Polinomios

Prof. Carlos A. Blanco

Polinomios

• Definiciones• Operaciones:

Suma y resta Multiplicación Productos notables División

• Regla de Ruffini• Teorema del resto• Teorema del factor• Factorización de polinomios• MCD y mcm de polinomios• Fracciones algebraicas

ÍNDICE

Si en un ejercicio me piden el cálculo del valor numérico, los valores en los que deba realizar el cálculo me los dan.

𝑥=3𝑦=8 }⇒7+

4 ·32

3√8=7+

4 ·92

=7+18=25

Si en una expresión algebraica cambiamos las letras por ciertos valores y realizamos las operaciones indicadas, al valor obtenido se le llamará valor numérico de dicha expresión algebraica en esos valores.

7+4 𝑥2

3√𝑦

Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y operaciones aritméticas.

Expresiones algebraicas

DEFINICIONES

Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las variables. Equivalentemente, es el número de variables que se están multiplicando.

La parte literal está formada por las variables.

La parte numérica se llama coeficiente.

Parte literalParte numérica

7 · 𝑥3 𝑦 𝑧 2En un monomio distinguimos dos partes: parte numérica y parte literal.

𝑡 4𝑢7=7 𝑥07 𝑥27 𝑥3 𝑦 𝑧 2

Un monomio es una expresión algebraica formada por un número que multiplica a una ó varias letras elevadas a exponentes naturales. A las letras se las llama variables.

Monomios y polinomios

DEFINICIONES

Término independiente

El término de grado 0, si lo hay, se llama término independiente.

Grado del polinomio → 3

El grado del término principal es el grado del polinomio.

Coeficiente principal → 7

El coeficiente del término principal se llama coeficiente principal.

Término principal

El término de mayor grado se llama término principal.

Términos

Cada uno de los sumandos del polinomio se llama término.

7 𝑥3+5 𝑥2−3 𝑥+4

Un polinomio es la suma de varios monomios

Monomios y polinomios

DEFINICIONES

Dos polinomios se restan sumando al primero el opuesto del segundo.

Dos polinomios se van a sumar agrupando monomios semejantes. Para ello se colocarán uno encima de otro colocando los monomios semejantes juntos.

7 𝑥2+ (−2 𝑥2 )=[7+(−2 ) ]𝑥2=5 𝑥2

Si dos monomios son semejantes se van a poder agrupar, lo que se hace sacando factor común.

Es lo mismo que decir que los monomios tienen las mismas letras elevadas a los mismos exponentes.

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

Suma y resta

OPERACIONES: SUMA Y RESTA

7 𝑥4 +𝑥3 +𝑥2−11𝑥+7

+5 𝑥4

2 𝑥4−4 𝑥3

+5𝑥3+3 𝑥2

−2𝑥2−5𝑥−6 𝑥

+6+1

La suma será:

𝑞 (𝑥 )=2 𝑥4+5 𝑥3−2𝑥2−6𝑥+1

𝑝 (𝑥 )=5 𝑥4−4 𝑥3+3 𝑥2−5 𝑥+6

Si y son los polinomios siguientes:

Suma

OPERACIONES: SUMA

+3 𝑥4−9𝑥3+5 𝑥2+𝑥 +5

+5 𝑥4

−2𝑥4−4 𝑥3

−5𝑥3+3𝑥2

+2𝑥2−5 𝑥+6 𝑥

+6−1

−𝑞 (𝑥 )=−2𝑥4−5 𝑥3+2 𝑥2+6 𝑥−1

La resta la calculamos sumando a el opuesto de

𝑞 (𝑥 )=2 𝑥4+5 𝑥3−2𝑥2−6𝑥+1

𝑝 (𝑥 )=5 𝑥4−4 𝑥3+3 𝑥2−5 𝑥+6

Si y son los polinomios siguientes:

Resta

OPERACIONES: RESTA

𝑥4 −4 𝑥3+11𝑥2+8𝑥−8

+3 𝑥4

−2𝑥4−4 𝑥3

¿

𝑝 (𝑥 )−2𝑞 (𝑥 )

4 𝑥4−4 𝑥3+2 𝑥2−4 𝑥+1

+3 𝑥4

𝑥4−4 𝑥3

¿

𝑝 (𝑥 )+𝑞 (𝑥 )

