

Cuando en una R.3.C intervienen la magnitud número de obreros y el

rendimiento de c/u se multiplican porque son I.P y se reemplaza por una sola

magnitud que sería el rendimiento total.

Si en un problema se tiene el número de días y las horas diarias ambas se

multiplican y se reemplazan por una sola magnitud que sería el tiempo.

RENDIMIENTO

Nº OBREROS

Nº

DIAS

H / D

OBRA

DIFICULTAD

Supuesto 60% 8 12 8 14 5

Pregunta X% 6 16 9 21 3

(I) (I) (I) (D) (D) Igual Igual Igual Diferente Diferente

MATEMÁTICA


Igualmente si se tiene la obra y su respectiva dificultad ambas se multiplican

y se

reemplazan por la magnitud obra.

%4810

9.

3

2%.80% X

PROBLEMAS PROPUESTO NIVEL I

Resolver los siguientes problemas:

1) 18 tornillos hexagonales cuestan s/. 3,20.¿Cuánto cuestan 5 tornillos?

2) Un obrero gana 528 nuevos soles en 48 horas. ¿Cuánto gana por hora?

3) Tres aprendices efectúan un trabajo en 2 ½ días ¿Qué parte del trabajo

realizan en un día?

4) Dos planchas de chapa de acero pesan 31,2 kg. ¿Cuál es la masa referida a

la superficie de cinco planchas de magnitudes idénticas?

5) Determinar la masa referida a la longitud de una barra perfilada de 1 m

cuando para 6,1 m se da una masa de 32 kg.

6) Una polea de transmisión con un diámetro de 120 mm efectúa 1200

revoluciones. ¿Cuál es el número de revoluciones de la polea accionada de

720 mm de diámetro?

7) Un automóvil consume 8,4 litros de gasolina por 100 km. ¿Qué trayecto

puede recorrer con 40 litros en el tanque?

RENDIMIENTO TOTAL

TIEMPO

OBRA

60 % • 8

12. 8 <> 2

14..5 <> 10

x % • 6

16..9 <> 3

21..3 <> 9

(I)

(D)

MATEMÁTICA


8) Un automóvil recorrió 33 km en 12 minutos. ¿Cuál era su velocidad de

marcha en km/h?

9) Una rueda dentada impulsadora con 42 dientes ejecuta 96 revoluciones.

¿Cuántos dientes ha de tener la rueda accionada para que ejecute 224

revoluciones?

10) Una bomba transporta en 2 horas 1200 l de agua. ¿Cuánto tiempo se

necesita para vaciar un sótano inundado de 2x1, 5 x 3 m?

11) Para la obtención de 40Kg de bronce se necesitan 2,4 kg de estaño ¿Cuánto

estaño es necesario para 122 kg de bronce?

12) Cuatro obreros roblonan 480 remaches en 3 horas. ¿Cuántos remaches

roblonan 2 obreros en 4 horas?

MATEMÁTICA


PROBLEMAS DE REFUERZO-NIVEL II.

1) Para recorrer 44 km, una persona dio 60 000 pasos, si sus pasos son de

igual longitud. ¿Cuántos pasos dará para recorrer 33 km?

A) 44000 B) 45 000 C) 44000 D) 33 000 E) 30

2) Un trabajo puede ser hecho por 16 hombres en 38 días. Si 5 hombres

aumentaron su rendimiento en un 60 %, ¿en que tiempo terminaron el

trabajo?

A) 30 B) 26 C) 32 D) 25 E) 40

3) Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora.

¿Dentro de qué tiempo marcará la hora exacta?

A) 3 días B) 4 días C) 5 días D) 6días E) 7 días

4) Una persona demora 10 horas para construir un cubo compacto de 9

dm de arista. Después de 320 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo

de 36 dm de arista se habrá construido?

A) 2

1 B) 41 C) 5

1 D) 61 E) 3

1

5) Una obra puede ser realizada por 6 obreros en 20 días ¿Cuántos

obreros más se necesitarán para hacer el mismo trabajo en las 103

partes de ese tiempo?

A) 14 B) 12 C) 20 D) 15 E) 18

6) En 9 litros de agua se han disuelto 580 gramos de azúcar ¿Cuántos litros

de agua serán necesarios añadir para que el litro de la mezcla tenga

29 gramos de azúcar?

A) 8 l B) 9 l C) 10 l D) 11 l E) 20 l

MATEMÁTICA


7) Si 8 obreros hacen una obra en 20 días y después de 5 días se retiran 3

obreros.¿Cuántos días se retrasará la obra?

A)4 B)5 C)8 D)9 E) 15

8) Si 10 obreros trabajando 8 horas diarias emplean 12 días para terminar

un trabajo.¿Cuántos días emplearan 5 obreros, trabajando 6 horas diarias

para hacer el mismo trabajo?

A)8 B) 18 C) 24 D) 32 E) 34

9) Se tiene un cubo de madera que cuesta S/.1 920.¿Cuánto costará un

cubo cuya arista sea los 5/4 de la arista anterior?

A) S/.3 750 B)S/.3 850 C)S/.4 530 D)S/.1 890 E)S/.3 560

10) Si 15 obreros van a hacer una obra en 30 días trabajando 10 horas

diarias y después de 8 días se acordó que la obra termine 12 días antes

del plazo.¿Cuántos trabajadores deben contratarse , teniendo en cuenta

que se aumento 1 hora de trabajo diario?

A)8 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

11) Si 12 obreros pueden hacer una obra en 21 días .Si 8 de ellos aumentan

su rendimiento en 60%, qué tiempo empleará para realizar la obra.

A) 12 B) 15 C) 18 D) 24 E) 17

12) Un ingeniero puede construir 600 metros de carretera con 40 hombres ,en

5 días , trabajando 8 h/d ¿Cuántos días tardara este ingeniero en construir

800 metros de carretera con 80 obreros doblemente eficientes que los

anteriores en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por

día?

A)4 B)5 C)8 D)9 E) 15

MATEMÁTICA


13) Despepitando 8250 kg de ciruelas se ha obtenido 6750kg de pulpa. ¿Cuál

sería el importe que se tendría que gastar para obtener 9 kg de pulpa?, si las

ciruelas se compran a razón de S/. 0.81 el kg.

A) S/. 91,81 B) S/. 8,91 C) S/. 8,80 D) S/. 72,90 E) SI. 7,29

14) Quince obreros han hecho la mitad de una obra en 20 días. En ese momento

abandonan el trabajo cinco obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el

trabajo los obreros que quedan?

A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

15) Un auto va de P a Q y llega a cierta hora; si aumentara su velocidad un 50 %

ahorraría 2 horas. ¿En qué porcentaje debe aumentarla, si quiere llegar una

hora antes?

A) 100% B) 15% C) 20% D) 25 E) 40%

16) Un reloj que da las horas por campanadas demora 6 segundos en dar las 4.

¿Cuánto demorará en dar las 8?

A) 15s B) 1Os C) 16s D)12s E) 14s

17) Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora.

¿Dentro de qué tiempo marcará la hora exacta?

A) 3 días B) 4 días C) 5 días D) 6días E) 7 días

18) Se sabe que 15 hombres y 10 mujeres pueden cosechar 20 hectáreas de

trigo en 40 días, después de 10 días de trabajo se retiran 5 hombres y 5

mujeres. Determinar con cuántos días de retraso se termina la cosecha si el

trabajo que realiza un hombre equivale al de 2 mujeres.

A) 18 B) 15 C) l2 D) l0 E) 9

19) A y B hacen un trabajo normalmente en 18 y 24 días respectivamente. El

primero aumenta su rendimiento en 20 % y el segundo en 50 %. Si trabajan

juntos, ¿en cuántos días harían el trabajo (aproximadamente)?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

MATEMÁTICA


20) Para pintar una casa, 1ero se pasa la primera mano, luego el acabado. Hugo

y Carlos se disponen a pintar una casa a las 6:00 a.m. Carlos el encargado

del acabado espera que Hugo pinte durante 3 horas aduciendo que él lo

hace en 2 horas lo que hasta ese momento Hugo ha hecho. Si terminaron

simultáneamente el trabajo a qué hora fue.

A) l p.m B) 2 p.m C) 3p.m D) 4p.m E) 5 p.m

21) Un grupo de 15 máquinas pueden completar un trabajo en 24 días.

¿Cuántas máquinas adicionales, cuya eficiencia es el 60 % de los anteriores

se necesitan si el trabajo aumenta en un 80 %, pero se sigue teniendo 24

días para completarlo?

A) 20 B)5 C)40 D)25 E)36

22) En cuántos días se atrasara una obra si faltando 10 días los obreros bajan

su rendimiento en un 25%. La jornada diaria es de 9 horas

A) 3d 3h B) 11d 3h C) 13d 3h D)15d E) 16d 4h

23) Un ingeniero puede construir un tramo de autopista en 3 días con cierta

cantidad de máquinas; pero emplearía un día menos si le dieran 6 máquinas

más. ¿En cuántos días podrá ejecutar el mismo tramo con una sola

máquina?

A) 36 B)42 C)48 D)30 E)33

24) Una obra puede ser hecha por 24 obreros en 21días .¿Cuántos obreros

hay que añadir para que la obra se termine en 12 días ?

A) 14 B)15 C)16 D)17 E)18

25) Si 36 obreros cavan 1800 metros de una zanja diaria .¿Cuál será el

avance diario cuando se ausenten 18 obreros?

A)70 m B)809 m C)900 m D)600 m E)100 m

MATEMÁTICA


26) Dos ruedas cuyos diámetros , son 13m y 20,8m están movidas por una

correa , cuando la menor da 208 revoluciones .¿Cuántas revoluciones da

la mayor?

A ) 137 B)137,2 C)130 D)133,7 E)135

27) 12 obreros pueden hacer una obra en 29 días .Después de 8 días de

trabajo se retiran 5 obreros .¿Con cuántos días de retraso se entregará

la obra?

A )15 B)30 C)16 D)18 E)20

28) Johana es el doble de rápida que Esmeralda y ésta es el triple de rápida

que Rossmery .Si entre las tres pueden terminar una obra en 16 días

.¿En cuántos días Esmeralda con Rossmery harán la misma tarea?

A) 22 B) 30 C) 15 D) 40 E) 64

MATEMÁTICA


UNIDAD 13

PORCENTAJE E INTERÉS SIMPLE

MATEMÁTICA


13.1. PORCENTAJE.

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una

fracción de 100 (por ciento, que significa “cada 100”). Es a menudo denotado

utilizando el signo porcentaje %.

20 Por Ciento = 100

20 = 20 x

100

1 = 20 %

100

1 %

13.2. TRANSFORMACIÓN DE PORCENTAJE A NÚMERO.

Todo porcentaje puede ser expresado como número, se convertir en fracción

con denominador 100; por ejemplo:

a) 20% = 100

20 =

5

1

b) 60% = 100

60 =

5

3

c) 2,4% = 2,4100

1 =

100

1

10

24 =

125

3

d) 0,002% = 100

1

1000

2 =

50000

1

e) 17

12% =

100

1

17

12 =

425

3

13.3. TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO A PORCENTAJE.

Todo número puede ser expresado como porcentaje, multiplicando dicho número

por 100 %.

Ejemplos: a) 1 <> 1 x 100% = 100 % b) 3 <>3 x 100% = 300 % c) 0,25 <> 0,25 x 100% = 25 %

d) 5

3 <>

5

3 x 100% = 60 %

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

MATEMÁTICA


e) 5

42 <>

5

14 x 100% = 280 %

13.4. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE PORCENTAJES DE UNA MISMA

CANTIDAD.

Se puede sumar y restar porcentaje de una misma cantidad. Ejemplos I: a) 30%.A + 10%.A – 5%.A = 35%.A b) 7%.45%.B + 13%.45%.B = 20%.45%.B c) 37%.40%.25%.B + 23%.40%.25%.B- 20%.40%.25%.B = 40%.40%.25%.B Ejemplos II: a) Una cantidad más su 20% = 120% de la cantidad b) Mi edad menos su 30% = 70% de mi edad c) “C” menos su 40% = 60% “C” 13.5. PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Problemas I: a) Hallar el 30% de 6000.

Solución:

Recordar que “de”, “del” y “de los”, en el lenguaje matemático representa a la

operación de la multiplicación.

30% de 6000 = 100

306000 = 180

MATEMÁTICA


b) Hallar el 0,4% de 50000

Solución:

0,4% de 50000 = 100

1

10

450000 = 200

c) Hallar el 3% del 20% del 5% de 6 x104

Solución:

3% del 20% del 5% de 6 x104 = 100

5

100

20

100

36104 = 18

d) Si Esmeralda recibe el 32 % de 200 soles ¿Cuánto no recibe?

e) Calcular el porcentaje de los siguientes números:

1a. 10% de 2860

1b. 10% de 1280

1c. 50% de 4970

2a. 10% de 3060

2b. 10% de 1340

2c. 10% de 50

3a. 50% de 2710

3b. 10% de 2400

3c. 50% de 1060

4a. 10% de 3440

4b. 50% de 1520

4c. 50% de 1470

5a. 50% de 2500

5b. 50% de 1600

5c. 10% de 3860

6a. 50% de 1370

6b. 10% de 4940

6c. 10% de 100

f) Sombrear el porcentaje correspondiente a cada figura.

a. 25% de la figura (25 1

25%100 4

)

b. 100% de la figura (100% )

MATEMÁTICA


c. 80% de la figura (80% )

d. 50% de la figura (50% )

e. 60% de la figura (60% )

Problemas II: a) ¿20% de qué número es 70?

Solución: 20% de que número es 70

20%.N = 70 100

20N = 70 N = 350

b) ¿4 es el 0,25% de qué número?

Solución:

0,25%.N = 4 100

1

100

25N = 4 N = 1600

c) Si tuviera 30% más del dinero que tengo, tendría 260 soles ¿Cuánto es el

dinero que tengo?

Solución:

Lo que tengo: T, entonces si tuviera 30% más; tendría 130% de T.

130%.T = 260 100

130T = 260 T = 200

d) Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 40% menos; costaría 6

soles. ¿Cuál es el precio real del libro?

MATEMÁTICA


Solución:

El libro “L” lo estaría vendiendo en un 60% de su valor real.

60%.L = 6 100

60L = 6 L = 10

e) Jaime reparte su fortuna de la siguiente manera: a Rosa le da el 28% de la

fortuna, a María el 32% y a Fidel los 160 soles restantes ¿De cuánto fue la

Fortuna?

Solución:

Problemas III:

a) ¿Qué porcentaje de 80 es 4?

Solución:

En el lenguaje matemático, “de” es una multiplicación y la palabra “es”,

significa igual.

x% . 80 = 4 100

x80 = 4 x = 5 Rpta: 5%

b) De 460 operarios que existen en una fábrica, 115 son mujeres. ¿qué tanto por

ciento de los operarios no son mujeres?

Solución:

El personal que no son mujeres serán: 460 – 115 = 345 personas

¿Qué porcentaje de 460 es 345?

X%.(460) = 345 100

x460 = 345x = 75 Rpta 75%

c) En la figura ¿Qué porcentaje representa la parte sombreada? Solución:

Si preguntan qué porcentaje representa la parte

sombreada, es equivalente a que pregunten qué fracción

está sombreada; ya que toda fracción se puede escribir

como porcentaje. k

MATEMÁTICA


Por lo tanto, se hallará la fracción sombreada y luego se convertirá en porcentaje.

A cada cuadrito se le asignará una “k”, total se tienen 64k.

Recordar:

“La diagonal de un paralelogramo divide a este en dos triángulos de igual superficie.”

Además en “todo paralelogramo al unir cualquier punto de uno de los lados con los extremos del lado opuesto se formará un triangulo, cuya superficie es la mitad del paralelogramo.” Ahora se va a analizar por partes la figura: Resumiendo: Total = 64k ; No sombreado = 36k; Sombreado = 64k – 36k = 24k

Fracción sombreada = total

sombreado =

k64

k24 =

8

3

Porcentaje sombreado = 8

3100% = 37,5%

d) ¿0,0072 que porcentaje es de 0,36?

e) ¿Qué porcentaje del 80% del 40% de25 es el 0,8% del 20% de 100?

S S S

S

S

Área total: 2S

El rectángulo contiene

32k por lo tanto la parte

no sombreada del lado

inferior derecho será 16k,

El rectángulo contiene

18k por lo tanto la parte

no sombreada del lado

superior 9k,

Trabajando en forma

similar las otras partes,

observamos que la parte

no sombreada es 36k

16k

9k 9k 2k

9k 16k

MATEMÁTICA


f) ¿Qué tanto por ciento representa la parte

sombreada de la no sombreada?: - PROBLEMAS SOBRE PRECIO DE COMPRA Y VENTA.

Rossmery es comerciante y realiza las siguientes transacciones comerciales

según muestra los gráficos siguientes:

Del ejemplo anterior se puede deducir lo siguiente: PV = Precio de Venta. PC = Precio de Compra o Precio de Costo G = Ganancia P = Pérdida

PV = PC + G

PV = PC - P

$ 100.00

Rossmery compra

un TV a $ 100.00

$ 120.00

Rossmery vende

el TV a $ 120.00

PC: Precio de costo Pv: Precio de venta

Ganancia de $ 20.00

$ 100.00

Rossmery compra

un TV a $ 100.00

$ 70.00

Rossmery vende

el TV a $ 70.00

PC Pv

Pérdida de $ 30.00

MATEMÁTICA


De lo cual se deduce que: Si hubiera sido un aumento entonces: Problemas:

a) Esmeralda compra un vestido en 120 soles ¿En cuánto debe venderlo para

ganar el 15% sobre el precio de compra?

Solución:

PV = PC + G

PV = 120 + 15%.(120) PV = 120 + 15%.(120) PV =S/ 138

b) Oswaldo compra un taladro pagando S/ 120, ¿hallar el precio de Lista, si le

hicieron un descuento del 25%?

Solución: PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento

120 = PF - 25%. PF

120 =75%. PF

120 = 100

75PFPF = 160

PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento

$ 100.00

Rossmery desea vender un vestido y lo

exhibe en su tienda a $ 100.00

$ 40.00

Rossmery vende el vestido

a $ 40.00

PF: Precio Fijado o Precio de Lista Pv: Precio de Venta

Rossmery realiza un

Descuento de $ 60.00

PVENTA = PFIJADO O LISTA + Aumento

Datos: Pc = 120 Pv= ? G = 15%.Pc

Datos: Pv = 120 PF= ? Descuento = 25%.PF

MATEMÁTICA


c) ¿Cuáles precio de venta de un artículo, cuyo precio de costo es 46 soles y la

ganancia es el 8% del precio de venta?

d) El precio de venta de un televisor es $150, en esta venta se ha perdido el 25%

del precio de costo. Hallar el precio de costo.

DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS.

Este tipo de problema es cuando a una cantidad se le aplica varios descuentos o

aumentos en forma sucesiva.

Por ejemplo:

Se hace 3 descuentos sucesivos de 20%, 25% y 30% del precio inicial del auto: En el 1º descuento es del 20% de $8000, por lo tanto el nuevo precio será:

PFINAL = 80%(8000)

El 2º descuento es de 25% de 80%(8000) entonces el nuevo precio será:

PFINAL = 75%.80%(8000) El 3º descuento es del 30% del 75%.80%(8000), entonces el nuevo precio será:

PFINAL = 70%.75%.80%(8000)= $ 3360 Entonces el descuento único fue de: $8000 - $ 3360 = $ 4640 ¿Qué % es el descuento único?

X%.8000 = 4640

100

X8000 = 4640 X = 58% (Descuento único)

Problemas: a) ¿Dos descuentos sucesivos del 20% y 40% equivalen a un descuento único

de? Solución:

Una forma práctica de resolver este tipo de problema será de la siguiente

manera:

$ 8000.00

Rossmery desea compra un

auto cuyo precio de Lista es $

8000.00

PF

MATEMÁTICA


PINICIAL = 100% PFINAL = 80%.100% Después de 1º descuento del 20% PFINAL = 60%.80%.100% Después de 2º descuento del 40%

PFINAL = 100

80

100

60100%

PFINAL = 48% Descuento único = 100% - 48% = 52%

b) ¿Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de?

Solución:

PINICIAL = 100% PFINAL = 120%.100% Después de 1º aumento del 20% PFINAL = 130%.120%.100% Después de 2º aumento del 30%

PFINAL = 100

120

100

130100%

PFINAL = 156% Aumento único = 156% - 100% = 56%

c) Un Artículo cuyo precio de lista es de $240, se vende haciendo 2 descuentos

sucesivos del 25% y 15%. ¿Calcular el precio de venta?

d) ¿Cuál era el precio de lista de un artículo si la venta fue de 204 soles luego de

los descuentos sucesivos de 20% y 15%?

VARIACIONES PORCENTUALES.

Se denomina así al cambio que experimenta una cantidad, con relación a su valor

original, y que es expresado en forma de Tanto Por ciento.

Problemas:

a) ¿En que porcentaje se ha incrementado el área de un rectángulo, si la base se

incremento en un 20% y su altura en un 50%?

Solución:

Método I:

Área Inicial = B.h<> 100% B

h

MATEMÁTICA


La Base aumenta el 20% y su altura aumenta en un 50%

Área Final = 120%B.150%h = 100

150

100

120 B.h

Área Final = 1,8.B.h

Aplicando regla de tres simple:

Bh 100%

1,8 Bh X

X = 100%.Bh

Bh 1,8 = 180%

El aumento de área en porcentaje fue de: 180%

Método II:

Con este método no es necesario saber las formulas de áreas de los diferentes

figuras planas, por que las constantes que existieran en dichas formulas se

anularían.

