Presentación de Estadística

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA

Del 03 de Septiembre al 26 de Septiembre del 2009

Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez SolarisMgs. Educación Superior

[email protected]@hotmail.com

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIANociones Generales

182

46

134

32

0

50

100

150

200

Negativo Positivo

Femenino

Masculino

HAI

SexoTotal

Femenino Masculino

n % n % n %

Negativo 182 57.59 134 42.41 316 80.2

Positivo 46 58.97 32 41.03 78 19.8

Total 228 57.87 166 42.13 394 100

ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA

PROPOSITO

METODOS

INFERENCIAL

PROPOSITO

METODO

• TABULARES

• GRAFICOS•

NUMERICOS

PROBABILISTICO

¿Qué es?...

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Nociones Generales

Características

Ciencia encargada de la Recolección, Manipulación, Organización y Presentación de información de manera tal que ésta tenga una Confiabilidad determinada


Nociones Generales

Población NParámetros µ, σ2, p, etc

Muestra n=?Estadístico

sEstadígrafo

s

Deducción

TECNICAS DE MUESTREO

INFERENCIA

ESTIMACION


Nociones Generales


Nociones Generales

MUESTRA Tipos

Probabilística

No Probabilística

Azar

Arbitraria

MUESTREO

Probabilístico

No Probabilístico

MAS, MAP y MAE

POBLACION


MUESTRA

Atributo

Variable

Cambiar

• Nombre

• Definición

• Rango de Valores

• Clasificación

Elementos

TiposCualitativas

Cuantitativas

Categorías

Discretas

Continuas


Variable

• Nombre

• Definición

• Rango de Valores

• Clasificación

Elementos

Medirse

Escalas de Medición

Nominal

De Razón

+

Ordinal

De Intervalo

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Métodos Tabulares

DESCRIPTIVA

METODOS

TABULARES

Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn y y1, y2, … yn, valores que toman las variables X y Y, y sean “a” y “b” dos constantes. Entonces:

Sumatoria

Propiedades

x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn

n

iyi

1

n

ixi1

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Propiedades de Sumatoria

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Métodos Tabulares/Ordenamiento

17

18

18

16

21

15

17

19

20

18

16

18

Edad (años)

Ordenándolo

15

16

16

17

17

18

18

18

18

19

20

21

Edad (años)

Valores extremos

Valores mas frecuente

Valores extremos

Desventaja


Cuadro de Frecuencia

Edad (años

)fi fr Fia Fra

15 1 8.3 1 8.3

16 2 16.7 3 25.0

17 2 16.7 5 41.7

18 4 33.3 9 75.0

19 1 8.3 10 83.3

20 1 8.3 11 91.7

21 1 8.3 12 100

Total 12 100

Cuadros de Frecuencia

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Cuadro de Frecuencia

Lugar de realización del Diplomado n %

Extranjero 19 13.87

Universidad Objeto de Estudio 87 63.50

Otras universidades bolivianas 31 22.63

Total 137 100

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Cuadro de Frecuencia

67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2

63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5

64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9

68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9

68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2

Cuadro de Frecuencia

La Estadística ofrece otra alternativa Tablas de Frecuencias Absolutas y Relativas

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Tabla de Frecuencia

Procedimiento

Definir el Número de Intervalos

K = 1 + 3.33* log n

≥ 5 ó ≤ 20 ó 25

Sturges

Tipo de Intervalos (Li - LS]

Ac = A/kA = Valor Máx.- Valor Mín.