Sean los polinomios y

Calcula y

OPERACIONES: SUMA Y RESTA

𝑥3+14(−7 𝑥 ) · (−2𝑥2 )=¿

𝑥6−6(−3 𝑥5 ) · (+2 𝑥 )=¿

𝑥8+10(−2𝑥3 ) · (−5 𝑥5 )=¿

𝑥5+12(+4 𝑥2 ) · (+3 𝑥3 )=¿

𝑥5−20(+5𝑥2 ) · (−4 𝑥3 )=¿

𝑥6−18(+6 𝑥4 ) · (−3 𝑥2 )=¿

Para multiplicar dos monomios, multiplicaremos la parte numérica del primer monomio por la parte numérica del segundo monomio y la parte literal del primer monomio por la parte literal del segundo monomio.

Producto

OPERACIONES: PRODUCTO

+20 𝑥4−8𝑥3−25 𝑥2+40 𝑥−12+20 𝑥4 −25 𝑥2+30 𝑥

−8𝑥3 +10 𝑥−12

×4 𝑥3

¿

𝑞 (𝑥 )=5 𝑥−2𝑝 (𝑥 )=4 𝑥3−5 𝑥+6

Para multiplicar dos polinomios, multiplicaremos todos los términos de por todos los términos de agrupando posteriormente los términos semejantes que obtengamos. Si tenemos:

Producto


+3 𝑥6+6 𝑥5−2 𝑥4−10 𝑥3+9𝑥2+4 𝑥 −6+3 𝑥6+6 𝑥5 −6 𝑥3 +9𝑥2

−2 𝑥4−4 𝑥3 +4 𝑥 −6

×𝑥4

¿

𝑝 (𝑥 ) ·𝑟 (𝑥 )+2 𝑥5+7 𝑥4+6 𝑥3 −4 𝑥2 +9+2 𝑥5+4 𝑥4 −4 𝑥2 +6 𝑥

+3 𝑥4+6 𝑥3 −6 𝑥 +9×𝑥

4

¿𝑝 (𝑥 ) ·𝑞 (𝑥 )

Con los polinomios , y , realiza las operaciones y :


(3 𝑥2 )2− (2 𝑥 )2=9 𝑥4−4 𝑥2(3 𝑥2+2 𝑥 ) · (3 𝑥2−2𝑥 )=¿

(𝑥2 )2−2 · (𝑥2 ) · (3 𝑥 )+(3 𝑥 )2=𝑥4−6 𝑥3+9𝑥2(𝑥2−3 𝑥 )2=¿

(𝑥2 )2+2 · (𝑥2 ) · (2𝑥 )+(2 𝑥 )2=𝑥4+4 𝑥3+4 𝑥2(𝑥2+2𝑥 )2=¿

Sin embargo hay tres casos particulares que se resuelven mediante una fórmula: son los llamados productos notables• Cuadrado de una suma • Cuadrado de una diferencia • Suma por diferencia

[𝑝 (𝑥 ) ]4=𝑝 (𝑥 ) ·𝑝 (𝑥 ) ·𝑝 (𝑥 ) ·𝑝 (𝑥 )

Si tenemos un polinomio elevado a un exponente, se opera en la forma habitual, por ejemplo

Productos notables

OPERACIONES:PRODUCTOS NOTABLES

b) ;

a) ; b)a)

Completa los polinomios para que correspondan a un producto notable¿ ( 2𝑥+3 𝑥2 ) ( 2𝑥−3 𝑥2 )b)¿ ( 4 𝑥−1 ) 2a)

b)a)

Identifica los productos notables

c)

b)

a)

c)b)a)

Desarrolla los productos notables

OPERACIONES:PRODUCTOS NOTABLES

No se puede(+8𝑥 ): (−2 𝑥2)=¿

𝑥4−4(−8 𝑥5 ) : (+2𝑥 )=¿

𝑥3+7(−7 𝑥8 ) : (−𝑥5 )=¿

𝑥+3(+6 𝑥4 ) : (+2𝑥3 )=¿

𝑥5−3(−12𝑥8 ) : (+4 𝑥3 )=¿

𝑥3−2(+6 𝑥5 ) : (−3 𝑥2)=¿

Para dividir dos monomios, dividiremos la parte numérica del primer monomio entre la parte numérica del segundo monomio y la parte literal del primer monomio entre la parte literal del segundo monomio.El Resultado debe ser un monomio, con lo que el grado del Dividendo debe ser mayor que el grado del divisor.