AINICIAL = 100%

AFINAL = 120% .150% = 100

120150% = 180%

El aumento de Área = 180% - 100% = 80%

b) ¿La base de un triángulo se ha incrementado en un 10% y la altura ha

disminuido en un 40%. ¿En qué porcentaje ha variado su área?

Solución:

AINICIAL = 100%

AFINAL = 110% .60% = 100

11060% = 66%

El Área disminuye en: 100% - 66% = 34%

120% B

150% h

+20% +50%

+10% -40%

MATEMÁTICA


c) ¿En qué porcentaje aumenta el área de un círculo, si su radio aumenta en

un 30%?

Solución:

Área del círculo es 2.r = r.r , la dimensión de longitud “radio” se multiplica

dos veces, entonces el aumento de 30 % se repetirá dos veces y la constante ,

se cancela.

AINICIAL = 100%

AFINAL = 130% .130% = 100

130130% = 169%

El Área aumenta en: 169% - 100% = 69%

d) ¿La base de un triángulo aumenta en sus 3/5 y su altura disminuye a la

mitad. ¿Cuánto % varía su área?

Solución:

3/5 equivale al 60%, entonces la base aumenta en 60% y su altura disminuye en

un 50%

AINICIAL = 100%

AFINAL = 160% .50% = 100

16050% = 80%

El Área disminuye en: 100% - 80% = 20% e) El radio de una esfera disminuye en un 20% ¿En qué porcentaje varia su

volumen?

Solución:

Nota: En caso de variación de volúmenes, con este método se tendría que

realizar 3 variaciones porcentuales “Flechas”, porque la magnitud física de

volumen es L3.

+30% +30%

+60% -50%

MATEMÁTICA


VINICIAL = 100%

VFINAL = 80% .80% .80% = 100

80

100

8080% = 51,2%

El Volumen disminuye: 100% - 51,2% = 48,8%

RESOLVER:

f) ¿En qué porcentaje varía el área de un paralelogramo, si su altura aumenta

en un 10 % y su base disminuye en un 10%?

g) Si la base de rectángulo disminuye en un 20%, ¿En qué porcentaje debe de

aumentar la altura para que su área aumente en un 25%

h) Si el largo de un prisma rectangulardisminuye en un 20% y su ancho

aumenta en un 10%, ¿En qué porcentaje debe de variar su altura, para que

su volumen no varíe?

PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I)

1. Para una puerta se necesitaron 1,86 m2 de una plancha de metal, la plancha

de metal perdida por recortes fue de 0,2 m2, Calcular el recorte en %.

2. Un obrero especializado trabaja a destajo por 9 dólares la hora. ¿En qué

tanto por ciento supera su salario a destajo el salario normal de 7,20

dólares?

3. Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador paga

820,00 nuevos soles. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin descuento?

4. Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la

elaboraciónpierde la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final.

5. El alquiler mensual de un taller es de 1860,00 nuevos soles. Habiendo sido

aumentado a S/. 3160,00. Calcular el porcentaje de aumento del alquiler.

-20% -20% -20%

MATEMÁTICA


6. En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el 22%

de todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela?

7. Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular las

proporciones de cobre y cinc en %.

8. 60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg de

Pb; el resto es cinc. Calcular las proporciones en %

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS (NIVEL II). 1. Determinar el 3% de 600 piezas.

Solución:

Los datos desconocidos se disponen de igual manera que en la regla de tres

directa.

En total de piezas (600) corresponderá al 100%. 3% es la parte del todo que se

debe calcular, luego, corresponderá x.

PIEZAS POR CIENTO 600.......................100% X ....................... 3%

2. ¿Cuál será élnumero de piezas cuyo 3% es igual a 18 piezas?

Solución:

El problema consiste en calcular ¿Cuánto corresponderá al 100 %? (que es el

total de piezas).

3 .......

100 x

600 100.............. ....

3 100x piezas

x

POR CIENTO PIEZAS

3% ...........................18

100% ............................X

___________ ....................x piezas

MATEMÁTICA


3. José compró un televisor de S/. 1800 por S/. 1 440 ¿Cuánto por ciento

obtuvo de descuento?

Solución:

José pagó lo que corresponde al 80 %, luego el descuento obtenido fue: Rpta. 20 % 4. Calcular el 8% de 320 octavos.

Solución:

8% de 320

.% 320 8.............

100 100

Bp

5. ¿Qué por ciento es 5 de 30?

Solución:

5 es de 30

100. .............% .............

p

B

6. Determinar:

a. 4% de 10

b. 25% de 80

c. 2,5% de 3

d. 10% de 480

VALOR PIEZAS

1 880 ...........................100%

1 440 ............................X ___________ 80%x

100% ..................% ....................%

Total = 320

Tasa = 8

Porcentaje = ¿

Total = 30

Porcentaje = 5

Tasa = ¿

MATEMÁTICA


7. Escribir en forma de porcentaje:

a. 0,75 _________________

b. 0,4 _________________

c. 2

_________________5

d. 1

_________________10

PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL III): 1. Hallar el 0,05% de 4 200.

A) 0,12 B) 0,021 C) 2,1 D) 2,01 2. Hallar los 3/5% de 6000.

A) 1640 B) 1620 C) 162 D) 16,2 E) 36 3. El 32% del 45% de 5 300, ¿Qué porcentaje representa del 25% de 4 770?

A) 30% B) 60% C) 64 % D) 44% E) 80%

4. Si el precio de un artículo se rebaja en 40%, ¿En qué porcentaje hay que

aumentar el nuevo precio para obtener el original?

A) 40% B) 50% C) 30% D) 6632 % E) 60%

5. ¿Cuál es el valor de “n” después de ser disminuido en 1472 %?

A) 6

1n B)

6

5n C)

6

7n D)

3

1n E)

7

6n

6. En una clase de 60 alumnos, el 25% son niñas. Si el 40% de los niños y el

20% de las niñas salen de paseo, ¿Qué porcentaje de la clase salió de paseo?

A) 30% B) 3221 % C) 35% D) 32% E) 20

21 %

7. Para unapuerta se necesitaron 1,86 m2 de chapa, la chapa perdida por

recortes fue de 0,2 m2, Calcular el recorte en %.

MATEMÁTICA


8. De una chapa cuadrada de 400 mm de lado se desea cortar el mayor círculo

posible. Calcule el resto de recorte en %

9. Un obrero especializado trabaja a destajo por S/. 9 la hora. ¿En qué tanto por

ciento supera su salario a destajo el salario normal de S/. 7,20?

10. Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador paga

S/. 820,00. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin descuento?

11. Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la elaboración pierde

la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final.

12. El alquiler mensual de un taller es de S/. 1860,00. Habiendo sido aumentado a

S/. 3160,00.Calcular el porcentaje de aumento del alquiler.

13. En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el 22% de

todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela?

14. Una pieza se tornea con una pieza de acero al tungsteno-silicio en 25 minutos,

con otra de acero rápido en 20,5 minutos ¿Cuál es el ahorro de tiempo en por

ciento?

15. Por refinado se mejora la resistencia a la tracción de un acero en un 36%

alcanzando entonces el valor de 11,2 N/mm2. ¿Qué resistencia a la tracción

tenía el acero antes del refinado?

16. Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular las

proporciones de cobre y cinc en %.

17. 60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg de Pb;

el resto es cinc. Calcular las proporciones en %

18. Un árbol de 26 mm de diámetro recibe un corte de 2,4 mm de profundidad.

¿En que porcentaje disminuye la sección transversal?.

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL IV):

1. Calcular los siguientes porcentajes:

a. 20 % de 240;

b. 5 % de 900;

c. 60 % de 1240;

d. 40 % de 12000;

e. 8 % del 40 % de 160000;

f. 5 % del 30 % de 400000;

g. 10 % del 50 % de 60000;

h. 250 % de 840000.

2. En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el

tanto por ciento de ausencias?

3. En una ciudad de 23500 habitantes, el 68 % están contentos con la gestión

municipal. ¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con el ayuntamiento?

4. Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa el 84% de todas las

camas disponibles. ¿De cuántas camas dispone el hospital?

5. El 24% de los habitantes de una aldea tienen menos de 30 años. ¿Cuántos

habitantes tiene la aldea, si hay 90 jóvenes menores de 30 años?

6. Calcular en cuánto se transforman las siguientes cantidades si varían según el

porcentaje indicado:

a. 3500 nuevos soles, si aumentan el 8 %.

b. 8500 litros, si aumentan el 27 %.

c. 360000 personas, si aumenta el 3 %.

d. 2300 discos, si aumentan el 150 %.

e. 546 alumnos, si aumentan el 4 %.

f. 1600000 nuevos soles, si aumentan el 16 %.

7. El precio de un libro, después de haber aumentado un 12 %, es de S/. 26,5.

¿Cuánto valía antes de la subida?

8. Con las últimas lluvias el contenido del pantano ha aumentado el 27 % y tiene

321,6 hm3. ¿Cuánta agua tenía antes de las lluvias?

MATEMÁTICA


9. He conseguido que me rebajaran la nevera un 18 %, con lo que me ha costado

S/. 340. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?

10. Si el precio de una mercancía se sube el 50 % y después se baja el 50 %,

¿cómo queda con respecto al precio inicial? Compruébalo con un precio de S/.

100.

11. En las rebajas de una tienda se descuentan todos los artículos un 10 %. Si

compras por valor de 1580 S/. , ¿cuánto tendrás que pagar?

12. Una tienda carga el 12 % de IGV sobre cada factura. Si el importe de las

ventas es de S/. 30500, ¿a cuánto asciende con el IGV?

13. Un equipo de música vale en una tienda S/. 739 + 12 % de IGV, y en otra, S/.

800 incluido el IGV. ¿Dónde te conviene comprarlo?

14. Calcula el interés simple anual en los siguientes casos:

a) S/. 72000 al 9 % en 3 años y 6 meses. b) S/. 144000 al 8 % en 5 años. c) S/. 96000 al 11 % en 18 meses. d) S/. 324000 al 12 % en 27 meses. e) S/. 150000 al 10 % en 1000 días. f) S/. 750000 al 9 % en 4 años y 6 meses. 15. ¿Cuánto tiempo hay que tener colocados S/. 1000 al 5% anual para que se

conviertan en 1500 ?

Encuentra el capital que depositado al 7,5% ha producido unos intereses de

S/. 250 en 2 años

MATEMÁTICA


13.6. INTERÉS SIMPLE.

Se llama interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un

tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto

beneficio económico llamado interés.

La fórmula más conocida de interés simple es:

El Interés, es también conocido como Ganancia, Beneficio, Renta, que

produce el capital del préstamo durante cierto tiempo.

El Capital, conocido también como capital inicial, capital primitivo, capital

original. Suma de dinero que su poseedor impone o presta a determinadas

condiciones para obtener ganancia.

La tasa de Interés, nos indica que tanto por ciento del capital se obtiene

como ganancia en un período de tiempo.

El Monto, es también conocido como nuevo capital, capital originado, capital

final, capital generado. El monto es la suma de capital y interés que genera

este en cierto período.

Para el uso de la Fórmula, es importante tener en cuenta que la tasa de interés (i)

y el tiempo (T), deben estar en la misma unidad de medida del tiempo.

Si la tasa de interés y el Tiempo no están en las mismas unidades de medida,

entonces una de ella se tendrá que convertir en la misma unidad de medida que

la otra. Para hacer conversión, por cada grada se tendrá que multiplicar o dividir

según sea el caso, como se muestra en el grafico “escalera”.

Donde: I = Interés C = Capital i = Tasa de interés T = Tiempo

M = Monto

I = C.i.T

M = C + I

MATEMÁTICA


Ejemplos:

1. Convertir 3 bimestres a quincenas: 3 4 = 12 quincenas; “se multiplica por 4, porque un bimestre tiene 4 quincenas.”

2. Convertir 7 meses a años: 7 12 = 7/12 año; “se divide entre 12, porque un año tiene 12 meses.”

Ejemplos: 1. Convertir la tasa de interés de 6% anual a tasa trimestral:

6% 4 = 1,5% trimestral; “se divide entre 4, porque un año tiene 4 trimestres.”

2. Convertir la tasa de interés de 0,2% diario a tasa mensual:

0,2% 30 = 6% mensual; “se multiplica por 30, porque un mes tiene 30 días.”

Año

Semestre

Bimestre

Mes

Quincena

Días

TIEMPO

2

3

2

2

15 Cuando se desciende la

escalera, se multiplica

Año

Semestre

Bimestre

Mes

Quincena

Días

TIEMPO

2

3

2

2

15 Cuando se asciende la

escalera, se divide

Año

Semestre

Bimestre

Mes

Quincena

Días

Tasa de Interés (i)

2

3

2

2

15 Cuando se desciende la

escalera, se divide

Año

Semestre

Bimestre

Mes

Quincena

Días

2

3

2

2

15 Cuando se asciende la

escalera, se multiplica

Tasa de Interés ( i)

MATEMÁTICA


Problemas:

Pedro depositó $ 4500 en el Banco de Crédito a una tasa mensual del 3%.

¿Cuánto ha ganado en 4 meses?

a) $620 b) 480 c) 540 d) 370 e) 360

Solución:

Se observa que la tasa de interés está en meses y el tiempo también está en meses, entonces se puede aplicar la fórmula: I = C.i.T I = 4500(3%).(4)

I = 4500 100

34 = S/ 540

Respuesta: En 4 meses ha ganado S/ 540 y su nuevo capital o Monto será:

4500 + 540 = S/. 5040

Un Capital fue depositado al 5% mensual y produce un interés de $ 800 en 4

meses. ¿Qué interés producirá el mismo capital a una tasa del 9% semestral en 8

meses?

a) $150 b) 160 c) 420 d) 480 e) 550

Solución:

Hallando el capital “C”. I = C.i.T 800 = C.(5%).(4)

800 = C 100

5 4 C = S/. 4000

Ahora, se calcula el interés que producirá el capital de S/ 4000 a una tasa de 9% semestral, durante 8 meses. “la tasa de interés semestral se convertirá en tasa de interés mensual”.

Datos:

C = S/ 4500

i = 3% mensual

T = 4 meses

Datos:

C = ?

i = 5% mensual

I = 800

T = 4 meses

MATEMÁTICA


I = C.i.T

I = 4000.(6

9 %).8 = 4000 100

1

6

9 8

I = S/ 480

El precio de una moto es $ 2600; si Pablo tiene sólo $ 2400 ¿Qué tiempo deberá

depositar este dinero a una tasa del 4% anual para que pueda comprar la moto?

Suponer que la moto no cambia de precio.

a) 2a b) 2a 1m c) 1a 8m d) 1a 6m e) 3a 1m

Solución:

El precio de la moto S/. 2600, es el capital final que se debe tener para `poder

comprar la moto, “capital final o también llamado Monto”.

El interés que se debe de ganar es: S/ 2600 – S/ 2400 = S/ 200

“El tiempo que se calculará será en meses porque es la menor unidad de medida

del tiempo que se muestran en las alternativas.”

I = C.i.T

200 = 2400.(12

4 %).T

200 = 2400100

1

12

4 .T

T = 25 meses = 2 años 1 mes

OBSERVACION.- El interés que genera un capital es proporcional al tiempo;

siempre que la tasa de interés permanezca constante.

Datos:

C = 4000

i = 9% semestral = 6

9% mensual.

T = 8 meses

I = ?

Datos:

C = S/ 2400

i = 4% anual = 12

4% mensual.

T = T meses

I = S/ 200

MATEMÁTICA


Reglas Prácticas:

También se tiene que:

100

t.%.cI

1200

t.%.cI

36000

t.%.cI

Nota:

Recordar la forma de realizar el cambio de tasa anual a otros períodos menores.

Averiguar cuántos períodos menores hay en el período mayor. Por ejemplo en

año hay 6 bimestres, entonces dividir la tasa anual entre 6 y listo, se tiene la

tasa bimestral.

Ahora al revés, se quiere la tasa anual y sólo se tiene la tasa trimestral, en un

año hay cuatro trimestres, se multiplica por cuatro, ya se tiene la tasa anual.

Tasa anual Período N° períodos al año Tasa del período

40% anual 1 40% anual

40% semestral 2 20% semestral

40% trimestral 4 10% trimestral

40% bimestral 6 6,67% bimestral

40% mensual 12 3,33% mensual

Ejemplo:

Qué interés origina S/ 7200,00, al 2% trimestral en 5 meses?

Solución:

C = 7200 ; Tasa = 8% anual

1200

t.%.cI 240

1200

587200

I 240I

Donde:

C : Capital

%=i = tasa de interés

I= Interés

Nota: La tasa de interés o

porcentaje, siempre debe estar en

tasa ANUAL

t : años

t : meses

t : dìas 36000

1200

MATEMÁTICA


Se deposita en un banco $ 2500 a una tasa quincenal del 0,6% ¿Qué interés

habrá producido en 5 quincenas?

a) $75 b) 150 c) 45 d) 60 e) 90

¿Qué capital se debe depositar al 15% de interés anual para que se convierta en

$ 6500 a los 2 años?

a) $4000 b) 5000 c) 7000 d) 2000 e) 3000

Si en interés producido por un capital en 8 meses equivale a un cuarto de capital.

¿Cuál es la tasa de interés anual a la cual fue depositada?

) 42,5% b) 32,5% c) 35% d) 37,5% e) 40%

Los 2/3 de un capital se imponen al 8% anual y el resto al 2,5% trimestral. Si al

cabo de 2 años los intereses son $ 6240, hallar el capital original.

a) $24000 b) 30000 c) 36000 d) 42000 e) 50000

Un capital se impone al 5% mensual, ¿En qué tiempo se quintuplicará?

a) 50m b) 60m c) 70m d) 80m e) 90m

EJEMPLOS DE PORCENTAJE: Completar convenientemente:

FRACCIÓN A PORCENTAJE.

Escribir1

5en forma de porcentaje.

Solución:1

5 100

x ,

100 1............

5x

Sustituyendo x en la razón 100

x,se tiene el porcentaje

20

100ó 20 %

Escribir3

4en forma de porcentaje.

PORCENTAJE A FRACCIÓN.

Escribir 30% en forma de fracción irreductible.

MATEMÁTICA


Solución:30 3

30%100 10

PROBLEMAS RESUELTOS DE PORCENTAJE:

Completar los espacios en blanco.

Determinar el 3% de 600 piezas.

Solución:

Los datos desconocidos se disponen de igual manera que en la regla de

tres directa.

En total de piezas (600) corresponderá al 100%. 3% es la parte del todo que

se debe calcular, luego, corresponderá x.

PIEZAS POR CIENTO 600.......................100% X ....................... 3%

¿Cuál será el número de piezas cuyo 3% es igual a 18 piezas?

Solución:

El problema consiste en calcular ¿Cuánto corresponderá al 100 %? (que es

el total de piezas).

3 .......

100 x

José compró un televisor de S/. 1800 por S/. 1 440 ¿Cuánto por ciento obtuvo de

descuento?

Solución:

600 100.............. ....

3 100x piezas

x

POR CIENTO PIEZAS

3% ...........................18

100% ............................X

___________ ....................x piezas

VALOR PIEZAS

1 880 ...........................100%

1 440 ............................X ___________ 80%x

MATEMÁTICA


José pagó lo que corresponde al 80 %, luego el descuento obtenido fue:

Rpta. 20 %

TANTO POR CIENTO MÁS.

Un libro que cuesta S/. 25,00 va a aumentar de precio el 20 %. ¿Cuál será el

nuevo precio?

Solución:

El precio del objeto antes del aumento es representado por el 100 %, después del

aumento, será representado por 100 % + 20 % = 120 %

Se puede entonces plantear el problema:

....... 25.00 ............... ...................................

120 ...........x

x

Rpta. S/. 30

TANTO POR CIENTO MENOS.

Un corte de tela fue comprado con un descuento del 15% del costo a S/. 170

¿Cuál es el valor real de ese corte?

Solución:

El precio de corte era representado por 100%, después del descuento estará

representado por 100% -15%, o sea 85%.

........ ........ ............... ...................................

........ ........ ...........x

Rpta.: S/. 200

100% ..................% ....................%

100% ____________ .............

120% ____________ X

100% ____________ X

85% ____________ 170.00

MATEMÁTICA


EJERCICIOS DE PORCENTAJE. a. Calcular el 8% de 320 octavos.

Solución:

8% de 320

.% 320 8.............

100 100

Bp

b. ¿Qué por ciento es 5 de 30?

Solución:

5 es de 30

100. .............% .............

p

B

c. 18 alumnos representan el 60% de un turno. ¿Cuántos tienen ese turno?

Solución: 18 alumnos es el 60%

............... ...................

............... ..............p ...............

Total = 320

Tasa = 8

Porcentaje = ¿

Total = 30

Porcentaje = 5

Tasa = ¿

Porcentaje = 18

Tasa = 60

Total = ¿

MATEMÁTICA


EJERCICIOS DE REPASO.

1. Completar observando el ejemplo:

Ejemplo: 4 80

80%5 100

a. 1 ......

..........%2 100 b.

3 ................%

4 100

2. Completar los ítems observando el ejemplo:

Ejemplo: 70

0,70 70%100

a. 0.25 = ............ = .............% b. 0.01 = .............. = ..............

4. Un objeto fue comprado con el 20% de descuento, así costo S/. 480. ¿Cuál

era su precio inicial?