Ac = Ajustada

MD = (RI – A)/2

RI = Ac*K > A

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Tabla de Frecuencia

Intervalos de Clases PMC fi fr Fia Fra

37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27

42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37

48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50

53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57

59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70

64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1

30 1


Métodos Gráficos

Métodos Gráficos Clásicos

Diagrama de Puntos

Histograma

Polígono de Frecuencias

Ojiva

Diagrama de Sectores

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Diagrama de Puntos

15 16 17 18 19 20 21

Edad (años)


Histograma

02468

10

Tiempo (minutos)

Núm

ero

de E

stud

iant

es

(fi)

Histograma de Frecuencias Absolutas

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Polígono de Frecuencias

0

2

4

6

8

10

39.85 39.85 45.35 50.85 56.35 61.85 67.35 72.85

Puntos Medios de Clases

Núm

ero

de E

stud

iant

es

(fi)

Polígono de Frecuencias Absoluta

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Ojiva

0

10

20

30

40

37.1 42.6 48.1 53.6 59.1 64.6 70.1

Tiempos (minutos)

fia

Ojiva/Polígono de Frecuencias Acumuladas

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Diagrama de Sectores

Lugar de realización de estudios Postgraduales

n Grados

Extranjero 19 50

Universidad de Interés 87 229

Otras universidades bolivianas 31 81

Total 137 360

137-------360

19 ------- x

(19*360)

X= = 49.9

137

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Diagrama de Sectores

Lugar de realización de estudios postgraduales

Universidad de Interés

63.50%

Extranjero13.87%

Otras universidades

bolivianas22.63%


Métodos Numéricos (Medidas de Tendencia Central)

Cuando se desea comparar dos o más poblaciones o bien muestras, y si las variables de interés son de carácter numérico …

Los métodos tabulares no son los más recomendables

La Estadística oferta otra herramienta llamada Métodos Numéricos


Medidas de Tendencia Central

Métodos Numéricos


Medidas de Dispersión

Localizan el centro de una base de datos numéricas

Cuantifican cuánto se dispersan los datos de una medida de tendencia central

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central


Promedio

Moda

Media Ponderada

Mediana

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Tendencia Central/Promedio

Promedio

Población

Muestra

Media µ Poblacional

Es la sumatoria de las observaciones que toma una variable dividido entre el total de éstas

Se interpreta como el punto de equilibrio de una base de datos numéricas

Media Muestral

x

Tiempo (minutos)

52.6

38.9

68.3

67.2

63.9

64.9

68.3

39.2

42.3

61.9

567.5

56.75

Suma

Promedio

Desviaciones

-4.15

-17.85

11.55

10.45

7.15

8.15

11.55

-17.55

-14.45

5.15

0Suma

Propiedad


01

n

i

xxi

xxi


Media en datos tabulados

Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la media tomando en cuenta lo siguiente:

• PMC es el promedio de las observaciones de las observaciones que caben dentro del intervalos.

• PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las observaciones que caben en el intervalo y como una tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:


Intervalos de Clases

PMC fi

37.1 a 42.6 39.85 8

42.6 a 48.1 45.35 3

48.1 a 53.6 50.85 4

53.6 a 59.1 56.35 2

59.1 a 64.6 61.85 4

64.6 a 70.1 67.35 9

30

PMC*fi

318.8

136.05

203.4

112.7

247.4

606.15

1624.5

1624.5 = = 54.15 30 x


Cargo fi Salario

Rector 1 2000

Asesores 2 1200

Vic. Académico 1 1150

Vic. Administrativo 1 1250

Jefe de Carrera C.S 2 1000

Jefe de Carrera 5 800

Administrativo 2 600

Secretarias 9 120

Cuando los datos tienen diferente peso dentro de la base de datos, si desea obtener el promedio, la media aritmética no es la más indicada


Cargo fi (wi)Salario

(xi)

Rector 1 2000

Asesores 2 1200

Vic. Académico 1 1150

Vic. Administrativo 1 1250

Jefe de Carrera C.S 2 1000

Jefe de Carrera 5 800

Administrativo 2 600

Secretarias 9 120

Xiwi

2000

2400

1150

1250

2000

4000

1200

1080

15080

15080 = = 655.65 23wx


Mediana (Me)

Datos sin tabular

Datos tabulados

Si los datos no se distribuyen simétricamente (curva simétrica) el promedio no es la mejor medida para localizar el centro de los mismos