Cociente

OPERACIONES: COCIENTE

Como , ya no se puede seguir

+8+3 𝑥+2−𝑥2

+1+6+3 𝑥+𝑥2

+8𝑥−4 𝑥3 +4 𝑥𝑥2 −24 𝑥3 +𝑥2 −5 𝑥+6

Rest

arA

la v

ez

1. Comprobar si la división es posible:

2. Dividir el término principal del dividendo entre el término principal del divisor.

3. Multiplicar el cociente obtenido por el divisor.

4. Cambiar de signo al resultado5. Sumar el Dividendo mas el

resultado anterior.6. Volver a empezar

Para dividir dos polinomios, usaremos el procedimiento que se usa para dividir dos números, pero adaptado a polinomios.Para dividir

Cociente


4 𝑥3+𝑥2−5 𝑥+6= (𝑥2−2 )· ( 4 𝑥+1 )+ (3𝑥+8 )

𝑅 (𝑥 )

𝐶 (𝑥 )

𝑑 (𝑥 )𝐷 (𝑥 )

+8+3 𝑥+2−𝑥2

+1+6+3 𝑥+𝑥2

+8𝑥−4 𝑥3 +4 𝑥𝑥2 −24 𝑥3 +𝑥2 −5 𝑥+6

En una división entera de polinomios se tienen un dividendo , un divisor , un cociente y un resto que cumplen:

Cociente


𝑅 (𝑥 )=−5 𝑥+7𝐶 (𝑥 )=𝑥2+2 𝑥−2

+7−5 𝑥+4+2 𝑥2

−2

+3−5 𝑥−2 𝑥2

−4 𝑥−2 𝑥3

+2 𝑥+3−𝑥−2 𝑥2+2 𝑥3

−2 𝑥2−𝑥4 +𝑥2

𝑥2+2𝑥4+2 𝑥3−𝑥+3b)

𝑅 (𝑥 )=11𝑥+3𝐶 (𝑥 )=𝑥2+2 𝑥+6

+3+11𝑥+12 𝑥−6 𝑥2

+6

+3−𝑥+6 𝑥2

+4 𝑥2−2 𝑥3

+2 𝑥+3−𝑥+2 𝑥2+2 𝑥3

+2 𝑥3−𝑥4 +𝑥2

𝑥2−2 𝑥𝑥4+2 𝑥2−𝑥+3a)

b) a)

Realiza las divisiones:


𝐷 (𝑥 )¿

¿¿𝐶 (𝑥 ) 𝑅 (𝑥 ) ¿Regla de Ruffini

𝐷 (𝑥 ) 𝑑 (𝑥 )𝑅 (𝑥 ) 𝐶 (𝑥 )

División ordinaria

Si el divisor de una división es de la forma , podremos realizar la división con la regla de Ruffini. Debemos observar los siguientes datos:En la división

• Si tiene grado , el cociente tendrá grado • El resto de dicha división debe ser un polinomio de grado 0, (en caso

contrario la división podría seguir realizándose), es decir, se reduce a un número real.

• El coeficiente principal del cociente será igual que el coeficiente principal del polinomio

De este modo la estructura de la división cambia ligeramente

REGLA DE RUFFINI

𝑅 (𝑥 )=28𝐶 (𝑥 )=4 𝑥2+8 𝑥+11

+28+22

+11+16

+8+8

+4+2

+4 +0 −5+6( 4 𝑥3−5𝑥+6 ) : (𝑥−2 )

En la regla de Ruffini:• En la parte del dividendo se colocarán los coeficientes del polinomio

completado. Es decir, si falta algún término, se añadirá un 0 en esa posición.