5. Determinar:

a. 4% de 10

b. 25% de 80

c. 2,5% de 3

d. 10% de 480

.

6. Una pieza de 36,5 Kg debe contener cobre, estaño y zinc. ¿Cuánto de cada

metal será necesario, si la mezcla debe contener 96% de cobre, 3% de

estaño y 1% de zinc?

7. ¿Cuántos Kg de cobre y plomo serán necesarios para obtener 60 Kg de una

mezcla de dos metales que contenga el 70% de Cobre y el resto de plomo?

8. Un tornero recibe un salario de S/. 9 por hora y el 25% más de sobre las

horas extras. Siendo su horario normal de trabajo de 8 horas y sabiendo

que en 5 días ha trabajado 52 horas, se pregunta ¿Cuánto recibirá?

9. Escribir en forma de porcentaje: a. 0,75 _________________

b. 0,4 _________________

c. 2

_________________5

MATEMÁTICA


EJERCICIOS RESUELTOS DE PORCENTAJE:

1. Los aumentos sucesivos del 10% y 30%, equivalen a un único aumento de:

A) 63% B) 43% C) 42,8% D) 40% E) 48%

Solución:

Calculando el primer aumento: 100% + 10% =110%

El segundo aumento: 100% + 30% =130% A=130%(110%) = 143%

Luego, el aumento es 43 %

2. Si la base de un triángulo, disminuye en su 20% y su altura disminuye 30%,

el área en qué porcentaje disminuye.

A) 56% B) 44% C) 54% D) 24% E) 76%

Solución:

Calculando el primer descuento: 100% - 20% = 80%

el segundo descuento: 100% - 30% =70%

Luego, el área final es 80%x70% = 56 %del área inicial,

disminuyó en 44%.

3. Si “a” aumenta en su 10%, ¿en qué porcentaje aumenta “a2”?

A) 10% B) 42% C) 21% D) 100% E) 20%

Solución:

Área inicial: 100%

Área final: 110% x 110% =121%, el área aumentó en 21%,

4. El área de un cuadrado es 100 m2. Si sus lados disminuyen en 6 m, ¿En qué

porcentaje disminuye su área?

A) 16% B) 36%C) 44% D) 84% E) 64%

Solución: Área inicial: 10 x 10 = 100

Área final: 4 x 4 = 16 el área disminuyó 84%.

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5. Si las aristas de un cubo aumentan su triple, ¿En qué porcentaje aumenta su

volumen?

A) 2700% B) 6400% C) 1600% D) 2600% E) 6300%

Solución:

Volumen inicial: a x a x a = a3

Volumen final: 4a x 4a x 4a = 64 a3 el área aumentó 6300%

6. ¿Qué porcentaje de “a” es (a + 0,05a)?

A) 105% B) 50%C) 125% D) 150% E) 250%

Solución:

Se calcula(1a + 0,05a)/ a x100%= 105%

7. ¿"a" es el n% de qué número?

A) a

n100 B)

n100

a C)

100

an D)

n

a100E)

a100

n

Solución:

a= n% x luego despejando x = n

a100

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERÉS SIMPLE:

8. Calcular el capital que en 4 años prestado al 8% de interés anual, ha

producido S/. 22 de interés.

A) S/. 50 B) S/. 70 C) S/. 60 D) S/. 120 E) S/. 240

Solución:

Datos: I = S/. 22,4 r = 8% anual t = 4 años

Usando la fórmula tenemos: 100

.

IC

r t

Capital: 100 22,40

4 8c

; donde C =

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9. ¿A qué tasa anual se debe prestar un capital de S/. 120 para que al término de

3 meses produzca S/. 2,88?

A) 13 B) 8 C) 4,5 D) 7,1 E) 9,6

Solución:

Datos: I = S/. 2,88 c = S/. 120,00 t = 3 meses = 3 1

12 4a a

Usando la fórmula se tiene: 100

.

Ir

C t

100.2,88

1120.

4

r donde r =

10. Calcular por cuánto tiempo se debe prestar, a una tasa de 0,5% mensual, un

capital de S/. 800 para obtener S/. 280 de interés.

A) 5 a10 m B) 3a10 m C) 7 a8 m D) 9 a4 m E) 35 meses

Solución:

Datos: c = S/. 800,00 I = S/. 280,00 r = 0,5 x 12m = 6% al año

Usando la fórmula se tiene: 100

.

It

C r

Tiempo: 100.280

800.6t

Donde 5

56

t a = ........años y .......meses

11. Calcular el interés producido por un capital de S/. 20 000 colocados a una

tasa de 12% anual, durante 3 años.

A) S/. 2500 B) S/. 3000 C) S/. 6000 D) S/. 7200 E) S/. 4000

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Solución:

Datos:

c = S/. 20 000 r = 12% anual t = 3 años

Usando la fórmula se tiene: . .

100

C r tI

20000.12.3

100I Luego I = S/. …………………….

12. ¿Qué tiempo debe estar prestado un capital de S/. 8 500 al 3% trimestral

para producir S/. 1 360 de interés?

A) 12 m. B) 16 m. C) 18 m. D) 9 m. E) 20 m.

Solución:

La tasa 3% trimestral se pasa a anual, 3% x 4 trimestres = 12% anual

Usando la fórmula de meses . .

1200

C r mI y despejando el tiempo

m:

1200 136016

12 8500

xt meses

x

13. ¿A qué tasa anual debe ser colocado un capital para que a los 8 meses

produzca un interés equivalente a los 7/50 del capital?

A) 27 B) 35 C) 14 D) 21 E) 36

Solución:

Se sabe que:

7

50I C reemplazando

. . 7

1200 50

C r mC

Se puede eliminar el capital y despejar la tasa anual, donde m = 8 meses

.8 7

1200 50

r despejando, la tasa es r = 21 % anual

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14. Jorge y Luis ahorran juntos. El primero deposita S/. 600 y el segundo S/. 800

a una tasa 10% mensual y el 10% bimestral respectivamente. ¿Dentro de

cuánto tiempo tendrán el mismo monto?

A) 17 m. B) 12 m. C) 13 m. D) 8 m. E) 10 m.

Solución:

Calculando las tasas anuales:

Jorge 10% x 12 meses = 120% anual

Luis 10% x 6 bimestres = 60% anual,

como los montos ganados deben ser iguales

1 2M M

1 2

1 2

. .(1 ) (1 )

100 100

r t r tC C

120. 60.600(1 ) 800(1 )

100 100

t t

600 720. 800 480.t t

y despejando el tiempo t es 10/12 años = 10 meses

15. ¿Qué capital se debe depositar al 15% de interés anual para que se

convierta en S/. 6 500 en 2 años?

A) S/. 4000 B) S/. 5000 C) S/. 7000 D) S/. 2000 E) S/. 3000

Solución:

Como se convierte, entonces es monto .

(1 )100

r tM C

Reemplazando:15 2

6500 (1 )100

xC

Y despejando el capital C = 5000 soles

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EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE:

Resolver aplicando las fórmulas.

1. Calcular por cuánto tiempo se prestará, a una tasa de 7% anual, un capital

de S/. 800, para obtener S/. 280 de interés.

2. Calcular el capital que en 3 años rindió S/. 270 al 5% anual.

3. ¿A qué tasa se deben colocar S/. 850, durante 2 años, para que rindan

S/.51?

4. ¿A qué tasa anual fue prestado un capital de S/. 12 000 que en 9 meses

rindió S/. 450 de interés?.

En la práctica las fórmulas son preparadas para facilitar los cálculos, así:

Para t en meses m :. .

1200

C r mI y tasa r anual

Para t en días d :. .

36000

C r dI y tasa r anual

Resolver:

5. a. ¿Qué interés producirán S/. 12 000 prestados al 5% anual, al final de 9

meses?

b. ¿Qué interés produce en 20 días a una tasa de 6% anual, un capital de

S/. 150 000?

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UNIDAD 14

ÁNGULO

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Postulados:

La línea recta posee dos sentidos.

La línea recta se extiende

indefinidamente en ambos

sentidos.

Dos puntos determinan una recta

Por un punto pasan infinitas

rectas.

14.1 DEFINICIÓN: RECTA, RAYO, SEMIRRECTA. RECTA.

Conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección.

Veamos: los puntos A y B determinan una RECTA.

A B r

Así, la recta puede ser representada de dos maneras:

- Con una letra minúscula: r, s,t,…. - Con dos letras mayúsculas: AB , CD , ….

Completar entonces, correctamente, la indicación de cada recta: s D E F G C t H u Recta …………..o CD recta t, o……….. recta ……… o ………..

RAYO.

Se determina en la línea recta tomando un punto como origen y uno de los

sentidos.

La figura muestra un rayo donde el punto O se llama origen y forma parte de la

figura.

Notación: OA

SEMIRRECTA.

Es uno de los sentidos de la recta. A diferencia del rayo una semirrecta no

considera el origen.

Gráficamente: Notación: OA

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14.2. ÁNGULO.

Es la región del plano limitado por dos rayos que tienen un origen común.

Parte común a dos semiplanos.

Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo.

Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que tienen el mismo

origen.

Elementos del ángulo: vértice “O”; lados OA y OB; abertura ● A lado

ángulo cóncavo ángulo convexo

O abertura Lado ● B

180º << 360º

14.2.1 UNIDADES DE CONVERSIÓN.

S: sistema sexagesimal C: sistema centesimal R: sistema radial

S C R

360º 400g 2 En el sistema sexagesimal: 1º = 60´ ; 1´ = 60”

90º /2

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II I

180º 360º 2 o

III IV

270º 3/2

14.2.2 INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS.

A) TRANSPORTADOR. B) GONIÓMETRO. C) FALSA ESCUADRA.

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θ

D) ESCUADRA.

14.2.3 CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.

I. De acuerdo a su medidas. A) Ángulo agudo.

0º < m< 90º B) Ángulo recto.

m = 90º C) Ángulo obtuso.

B

90º < m< 180º O C D) Ángulo llano o lineal.

m = 180º A O B E) Ángulo convexo. 0º <θ < 180º F) Ángulo no convexo (ó cóncavo).

180º <θ < 360º

θ

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II. De acuerdo a la posición de sus lados. A) ÁNGULOS ADYACENTES. Son dos ángulos que tienen un lado común . B) ÁNGULOS CONSECUTIVOS. Son dos o más ángulos adyacentes y están uno al lado del otro. C) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE. Tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones de los lados

del otro: m = m

III. De acuerdo a la suma de sus medidas. A) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.

+ = 90º

C () = 90º –

n = par: C CCCCC () = n = 6

n = impar: C CCCC () = C () n = 5

O

A

B C

D

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B) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.

+ = 180º S () = 180º –

n = par: S SSS () = n = 4

n = impar: S SSSS () = S () n = 5

C) ÁNGULOS REPLEMENTARIOS.

+ = 360º

R () = 360º –

n = par: R RRRRR () = n = 6

n = impar: R RR () = R () n = 3

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14.2.4 OPERACIONES CON ÁNGULOS.

Adición.

Para sumar unidades angulares, debe de disponerse en columnas las unidades

de igual denominación (de modo que se correspondan en columnas vertical), ya

se vio esto anteriormente.

Observar la operación siguiente.

Sólo se pueden sumar magnitudes de la misma especie; esto es, segundo con

segundo, minuto con ................... y grado con ...............

En cambio, en la suma de unidades angulares, a veces se hace necesario usar

las relaciones existentes entre ellas.

En la suma del lado, hay 81’, esto es un grado y veintiún minutos (1° 21’). Se tendrá entonces una nueva forma a la suma (resultado) que pasará a ser 53° 21’. Pues bien, para que esto ocurra se debe dividir 81’ por 60’, que dará como cociente el número de grados y el residuo -si hubiera- será el número de minutos:

32° 17’30” +

19° 13’15”

51° 30’45”

1° 81’| 60

17° 36’ + 21’ 1°

35° 45’

52° 81’

53° 21’

17° 36’ +

35° 45’

52° 81’

1 grado (°) = 60 minutos (‘)

1 Minuto (‘) = 60 Segundos (“)

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Observar además estos otros ejemplos: 35° 16’ + 17’42” + 45° 45’ 20’41” 80° 61’ 37’83” 81° 1’ 38’23” EJERCICIOS DE ADICIÓN: 1. Sumar las siguientes medidas angulares: a. 31° 17’ + 3° 38’ = ..............................

b. 105° 18’ + 25° 17’ + 10° 25’ = .....................

c. 21’30” + 2° 13’40” = ..................................

d. 2° 45’ + 10° 10” = ...................................

2. Calcular la medida del ángulo x:

a = 27° 25’

b = 16° 13’

x = a + b = ........... 3. ¿Cuál es la medida del ángulo y?

a = 42°

b = 36°

c = 19°

y = ................= ...........

RESPUESTAS:

1. a) 34° 55’ b) 141° c) 2° 35’10” d) 12° 45’10” 2. 43° 38’ 3. 97°

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Sustracción.

En la resta se procederá de la misma manera que en la suma haciendo

corresponder en columnas las unidades de la misma denominación, y cuando sea

necesario, tomando en cuenta las relaciones existentes entre ellas. Observar:

¿Cuándo es posible hacer una resta? Sólo es posible efectuar la resta cuando las magnitudes: Del minuendo son mayores o iguales que las del Sustraendo. Por tanto ¿Cómo sería posible resolver la resta de abajo? De 5’ no se puede restar 16’ Pues bien, la resta se hará de la siguiente manera: Se pide prestado 1° a los 74°. El mi - nuendo, pasará entonces A ser 73° 65’. Ud. debe de haber notado que de los 74° fue Retirado 1° quedando entonces 73°, este 1° fue transformado En minutos(1° = 60’= y después, sumado a los 5’ existentes 60’ + 5’ = 65’ Así fue posible la resta.

Observar con atención los ejemplos y completar.

EJEMPLOS DE SUSTRACCIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS: a) b) c) 13° 16’ -- 35° 25’ -- 12’16” -- 8° 27’ 17° 35’9’40” _________ _________ ____________ 4° 49’ ................ 2’36”

49° 20’ -

20° 14’

29° 6’

74° 5’ -

18° 16’

?

El ángulo 73° 65’

es igual a 74° 5’

73° 65’ -

18° 16’

55° 49’

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d) e) f) 10’25” -- 12° 15’18” -- 20° 10’35” -- 8’45” 9° 20’25” 18° 15’30” _________ ___________ ____________ ………… 2° 54’53” ………….

Respuestas a los Ejemplos:

b) 17° 50’ c) 11’76” d) 9’85” - 1’40” f) 19° 70’ - 1° 55’5” EJERCICIOS DE SUSTRACCIÓN: 1. Calcular la medida del ángulo x:

x = .......... 2. ¿Cuál es la medida del ángulo y?

a = 35°

b = 10° 15”

y = a - b 3. ¿Cuál es la medida del ángulo b?

a = 35° 25’

b = 90° - a

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4. Restar las siguientes medidas angulares: a. 45° 30’ - 22° 15’ = ....................

b. 53° - 19° 45’ = ................. c. 65° 17’ - 42° 36” = ..................

d. 20’18” - 15’30” = ............... e. 28° 16’30” - 17° 40’18” = .......

f. 47° 48’ 23° 55’10” = ...........

g. 45° - 12’29” = ...............

h. 36’ - 18’30” = ....................

i. 56° 17” - 5° 10’10” = ...............

5. Efectuar: 18° 36’ - 15° 42’37” + 3° 55’ Multiplicación.

Para multiplicar un ángulo por un número natural se debe multiplicar por ese

número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si

alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, se

transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.

18º 26' 35" X 3 54º 78' 105"

Pero 105" = 1' 45", luego

54º 79' 45"

Pero 79' = 1º 19', luego

55º 19' 45"

MATEMÁTICA


6. Realizar los siguientes productos:

a. 56º 20' 40" * 2

b. 37º 42' 15" * 4

c. 125º 15' 30" * 2

d. 24º 50' 40" * 3

e. 33º 33' 33" * 3

f. 17º 43' 34" * 2

División.

Para dividir un ángulo por un número natural dividir los grados entre ese número.

Transformar el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y se suma a

los que se tenían. Dividir los minutos. Transformar el resto de la división en

segundos, multiplicándolo por 60, y sumar a los segundos que se tenían. Dividir

segundos.

7. Realizar las siguientes divisiones:

a. 56º 20' 40" : 5

b. 37º 42' 15" : 4

c. 125º 15' 30" : 5

d. 25º 50' 40" : 6

e. 33º 33' 33" : 2

f. 17º 43' 24" : 12

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ÁNGULOS CONGRUENTES (). Dos ángulos son congruentes cuando tienen igual medida. A B P R 30º 30º

mABC m PQR C Q

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO.

La bisectriz es un rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a éste en dos

ángulos de igual medida o congruentes.

OM : Bisectriz

14.3 TEOREMAS RELATIVO A LOS ÁNGULOS.

1. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos y complementarios forman un

Angulo de 45º

2. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman 90º

3. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.

PROBLEMAS RESUELTOS.

1. Calcular la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de 120º.

2. Calcular el valor de la razón aritmética entre el duplo del complemento de la

mitad de un ángulo y la tercera parte del suplemento del triple de dicho ángulo.

45º

Teorema 1

Teorema 2

Teorema 3

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3. Del gráfico mostrado la medida del ángulo DRO es tres veces la media del

ángulo ARE. Calcular el valor de “x”. Si los rayos RD y RO son las bisectrices

del ángulo MRA y ERN.

4. Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3/ 5. Calcular

la medida del ángulo menor.

5. En la siguiente figura, los ángulos AOB y AOC son complementarios. Hallar la

medida del ángulo AOX, siendo OX bisectriz del ángulo BOC.

6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: mAOC = 80º

y mBOD = 60º. Hallar la medida del ángulo determinado por las bisectrices

de los ángulos AOB y COD.

7. En la figura, calcular el ángulo AOB. 8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que m

AOB=20º, mBOD = mDOE y mCOE = mBOC + mBOD = 90º.

Calcule mAOC.

9. En la siguiente figura, las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD, DOE y

EOA está, en progresión aritmética. Hallar la medida del ángulo COD.

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10. Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de

modo que: 5432

DECDBCAB y AE = 42 cm. Calcular CD.

Resolución de los Problemas:

1.

La ecuación será : º1203

1

2

1CSxx

)º120º180(º903

1

2

1 xx

º5x

2.

Del enunciado se tiene:

X =

3

3

1

22 SC

. . . ( I )

Donde : * Medida del ángulo en mención * x Valor de la Razón Aritmética

En ( I) : x =

31803

1

2902

x = 180° - - 60° + x = 120º 3.

Dato:

AREmDROm 3

xx 3

x2

según el gráfico : 9022 x

90)(2 x

90)2(2 xx

905x ; º18X

MATEMÁTICA


4. Sea “x” el ángulo menor:

5

3

º180

x

x

03º67º5,67 x

5.

Sea mAOX = θ mAOB + mAOC = 90º (θ + α ) + (θ – α ) = 90º θ = 45º 6. Se pide: α + β + θ = ? Como: 2α + β = 80º 2θ + β = 60º Al sumar y simplificar: α + β + θ = 70º 7. Sea mAOB = X Del gráfico, por ángulo de una vuelta: mDOB + mBOD = 360º ( 210º - X ) + 190º = 360º X = 40º

α α

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8. Piden mAOC = ? Sean mBOC = α mBOD = θ Del enunciado α + θ = 90º ....... ( 1 ) Se Observa 2θ = 90º + α .........( 2 ) Sumando ( 1) y ( 2) 2θ + θ = 180º Θ = 60º y α = 30º mAOC = 50º

9. Tomando los ángulos en forma conveniente ( X - 2α ) + ( X – α ) + X + ( X + α ) + ( X + 2 α ) = 360º α = 72º 10. 14 X = 42 X = 3 Se pide: CD = 12 PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I).

1. Calcular la suma de los ángulos y el tamaño de un ángulo para:

a) un pentágono regularb) un hexágono regular, c) un octógono regular.

20º

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2. Calcular para el ángulo de 78 41 28 el ángulo complementario y suplementario.

3. La suma de dos ángulos de un triángulo es de 139 37 4 . Calcular el tercer ángulo.

4. La cubierta de en cilindro esta sujeta con 8 tornillos. Calcular el ángulo de distancia

entre los tornillos.

5. Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un ángulo de 14 12 56. Para el ajuste

se requiere el ángulo en decimales.

6. Una válvula de admisión abre 17,43 antes del punto muerto superior. Calcule tal

ángulo de abertura en grados, minutos y segundos.

7. Convertir en:

a) Grados: 240 ; 35 ; 4200 ; 31,2 ; 0,68 ; 0,42 ; 425

b) Minutos: 360 ; 38 ; 4600 ; 38,6 ; 0,64 ; 172 ; 86

c) Segundos: 314 ; 56 ; 3800 ; 68,2 ; 0,45 ; 0,012 ; 15

e) Sumar: 14 46 + 181 34 + 37 8 + 9 12 32

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8. Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 5 ; 3 y 1.

Calcular la diferencia entre las medidas del mayor y menor ángulo.

A) 80º B) 90º C) 65º D) 100º E) 60º

9. En un triángulo ABC, BE es bisectriz interior. Calcular la medida del ángulo

C, si AB = BE = EC

A) 72º B) 30º C) 36º D) 40º E) 80º

10. Un ángulo mide la sexta parte de la medida de un ángulo recto. Otro ángulo

mide los 5/9 de la medida de un ángulo recto. Determinar el complemento de

la suma de las medidas de dichos ángulos.