(b-a)(0.5- c)Me = a + d

Me = xn/2 + 0.5

• Ordenar

Impar

Par

n

Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2


Tiempo (minuto

s)38.9

39.2

42.3

52.6

61.9

63.9

64.9

67.2

68.3

Tiempo (minuto

s)38.9

39.2

42.3

52.6

61.9

63.9

64.9

67.2

68.3

n es impar

Me

Me = xn/2 + 0.5


Tiempo (minuto

s)38.9

39.2

42.3

52.6

61.9

63.9

64.9

67.2

68.3

68.3

Tiempo (minuto

s)38.9

39.2

42.3

52.6

61.9

63.9

64.9

67.2

68.3

68.3

n es par

Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2

61.9 + 63.9Me = = 62.9 262.9

Mediana es aquella medida de tendencia central que antes y después de ella no existe más del 50% de la información


(b-a)(0.5- c)Me = a + d

a = Límite inferior de la clase de la Me

b = Límite superior de la clase de la Me

c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)

d = fr de la clase de la Me

Clase de la Mediana• Complete la columna

Fia• Localice la menor Fia

> n/2• La clase a la que

pertenece esta frecuencia es la clase de la mediana (Nj)

• La Clase antes de Nj es Nj -1


PMC fi fr Fia Fra

37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27

42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37

48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50

53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57

59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70

64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1


(b-a)(0.5- c)Me = a + d

a = Límite inferior de la clase de la Me

b = Límite superior de la clase de la Me

c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)

d = fr de la clase de la Me

n = 30

n/2 = 15

Nj = 17… (53.6 – 59.1)

Nj- 1 = (48.1 – 53.6)

(59.1-53.6)(0.5- 0.5)Me = 53.6 + = 53.6 0.07

Ubicación de la clase de la Me


Connotancia de Moda (Mo) en Estadística

En caso de existir es la (s) observación (nes) que más se repiten en una base de datos

Tiempo (minuto

s)38.9

39.2

42.3

52.6

61.9

63.9

64.9

67.2

68.3

68.3

Distribuciones:

Unimodales

Bimodales

Etc.

Mo


(ficmo- ficpremo)

Mo = Licmo + Acmo

(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)

Donde:

Licmo: Límite inferior de la Clase Modal

Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal

Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal

Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal

Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal

Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi

Intervalos de Clases PMC fi

37.1 a 42.6 39.85 8

42.6 a 48.1 45.35 3

48.1 a 53.6 50.85 4

53.6 a 59.1 56.35 2

59.1 a 64.6 61.85 4

64.6 a 70.1 67.35 9


(ficmo- ficpremo)

Mo = Licmo + Acmo

(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)

(9 - 4)

Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56

(9 - 4) + (9 – 0)

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Medidas de Dispersión

Medidas de Dispersión

Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido

Varianza (Variancia)

Desviación Típica o Estándar

Coeficiente de Variación

Una medida de tendencia central por si sola no es tan importante. Por esta razón debe estar acompañada de una medida de dispersión


Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo

Varianza

Población ( σ²)

Muestra (S²)

Es el promedio de las desviaciones al cuadrado de las observaciones que toma una variable respecto a su media

2

12

N

xiN

i


xi(Desviaciones)

2

52.6 17.2225

38.9 318.6225

68.3 133.4025

67.2 109.2025

63.9 51.1225

64.9 66.4225

68.3 133.4025

39.2 308.0025

42.3 208.8025

61.9 26.5225

Sumatoria 567.5 1372.725

Promedio 56.75

1372.725

S² = = 152.525mi²/est²

10 - 1

Desventaja

Desviación Típica S = √S²

S = √152.525 = 12.35 min/est

Interpretación x ± S

56.75 ± 12.35 min/est.