• En la parte del divisor se colocará el término independiente del divisor cambiado de signo (hay que tener en cuenta que en una división por el método ordinario, cada vez que se multiplica el cociente por el divisor se cambia de signo)

A partir de ahí, basta con hacer multiplicaciones y sumas:

REGLA DE RUFFINI

Hay que entender que la regla de Ruffini es solamente una división, con su dividendo, su divisor, su cociente y su resto, y que como toda división cumple que

Es decir, en la división anterior se cumple

A partir de ahora, cuando una división se pueda realizar con la regla de Ruffini, se deberá realizar con la regla de Ruffini.

REGLA DE RUFFINI

𝑅 (𝑥 )=2𝐶 (𝑥 )=𝑥2−2 𝑥+1

+2−2

+1+4

−2−2

+1−2

+1 +0 −3+4b)

𝑅 (𝑥 )=21𝐶 (𝑥 )=𝑥2+4 𝑥+8

+21+16

+8+8

+4+2

+1+2

+1 +2 +0+5a)

b)a)Halla el cociente y el resto en las siguientes divisiones

La división del apartado a) se puede realizar por Ruffini porque el divisor es de grado 1 y su coeficiente principal es 1, pero la del apartado b) no se puede hacer por Ruffini porque el divisor es de grado 2.

b)a)

Decide cuáles de las siguientes divisiones se pueden realizar por la regla de Ruffini

REGLA DE RUFFINI

Al hacer una división , observamos que aparecerán un cociente y un resto (no lo llamo puesto que será un polinomio de grado 0, y por tanto no tendrá ), que cumplirán:

Si con esta fórmula intentamos calcular el valor numérico de en , tendremos que:

Teorema del Resto:El resto de la división coincide con el valor numérico de en , es decir, coincide con

TEOREMA DEL RESTO

⇒𝑝 (−2 )=−54−54−58

+29+22

−11−6

+3−2

+3 −5 +7+4

El valor numérico de en es el resto de la división , de modo que:

Calcula el valor numérico del polinomio en , sin sustituir la variable por el número.

𝑅=5 · (−1 )57−3 · (−1 )32+7=5 · (−1 )−3 ·1+7=−5−3+7=−1

El resto de la división es el valor numérico del dividendo en , de modo que:

Calcula el resto de la división sin realizarla

TEOREMA DEL RESTO

Si al hacer una división , el resto fuera 0, se tendrá lo siguiente:

Observamos que entonces el polinomio es factor de . Ahora bien, como el resto de la división anterior es lo mismo que el valor numérico de en , se tiene el siguiente teorema:Teorema del factor: tiene como factor el polinomio si y solo si el valor numérico de en es 0, es decir, si y solo si Definición: El número se dice que es raíz de un polinomio cuando Con esta definición, se tiene un enunciado equivalente del teorema del factor:Teorema del factor: tiene como factor el polinomio si y solo si es raíz de

TEOREMA DEL FACTOR

−4𝑘+18=0⟺4 𝑘=18⟺𝑘=184 =

92

−4𝑘+18−4𝑘+24

−2𝑘+12−2𝑘+8

−𝑘+4+4

+2+2

+2−𝑘+4−6Se tiene que es raíz del polinomio si es factor, entonces:

Halla el valor de k para que sea raíz de

Deducimos que si es raíz del polinomio

0+4

+4−1

−1+1

+1+1

+1 −2 +5−4Se tiene que es raíz del polinomio si es factor, entonces:

Comprueba que es raíz del polinomio

TEOREMA DEL FACTOR

Si tenemos un polinomio con raíces , deducimos que podemos escribir el polinomio como

Observamos que si hacemos las multiplicaciones de la derecha, el producto de las raíces del polinomio da como resultado el término independiente.

De este modo, a la hora de buscar las raíces de un polinomio, las buscaremos entre los divisores del término independiente:Si tenemos el polinomio

buscaremos las raíces entre los números

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

−60−36

+36+10

−10−1

+1−1

+1 −9 +26−24

−6+18

+18−8

−8+1

+1+1

+1 −9 +26−24

Buscaremos la factorización del polinomio

Como ya hemos dicho, buscaremos las raíces entre los números

Esto lo hacemos con la regla de Ruffini por Ensayo-Error.Comenzamos probando por :

Como no hemos tenido éxito, probamos con el :


Ahora que ya hemos encontrado una raíz del polinomio, de la división anterior se deduce que