A) 25º B) 30º C) 35º D) 40º E) 20º

11. En la figura, L1 // L2. Sí: x+y = 40º , calcular (a + b).

A) 80º B) 85º C) 90º D) 100º E) 120º x a

4

5

y 6

12. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CF, el ángulo B mide 80º.

Calcular la medida del mayor ángulo que forman las bisectrices de los

ángulos HAC y ACF.

A) 125º B) 80º C) 135º D) 140º E) 120º

MATEMÁTICA



1. Encontrar el complemento de un ángulo que mide 25º, más el suplemento de otro ángulo que mide 105º.

A) 120º B) 125º C) 140º D) 130º E) 135º

2. Encontrar la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es igual a 2/5 de su suplemento.

A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º 3. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí como 4 es a 5.

¿Cuánto mide el mayor de los dos ángulos?

A) 95º B) 100º C) 105º D) 110º E) 105º 4. Hallar la medida de un ángulo es “X”, el suplemento del complemento del

triple de mX es igual al complemento de X aumentado en 20º. Calcular

mX.

A) 3º B) 4º C) 5º D) 6º E) 7º

5. En los ángulos consecutivos: AOB, BOC, COD se cumple que:

mAOC = 125º, mBOD = 100º. Calcular mAOB – mCOD.

A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 25º

6. La diferencia de los ángulos adyacentes AOB y BOC es 42º, se traza

el rayo OM bisectriz del ángulo AOC. Calcular la mMOB.

A) 42º B) 20º C) 10º D) 21º E) 25º

7. En los ángulos consecutivos AOB y BOC se cumple que mAOB = 50º. Encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos

BOC y AOC.

A) 22º B) 20º C) 18º D) 25º E) 26º 8. Hallar G: G = 2 (35º 32’55” – 24º 48’40”) 5 A) 5º 12’45” B) 4º 17’42” C) 4º 12’ 32”D) 4º 7’32” E) 6º 27’42”

MATEMÁTICA


9. Efectuar: 98º 45´ + 77º 42´ 5 6

A) 32º 41’00” B) 32º 41’15” C) 32º 42’ D) 32º 40’8” E) 32º 41’20”

10. El ángulo formado por 2 semirrectas opuestas se llama ángulo.

A) Obtuso B) Congruente C) Llano D) Nulo E) De un giro 11. Restar: (2º 3´12” ) : 3 de 2 ( 4º 6” ) a) 7º 19´ 8” b) 8º 41´ 8” c) 2º 41´ 2” d) 9º 19´ 8” e) 7º 31´ 4”

12. Dado los ángulos adyacentes AOB y BOC; los rayos OX, OY, OZ son

las bisectrices de los ángulos: AOB, BOC, XOY.

Si: mAOB – mBOC = . Hallar mBOZ

a) /2 b) /3 c) /4 d) /8 e) 2/3

13. Transformar /6 a grados sexagesimales: a) 10º b) 20º c) 30º d) 45º e) 50º 14. Efectuar:E = 4 ( 24º 48´ 40”) + 6 ( 25º 32´ 45”) a) 246º 38´ 42” b) 248º 04´ 30” c) 246º 38´ 42” d) 252º 31´ 10” e) 252º 21´ 48”

MATEMÁTICA


UNIDAD 15

ANGULOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

MATEMÁTICA


15.1. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTA

PARALELAS Y UNA SECANTE.

Considerar dos rectas paralelas r y s:

La región comprendida entre “r” y “s” será llamada región interna y las otras, regiones externas.

Considerando ahora las dos rectas paralelas cortadas por la secante “t”.

Observar que la secante forma con las rectas paralelas:

Cuatro ángulos AGUDOS iguales.

Cuatro ángulos OBTUSOS iguales.

De estos ocho ángulos, - Cuatro son INTERNOS pues pertenecen

a la región interna. Ej:a, b, c, d - Cuatro son EXTERNOS pues pertenecen

a la región externa. Ej: e, f, g, h

Región externa

Región interna

Región externa

obtuso

obtuso

agudo

agudo

obtuso

obtuso

agudo

agudo

c a b

d

e

f h

g

MATEMÁTICA


I. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS.. Son dos ángulos internos, ambos agudos o ambos obtusos y situados uno a cada lado de la secante. Ej.:

a y .......

c y ........ Dos ángulos alternos internos son iguales (pues ambos son agudos o ambos obtusos)

....... = b .......... = d II. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS. Son dos ángulos externos, ambos agudos o ambos obtusos y situados uno a cada lado de la secante. Ej:

e y ....... g y ........ Dos ángulos alternos externos son iguales

....... = f .......... = h

e

f

g

h

MATEMÁTICA


III. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES.

Son dos ángulos, uno interno y otro externo, ambos agudos o ambos obtusos y

situados en el mismo lado de la secante.

Dos ángulos correspondientes son iguales.

e y b

a y ........

....... y d

........ y ........

IV. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS.

Son dos ángulos internos, uno agudo otro obtuso

Ambos situados del mismo lado de la secante.

e

b

MATEMÁTICA


Ej:

a y d ........ y ........ Dos ángulos conjugados internos suman 180°.

a + d = 180° c + b = .........

V. ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOS.

Son dos ángulos externos, uno agudo otro obtuso

Ambos situados del mismo lado de la secante.

Ej.:

g y f ........ y h

Dos ángulos conjugados externos suman 180°.

g + f = 180° ....... + ....... = 180°

EJERCICIOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

1. Observar la figura y completar:

MATEMÁTICA


Dos rectas paralelas, cortadas por una secante forman ...............ángulos

f. Los ángulos internos son: (........................................................) g. Los ángulos externos son: (........................................................)

h. Los pares de ángulos correspondientes son:

(.................................); (.................................), (.................................) y (...........................)

i. Los pares de ángulos alternos internos son: (.................................) y (...........................) j. Los pares de ángulos alternos externos son:

(.................................) y (...........................) k. Los pares de ángulos opuestos por el vértice son: (.................................); (.................................), (.................................) y (...........................) l. Citar dos ángulos internos que sean suplementarios y dos ángulos

externos que también lo sean: Ángulos internos (.................................) Ángulos externos (.................................)

2. Observar también la figura del lado y determinar los ángulos:

a = .................................

b = .................................

c = ................................. 3. Determinar el valor de x:

x = ................................. x = .................................

MATEMÁTICA


4. En la figura siguiente, responder: ¿Cuál es la medida de cada ángulo agudo?

......................................................

¿Cuál es la medida de cada ángulo obtuso?

......................................................

5. Completar el siguiente cuadro observando el dibujo y el ejemplo.

Alternos internos B y H , C y E

Alternos externos

Correspondientes

Conjugados internos

Conjugados externos

Opuestos por el vértice

6. Determinar las medidas de los ángulos sin ayuda del transportador,

observando el dibujo.

1 = .............32°....................

2 = ......................................

3 = ......................................

4 = ...................................... 7. Dar nombres a los pares de rectas representados abajo: Rectas .................................................

MATEMÁTICA


Rectas ................................................. Rectas ................................................. 8. Determinar la medida de cada uno de los ángulos desconocidos:

a = .............130°........... e = .....................

b = .............................. f = ......................

c = ................................ g = .....................

d = .................................. h = ...................... 9. Completar observando la figura

Si b = 70° , entonces r = .............

Si c = 65° , entonces p = .............

Si s = 65° , entonces a = .............

Si q = 80° , entonces d = .............

Si a = 20° , entonces p = .............

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS:

1. a) 8

b) ( 1, 4, 6, 7)

c) ( 2, 3, 5,8)

d) (2, 6) ; ( 1,5) ; ( 8, 4) ; (3,7)

e) (4, 6) y ( 1,7)

f) (3, 5) y ( 2,8)

g) (1, 3) ; ( 2, 4) ; ( 6, 8) ; (5, 7)

h) ( 6, 7) y ( 5,8)

MATEMÁTICA


2. a = 50° b = 130° c = 50°

3. x = 150° x = 60° 4. 30° 150° 5.

Alternos internos B y H , C y E

Alternos externos D y F , A y G

Correspondientes

D y H , C y G, Ay E ,

B y F

Conjugados internos E y B , C y H

Conjugados externos A y F , D y G

Opuestos por el vértice

B y D , A y C, E y G,

F y H

6. 2 = 148° 3 = 32° 4 = 148° 7. Paralelas – perpendiculares - concurrentes

8. b = 50° d = 50° f = 50° h = 50°

c = 130° e = 130° g = 130°

9. f = 70° a = 65° q = 160°

p = 65° d = 80° 15.2. PROPIEDADES AUXILIARES.

ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS:

Si dos ángulos tienen sus lados paralelos: o son iguales, ó son suplementarios.

Se ve que son como dos paralelas entre dos secantes.

180

MATEMÁTICA


ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES:

Si dos ángulos tienen sus lados perpendiculares: o son igualesó son

suplementarios.

180

OTRAS PROPIEDADES: BISECTRIZ DE UN ÁNGULO INTERIOR:

Si se traza la bisectriz de un ángulo interior de un trapecio ADFC, se genera un

triángulo isósceles, donde el segmento CA es igual al segmento CG, y la base

no igual es el segmento AG.

m

n

m + n = + +

+ + + = 180º

m

n

+ = m + n

MATEMÁTICA


TEOREMA DE THALES:

Tres o más paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos

mutuamente proporcionales.

Si se aplica a un trapecio ADFC:

Se cumple que: AB DE

BC EF

THALES APLICADO A UN TRIÁNGULO:

Si se juntan las dos secantes, el trapecio se transforma en triángulo, pero por ser

paralelas entre dos secantes, el teorema de Thales se sigue cumpliendo:

Se cumple que: EF

AE

BC

AB

EJERCICIOS RESUELTOS DE:

ÁNGULOS Y PARALELAS.

MATEMÁTICA


1. Hallar la suma de los siguientes ángulos: 355°25’20” y 31°39’47” A) 18°40” B) 35°12’ C) 27°5’7” D) 23°10’ E) 13° Solución: 355°25’20” + 31°39’47” = 386°64’67” = 27°5’7”

2. Dividir en 5 partes, el ángulo : 310°10’45” A) 82°35’ B) 12°24’ C) 56°8’ D) 63° 2’4” E) 62°2’9”

Solución: 310°10’45” 5 = 62°2’9” 3. Efectuar la resta : 15°50” y 11°50’59”

A) 3°9’51” B) 4°12’30” C) 7°10’ D) 7°34’ E) 5°17’ Solución: 14°60’50” - 11°50’59” = 3°9’51”

4. Hallar el triple de 192°45’55”

A) 170°24’ B) 250°15” C) 218°17’45” D) 279°23’ E) 335°20’15” Solución: 192°45’55” x 3 = 576°135’165” = 218°17’45”

5. Dos ángulos conjugados internos donde uno es el triplo del otro.¿Cuánto mide el ángulo conjugado del doble del ángulo menor? A) 18° B) 35° C) 90° D) 23° E) 13° Solución:

Por ser conjugados (+) = 180°, luego (+ 3) =180°, luego = 45°

Luego 2 = 90° y su conjugado es 90° 6. Dos ángulos conjugados externos miden 5K + 45° y 4K+15°. Hallar el

suplemento del complemento de la mitad del ángulo menor. A) 37° B) 44° C) 124°10’ D) 45° E) 39°

MATEMÁTICA


Solución: Por ser conjugados (5K + 45°) + ( 4K+15°.) = 180° entonces K= 13°20’

El ángulo menor mide = 68°20’ y la mitad 34°10’ Luego SC(34°10’) = 180°- ( 90° - 34°10’) = 124°10’

7. Calcular el valor del ángulo menor, sabiendo que los ángulos conjugados internos están en razón 2/3.

A) 60° B) 44° C) 72° D) 53° E) 37°

Solución: Por ser conjugados 2K + 3K = 180° entonces K= 36° El ángulo menor mide 2K = 72°

PARALELAS:

8. Si L1 // L2 . Hallar “x”.

SOLUCIÓN.

2 y 2 son ángulos conjugados internos, luego dichos ángulos son suplementarios, es decir su suma vale 180°, entonces:

+ = 90°

El ángulo x está formado por la suma de los ángulos y , porque son ángulos alternos internos, por lo tanto:

+ = x = 90°

9. En la figura, L1 // L2, hallar .

x

MATEMÁTICA


SOLUCIÓN:

Si se trazan paralelas por los vértices de los ángulos y se aplican ángulos alternos internos y ángulos opuestos por el vértice, se obtiene:

Es decir 2 + = 60°

Finalmente = 20°

10. Si el triángulo ABC es equilátero y L1 // L2 , hallar

SOLUCIÓN:

60º

MATEMÁTICA


Por triángulo equilátero B = 60°

Por opuestos por el vértice V = 6

Por suplementario U = 180° - Por propiedad de triángulos

El ángulo D = 240° - 6

El ángulo E = 60° + Como la suma de ángulos internos de un pentágono es 540°, entonces

B + U + E + D + V = 540°

si se pone en función de y resuelve, resulta que = 24° 11. Hallar la suma de los siguientes ángulos: 37° 19’43” + 112° 53’38” A) 150° 13’21” B) 149° 62’71” C) 149° 72’21” D) 149° 12’21” E) 150° 03’11”

Solución: 37° 19’43” + 112° 53’38”= 149°72’81” = 150° 13’21”

12. Efectuar la resta de los siguientes ángulos: 112°23’ 35” - 10°15’20” A) 112° 25’15” B) 102° 8’15” C) 112° 25’45” D) 112° 5’15” E) 92° 15’25”

Solución: 112°23’ 35” - 10°15’20” = 102° 8’15”

13. Hallar el cociente de 309° 27’52” por 25: A) 12° 22’ 12 22/25” B) 22° 12’42” C) 9° 2’42” 2/5 D) 12° 12’32” 2/25 E) 32° 22’42” 23/25

Solución: 309° 27’52” 25 = 12° 22’ 12 22/25” 14. Dividir en 5 partes, el ángulo 162°

MATEMÁTICA


A) 82°35’ B) 12°24’ C) 56°8’ D) 63° 2’4” E) 32°25’

Solución: 162° 5 = 32°25’

EJERCICIOS PROPUESTOS: PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE. 1. Hallar x, si L1 // L2:

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

2. Hallar x/y, si L1 // L2:

A) 1 B) 3 C) 1 / 5 D) 3 / 2 E) 2

3. Calcular x, si L1 // L2, (a + b) = 4x A) 20° B) 50° C) 30° D) 10° E) 40°. 4. Calcular x, si L1 // L2 y si L3 // L4

MATEMÁTICA


A) 145° B) 105° C) 175° D) 95° E) 80°

5. Si 1// 2 // 3L L L , hallar “x”

Si a = 45° A) 30° B) 30° C) 45° D) 60°

E) 11°

6. Si 1// 2L L , hallar “ x ”

A) 30° B) 45° C) 51° D) 33 ° E) 75°

7. Si 1// 2L L , hallar “x”:

A) 120° B) 100° C) 102,8° D) 150° E) 90°

8. Si 1// 2L L , hallar “x”:

A) 98° B) 108° C) 45° D) 120° E) 116°

9. Si 1// 2L L , hallar “y”:

MATEMÁTICA


A) 34° B) 14° C) 60° D) 30°

E) 50° 12. Si CG es bisectriz.

1// 2L L , hallar “x”

A) 34° B) 140° C) 120° D) 100°

E) 95 13. Dos ángulos correspondientes entre dos rectas paralelas miden:

(2+) y (+ ).

Hallar :

.

A) 2/3 B) 1 C)4/5 D) 2 E) 145 14. Dos ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas miden 2x y (3x –

40°). Hallar x: A) 30° B) 25° C) 40° D) 45° E) 20°

L1

L1

L2

L2

MATEMÁTICA


UNIDAD 16

CIRCUNFERENCIA CÍRCULO

MATEMÁTICA


CIRCUNFERENCIA.

16.1. DEFINICIÓN.

Es el lugar geométrico, de los puntos de un plano que equidistan de otro punto

llamado centro. La distancia del centro a cualquiera de los puntos del lugar

geométrico se llama radio.

16.2. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA.

Líneas notables en la circunferencia.

Para el gráfico adyacente:

O : Centro

r : Radio

QP : Cuerda

CD : Diámetro

AB : Arco

L 1 : Recta tangente (T: punto de

tangencia)

L 2 : Recta secante

MN : Flecha o sagita

16.3. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.

1) Ángulo central. 2) Ángulo inscrito.

AOB = AB 2

ACB

MATEMÁTICA


3) Ángulo semi inscrito. 4) Ángulo interior.

2

ATATB

2

CDABX

5) Ángulo exterior. Casos que se pueden presentar: a.- De dos secantes. b.- De secante y tangente.

2

CDABP

2

TBATP

c.- De dos tangentes.

2

ABACBP

NOTA: para este caso particular se cumple que:

P + AB = 180°

MATEMÁTICA


16.4. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA.

1) La recta L tangente a una circunferencia es

perpendicular al radio o al diámetro en el punto de tangencia. (forman un ángulo de 90 grados)

2) Si dos cuerdas miden igual entonces los arcos correspondientes también miden igual y viceversa.

Si CDAB entonces AB = CD

3) Los arcos comprendidos entre dos cuerdas paralelas miden igual.

Si AB // CD , entonces AC = BD

NOTA

Si la recta L es tangente y AB // L entonces

AT = TB

4) Las rectas tangentes trazadas a una misma circunferencia desde un punto exterior, miden igual. Se cumple que:

PA = PB y

OPes bisectriz

5) Todo diámetro o radio perpendicular a una cuerda divide a dicha cuerda y a los arcos correspondientes en partes iguales.

Se cumple que:

AE = EB y AN = NB

MATEMÁTICA


REGIONES CIRCULARES. O: Centro de circunferencia OA : radio 1) Sector circular.

2) Segmento circular.

3) Corona circular.

4) Trapecio circular.

5) Segmento o faja circular.

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS

1) Si AC = 100º y AB = 110º. Hallar la medida del ángulo CAB.

A) 150° B) 155° C) 166° D) 75° E )120°

Solución.

El arco CB mide 360º - (100º + 110º) = 150º.

Como el ánguloCAB es inscrito, entonces

CAB = 150º ÷ 2 = 75º.

2) Hallar el valor de “x”

A) 70º

B) 110º

C) 120º

D) 130º

E) 150º

Solución.

Por propiedad, el arco AFC mide 140º y el

arco AC mide 360º - 140º = 220º.

Como el ángulo AFC es inscrito entonces

mide 220º ÷ 2 = 110º.

3) Hallar la medida del ángulo “x”

A) 15° B) 20° C) 25° D) 40° E)50º

Solución.

100º

110º

A

C

B

A

C

XF

B 40º

220º

140º

MATEMÁTICA


X

70º

A

C

140º

40º

B

Por propiedad, el arco AC mide 140º y

como el ABC es inscrito, su medida es de

140º ÷2 = 70º.

En el triángulo rectángulo , X = 90º-70º =

20º.

4) Si CD = 134º, hallar la medida del ángulo AOB si “O” es el centro del la circunferencia.

A) 30° B) 45° C) 50° D) 46° E) 60°

Solución. El ángulo de 90º es un ángulo interior a la circunferencia, entonces su medida es igual a:

90º = 2

ABCD =

2

ABº134 de donde AB = 180º - 134º = 46º.

5) Si BC es igual a 5 veces AD. Hallar la medida de BC.

A)47° B)38° C)58°D)100° E)70º

Solución.

40ºX

5xA

B

CD

E

Como el ángulo BEC es exterior a la

circunferencia, su medida es igual a

40º = 2

x-5x

80º = 4x x = 20º

por lo que BC = 100º.

MATEMÁTICA


6) Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”. A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° E)150º

Solución.

40ºA

CD

B

80º

180º

El arco AC mide 80º. Completando la

circunferencia, se tiene que el CAB =

260º .

El ángulo C por ser inscrito, su medida

será 260º ÷ 2= 130º.

7) Hallar la medida de AB si “O” es el centro de la circunferencia de radio igual a 10 cm.

A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 12cm E) 10cm

Solución.

A

B

O10

P

37º10

Se traza la altura OP del triángulo isósceles

AOB , donde AP = PB = 6, por lo que AB = 12

cm.

MATEMÁTICA


8) Una cuerda de 16 cm está a 15 cm del centro de una circunferencia. Hallar la medida del diámetro.

A)15 cm B)17cm C)34 cm D)38cm E) 20cm

Solución.

A

B

O

P8

8

15

Se construye el triángulo isósceles AOB trazando los

radios. Se traza la mediatriz OP. Para hallar la medida

de OB aplicar el teorema de Pitágoras.

OB = 28215 = 17 entonces diámetro=34 cm.

9) En una circunferencia de 13 cm de radio, calcular la medida de la flecha

correspondiente a una cuerda de 24cm. A) 17 cm B) 8 cm C) 5 cm D) 10 cm E) 7 cm Solución.

13-x

X 12

13

Suponiendo que la medida de la flecha sea X. Como el radio mide 13, uno de los catetos del triángulo mide 13-x. Aplicando el teorema de Pitágoras: 132 = (13 - x)2 + 122 169 - 144 = (13 - x)2 25 = (13 - x)2 5 = 13 - x de donde x= 8

10) El ángulo P mide 32º. Hallar la medida del ángulo ACD.

A

CD

P

B

Solución.

MATEMÁTICA


A

CD

PB

58º

Trazar el radio al punto de tangencia D.

Completar la circunferencia tal que el arco

BD mide 58º y el arco ABD mide

180º+58º=238º. El ángulo inscrito ACD

medirá 238º ÷ 2 =119º.