PMC fi

37.1 a 42.6 39.85 8

42.6 a 48.1 45.35 3

48.1 a 53.6 50.85 4

53.6 a 59.1 56.35 2

59.1 a 64.6 61.85 4

64.6 a 70.1 67.35 9

Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la varianza de la siguiente forma:



PMC fi

37.1 a 42.6 39.85 8

42.6 a 48.1 45.35 3

48.1 a 53.6 50.85 4

53.6 a 59.1 56.35 2

59.1 a 64.6 61.85 4

64.6 a 70.1 67.35 9

PMC*fi PMC2*fi

318.8 12704.18

136.05 6169.8675

203.4 10342.89

112.7 6350.645

247.4 15301.69

606.15 40824.203

1624.5 91693.475

774.124

13030

5.1624475.91693

2

2

S

70.11774.124 S


Todas las medidas de dispersión expuestas anteriormente son dimensionales (toman las unidades de medidas de las variables)

Existe otra medida de dispersión pero adimensional llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión Relativa

x

SVC. 100*.

x

SVC


Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se dispersan los datos alrededor de una medida de tendencia central, pero, ¿Para donde se desvían los datos?, a la izquierda de la media, a la derecha o se distribuyen simétricamente.

Existen otras medidas aplicable solo a curvas unimodales que tratan de las deformación de curvas tanto de forma horizontal como vertical

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Deformación de Curvas Unimodales

Asimetría

Asimetría Negativa

Asimetría Positiva

Curvas Simétricas

> Me > Mox

< Me < Mox

= Me = Mox



Curtosis

Curva Platicúrtica

Curva Leptocúrtica

Curva Mesocúrtica

Kur > 3

Kur < 3

Kur = 3

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple

Y

X1

X2...

Xi

En el desarrollo de los eventos, puede ser que una variable sea afectada por el comportamiento de otra (s) variable (s)

Es de interés poder cuantificar este tipo de relación de manera que se pueda predecir una variable en función de otra

En Regresión Lineal Simple es de interés cuando una variable afecta el comportamiento de otra variable

Y: Variable Dependiente

X: Variable Independiente

Y = f(X)Propósito de la R.L.S: Predicción

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple

Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos estadísticos que tratan con la formulación de modelos matemáticos que describen la relación entre variables y el uso de estas relaciones modeladas con el propósito de predecir e inferir.

Por Regresión Lineal Simple se entiende …

Supuestos del Análisis de Regresión Lineal Simple

“Y” es una variable aleatoria cuya distribución probabilística depende de “X”

Modelo de la Línea RectaHomogeneidad de VarianzaNormalidadIndependencia

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Diagrama de

Dispersión

Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito mostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre las variables “X” y “Y”.

Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de coordenadas (bidimensional)

Y

X

(x, y)

Rango de Sueldo (X) Inasistencias (Y)11 1810 178 295 369 119 267 283 35

11 148 207 322 399 168 266 313 40

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Diagrama de

Dispersión

0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Rango de Salario

Inas

iste

nci

a

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos

Cuadrados

El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación entre “X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede pensar en una ecuación de la siguiente forma:

De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la siguiente naturaleza:

Parámetros

Estimación

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos

Cuadrados

Uso de la Técnica de Mínimos Cuadrados (Carl Gauss)

A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables “X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de las distancias entre los valores observados y los estimados de tal manera que :

Y

X

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Recta de Estimación

Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta que el propósito de la R.L.S es la predicción, se hace necesario estar seguro que la ecuación estimada es capaz de predecir.

Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de

Estimación

Validación

Cálculo de Coeficiente de Determinación R²

Análisis de Varianza de la Regresión “ANARE”

Cuantifica la cantidad de la variabilidad de “Y” que puede ser explicada por “X”R² ≥ 70%

ESTADISTICA APLICADA A LA AUDITORIA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de

Estimación/ANARE

Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la partición de la variación total en fuente de variación conocida que en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo aditivo lineal:

xi= Variación debida a Regresiónεi = Variación debida al Error

FV gl SC CM FcFt

(Pr>F)Regresión

1SCRegresión

CMRegresión

CMRegresión/CMError

Error n-2 SCError CMErrorTotal n.1 SCTotales

Regla de DecisiónNRHo : Fc ≤ Ft

RHo : Fc > Ft

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