Así que el resto de raíces de , serán las raíces de . Además, ahora el término independiente es 12, luego ya no buscamos las raíces entre los divisores de 24, sino entre los divisores de 12, salvo el , que ya vimos que no eran raíces del polinomio.Por último, comentar que el primer paso a seguir es probar de nuevo con el número , por si fuera raíz múltiple

0+24

+12−14

−7+2

+1+2

+1 −9 +26−24Como seguimos sin tener éxito, probamos con el :


+30+18

−9−2

+1−2

0+24

+12−14

−7+2

+1+2

+1 −9 +26−24Como no hemos tenido éxito, probamos con el :

+2−10

−5+2

+1+2

0+24

+12−14

−7+2

+1+2

+1 −9 +26−24Como se ha dicho, probamos de nuevo con el :


Como hemos tenido éxito, por el mismo motivo que antes, seguiremos desde el último cociente, pero antes de probar a ciegas, observamos que el último cociente es el polinomio , que cumple:

De donde vemos que la última raíz va a ser , luego probaremos directamente con ese número.

0−12

−4+3

+1+3

0+24

+12−14

−7+2

+1+2

+1 −9 +26−24Como no hemos tenido éxito, probamos con el :


De este modo, tenemos tanto las raíces del polinomio:

Como la descomposición en factores:

0+4

+1+4

0+24

+12−14

−7+2

+1+2

+1 −9 +26−24

+3+1

+3−4−120

Como se ha dicho, probamos con el :


La descomposición es

0+8

−8+6

−6−2

+2−1

+2 −4 −14−8

−1+2−2−8

+80

+4+2

+80

b)

Las raíces son (doble) y

0−12

−6+2

+1+2

+1+2

+1 −1 −8+12

+2+1

+2+3

+60

−3+1−30

a)

Halla las raíces del polinomio del apartado a) y la descomposición en factores del polinomio del apartado b)


Si se tienen los polinomios y

Entonces

m.c.m. Para el Mínimo Común Múltiplo, después de descomponer los polinomios elegiremos los factores comunes y los no comunes elevados al mayor exponente (la misma regla que se usaba en caso de números enteros)

Si se tienen los polinomios y

Entonces

M.C.D. Para el Máximo Común Divisor, después de descomponer los polinomios elegiremos los factores comunes elevados al menor exponente (la misma regla que se usaba en caso de números enteros)

Ahora que sabemos descomponer polinomios, ya podemos calcular el Máximo Común Divisor de dos polinomios y el Mínimo Común Múltiplo de dos polinomios:

MCD Y mcm DE POLINOMIOS

b) Calculamos las descomposiciones:

Se tiene entonces que:

a) Calculamos las descomposiciones:

Se tiene entonces que:b) y a) y

Calcula el MCD y el mcm de los siguientes polinomios:

MCD Y mcm DE POLINOMIOS

Una fracción algebraica es una fracción donde tanto el numerador como el denominador son polinomios.

Con las fracciones algebraicas se pueden realizar las mismas operaciones que con las fracciones numéricas:• Fracciones equivalentes, amplificar y simplificar fracciones• Reducir las fracciones a común denominador• Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones• Elevar una fracción a un exponente, etcLas operaciones se realizarán de la misma manera que con las fracciones numéricas.La única dificultad es que ahora las operaciones se realizan con polinomios en lugar de con números, y en particular, ahora tendremos que descomponer polinomios en producto de factores en lugar de descomponer números en producto de factores primos

FRACCIONES ALGEBRAICAS

b) Descomponemos el numerador y el denominador para simplificar:

Así, tendremos:

a) Descomponemos el numerador y el denominador para simplificar:

Así, tendremos:

𝑥3−5 𝑥2+4 𝑥𝑥3−16 𝑥

b)2𝑥3+10 𝑥2+16𝑥+84 𝑥3+8𝑥2−4 𝑥−8

a)

Simplifica las fracciones algebraicas:


b) Indicaremos la operación y a continuación descompondremos numeradores y denominadores para simplificar:

a) Reducimos las fracciones a común denominador, calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores:

𝑥2−6 𝑥+9𝑥2+2 𝑥−15

: 2𝑥−10𝑥2−25

b)𝑥+1𝑥2−4

− 𝑥−1𝑥2+4 𝑥+4a)

Realiza las operaciones:


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