PROBLEMAS PROPUESTOS - NIVEL I

1. Del extremo de un árbol de 60 mm de diámetro se quiere sacar el mayor

cuadrado posible. ¿Qué longitud tendrá el lado?

2. Se desea transformar la superficie de un círculo de 44,18 cm2 en una

superficie cuadrada equivalente. Calcule el lado.

3. En un árbol hexagonal se mide una longitud de entre caras de 75 mm. ¿Cuál

es el diámetro de árbol necesario?

4. El extremo de una barra de 55 cm de diámetro ha de recibir por fresado el

mayor hexágono posible. Calcule la longitud de entre caras.

5. Se quiere fabricar de un círculo de 1963,5 cm2 el mayor hexágono. ¿Qué

porcentaje es desperdicios?

6. Determinar para las siguientes figuras el diámetro de la circunferencia

inscrita y circunscrita:

a) Para un triángulo equilátero con 30 mm de lado.

b) Para un cuadrado con 30 mm de lado.

c) Para un hexágono con30 mm de diagonal central.

7. De una plancha de chapa rectangular de 750 x 400 mm han de cortarse

discos de 180 mm de diámetro. Calcular el número de discos.

8. De un círculo de 380 mm de diámetro se cortan 8 sectores circulares

iguales. Calcular la superficie de sector, la longitud del arco y el ángulo

central.

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS - NIVEL II

9. Si “O” es el centro dela circunferencia

y CBD = 130°. Calcular “x”.

A) 50° B) 40° C) 30° D) 25° E) 20°

10. Si “O” es el centro y AB= OC . Hallar “X”. A) 40° B) 50° C) 70° D) 60° E) 45°

11. Si AB es diámetro, “O” es centro. Hallar la medida del ángulo BCD. A)140° B) 150° C) 170° D) 160° E)117°

12. Si AB = BC y BD = 82º. Hallar el valor de “x”.

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 41°

MATEMÁTICA


13. Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”.

A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° E) 150°

14. La suma de los diámetros de un tubo de acero es 16,8 cm, su diferencia 8

mm. Calcular los diámetros en mm.

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III

1. Hallar la medida del arco AR, si AP = AR . A) 120º B) 135º C) 145º D) 130º E) 110º

2. Hallar la medida de “X”. A) 58º B) 80º C) 45º D) 60º E) 70º

3. Hallar “x”.

A) 70º B) 110º C) 120º D) 130º E) 115º

MATEMÁTICA


4. Hallar “x” si:

A) 30º B) 45º C) 36º D) 50º E) 60º

5. Hallar el valor de “x” si los arcos AB; BC; CD y AD son proporcionales a:

3; 2; 4 y 6 respectivamente.

A) 80° B) 20° C) 70° D) 84°

E) 96°

6. Si las circunferencias son igualesy CME = 136º. Hallar “x”. A) 2° B) 34° C) 74° D) 60° E) 45º

7. Si AO = BC . Hallar el valor de “x”. A) 45° B) 60° C) 50° D) 30° E) 35º

MATEMÁTICA


8. Si “O” es el centro de la circunferencia y CBD = 130°. Calcular “x”.

A) 50° B) 40° C) 30° D) 25° E) 20°

9. Si “O” es el centro y AB= OC . Hallar “X”.

A) 40° B) 50° C) 70° D) 60° E) 45°

10. Si AB es diámetro, “O” es centro. Hallar la medida del ángulo BCD. A)140° B) 150° C) 170° D) 160° E)117°

11. Si AB = BC y BD = 82º. Hallar el valor de “x”.

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 41°

MATEMÁTICA


12. Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”. A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° E) 150°

13. Si L1 // L2 y AB es diámetro de la semicircunferencia. Hallar “x”.

A) 40° B) 60° C) 45° D) 50° E) 30°

14. Hallar el valor de R.

4 R

10

A) 5/2 B) 30/7 C) 6 D) 5 E) 25/4

MATEMÁTICA


UNIDAD 17

POLÍGONOS: TRIÁNGULOS, CUADRILÁTEROS.

MATEMÁTICA


POLÍGONO.

17.1. DEFINICIÓN.

Es la figura geométrica que se obtiene al intersectar por sus extremos tres o más

segmentos de recta no colineales pero sí coplanares, de modo que al interior de

este polígono quede cerrada una porción de plano, llamada REGIÓN

POLIGONAL.

17.2. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO.

Lados. AB, BC, CD, DE, EF y FA.

Vértices. Puntos A, B, C, D, E y F.

Diagonales. Segmento que une dos vértices no consecutivos. Ejemplo: BF.

Angulo Interior.

Angulo Exterior.

Angulo Central.

Apotema. OM, segmento que une el centro del polígono regular con el punto

medio del lado del polígono y son perpendiculares.

Perímetro. AB + BC + CD + DE + EF + FA

A O

F E

D

C B

M

MATEMÁTICA


17.3. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS.

17.3.1. DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS.

Triángulo 3 lados

Cuadrilátero 4 lados

Pentágono 5 lados

Exágono 6 lados

Heptágono 7 lados

Octágono 8 lados

Nonágono 9 lados

Decágono 10 lados

Endecágono 11 lados

Dodecágono 12 lados

Pentadecágono 15 lados

Icoságono 20 lados

17.3.2 DE ACUERDO A LAS MEDIDAS A SUS ELEMENTOS.

POLÍGONO CONVEXO. Todos sus ángulos internos miden menos de 180°.

POLÍGONO CONCAVO. Por lo menos uno de sus ángulos internos mide más

de 180°.

POLÍGONO EQUILÁTERO. Todos sus lados tienen igual medida.

POLÍGONO EQUIÁNGULO. Todos sus ángulos internos tienen igual medida.

POLÍGONO REGULAR. Sus lados y sus ángulos internos tiene igual medida.

POLÍGONO IRREGULAR- Es aquel polígono que no es regular

Polígono Convexo Polígono Cóncavo

Polígono Equilátero P. Equiángulo Polígono Regular

MATEMÁTICA


Observaciones:

En todo polígono, el número de lados (n) es igual al número de vértices (nv), e

igual al número de ángulos interiores (ni), número de ángulos exteriores (ne),

número de ángulos centrales (nc). n = nv= ni = ne =nc

Todo polígono regular puede ser inscrito o circunscrito en una circunferencia.

En todo polígono regular inscrito, la apotema y la

sagita o también llamada flecha, forman el radio de la

circunferencia que circunscribe al polígono.

OP: Apotema; PQ: Sagita o flecha; OQ: Radio de la

circunferencia.

17.4. PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Sea un polígono de “n” lados.

Total de Diagonales:2

3)n.(nD

Número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice : n – 3 La

cual divide al polígono en n – 2 Triángulos .

Suma de medidas de los ángulos internos (Si):

2).(n180Si

Suma de medidas de los ángulos externos (Se):

360Se

POLÍGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA

O

P

Q

MATEMÁTICA


Angulo Interior ( i ): Polígono Equiángulo

n

2).(n180i

Angulo Central (). Polígono regular n

360θ

Angulo Exterior (e). Polígono Equiángulo n

360e

Para un polígono estrellado:

Un polígono estrellado se origina al prolongar los lados de un polígono

convexo. Ejemplo pentágono estrellado ABCDE. (es el menor polígono

estrellado que se puede formar), sus lados son AC, CE, ....

La suma de las medidas de los ángulos internos (puntas):

)º.( 4n180SP

La suma de las medidas de los ángulos exteriores es 720º

Si la estrella es regular, La medida de uno de los ángulos internos es:

n

4n180p

)º.(

A C

B

D E

Ángulo interno

Ángulo externo

Nota:

= e

Se = S = 360º

MATEMÁTICA


HEXÁGONO REGULAR.

Al trazar las diagonales AD, BE y CF, se forman 6 triángulos EQUILÁTEROS.

Los lados del Hexágono tienen igual medida del RADIO de la CIRCUNFERENCIA

que circunscribe al EXÁGONO.

A O

F E

D

C B

M

L

L L

60°

60°

60°

2.L

L. 3 Apotema OM =

2

3L

MATEMÁTICA


EJERCICIOS

I. Completar el siguiente cuadro:

Nombre del polígono

Suma de medida de

ángulos internos

S(i)

SUMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS

EXTERNOS

S(e)

Total de diagonales (D)

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Icoságono

II. Completar el siguiente cuadro si los polígonos son regulares:

Nombre del polígono

Medida de ángulo interno

(i)

Medida de ángulo externo

(e)

Medida de ángulo central

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Icoságono

III. Resolver los siguientes problemas:

1. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales excede al número de vértices

en 18?

a) 6 lados b)9 c)27 d)15 e)10

2. Cuál es el Polígono regular convexo que si su ángulo interno disminuye en 10°

resultaría otro polígono regular cuyo número de lados sería 2/3 del número de

lados del polígono anterior.

a) 10 lados b)12 c)14 d)16 e)18

MATEMÁTICA


3. Si a un polígono regular se le aumenta un lado, su ángulo interior aumenta en

12°. El número de lados del polígono es:

a) 5 lados b)6 c)7 d)8 e)9

4. ¿Cómo se llama el polígono cuyo número de diagonales es igual a su número

de sus lados?

a) Pentágono b)Heptágono c) Octágono d) Hexágono e) Cuadrilátero

5. Si a un polígono se la aumenta en 4 a su número de lados; entonces la suma

de sus ángulos internos se duplica, Hallar el número de vértices.

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 10

6. Hallar la medida de “x” en cada caso: (hexágonos regulares)

Rpta:.......... Rpta:................ Rpta: .............

Rpta:.......... Rpta:................ Rpta: .............

Rpta:................

x

12 cm O

12 cm

x O

12 cm

x a) b) c)

12 cm

x

O O

x

12 cm 12 cm

x

d) e) f)

12 cm

x g)

MATEMÁTICA


7. Hallar la apotema de los siguientes polígonos regulares, si el lado de cada

polígono mide 24 3 cm:

a) b) c)

Rpta: .............. Rpta: ................... Rpta: ............

17.5. TRIÁNGULO.

Polígono de tres lados:

Perímetro = a + b + c

Semiperímetro = 2

cba

17.5.1. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.

I. De acuerdo a la relación entre sus lados, pueden ser:

Triángulo Equilátero.

Triángulo Isósceles.

Triángulo Escaleno.

A) Triángulo Equilátero. Sus tres lados son de igual medida.

Región Triangular a b

c

a b

c

60°

60° 60°

L

L

L

h = L2

3

BM es “Altura”, “Bisectriz”, “Mediana” y “Mediatriz”, a la vez. 30°

60° 60°

L

30°

M A

B

C

L

2

L

2

MATEMÁTICA


B) Triángulo Isósceles. Dos de sus lados son de igual medida.

C) Triángulo Escaleno. Sus tres lados son de diferente medida.

II. De acuerdo a la medida de sus ángulos, pueden ser:

Triángulo Rectángulo.

Triángulo Acutángulo.

Triángulo Obtusángulo.

A) Triángulo Rectángulo. Tiene un ángulo interno que mide 90º

BM es la Altura relativa a la

base y a la vez es: “Mediana”, “Bisectriz” y “Mediatriz”.

A M C

B

Base

A

B

C

b

c a

a b

h

n m

c

h2 = m.n a

2 = m.c b

2 = n.c

a2 + b

2 = c

2 a.b = c.h

222 h

1

b

1

a

1

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO

r

b a

a + b = c + 2r

n m

c

Area = m.n

RELACIÓN ENTRE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO

RECTÁNGULO Y LA CIRCUNFERENCIA

INSCRITA

MATEMÁTICA


B) Triángulo Acutángulo.

Todos sus ángulos internos miden menos de 90º.

C) Triángulo Obtusángulo. Tiene un ángulo interno mayor de 90 º.

17.5.2. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO.

1. ALTURA: Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae

perpendicular sobre su lado opuesto.

El Punto de Intersección de Las Alturas se llama ORTOCENTRO. (ver los gráficos, el

pto. “O” es el Ortocentro).

A

C

B

Base

Altura

>90°

O

T. ACUTÁNGULO

O

T. OBTUSÁNGULO

O

T. RECTÁNGULO

MATEMÁTICA


2. BISECTRIZ. Es un rayo que partiendo de un vértice, divide al ángulo

correspondiente a dicho vértice en dos ángulos congruentes.

El INCENTRO es el punto de intersección de las

bisectrices interiores del triángulo.

El incentro es el centro de la circunferencia

que se encuentra inscrita en el Triángulo.

El EXCENTRO es el punto de intersección de una bisectriz interior y 2 bisectrices

exteriores.

El excentro es el centro de la circunferencia tangente exteriormente con el

triángulo (Ver Gráfico).

3. MEDIANA. Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae sobre el

lado opuesto dividiéndolo en dos partes iguales.

El BARICENTRO es el pto. de intersección de las medianas. El BARICENTRO

divide a la mediana en dos segmentos proporcionales como 2 es a 1.

Bisectriz Exterior

A B

C

Bisectriz Interior

I

A B

C

I : INCENTRO

I

A B

C

E

E : EXCENTRO

A

P N

M C

B

O

O: BARICENTRO

O

O: BARICENTRO

2x

2y 2z x

y z

MATEMÁTICA


4. MEDIATRIZ. Es la recta perpendicular a uno de los lados que pasa por su

punto medio.

El CIRCUNCENTRO es el centro de la circunferencia que circunscribe al

triángulo

CEVIANA. Segmento que une el vértice del triángulo con cualquier punto del lado

opuesto.

C

T. ACUTÁNGULO

C

T. RECTÁNGULO

C

T. OBTUSÁNGULO

P

N

M

C

C: CIRCUNCENTRO

A B

C

Ceviana interior Ceviana exterior

M N

MATEMÁTICA


17.5.3. TEOREMAS ELEMENTALES SOBRE TRIÁNGULOS.

1º. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

2º. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los

ángulos internos no adyacentes.

3º. La suma de los ángulos exteriores del triángulo suman 360°.

4º. A ángulo mayor se le pone lado mayor y ángulo menor se le pone lado

menor.

5º. Naturaleza de existencia de un triángulo:

Para que un triángulo exista debe cumplir como mínimo la siguiente

condición.

6º. Ángulos formados por dos bisectrices.

a).- 2 bisectrices interiores: b).- 2 bisectrices Exteriores:

e

f

g

e = +

+ + = 180°

f = +

g = +

e + f + g = 360°

a

b

c

Si:>>

Entonces: a > b > c

X = 2

90

x X =

290

x

a

b c

b + c > a > b – c “Cualquier lado del triángulo debe ser mayor que la diferencia de los otros dos lados, pero menor que la suma de dichos lados”

MATEMÁTICA


c).- Una bisectriz Interior y una bisectriz Exterior:

7º. Teorema de los puntos medios.

Si: M y N son puntos medios,

Entonces:

8º. Mediana Relativa a la HIPOTENUSA.

La mediana BM mide la mitad de la hipotenusa.

9º. Teorema de la bisectriz Interior

10º. Teorema de la bisectriz exterior.

X = 2

x

B

M A

k

C

k

k

M N

A B

C

MN AB

MN = 2

AB

n

m

b

a

a

n m

b

x

m.na.bx2

c a x

n

m

n

m

a

c a.cm.nx2

MATEMÁTICA


11º. Teorema del Incentro.

12º. Teorema del Mediana.

13º. Relaciones de Áreas en un Triángulo.

14º. Triángulos Rectángulos Notables:

c

c

ba

n

m

b a

m

n

I

a b

x

c

2

c2xba

2222

m n p

A1 A2 A3 K

p

A

n

A

m

A 321

p.KA

n.KA

m.KA

3

2

1

7k

25k

24k

16°

74°

2k

k

53° 2

2k

k 3

30°

60° k

53°

37°

3k

4k 5k

k

k

k 2

45°

45°

MATEMÁTICA


17.5.4. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

PROBLEMAS:

1. Los ángulos de un triángulo miden: 6x, 5x+10° y 3x + 30. ¿Qué clase de

triángulo es?

Rpta: ………………………………………

2. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las bisectrices interiores de los

ángulos agudos de un triángulo rectángulo?

Rpta: ………………

3. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por una bisectriz exterior y la

prolongación de una bisectriz interior, en un triángulo equilátero?

Rpta: …………………

4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) el ángulo A mide 70°. Si se traza

altura BH (HAC). ¿Cuánto mide el ángulo HBC

Rpta: ………………

5. En un Triángulo, la medida del ángulo determinado por dos bisectrices

exteriores es el doble de la medida del tercer ángulo. ¿Cuánto mide dicho

ángulo?

Rpta: …………

a b

h

n m

c

h2 = m.n a

2 = m.c b

2 = n.c

a2 + b

2 = c

2 a.b = c.h

222 h

1

b

1

a

1

MATEMÁTICA


6. La distancia de un punto de la bisectriz de un ángulo a uno de los lados es 3x

+ 5, y la distancia al otro lado es 2x + 15 ¿Cuál es dicha distancia?

Rpta: ……………………

7. En un Triángulo rectángulo, la distancia del Circuncentro al Ortocentro es 12

cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Rpta: ……………………

8. Dos lados de un triángulo isósceles tienen longitudes 7 y 14 cm,

respectivamente. Hallar el perímetro,

a) 28 cm b) 35 cm c) 25 cm d) a ó b e) 21 cm

9. Las longitudes de las medianas de un triángulo equilátero, suman 6 cm. Hallar

el perímetro

a) 18 cm b) 36 c) 34 d) 32 e) 3

10. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de

razón 7 cm. El mínimo valor entero, en cm. del perímetro es:

a) 20 cm b) 21 cm c) 41 cm d) 42 cm e) 43 cm

11. En al figura, hallar la longitud “x”

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

12. En un triángulo equilátero de lado 12 cm inscrito en una circunferencia, hallar

el perímetro del triángulo que tiene por vértices los puntos medios de las

sagitas de los tres lados.


7 5

x 10

53° 37°

MATEMÁTICA


13. En el triángulo ABC equilátero, calcular: MN + NP

a) 36

b) 332

c) 324

d) 364

e) 310

14. En al Figura MN = NC = BC. Hallar x

a) 80° b) 75°

c) 90° d) 60°

e) 85°

15. Dado el triángulo equilátero de lado L. Hallar el lado del cuadrado inscrito en

dicho triángulo.

a) L3 b) L2 c) L(3 + 1) d) L5 e) L(23 – 3)

16. Cada lado de un triángulo isósceles mide el doble de la base. Si el perímetro

mide 30 cm ¿Cuánto mide la altura relativa a la base?

a) 12 b)213 c)315 d)5 3 e)10

17. La altura trazada a la base de un triángulo isósceles es un sexto de la base. El

lado igual mide 1010. La base mide:

a) 60 b)50 c)64 d)80 e)75

18. Si los siguientes grupos de valores representan longitudes de segmentos,

¿Con cuántos grupos se pueden construir triángulos?

I. 1, 1 y 1 II. 2, 3 y 5 III. 7, 7 y 1 IV. 2 , 2 y 6 V. 5, 12 y 13

a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5

20°

40°

x

A

B

M

C

N

B

P

N

C A M 8 cm 8 cm

MATEMÁTICA


19. Si los lados de un triángulo miden 27 cm, 30 cm y 51 cm respectivamente. El

triángulo es:

a) Acutángulo b)Obtusángulo c)Rectángulo d)Isósceles e)Equilátero.

20. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5m y 12m, ¿Cuánto mide la

altura relativa a la hipotenusa?

a) 5 b)60/13 c)12 d)4 e)13

17.6. CUADRILÁTERO.

Polígono de cuatro lados, donde sus ángulos internos suman 360º.

17.6.1. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS.

1. Trapezoide. Sus lados no son paralelos

2. Trapecio. Posee únicamente un par de lados opuestos paralelos.

3. Paralelogramo. Los lados opuestos son paralelos.

17.6.2. TRAPEZOIDE.

Caso Particular:

TRAPEZOIDE SIMÉTRICO O BISÓSCELES

Sus diagonales son perpendiculares

BD es mediatriz de AC.

A

B

C

D

A

B

C

D

MATEMÁTICA


17.6.3. TRAPECIO.

AD : Base Mayor

BC : Base menor

BH : Altura

BC AD

MN : Mediana

Clases de Trapecios:

PROPIEDADES:

a) MN : Mediana

MN : Es paralelo a las Bases.

b) Sobre la MEDIANA, se ubica los puntos medios de las DIAGONALES (P y Q).

h

A

B C

D H

B

b

A

B C

D

B

b

M N

M N

b

B

P Q 2

b- B PQ

2

b B MN

M N

b

B

A

B C

D

Trapecio Escaleno

A

B C

D

Trapecio Isósceles

A

B C

D

Trapecio Rectángulo

+ = 180º

+ = 180º

MATEMÁTICA


17.6.4. PARALELOGRAMO.

PROPIEDADES:

Lados opuestos son paralelos y de igual medida.

Sus ángulos internos opuestos son de igual medida

Sus DIAGONALES, se bisecan.

Clases de Paralelogramo:

PROBLEMAS:

1. En un cuadrilátero los ángulos están en la relación 1, 2, 3 y 4 ¿Cuánto vale el

ángulo mayor?

a) 150° b)144 c)100 d)90 e)72

2. Las bases de un trapecio miden 4m y 8m respectivamente, los lados no

paralelos miden 7m cada uno. Calcular el valor de la diagonal.

a) 6m b)7m c)8m d)9m e)10m

E

E : Punto medio de las diagonales

h

B

E

ROMBOIDE

E h

B RECTÁNGULO

B : base

h: altura

45° 45°

E L

L CUADRADO

E

D

d

ROMBO

D : Diagonal Mayor

d : Diagonal menor

MATEMÁTICA


3. Las diagonales de un rombo miden 8 cm y 6 cm. Luego el lado del rombo

mide:

a) 6 b)5 c)8 d)12 e)7

4. El lado de un cuadrado mide lo mismo que la diagonal de otro cuadrado.

¿Cuál es la razón del lado del cuadrado mayor y el lado del cuadrado menor?

a) 2 : 1 b) 1 : 4 c) 1 : 2 d) 1 : 2 e) 2 : 1

5. Si en un cuadrado ABCD de 12 m de lado, se une el vértice A con el punto

medio de BC, cortando a la diagonal BD en el punto E, entonces la distancia

del punto E al lado AD es:

a) 6m b)4m c)7m d)8m e)5m

6. Determinar la expresión falsa:

a) Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

b) El ángulo interior de un polígono regular de 16 lados mide 157°.

c) Las diagonales de un rombo son perpendiculares.

d) Los ángulos interiores de un rectángulo son rectos.

7. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles mide 16 cm y forman con la

base ángulos de 60°. Si su mediana mide 18 cm ¿Cuánto mide el segmento

que une los puntos medios de las diagonales?

a) 10 b) 26 c) 18 d) 8 e) 16

8. En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y 10 cm respectivamente. Si un

lado no paralelo determina un ángulo de 60° con la base. ¿Cuánto mide dicho

lado?

a) 15 b) 14 c) 13 d) 10 e) 12

9. En un Rombo ABCD, las diagonales miden 12 y 16 cm. Hallar la longitud del

segmento trazado desde el vértice B al punto medio del “lado opuesto”. (BD

diagonal menor).

a) 7cm b) 8 c) 5 d) 6 e) 97

MATEMÁTICA


10. En la figura mostrada, calcular “x”.

a) 20° d) 30º

b) 40° e) 50º

c) 60°

11. En un Rombo, las diagonales miden 6 y 8 cm. Hallar la distancia que hay entre

dos lados opuestos.

a) 5 cm b) 4,8 cm c) 4,5 cm d) 3 cm e) 6 cm

12. El perímetro de un rombo es 80 cm y uno de sus ángulos mide 60°. ¿Cuál es

la diferencia entre la diagonal mayor y la diagonal menor.

a) 1320 b) 1320 c) 1310 d) 1310 e) 1315

13. En un romboide ABCD la diagonal BD se prolonga hasta el punto E, luego se

prolonga CE hasta el punto F, tal que AF // BD.

Calcular AF si DE = 4 cm y BD = 6 cm.

a) 12 cm b) 13 c) 15 d) 14 e) 16

14. En un rectángulo ABCD, los lados AB y BC miden 8 y 12 cm respectivamente.

Se traza la bisectriz del ángulo A, que determina en BC al punto M ¿Cuánto

mide la mediana del Trapecio AMCD?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

PROBLEMAS NIVEL I.

1. Hallar “x”

A. 115º B. 116º C.100º D. 88º E. 114º

2

x

3a

a

L1

82

º

32

º L2

x

MATEMÁTICA


2. Hallar “x”.

A. 20º B. 30º C. 18º D. 24º E.32º

3. Hallar “x”; ABCD es un cuadrado, CED es un equilátero.

A. 15º

B. 12º

C. 10º

D. 20º

E. 18º

4. ABCD es un cuadrado, AM = 6;CN = 5. Hallar MN .

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

E. 12

5. Hallar “x”, OM es bisectriz.

A. 1 B. 2 C. 3 D.4 E.6

40

º

2x+y 3x+y+10

º

C

E

D

B

A

x

º

x

M

1

m

a a

º

O

M D N

A C

B

MATEMÁTICA


6. Si: BD = DC = AB. M ABD = 40º. Hallar “x”,

A. 30º

B. 35º

C. 20º

D. 25º

E. 28º

7. Hallar PQ, si AB = 16 m, BC = 20 m y AC = 30m.

A. 33

B. 32

C. 28

D. 29

E. 30

8. Hallar RC , si AB = 10 m.

A. 8

B. 9

C 10

D. 12

E. 15

EJERCICIOS NIVEL II.

1. Hallar el número de diagonales de un polígono convexo cuyos ángulos

interiores suman 900º.

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15

2. Hallar el número de lados de un polígono sabiendo que la suma de sus

ángulos internos y externos es 3960º.

A. 21 B. 22 C. 20 D. 23 E. 25

A D C

x

º

B

P

B

Q

A

C

a

R

3

A

a

B

MATEMÁTICA


3. Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígono que tiene tantas

diagonales como número de lados.

A. 540º B. 480º C. 610º D. 720º E. 700º

4. En un polígono regular la relación entre la medida de un ángulo interior y

exterior es como 3 es a 2. Calcular el número de lados del polígono.

A. 6 B. 8 C. 12 D. 4 E. 5

5. ¿Cuántos lados tiene un polígono si la suma de sus ángulos interiores es

3240º?

A. 18 B. 20 C. 24 D. 25 E. 26

6. Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígono en el cual su

número de lados más su número de diagonales es igual a 45.

A. 1200º B. 1100º C. 1480º D. 1440º E. 980º

7. Calcular el número de lados de aquel polígono cuyo número de diagonales

excede al número de vértices en 18.

A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 E. 15

8. Si tienen 2 polígonos cuyo número de lados suman 25 y el máximo número

de diagonales que se pueden trazar en ambos suman 125. ¿Cuál es la

diferencia de los números de lados de ambos polígonos?

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

9. El número de lados de dos polígonos están en la razón de los números 5 a

7, sus diagonales se diferencian en 180. ¿Cuántos suman sus diagonales?

A. 480 B. 490 C. 520 D. 570 E. 510

MATEMÁTICA


EJERCICIOS NIVEL III.

1. Hallar “x” (BC // AD):

A. 30º

B. 18º

C. 37º

D. 45º

E. 60º

2. Hallar “x”:

A. 120º

B. 100º

C. 135º

D. 160º

E. 150º

3. Hallar “x”:

A. 30º

B. 25º

C. 15º

D. 18º

E. 20º

4. Hallar “x” (BC // AD):

A. 21

B. 20

C. 18

D. 19

E. 24

MATEMÁTICA


5. Si; AB =BC = CD; hallar “x”, sí ABCD es un trapecio isósceles.

A. 10º

B. 25º

C. 30º

D. 35º

E. 37º

6. Hallar “x”

A. 60º

B. 50º

C. 75º

D. 55º

E. 56º

7. Hallar “x”:

A. 80º

B. 70º

C. 50º

D. 45º

E. 60º

8. En un cuadrado ABCD, se construye exteriormente los triángulos equiláteros

ABM y BCN. Hallar m MDN.

A. 40º B. 50º C. 75º D. 62º E. 60º

9. AD = 6; CH = 2, hallar “”, ABCD es un trapecio rectángulo.

A. 10º

B. 20º

C. 30º

D. 25º

E. 35º

MATEMÁTICA


10. ABCD es un cuadrado; m ECF = 90º. Hallar “x”.

A. 45º

B. 40º

C. 42º

D. 43º

E. 48º

11. Hallar “x”.

A. 72º

B. 94º

C. 124º

D. 100º

E. 102º

12. En el interior de un cuadrado ABCD se dibuja el triángulo equilátero AED.

Hallar m BEC.

A. 90º B. 120º C. 135º D. 150º E. 145°

13. Las bases de un trapecio miden 6 y 10cm, los lados no paralelos miden 8cm

cada uno. Calcular la medida de la diagonal del trapecio.

A) 11,13 B) 12,11 C) 13,4 D) 14 E) 15

14. El triple del semiperímetro de un trapecio isósceles equivale al doble del

perímetro de un rombo, cuyas diagonales miden 54 y 72cm respectivamente.

Si la altura es igual a la mitad de la diagonal menor y los lados no paralelos

miden 45cm cada uno. ¿Cuánto mide la base mayor?

A) 15,1dm B) 14,1dm C) 13,1dm D) 12,1dm E) 11,1dm

MATEMÁTICA


15. En un trapecio isósceles los lados no paralelos miden 18cm cada uno y

forman con la base mayor un ángulo de 60º. Si la base media del trapecio

mide 24cm. ¿Cuánto mide el segmento que une los puntos medios de las

diagonales?

A) 9cm B) 10cm C) 11cm D) 12cm E) 15cm

16. Verdadero o Falso:

I. Todo trapezoide tiene siempre sus cuatro lados de diferentes medidas.

II. El segmento que une el centro de cualquier polígono con cualquiera de

sus vértices se denomina apotema.

III. Dos ángulos cualesquiera que tienen un lado común y un vértice común

son adyacentes.

IV. En un polígono de 9 lados la suma de sus ángulos interiores es igual a 14

ángulos rectos.

a) FFFV b) FVVV c) FFVF d) FFVV e) FFFF

17. Si la base de un triangulo aumenta en 1% y la altura disminuye en 1%,

entonces se área:

a) aumenta 20% b) aumenta 1% c) disminuye 1%

d)disminuye 0,01% e) aumenta ,001%

18. Sea el cuadrado ABCD, sobre AD se ubica el punto E y sobre CE se ubica

el punto F, tal que m<FAE=30º y AB=AF. Hallar la m<AFE.

a) 15º b) 60º c) 75º d) 45º e) 30º

19. En un hexágono regular de semiperímetro 12cm. Calcular la longitud del

segmento formado al unir los puntos medios de dos lados no consecutivos.

a) 6 cm b) 4,54cm c) 5,86cm d) 6,92cm e) 7,24cm

20. En un trapecio rectángulo el segmento que une los puntos medios de las

diagonales mide 4cm y la altura del trapecio es 8cm. Calcular la longitud del

lado lateral mayor del trapecio.

a) 9,48cm b) 10,24cm c) 11,28cm d) 12,32cm e) 13,12cm

MATEMÁTICA


21. ¿En qué polígono convexo al sumar su número de diagonales, la suma de

sus ángulos interiores y la suma de sus ángulos externos resulta 1460º?.

Dar como respuesta la cantidad de diagonales que se pueden trazar desde

un solo vértice.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

MATEMÁTICA


UNIDAD 18

PERÍMETRO

MATEMÁTICA


18.1 DEFINICIONES PREVIAS.

Región Plana: Es una porción de plano cuyo contorno es una línea cerrada, la

línea que limita a la región puede ser poligonal o una curva cerrada.

Perímetro de una región: Es la medida de la longitud de la línea (o líneas) que

conforman el borde o contorno de una región.

18.2. PERÍMETRO DE LAS PRINCIPALES REGIONES PLANAS. (a) Cuadrado (b) Rectángulo (c)Triángulo

b a a a b

b

c

P = 4 P = 2a + 2b P = a + b + c

(d) Polígono regular de “n” (e) Sector Circular (f) Longitud de

lados de longitud “ “ circunferencia

A

R L

R O

O

B

P = Longitud de Arco + 2R

P = n. P = o

R360

2

+ R RL 2

MATEMÁTICA


PERÍMETRO DE LOS POLÍGONOS (En general).

Usando una regla, se puede determinar, separadamente, la medida de cada lado del polígono siguiente, intentar y completar. A AB = mm BC = mm C B CD = mm DA = mm D

Sumando esas medidas, se encuentra la medida del contorno del polígono. Así: AB + BC + CD + DA = Completar: + + + = La medida del contorno del polígono es denominada PERÍMETRO (P) Se puede decir entonces que:

Ejemplo: Hallar el perímetro del polígono siguiente:

Completar: P = 1,5 cm + + + + +

P =

El perímetro es de 11,50 cm.

Perímetro de un polígono es la suma de las medida de sus lados.

2

1,5

4

1,5

2,5

MATEMÁTICA


En ciertos polígonos, el cálculo del perímetro puede ser hecho de forma más

simple, no se requiere una fórmula especial para cada caso, pues el modo de

calcularlo es simple y directo.

Ejemplo:

1. Calcular el perímetro del triángulo equilátero cuyo lado mide 5 cm.

Como los lados del triángulo equilátero son iguales se tiene: P = 3L en este caso P = 3 x 5 cm P = 15 cm

lado L = 5 cm Se concluye que la fórmula del perímetro del triángulo equilátero es: de donde “L” es la medida del lado. 2. Calcular el perímetro del cuadrado cuyo lado mide 3 cm.

El cuadrado tiene 4 lados iguales. Luego: P = 4L P = 4 x 3 cm P = cm

lado L = 3 cm. Concluyéndose: El perímetro del cuadrado está dado por la fórmula: Observación:

Si el polígono es regular, todos los lados son iguales, y el perímetro se obtendrá multiplicando la medida del lado (L) por el número de lados (n).

P = 3 x L

P = 4 x L

MATEMÁTICA


Ejemplo:

El perímetro de un pentágono regular cuyo lado mide 8 cm será: P = ..................... x 5 = ............................. cm 3. Calcular el perímetro del rectángulo siguiente:

ALTURA

Como el rectángulo tiene sus lados opuestos iguales, tenemos: P = 5 + 3 + 5 + 3 P = .................... cm

b = 5 cm BASE

5 Luego el perímetro del rectángulo será: 3 3 P = 2.( b + h ) 5

Resolver los siguientes ejercicios de reforzamiento: 1. Calcular el perímetro de los triángulos equiláteros siguientes: a) L = 3 cm P = .................... b) L = 4,5 cm P = .................... 2. Calcular el perímetro de los cuadrados siguientes: a) L = 2 cm P = ....................

P = n x L

h = 3 cm

P = 2.b + 2.h

MATEMÁTICA


b) L = 1,5 cm P = .................... 3. Calcular el perímetro de los rectángulos siguientes:

b = 5 cm a) h = 2 cm P = ....................

b = 6,5 cm

b) h= 1,5 cm P = .................... 4. Calcular el perímetro del rombo. a) L = 3,50 cm P = .................... 5. Calcular el perímetro de las figuras, en mm. a) P=…………….... b) P=…….........….. c) P = .....................

20

35

45

5

10 12

5

30

37

14

15 20

45

MATEMÁTICA


d) P = .....................

6. Completar el siguiente cuadro:

Triángulo Equilátero

Cuadrado Rombo Rectángulo

L P L P L P b h P

5 cm 0,4 cm 4 mm 25 mm 10 mm

120 mm 144mm 1,5 cm 12 cm 10 cm

1,8 cm 0,25 m 82 mm 16 mm 40 mm

7. Calcular el perímetro de las figuras: a) b) c) P = ............ P = ............ P = ............ Antes de proseguir, corregir todos los ejercicios:

1) a) 9 cm b) 13,5 cm

2) a) 8 cm b) 6 cm

3) a) 14 cm b) 16 cm

4) a) 14 cm

5) a) 105 mm b) 94 mm c) 94 mm d) 114 mm

6)

Triángulo Equilátero

Cuadrado Rombo Rectángulo

L P L P L P B h P

15 cm 1,6 cm 16 mm 70 mm

40 mm 36 mm 6 cm 44 cm

5,4 cm 1 m 20,5 mm 4 mm

42

15

1”

7/8”

9/16”

1/2” 1 1/2”

5/8”

5/8”

MATEMÁTICA


Dibujo pag 314 D = 17.7

cm

D = 17.7

cm D = 17.7

cm

C = 55.6 cm

7) a) 3 ¾ “ b) 2 15/16” c) 4 ¼”

Así como se determinó el perímetro de los polígonos, puede determinar el

PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA, o sea, su LONGITUD.

Envolver un cilindro con un pedazo de hilo, como lo

muestra la figura.

Estirar enseguida el hilo y medir la longitud obtenida. Se

habrá determinado experimentalmente, la longitud de la

circunferencia, o sea, su perímetro.

Si ahora se divide la longitud obtenida (55,6 cm) por el diámetro de esa

circunferencia (17,7 cm), se obtendrá un cociente aproximadamente igual al

número 3,14.

Sean dos (o más) circunferencia de diámetros diferentes, por ejemplo:

C = 32,044 cm ............2,10

044,32

d

c

d = 10,2 cm

C = 19,479 cm ............2,6

479,19

d

c

d = 6,2 cm Procurar calcular los cocientes y llenar los vacíos.

17,5 cm

Dibujo pag. 314

55,6 cm

MATEMÁTICA


Siempre que se divida la longitud de una circunferencia por su diámetro obtendrá,

aproximadamente, como cociente, el número 3,14; como se encontró

anteriormente.

Por lo tanto, siempre será:

3,14d

c (con aproximación al centésimo)

Ese número 3,14 es representado por la letra griega (pi) Cualquiera que sea la circunferencia, se debe recordar siempre que

π Diámetro

nciacircunfere de Longitud

Luego, se quiere determinar la longitud de una circunferencia, basta multiplicar el

diámetro por (3,14), por lo tanto:

Longitud de circunferencia = Diámetro x Que se representa: Como el diámetro es igual a 2 veces el radio (D = 2r), se puede escribir también. Observación:

1° = 3,14 = 22/7

2° Perímetro de la circunferencia = Longitud de la circunferencia

3,14 =

C = . D

C = 2 . R

MATEMÁTICA


Ejemplos: 1. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm?

D = 6 cm , Como: C = . D Se tiene que: C = 3,14 x 6 cm C =.................. cm

2. Determinar la longitud de la circunferencia que tiene 5 mm de radio.

R = 5 mm

C = 2 . . r

C = 2 x 3,14 x 5 mm C =........................ mm

Ejercicios de reforzamiento para que usted resuelva: 1. Calcular la longitud de la circunferencia cuyo diámetro mide 7 cm.

C =..............................

2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene 2,7 cm de radio?

C =..............................

3. Calcular el perímetro del círculo cuyo radio mide 9 cm.

P =..............................

4. Un círculo que mide 3,7 cm de radio. ¿Cuál es el perímetro?

P =.............................. 5. Un disco con un diámetro que mide 10 cm da una vuelta completa sobre un

carril, ¿Cuál fue la distancia recorrida?

10 cm

Distancia =.............................. cm

MATEMÁTICA


6. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia de una rueda cuyo radio mide 25

cm? C =..............................

7. Las ruedas de una bicicleta miden 70 cm de diámetro. ¿Cuál es la longitud de

su circunferencia? ¿Cuál será la distancia recorrida por un ciclista, si cada una

de las ruedas de la bicicleta han dado 1000 vueltas?

C =.............................. cm

Distancia recorrida =............................... m.

8. Un carril de longitud 9,42 m. ¿Cuántas vueltas tiene que dar una rueda de 50

cm de diámetro para recorrerlo?

R =.................... vueltas

9. Las ruedas de una bicicleta tienen como diámetro 0,5 m y la otra 40 cm,

respectivamente. Si al desplazar la bicicleta, se observa que la suma de

vueltas que dan las dos ruedas es 18 000, ¿Qué distancia en metros ha

recorrido la bicicleta?

distancia =.................... m.

10. El auto de Guillermo se desplaza con una velocidad de 20 m / s, durante 2

minutos 37 segundos, y cada rueda tiene un radio que mide 40 cm, ¿Cuántas

vueltas habrá dado cada rueda?

R =.................... vueltas

Corregir las respuestas:

1. 21,98 cm

2. 16,956 cm

3. 56,52 cm

4. 23,236 cm

5. 31,14 cm

6. 157 cm

7. c = 219,8 cm

Distancia = 2 198 m

8. 6 vueltas

9. 12560 m

10. 1250 vueltas

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Hallarla longitud aproximada de la correa de transmisión requerida para el trabajo mostrado en la figura

SOLUCIÓN : Los 2 arcos “L”, forman una circunferencia de 12” de

diámetro.

Perímetro = 30” + 30” + Long. Circunferencia Perímetro = 30” + 30” + 12”.(3,14) Perímetro = 97,68 “

2. Calcular el perímetro del trapecio rectángulo. (Las medidas están en metros)

SOLUCIÓN : Hallamos AB en el triángulo rectángulo ABC: (Teorema de Pitágoras)

AB2 = 25

2 - 7

2

AB = 24

Como BC es paralelo AD, entonces la m A del

triángulo ACD mide “”. El triángulo ACD es Isósceles, por lo tanto CD = 25. Trazamos CE (Altura del Triángulo Isósceles ACD) por lo tanto AE = ED = 7. Perímetro = 24m + 25m + 7m + 14m = 70m

3. Determinar el perímetro de la figura

SOLUCIÓN : La suma de todos los segmentos horizontales mide el doble de 13 cm. La suma de todos los segmentos verticales mide el doble de 15 cm. Perímetro = 2.(13cm) + 2.(15cm) = 56 cm

25

7

30”

=12”

30”

L

25

7

A

B C

D

25

24

E 7 7

15 cm

13 cm

MATEMÁTICA


4. Calcular el perímetro de la región achurada

SOLUCIÓN : Unimos los centros P y Q. En el Triángulo rectángulo PAQ (Teorema de Pitágoras) :

(3 + r)2 = 3

2 + (6 – r)

2

9 + 36 – 12r + r

2 = r

2 + 6r + 9

r = 2 Entonces : AR = 2

Perímetro = 2 + L1 + L2 + L3 .

Perímetro = 2

(2)2

2

(3)2

4

(6)2 2

Perímetro = ( 82 ) metros = 27,12 m.

5. Se tiene un polígono de ángulo central 20° y su lado de 5 cm. Hallar el perímetro del polígono.

SOLUCIÓN :

central = n

º360

n = 20º

360º = 18 lados

Perímetro = 18.(5 cm) = 90 cm

6. La mediana de un trapecio es 12 m. Hallar su perímetro si los lados no paralelos suman 10 m.

SOLUCIÓN :

Mediana =

2

bB = 12 m

B + b = 24 m

Perímetro = B + b + C + D

Perímetro = 24m + 10 m = 34 m

B

b

C D

6 m 6 m

3

r

r 6 - r

3

A

B

C

P

Q R

3

2

2

A R

L1

L2

L3

MATEMÁTICA


7. La figura es un triángulo equilátero de 8 cm de lado, calcular el perímetro de la parte sombreada.

SOLUCIÓN : El perímetro es la suma de las tres longitudes de arco, de ángulo central 60º y de radio igual a 4 cm. Que llegan a formar el arco de una semicircunferencia:

Perímetro = 2.(4cm) = 8 cm.

8. Hallar el perímetro de la región sombreada (las medidas están en milímetros)

SOLUCIÓN : Las longitudes de arcos de un mismo ángulo central son proporcionales a sus respectivos radios:

20

L

12

18

4

L 21

Entonces : L1 = 6 y L2 = 30 Perímetro = 4 + 4 + L1 + 18 + 8 + 8 + L2 Perímetro = 4 + 4 + 6 + 18 + 8 + 8 + 30 Perímetro = 78 mm.

9. Hallar el perímetro de la región sombreada

SOLUCIÓN : Perímetro = 12 + 12 + 6 + 6 + 6 + 6 + 4L

Perímetro = 48 + 4

2

(3)2

Perímetro = 48 + 12

Perímetro = 12.( 4 + ) m. = 85,68 m

60º 60º

60º

L

L L

L

L

L

60º 60º

60º

4 cm 4 cm

4 18

16

8

4 18

20

12

L1

L2

8

12 m.

12 m.

L

12

6

6

6

6

12

L

L

L

3

MATEMÁTICA


10. Calcular el perímetro del área sombreada. OB = 5 m. EC = 2m.

E

C = 2 m

SOLUCIÓN : Radio del Sector Circular : OB = OE = 5 Como EC = 2 ; Entonces CO = 3 = AB. En el Triángulo rectángulo hallamos CB (Teorema de Pitágoras):

CB2 = 5

2 - 3

2 CB = 4 = OA

Como OA = 4 , Entonces AD = 1 Perímetro = EC + CB + AB + AD + EBD

Perímetro = 2 + 4 + 3 + 1 + 4

52π

Perímetro = 10 + 2

5π

Perímetro = 17,85 m

E

C

O

B

D A

5

2

3

4

3

4 1

E

C

O

B

D A

MATEMÁTICA


PERIMETROS NIVEL I

1. El diámetro de un árbol es de 315 mm. ¿Cuál es su perímetro?

2. Una polea de transmisión tiene un diámetro de 450 mm. ¿Cuántas

revoluciones ejecuta en un trecho de 1 km ?

3. ¿Qué longitud de correa se necesita para dos poleas de transmisión de 350

mm de diámetro dada una distancia entre centros de 1,5 m?

4. ¿Cuál es el diámetro de una ventana redonda con igual perímetro de una

ventana cuadrada con 620 mm de lado?

.

5. ¿Qué trayecto (en m/min) recorre una broca espiral de 20 mm de diámetro de

un minuto cuando la taladradora ejecuta 520 revoluciones?

6. ¿Cuántos metros de alambre de 1,2 mm de diámetro se pueden enrollar en

una bobina de 120 mm de longitud y 55 mm de diámetro? (Sin tener en

cuenta el grosor del alambre)

7. Para el trazado de una curva se necesita un arco con 210 mm de diámetro y

120° de ángulo central. Calcular la longitud del arco.

8. Una plantilla de chapa tiene una longitud de arco de 312 mm y un ángulo

central de 106°. Calcular el diámetro.

9. Se quiere fabricar una cubierta protectora con una longitud de arco de 818 mm

y un radio de 310 mm. Calcular el ángulo central.

10. Siendo la longitud del arco de un disco de mando circular de 420 mm y

teniendo lugar la inversión de marcha después de 80°, calcular el diámetro.

MATEMÁTICA



1. Calcular el perímetro del paralelogramo.

A) 46 B) 38 C) 48 D) 30 E) 36

2. Calcular el perímetro de la figura:

A) 20,56 cm B) 205,6 cm C) 2056 cm D) 28,56 cm E) 0,2856 cm

3. El perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es de 24 cm. Calcular el perímetro de otro hexágono regular determinado al unir los puntos medios de los lados.

A) 312

B) 216

C) 38

D) 324

E) 212

4. El perímetro de la parte sombreada mide 62,8 cm, ABCD es un cuadrado y los puntos N, M, P y Q son puntos medios. Hallar el lado del cuadrado

A) 20 cm B) 10 cm C) 28 cm D) 25 cm E) 15 cm

4m 4m

C B

A D

M

N P

Q

7

12

MATEMÁTICA


5. Hallar el perímetro de la región sombreada R = 20 cm y r = 10 cm.

A) 30 cm

B) (30 - 80) cm

C) (30 + 80) cm

D) (30 + 20) cm E) 100 cm

6. Hallar el perímetro de la región sombreada, M y N puntos medios y ABC es un triángulo

equilátero de lado 4 m.

A) 34

B) 8

C) 3

28

D) 3

E) 8

7. Si en la figura, ABC es un triángulo equilátero, y en cada lado tomamos el punto medio para

formar otro triángulo. ¿Qué parte del perímetro de ABC es el perímetro del triángulo achurado? A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/16 E) 1/32

8. Hallar el perímetro de la figura, lado del cuadrado es 8 cm

A) 42,84 cm B) 40,56 cm C) 48,24 cm D) 40 cm E) 48 cm

9. Hallar el perímetro de la parte achurada. A) 24,5 cm B) 17,5 cm C) 20,5 cm D) 35,5 cm E) 36 cm

r

R

A

B

C

M

N

A

B

C

6 cm

6 cm

MATEMÁTICA


10. Hallar el perímetro. A) 72 B) 42 C) 50 D)60 E)82

11. Hallar el perímetro de la región sombreada

A) 3

82

B) 6

C) 62 D) 4 E) 5

12. Hallar el perímetro de la figura sombreada, lado del hexágono es 6 cm

A) 4(3 + 2) cm

B) (4 + 3) cm

C) 3(4 + 2) cm

D) (12 + ) cm

E) (3 + 2) cm

13. Hallar el perímetro:

A) 40( + 1)

B) 40

C) ( + 40)

D) 40( - 1) E) 120

14. Se tiene una circunferencia inscrita en un triángulo equilátero cuyo lado mide 34

metros, Hallar el perímetro del hexágono inscrito en dicha circunferencia?

A) 15 m B) 24 m C) 50 m D)6 m E) 12 m

15. Hallar el perímetro del triángulo que resulta de unir los puntos medios de los lados no

consecutivos de un hexágono regular cuya sagita mide 3612 metros

A) 65 m B) 54 m C) 50 m D)60 m E) 42 m.

60°

4

5 2

5 6

8 16

60 m

MATEMÁTICA


16. Hallar el perímetro de la figura sombreada, el lado del cuadrado es 20 cm.

A) 20 B) 25 C) 30 D) 10 E) 35

17. Hallar el perímetro del rectángulo.

A) 68 B) 84 C) 36 D) 70 E) 72

18. Hallar el perímetro de la región sombreada, las circunferencias tiene un radio de 10 m.

A) 3820 m B) 180 m C) 160 m

D) 3160 m E) 3208 m

18 m

6

m

4

m

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III

1. Hallar el perímetro de un rombo, si es 6 veces el perímetro de un triángulo

equilátero inscrito en una circunferencia de 8 cm de diámetro.

a) 24 3 cm b) 48 3 cm c) 72 3 cm d) 60 cm e) 210 cm

2. El perímetro de un trapecio equivale al de un rombo cuyas diagonales miden

60 y 80 cm. Si la altura del trapecio es igual a la mitad de la diagonal menor y

los lados no paralelos miden 50 cm cada uno. ¿cuánto mide la base mayor?

a) 50 cm b) 10 cm c) 90 cm d) 70 cm

3. Un rectángulo tiene el doble de perímetro que un cuadrado de 36 cm2 de área. La base del rectángulo mide el triple de su altura. ¿cuánto mide la base del rectángulo? a) 6 cm b) 18 cm c) 48 cm d) 9 cm

4. Dos ruedas de 36 y 48 cm de radio están en contacto. Si la primera da 400

vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la segunda en media hora ? a) 9 000 b) 300 c) 500 d) 3 000 e) 800

5. En la figura, abcd es un cuadrado. Hallar el perímetro de la región sombreada.

A) 22,28 dm B) 20,56 dm C) 16+2 dm

D) 8+2 dm

E) 4+8 dm

6. El lado del hexágono regular mide 4 cm. Hallar el perímetro de la región

sombreada.

A) 8 3 cm

B) (8 3 +1) cm

C) ( 3 +8) cm

D) 8( 3 +1) cm

E) 21,2 cm

A B

CD

4 dm

MATEMÁTICA


7. El perímetro del trapecio circular mide 6,2 m. Hallar la medida del ángulo .(

= 7

22)

a) 30º b) 60º c) 22º d) 21º e) 15º

8. Hallar el perímetro de la figura sombreada.

A) (10+14 ) cm

B) (14+20 ) cm

C) (10 +8) cm

D) (14+5 ) cm

E) (14 +5) cm

9. Hallar el perímetro de la región sombreada si el lado del cuadrado ABCD mide

10 cm y M,N,P y Q son puntos medios.

a) 10 cm

b) 15 cm

c) 12cm

d) 8 cm

10. calcular el perímetro del triángulo sombreado, si el lado del cuadrado ABCD

mide " 2a ".

a) 4a

b) 6a

c) 8a

d) 10a

e) 3a

2 m

2 m6 cm

8 c

m

A B

CD

MATEMÁTICA


11. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 cm, calcular el perímetro de la

figura sombreada.

a) 8( +3) cm

b) (8 +4) cm

c) (8+4 ) cm

d) 8(2 +3) cm

e) 8 cm

12. Calcular el perímetro del mayor triángulo equilátero, cuyos lados son números

enteros, construidos sobre el lado de un triángulo en donde los otros lados

miden 7 cm y 14 cm.


A

B C

D

MATEMÁTICA


UNIDAD 19

MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN

MATEMÁTICA


19.1. MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN.

MEDIDAS DE SUPERFICIE.

Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuántas veces entra en ella una

unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y

corresponde a un cuadrado de un metro de lado.

Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus

múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100

La medida de una superficie es llamada ÁREA DE SUPERFICE. La unidad

fundamental de medida de superficie, o sea, el área, es el metro cuadrado (m2).

Por ejemplo, medida de la superficie ABCD es:

En el símbolo m2, el exponente 2 indica las dos dimensiones de una superficie.

MEDIDAS DE VOLUMEN.

El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver

cuantas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de

medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de un

metro de lado.

Para medir volúmenes mayores y menores que el metro cúbico, se utilizan sus

múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000

Superficie de ABCD = 10 m2

1 m2

5 m

2 m

m2

1 m

1 m

m2 = Área de un cuadrado de 1m de lado

MATEMÁTICA


19.2. REPRESENTACIÓN Y LECTURA.


Como las unidades de superficie varían de 100 en 100, la cantidad 43,2 dm2 es

conveniente escribirla 43,20 dm2 y se lee: cuarenta y tres decímetros cuadrados y

veinte centímetros cuadrados.

3,48 m2 se lee: Tres ………………………………………………………………….

2,30 m2 se lee: ……………………………………………………………………….

MEDIDAS DE VOLUMEN.

Como las unidades de volumen varían de 1000 en 1000, la cantidad 43,2 dm3 es

conveniente escribirla 43,200 dm3 y se lee: cuarenta y tres decímetros cúbicos y

doscientos centímetros cúbicos.

3,48 m3 se lee: Tres ………………………………………………………………….

2,30 m3 se lee: ……………………………………………………………………….

19.3. CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN.


MÚLTIPLOS

UNIDAD

SUBMÚLTIPLOS

KILÓMETRO

CUADRADO

HECTÓMETRO

CUADRADO

DECÁMETRO

CUADRADO

METRO

CUADRADO

DECÍMETRO

CUADRADO

CENTÍMETRO

CUADRADO

MILÍMETRO

CUADRADO

km2

hm2 dam

2 m

2 dm

2 cm

2 mm

2

1 000 000 m2

10 000 m2

100 m2

1 m2

0,01 m2

0,0001 m2

0,000001 m2

1 m 1 m

1 m 1 m

3

m3 = Volumen de un cubo de 1m de arista

MATEMÁTICA


Para realizar la conversión de unidad de medida de superficie en el sistema

métrico se debe de tener en cuenta lo siguiente:

1. Para pasar de una unidad a otra inmediata inferior, se debe multiplicar por

100.

2. Para pasar por una unidad a otra inmediata superior, se debe dividir por 100.

En la práctica, basta con correr la coma hacia la izquierda o hacia la derecha.

Construir, para facilitar, una escalera con las unidades de medida de superficie.

Cada grada que se descienda, la

coma se desplaza hacia la derecha

dos cifras por cada grada

Ejemplo:

2,5326 hm2 = 25 326 m2

0,38 m2 = …………… dm2

0,001532 dam2 ………………cm2

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

hm2

MATEMÁTICA


Cada grupo que se sube, la coma se desplaza hacia la izquierda dos cifras por

cada grada.

Ejemplo:

108,42 dm2 = 1,0842 m2

5083 m2 = ……………. km2

Concluyendo:

Unidad

inmediatamente

superior

Unidad

inmediatamente

inferior

0,345697 dam2 = 34,5697 m2 = 3456,97 dm2

La coma se

desplaza dos

lugares

izquierda para Derecha

Siempre que sea necesario agregar ceros.

Hacer estas transformaciones:

1. 5,86 dam2 a dm2

2. 183,2 cm2 a dam2

3. 12,05 m2 a cm2

4. 78350 dm2 a dam2

Las respuestas deben ser:

1. 58600 dm2

2. 0,00018320 dam2

3. 120500 cm2

4. 7,835 dam2

MATEMÁTICA


EJERCICIOS:

1. Llenar los espacios con las palabras adecuadas:

a) Toda superficie tiene dos dimensiones: ……………………. y ……………….

b) Medir una superficie es compararla con otra tomada como ………………..

El resultado obtenido de esta comparación se llama ………………………….

c) Área es la ……………………………………………….…… de una superficie.

d) Un metro cuadrado tiene ………………………………decímetros cuadrados.

e) Un decímetro cuadrado tiene…………………………centímetros cuadrados.

f) 1 m2 = ……………… dm2 …………………. cm2……………… mm2…………

2. Transformar en metros cuadrados. Observar antes los ejemplos:

a) 14542,75 cm2 = 1,454275 m2

b) 0,72 dm2 = 0,0072 m2

c) 2 mm2 = 0,000002 m2

d) 81 dm2 = ……………………………... m2

e) 0,04512 dam2 = ……………………… m2

f) 1415,30 cm2 = ………………………. m2

g) 545,1257 hm2 = …………………….. m2

3. El hecho de existir en cada unidad de área 10 divisiones de 10 unidades

cuadradas, permite escribir:

a) 1 cm2 tiene 10 veces 10 mm2 = 100 mm2 1 cm2 = 100 mm2

b) 1 dm2 tiene ……. veces …………cm2 = ………….. cm2 1 dm2 = …cm2

c) 1 m2 tiene …….. veces …………….. dm2 = ………….. dm2 …………

d) 1 dam2 tiene …….. veces …………… m2 = …………… m2 ………………

e) 1 hm2 tiene …….. veces ……….… dam2 = …………. dam2 ………………

f) 1 km2 tiene …….. veces …………… hm2 = …………. hm2 ………………

Ahora, corregir:

1. a) Largo y ancho b) Unidad, área c) Medida

d) 100 e) 100 f) 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2

MATEMÁTICA


2. d) 0,81 e) 4,5120 f) 0,141530

g) 5451257 h) 0,001260

3. b) 10 x 10 = 100 100

c) 10 x 10 = 100 1 m2 = 100 dm2

d) 10 x 10 = 100 1 dm2 = 100 m2

e) 10 x 10 = 100 1 hm2 = 100 dam2

f) 10 x 10 = 100 1 km2 = 100 hm2

Continuar:

4. Completar:

a) 2,12 m2 + 31,45 dm2 + 12 cm2 = …………………………………………mm2

b) (5,12 m2 + 588,50 dm2) – 30 050 cm2 =………………………………… mm2

5. Completar:

a) 4,50 m2 + 45 dm2 + 445 mm2 = ……………………………………………cm2

b) 0,85 m2 + 15 dm2 – 5 000 mm2 = ……………………………………….. cm2

6. Completar:

a) 4 m2 + 1 245 cm2 + 500 000 mm2 = ………………………………………dm2

b) 100 000 mm2 + (0,9 m2 – 5 000 cm2) = ………………………………… dm2

7. Completar:

a) 6,45 dm2 – (6,45 mm2 + 6,45 cm2) = ……………………………………..m2

b) (6,45 dm2 + 6,45 mm2 – 6,45 cm2) = …………………………………… m2

Corregir:

4. a) 2 435 700 mm2 b) 8 000 000 mm2

5. a) 49 504,45 cm2 b) 9 950 cm2

6. a) 462, 45 dm2 b) 50 dm2

7. a) 0,06384855 m2 b) 0,06386145 m2

MATEMÁTICA


MEDIDAS DE VOLUMEN.

SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO

EQUIVALENCIAS ENTRE

DISTINTAS UNIDADES DE

MEDIDA PARA EL AGUA

Las unidades de volumen,

capacidad y peso del agua están

relacionadas:

Un litro de agua a 4º C de

temperatura peso 1 kg y ocupa

un volumen de 1 dm3.

CapacidadVolumen 1 litroequivale 1dm

3

PesoVolumen 1 kgequivale 1dm

3

decímetro cúbico dm3 1 dm

3 = 0,001 m

3

centímetro cúbico cm3 1 cm

3 = 0,001 dm

3

milímetro cúbico mm3 1 mm

3 = 0,001 cm

3

1m3 = 1 000 dm

3 = 1 000 000 cm

3 = 1 000 000 000 mm

3

MÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO

decámetro cúbico dam3 1 dam

3 = 1 000 m

3

hectómetro cúbico hm3 1 hm

3 = 1 000 dam

3

kilómetro cúbico km3 1 km

3 = 1000 hm

3

1m3 = 0,001 dam

3 = 0,000 001 hm

3 = 0,000 000 001 km

3

Para realizar la conversión de unidad de medida de volumen en el sistema

métrico se debe de tener en cuenta lo siguiente:

1. Para pasar de una unidad a otra inmediata inferior, se debe multiplicar por

1000.

2. Para pasar por una unidad a otra inmediata superior, se debe dividir por 1000.

En la práctica, basta con correr la coma hacia la izquierda o hacia la derecha.

Construir, para facilitar, una escalera con las unidades de medidas de volumen.

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

MATEMÁTICA


Cada grada que usted descienda, la

coma se desplaza hacia la derecha

cifras por cada grada.

Ejemplo:

2,5326 hm3 = 2 532 600 m3

0,38 m3 = …………… dm3

0,001532 dam3 ………………cm3

Cada grupo que usted sube, la coma se desplaza hacia la izquierda, tres cifras

por cada grada.

Ejemplo:

108,42 dm3 = 0,108 42 m3

5083 m3 = ……………. Km3

Concluyendo:

Unidad

inmediatamente

superior

Unidad

inmediatamente

inferior

0,0345697 dam3 = 34,5697 m3 = 34569,7 dm3

La coma se

desplaza tres

lugares

izquierda Para Derecha

Siempre que sea necesario agregar ceros.

hm3

MATEMÁTICA


Realizar las siguientes transformaciones:

1. 5,86 dam3 a dm3

2. 183,2 cm3 a dam3

3. 12,05 m3 a cm3

4. 78350 dm3 a dam3

Las respuestas deben ser:

1. 5860000 dm3

2. 0,00000018320 dam3

3. 12050000 cm3

4. 0,07835 dam3

MATEMÁTICA


EJERCICIOS:

1. Transformar en metros cúbicos. Observar antes los ejemplos:

a) 14542,75 cm3 = 0,01454275 m3

b) 0,72 dm3 = 0,00072 m3

c) 2 mm3 = 0,000000002 m3

d) 81 dm3 = ……………………………... m3

e) 0,04512 dam3 = ……………………… m3

f) 1415,30 cm3 = ………………………. m3

g) 545,1257 hm3 = …………………….. m3

Continuar:

1. Completar:

c) 2,12 m3 + 31,45 dm3 + 12 cm3 = …………………………………………mm3

d) (5,12 m3 + 588,50 dm3) – 30 050 cm3 =………………………………… mm3

2. Completar:

c) 4,50 m3 + 45 dm3 + 445 mm3 = ……………………………………………cm3

d) 0,85 m3 + 15 dm3 – 5 000 mm3 = ……………………………………….. cm3

19.4. AREAS DE PRINCIPALES REGIONES PLANAS.

ÁREA DEL RECTÁNGULO

En la figura del lado, se tiene un rectángulo de 6 cm. de

largo y 3 cm. de ancho, cuya área es de 6 x 3 = 18 cm2.

Representado por A el área del rectángulo, por “b” la

base y por “h” la altura, se tendrá la

fórmula.

P = 2 (b + h) P: perímetro

A = b .h

MATEMÁTICA


Completar:

El área del rectángulo es igual al producto de la medida de …………………………

por la medida de la altura.

Calcular el área del rectángulo que tiene 5 cm. de base y 4 cm de altura.

Respuesta: ……………………..

ÁREA DEL CUADRADO

El cuadrado es un rectángulo en donde la medida de la base es igual a la medida

de la altura (b = h). Por lo tanto, el área puede ser encontrada a través de la

fórmula:

Por lo tanto:

b = 1 A = b . h

h = 1 A = 1 . 1

A = 12

Completar: - El área del cuadrado es igual al cuadrado de la medida del………………………

……………………………………………………………………………………………

- ¿Cuál es el área del cuadrado de 8 cm. de lado? …………………………………

……………………………………………………………………………………………

P = 4 L

d = L 2

d = diagonal

P = perímetro

A = b .h

MATEMÁTICA


ÁREA DEL PARALELOGRAMO

Si se dibuja en un papel las figuras que a continuación se presentan y recorta el

triángulo QTR; luego lo coloca haciendo coincidir RQ con SP , le resulta un

…………………...

trapecio / rombo / rectángulo

( SIGNIFICA EXACTAMENTE IGUAL)

QT es la altura h. Área del Paralelogramo Área del cuadrilátero

TT’ (RS) es la base B del rectángulo, Luego:

Ejemplo:

Medida de la base = 5 (b)

Medida de la altura = 3 (h)

A = b . h

A = 5 . 3 A = 15 cm2

Es el área del paralelogramo de base b y altura h.

Completar:

Para calcular el área del paralelogramo, se utiliza la misma fórmula que se utiliza

para calcular el área del ……..…………………………………………………………..

rectángulo / cuadrado

Un paralelogramo que tiene 8 cm. De base y 3 cm. De altura, tendrá ………….cm2

de área.

Área del paralelogramo A = b.h

MATEMÁTICA


ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Observar en la figura, que el área del triángulo QRS

es la mitad del área del paralelogramo QRTS, o sea,

tiene la misma base b y la misma altura h.

Siendo A = b . h

El área del paralelogramo, basta dividir por 2, para obtener el área del triángulo,

como muestra la fórmula.

2

h . b A

Sustituyendo por las medidas de b y h del triángulo sombreado, se obtendrá:

2

h . b A

2

2,8 x 3 A A = ……………….

Respuesta: ……………

Otro ejemplo:

Calcular el área de un triángulo cuyas medidas están en el dibujo

Datos:

b = 8 cm

h = 4 cm

Fórmula: 2

h . b A Completar:

2

.....................x A A = ______________ = …………………

Respuesta: …………………

ÁREA DEL ROMBO

La figura del lado representa un rectángulo (EFGH);

contiene 8 triángulos rectángulos iguales de los

cuales 4 constituyen el rombo.

MATEMÁTICA


Por lo tanto, como el área del rectángulo es:

A = b . h

A = D . d: es entonces el área del rectángulo EFGH

Se ve entonces que el área del rombo es la mitad del área del rectángulo de

dimensiones D y d; o sea, que el área del rombo es igual a la mitad del producto

de las medidas de las diagonales. Por tanto, el área del rombo esta dada por la

fórmula.

2

d . D A

Equivale a decir: el área del rombo es igual al semi-producto de las medidas de

sus ………………………… En la fórmula, completa sustituyendo D y d por los

valores de la figura:

2

x A = ………………. cm2

Calcular el área de un rombo cuyas diagonales están

representadas en la figura:

Datos: D = 80 mm d = 50 mm

Fórmula: 2

d . D A = …………………

Respuesta:

ÁREA DE TRAPECIO

Sea el trapecio de bases B y b y altura h.

Recortar otro trapecio igual al dibujado.

Ajustar sus lados de modo que se obtenga la figura

del lado. Se obtiene la figura de un ……………

………………………………………………..

trapecio / paralelogramo

MATEMÁTICA


El área del paralelogramo (figura total) está dada por:

A = base . h

ó A = (B + b) . h

Pero, observar que el área sombreada (del trapecio) es apenas la mitad del área

del paralelogramo. De ahí que el área del trapecio será:

2

h . b) (B A

Lo que equivale a decir. El área de un trapecio es igual a al mitad del producto de

la suma de las bases por la altura.

Ejemplo:

Calcular el área del trapecio cuyas bases son:

18 m y 12 m, respectivamente, y la altura 9 m.

Datos:

B = 18 m. b = 12 m. h = 9 m.

2

h . b) (B A

..............

................

2

........ 12) (18 A

x

A = ………………… m2

MATEMÁTICA


ÁREA DEL POLÍGONO REGULAR

Con número de lados mayor de 4.

Tomemos, por ejemplo, el hexágono regular ABCDEF representado. Este

hexágono regular puede ser dividido en 6 triángulos equiláteros.

El paralelogramo AGIJ contiene 12 triángulos equiláteros iguales, de los cuales 6

constituyen el hexágono regular dado.

Como el área del paralelogramo es A = b . h y b = 6L

h = apotema (ap)

Apotema: segmento perpendicular trazado del el centro del polígono hacia un

lado.

Entonces el área del paralelogramo AGIJ será:

A = 6L . ap

Pero esta área del paralelogramo es el doble de área del hexágono regular

(observar nuevamente la figura).

Por lo tanto. El área del hexágono regular está dada por la fórmula:

2

ap . L . 6 A

Sustituyendo 6L por P (perímetro) y apotema por ap, se tendrá:

2

ap . P A P = perímetro

Con esta fórmula usted se puede calcular el ÁREA DE CUALQUIER POLÍGONO

REGULAR, desde que sean dadas las mediadas del lado y de al apotema.

MATEMÁTICA


Ejemplo:

a) Calcular el área del hexágono.

L = 20 mm.

ap = 17,32 mm.

2

ap . P A

2

17,32 . 20 . 6 A =

A = …………………

b) Calcular el área del octógono.

Datos: L(8) = ……………………. mm.

ap(8) = …………………….mm.

A = ?

2

........... . P A

2

.......... x ....... x 8 A

= …………… mm2

ÁREA DEL CÍRCULO

Tomar, por ejemplo, el círculo representado en el dibujo. Este círculo se dividió en

16 partes iguales.

El paralelogramo ABCD contiene 32 partes iguales, de las cuales 16 constituyen

el círculo. El área del paralelogramo se obtiene

(Recordar que 2 r = Perímetro de la circunferencia).

Como el área es el doble de la del círculo, entonces el

área del círculo será: 2

r .r 2 A

ó = .r2

2.r

A = b . h = 2 r .r

MATEMÁTICA


Ejemplo:

Calcular el área:

Datos:

D = 10 cm r = 5 cm Se pide el Área

= 3,14

A = . r2 3,14 x 52 = 3,14 x …………….. = …………….…… cm2

Luego: el área del círculo de diámetro 10 cm es de ……………………. cm2

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

SECTOR CIRCULAR

Región limitada por dos radios y el arco correspondiente

º: Ángulo central

AB: arco º = AB

Sí: r2 -------------- 360º

A< -------------- º

A< = º360

ºr 2

Ejemplo:

Calcule el área del sector circular para un arco 72º, si r = 5 cm

Datos:

R = 5 cm

AB = 72º º = 72º

Fórmula: A< = º360

ºr 2 = 3,14

MATEMÁTICA


A<= º360

)º72()5)(14,3( 2cm

A< = 5

)m(3,14)(25c 2

A< = ………….. cm2

ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR

Observe que el área de la corona sombrada es igual a la diferencia entre el área

del círculo mayor y el área del círculo menor; por lo tanto, el área será:

A = R2 - r2

Aplicando la propiedad distributiva tenemos:

A = (R2 – r2)

Ejemplo:

Calcular el área del una corona circular en la cual: D = 16 cm y d = 14 cm

Datos:

D = 16 R = 8 cm. D diámetro mayor

d = 14 r = 7 cm. d diámetro menor

Fórmula:

A = (R2 – r2)

A = 3,14 (82 – 72)

A = 3,14 (64 – 49)

A = 3,14 x 15

A = ………… cm2

SEGMENTO CIRCULAR

Región circular limitada por una cuerda y un arco. Su área está dada por la

diferencia entre el área del sector circular y el área del triángulo

360º

º . R A

2

SC

BOAA

Ejemplo:

MATEMÁTICA


Calcular el área del segmento circular cuyo arco es 74º y su radio 5 cm.

Datos:

R = 5 cm.

AB = 74º = 74º

360º

º . R A

2

SC

BOAA

360º

)º(74 . (5) 14,3 A

2

SC2

)34(2 x

ASC = 16,14 – 12

ASC = ………. cm2

TRAPECIO CIRCULAR

Es la parte de una corona circular limitada por dos radios de la circunferencia

mayor. Su área está dada por la diferencia entre las áreas de los sectores

circulares mayor y menor, respectivamente.

2 2

TC

R º r ºA

360º 360º

2 2

TC

ºA (R r )

360º

Ejemplo:

Calcular el área del trapecio circular de 72º de arco, sabiendo que los radios

miden 10 cm. y 5 cm., respectivamente.

Datos:

Arco = 72º = 72º

R = 10 cm.

r = 5 cm.

2 2

TC

2 2

TC

2

TC

ºA R r

360º

72ºA 10cm 5cm

360º

A 75cm5

ATC = …………………

MATEMÁTICA


EJERCICIOS:

1. Determinar el área y los perímetros, las medidas están en mm.

a)

Respuesta A= ………mm2 P = …….. mm

b)

Respuesta A = ……. m m2 P= ……. mm

2. Calcular el área de los siguientes polígonos:

a)

b)

c)

MATEMÁTICA


d)

e)

3. Calcular el área de los polígonos siguientes:

a) b)

c)

d)

e)

4. Calcular el área de las figuras que siguen:

Observación:

Las medidas están en cm.

MATEMÁTICA


5. Calcular el área de una lámina de forma trapezoidal, cuyas bases miden,

respectivamente, 16 cm. y 12 cm., y la altura mide 8 cm.

6. El perímetro de un cuadrado es de 52 dm. Calcular su área.

7. Calcular el área del círculo, siendo el dato numérico en mm.

MATEMÁTICA


8. Calcular las partes sombreadas de cada figura. Los datos numéricos se dan

en mm.

Corregir:

1. a) A = 46,24 P = 27,2 b) A = 113,15 P = 45,6

2. a) A = 693 b) A = 149,94

c) A = 685,54 d) A = 663,60

e) a = 14,9 mm P = 103,2 mm A = 768,84 mm2

3. a) 180 b) 699,867

c) 585 d) 60,2

e) 656,04

4. a) 313,50 cm2 b) 43 cm2

c) 815 cm2 d) 24 cm2

5. 112 cm2

6. 169 dm2

MATEMÁTICA


7. 2 826 mm2

8. a) 107,875 mm2 b) 329,70 mm2

c) 12,56 mm2

EVALUACIÓN FINAL

1. Reducir a las unidades que se piden:

a) 45,70 dm2 = Dm2

b) 4 Km2 = m2

c) 3,44 Hm2 = cm2

d) 205,40 m2 = Hm2

2. Calcular el área de la corona circular siguiente. Los datos están dados en

pulgadas

3. Calcular el área del rombo. Los datos se dan en cm.

4. Calcular la parte sombreada. Los datos se dan en pulgadas.

8 5

45

16

MATEMÁTICA


5. Calcular el área de la figura siguiente: los datos están en mm.

RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN

1. a) 0,004570 Dm2

b) 4 000 000 m2

c) 344 000 000 cm2

d) 0,020540 Hm2

2. 122,46”2

3. 360 cm2

4. 260,64”2

5. 2 200 mm2

MATEMÁTICA


INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA

1. Área de regiones triangulares.

a) Fórmula General

c) Fórmula trigonométrica d) En función de los lados

b) En función del radio de la circunferencia inscrita

c) En función del radio de la

circunferencia circunscrita

a.b.cA=

4R

b) Triangulo equilátero

2

h.bA

4

3.A

2

2

sen.b.aA

)cp)(bp)(ap(pA

2

cbap

trosemiperímep

:Donde

2

.rPA

P : perímetro

MATEMÁTICA


d) Relación de áreas

A ABN m

A BNC n

2. Regiones cuadrangulares

a) Trapecio

a+bA= .h

2

A=m.h

Donde: m = mediana

b) En todo trapecio se cumple que:

a2 = b . c

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Calcular el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.

A) 50 cm2 B) 40 cm2 C) 30 cm2 D) 60 cm2 E) 70 cm2

2. El perímetro de un rectángulo es de 40 cm. Si el largo es el triple del ancho

¿Cuál es su área?


3. Hallar el área de un paralelogramo cuya base mide 12 cm., la medida del lado

no paralelo es 8 cm. y el ángulo obtuso mide 150º


4. Hallar el área del triángulo AMN, si M y N son puntos medios.

A) 1 u2 B) 2 u2 C) 3 u2 D) 4 u2 E) 5 u2

5. El perímetro de un rombo es 52 m., la diagonal mayor mide 24 m. Calcular el

área del rombo.

A) 100 m2 B) 110 m2 C) 120 m2 D) 140 m2 E) 160 m2

6. Una diagonal de un trapecio isósceles mide 13 m. Si la altura es de 5 m., el

área del trapecio es:

A) 30 m2 B) 40 m2 C) 50 m2 D) 50 m2 E) 60 m2

22

22

MATEMÁTICA


7. Calcular el área de un hexágono cuyo lado mide 6 cm.

A) 54 3 cm2 B) 56 3 cm2 C) 55 3 cm2 D) 57 3 cm2 E) 58 3 cm2

8. El área de una corona circular mide 12 cm2. Si los radios mayor y menor se

diferencian en 2 cm., entonces los radios suman.

A) 6 cm B) 7 cm C) 8 cm D) 9 cm E) 10 cm

9. Calcular el área de un trapecio circular comprendido en un ángulo de 54º y los

radios 9m y 6m respectivamente.

A) 6,4 πm2 B) 66 πm2 C) 6,85 πm2 D) 7,30 πm2 E) 6,75 πm2

19.5. VOLUMEN DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.

19.5.1. POLIEDRO.

Un poliedro es una figura que limita una región del espacio

mediante cuatro o más regiones poligonales planas.

19.5.2. PRISMA.

Es un poliedro, dos de cuyas caras son regiones poligonales

congruentes y paralelas, siendo las otras, regiones

paralelográmicas.

LOS PRISMAS SE PUEDEN CLASIFICAR EN:

Prismas Rectos. Cuando las caras laterales son

perpendiculares a las bases, en este caso las caras laterales son rectángulos y la

arista lateral coincide con la altura.

Prismas Oblicuos. Cuando las caras laterales son oblicuas a las bases.

MATEMÁTICA


2

3

6

aAt

totalareaAt

ladooaristaa

volumenV

aV

Prismas Regulares. Cuando el prisma es recto y las bases son polígonos

regulares.

ORTOEDROS.

Es un paralelepípedoortogonal, es decir, cuyas caras

forman entre sí ángulos diedros rectos. los ortoedros

son prismas rectangulares rectos, y también son

llamados paralelepípedos rectangulares. Las caras

opuestas son congruentes y paralelas. Tienen 6

caras y 4 diagonales.

Para calcular la diagonal :

ÁREAS Y VOLÚMENES DEL PRISMA.

ab

h

Paralelepípedo recto.

a

Cubo

h

Prisma recto Prisma oblicuo Prisma regular

a

b

c

d

2222 cbad

alturah

baseladeladosba

volumenV

bhahabAt

altoanchool

hbaV

,

222

)arg(

At Área total

http://es.wikipedia.org/wiki/Paralelep%C3%ADpedo

http://es.wikipedia.org/wiki/Paralelep%C3%ADpedo

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_recto

http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_%28geometr%C3%ADa%29

MATEMÁTICA


Prisma recto

19.5.3. PIRÁMIDE.

Es un poliedro, que tiene por base un polígono. Las caras laterales son triángulos

con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

LAS PIRAMIDES SE CLASIFICAN:

1. Por el número de lados de la base pueden ser: pirámide triangular, pirámide

cuadrangular, etc.

2. Por su forma pueden ser : regular ( si la base es un polígono regular y la altura

cae en el centro de la base); irregular; convexa (cuando la base del polígono

es convexo) y cóncavo

h

Pirámide

OBSERVACIÓN:

Si la pirámide es regular:

Donde:

P : semiperimetro

aP : apotema de la pirámide

aB : apotema de la base

totalárea A

alturah

base de áreaB

hperimetro 2B A

hB V

t

t

h

alturah

baseladeareaB

volumenV

hBV

3

Área lateral = AL = Suma de áreas de caras laterales

Área total = AL + B

AL = p.aP

AT = p.(aP + aB )

aP

aB

V

h

h

MATEMÁTICA


SECCIÓN TRANSVERSAL:

En la figura se observa que EFGM es

paralelo con ABCD, es sección

transversal de la pirámide de área AB

Aquí se cumple que:

3

3

2

2

B

B

H

h

H

h

A

A

ABCD- VVolumen

EFGM- VVolumen y

PROBLEMAS:

Hallar el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras

espaciales:

a) .

b) .

Prisma recto

mABC = 90º

12

8 6

Prisma regular hexagonal

33

4

cubo

2

MATEMÁTICA


c) ..

d) ..

ABCD : cuadrado

EB 13 ; AB 4

EB ABCD

Pirámide regular,

de base cuadrangular

h = 2

h

10

EA H

AB BC

9

9 12

MATEMÁTICA


19.5.4. CILINDRO.

Un cilindro es una figura geométrica formada por media revolución

de un rectángulo. Consta de tres lados: dos caras idénticas

circulares unidas por un plano curvo y cerrado perpendicular a

ambas caras.

El volumen, V, de un cilindro con una base de radio R, y altura o

generatriz, H, es el área de la base (un círculo) por la altura, es

decir:

H.RV 2

El área lateral, AL, de un cilindro con una base de radio R, y altura, H, es:

La superficie o área total, AT, de un cilindro con una base de radio r, y altura, h,

es:

H = g

R

AL 2R.H

AT 2.AB + AL = 2.R2 + 2.R.H = 2.R.(R + .H )

2R

R

CILINDRO

ABIERTO

AB :Area de la Base

MATEMÁTICA


19.5.5. CONO.

Un cono, es un sólido formado por

la revolución de un triángulo

rectángulo alrededor de uno de sus

catetos. Al círculo generado por el

otro cateto ( R ) se denomina base

y al punto donde confluyen los

lados opuestos se llama vértice (V)

y la hipotenusa generatriz ( g ).

En un cono de revolución:

o Hay solo una base: círculo de radio R

o La generatriz (g) no es congruente a la altura (H)

Si pudiéramos abrir un cono a través de su

generatriz, tendríamos el desarrollo de su

superficie lateral del cono en revolución, como

se observa en la figura tiene la forma de un

sector circular, con igual radio a “g”.

o Area lateral (AL):

o Area Total (AT):

Donde AB es el Área de la base (círculo).

o Volumen :

V Eje

g H

R B A O

g

2R

AL = .R.g

AT = AB + AL = .R2 + .R.g = .R( R + g )

V = 3

1R

2H

MATEMÁTICA


A = 4R2

A zona esférica = 2R.h

19.5.6. ESFERA.

Es generada por la rotación (360º) de un semicírculo alrededor

del diámetro.

La intersección de cualquier plano con la esfera, origina círculos

como sección. Si un plano pasa por el centro de la esfera, se

obtiene como sección un círculo mayor.

Propiedades:

Si se traza el radio perpendicular a un círculo

menor, este radio pasa por el centro de dicho

círculo.

Fórmula para hallar el área de una esferas es:

El volumen de la esfera se calcula con la siguiente fórmula:

De la esfera una porción de su superficie entre dos

planos paralelos se llama zona esférica y la formula

es:

Si una zona tiene solo una

base, a esta superficie se le llama casquete esférico;

su área se calcula así:

R

Eje

V = 3

4R

3

Acasquete = .AB2

MATEMÁTICA


r = 2 3 cm

m = OEC = 30º

PROBLEMAS:

Hallar el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras

espaciales:

a) .

b)

c)

d) .

e) .

MATEMÁTICA


f)

g)

h) .

i)

Resolver los siguientes problemas:

1) Calcular la longitud de la arista del cubo donde la distancia del vértice al centro

de la cara opuesta es 6 m.

2) Hallar el volumen del cilindro, si la altura es dos veces el radio. Radio del

cilindro es 2m.

MATEMÁTICA


3) Hallar el área lateral del cono recto, si el radio del cono es 2m, y su ángulo del

vértice del cono es 60.

4) El área total de un cubo es numéricamente igual al volumen. ¿Cuánto mide su

arista?

5) El volumen de una esfera es numéricamente igual a su área. Calcular su radio.

6) El volumen del cilindro es 30m3. El volumen de la esfera inscrita en dicho

Cilindro es:

7) Un recipiente de agua paralelepípedo de 0,8 x 0,45 x 1,5 m se llena con agua.

¿Cuántos litros caben en él?

8) Un recipiente de aceite con una base de 60 x 40cm está lleno con 140 dm 3 de

aceite ¿Qué altura tiene el nivel de aceite en cm?

9) Transformar un prisma cuadrado de 35 mm de lado en un cilindro de igual

volumen y altura. Calcular el diámetro.

10) El diámetro superior de un balde de agua es de 290 mm, el diámetro inferior

de 180 mm, la altura 320 mm ¿Cuántos litros caben en el balde?

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Matematica parte ii